Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών είναι εξαιρετικά χρήσιµες για τη µελέτη δυναµικών οικονοµικών συστηµάτων σε διακριτό χρόνο. Οι εξισώσεις διαφορών είναι το αντίστοιχο των διαφορικών εξισώσεων όταν ο χρόνος δεν είναι µία συνεχής µεταβλητή, αλλά µία µεταβλητή που ορίζεται µε βάση ακέραιους αριθµούς. Θα υποθέσουµε κατά συνέπεια ότι, -2, -, 0,, 2,, και όχι µία συνεχής µεταβλητή. Αφού παρουσιάσουµε πρώτα τους τελεστές χρονικής υστέρησης παρουσιάζουµε τη µέθοδο επίλυσης γραµµικών εξισώσεων διαφορών πρώτου και δεύτερου βαθµού. Κατόπιν παρουσιάζουµε τη µέθοδο επίλυσης συστηµάτων n αλληλεξαρτώµενων γραµµικών εξισώσεων διαφορών. Π2. Τελεστές Χρονικής Υστέρησης Οι εξισώσεις διαφορών είναι ένα εξαιρετικά χρήσιµο εργαλείο στη δυναµική οικονοµική. Για να τις αναλύσουµε πιο εύκολα, ορίζουµε τους τελεστές χρονικής υστέρησης. Ο τελεστής χρονικής υστέρησης L για µία µεταβλητή x ορίζεται από, Lx x n L x x for n..., -2, -, 0,, 2,... (Π2.) n n Ο πολλαπλασιασµός της x µε το L δίνει την τιµή της x πριν από n περιόδους. Παρατηρούµε ότι αν το n είναι αρνητικό ( n < 0 ) o τελεστής χρονικής υστέρησης µετακινεί την x στο µέλλον, δηλαδή µετά από n περιόδους. Ο ορισµός αυτός είναι µαθηµατικά κάπως χαλαρός. Πιο αυστηρά, ας υποθέσουµε µία ακολουθία, { x } η οποία συνδέει ένα πραγµατικό αριθµό x µε κάθε ακέραιο αριθµό. Εφαρµόζοντας n στην ακολουθία αυτή τον τελεστή L, λαµβάνουµε µία νέα ακολουθία { y } { x }. Ο n τελεστής L προβάλλει την µία ακολουθία σε µία άλλη. Ας εξετάσουµε τώρα ένα πολυώνυµο στον τελεστή χρονικής υστέρησης. 2 A(L) + L + L +... L (Π2.2) 0 2 0 n

Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εφαρµόζοντας στη µεταβλητή x το πολυώνυµο A(L) λαµβάνουµε ένα κινητό άθροισµα των x σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. 2 A(L) x ( + L + L +... ) x x (Π2.3) 0 2 0 Θα περιοριστούµε σε ρητές συναρτήσεις, δηλαδή σε πολυώνυµα που µπορούν να εκφραστούν ως ο λόγος δύο πεπερασµένων πολυωνύµων στο L. Υποθέτουµε ότι, A(L) B(L)/C(L) (Π2.4) όπου, m B(L) b L, C(L) c L (Π2.5) 0 n 0 όπου τα b και c είναι σταθερές. Ο συνδυασµός των (Π2.4) και (Π2.5) επιβάλλει µια πιο οικονοµική και περιοριστική µορφή στα, χωρίς ωστόσο να υπάρχει µεγάλη απώλεια γενικότητας. Μια ειδική περίπτωση των (Π2.4) και (Π2.5) είναι το λεγόµενο γεωµετρικό πολυώνυµο το οποίο λαµβάνει τη µορφή, A(L) λl (Π2.6) Από τις ιδιότητες των γεωµετρικών προόδων, το γεωµετρικό πολυώνυµο µπορεί να αναπτυχθεί µε δύο τρόπους. 2 2 A(L) + λl + λ L +... (Π2.7) λl 2 2 A(L) - [ + L + ( ) L +... ] (Π2.8) λl λl λ λ Όπως θα δούµε παρακάτω, η ανάπτυξη (Π2.7) χρησιµοποιείται όταν λ <, και η ανάπτυξη (Π2.8) όταν το λ >. Αν πολλαπλασιάσουµε το γεωµετρικό πολυώνυµο (Π2.6) µε κάποια µεταβλητή x, έχουµε, A(L) x x λl (Π2.9) Με την ανάπτυξη (Π2.7) για το A(L) έχουµε, λl x 2 2 [ + λl + λ L +... ] x J2

Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εάν το λ <, και το { x } 2 x + λ x + λ x +... x i 0 i λ i (Π2.0) είναι µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών, τότε και η (Π2.0) ορίζει µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Από την άλλη υπάρχει και η εναλλακτική ανάπτυξη της (Π2.9). Χρησιµοποιώντας την (Π2.8), έχουµε, 2 2 x - [ + L + ( ) L +... ]x λl λl λ λ 2 2 - x - ( ) x -... λ + +2 λ - ( λ )i x +i i (Π2.) Εάν το λ >, και το { x } είναι µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών, τότε η (Π2.) ορίζει µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών, καθώς έχουµε ότι το /λ <. Επειδή σε πολλές περιπτώσεις στα οικονοµικά επιθυµούµε τη σύγκλιση σε κάποια ισορροπία, επιδιώκουµε την ανάλυση πεπερασµένων ακολουθιών. Με αυτή την έννοια επιλέγουµε την επέκταση «προς τα πίσω», όταν το λ <, και την επέκταση «προς τα εµπρός», όταν το λ >. Π2.2 Γραµµικές Εξισώσεις Διαφορών Πρώτου Βαθµού Ας θεωρήσουµε τώρα την πρωτοβάθµια γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές, y +λ y (Π2.2) Η (Π2.2) µπορεί να γραφεί ως, (-λl) y (Π2.3) Διαιρώντας και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης µε (-λl) έχουµε, y + cλ λl + cλ (Π2.4) λ όπου c είναι µία οποιαδήποτε σταθερά. Ο λόγος που περιλαµβάνουµε τον όρο cλ είναι ότι για οποιοδήποτε c, (-λl) cλ cλ -λcλ 0. Άρα, αν πολλαπλασιάσουµε την (Π2.4) µε (-λl), επανερχόµαστε στην (Π2.3). Η (Π2.4) προσδιορίζει τη γενική λύση της πρωτοβάθµιας εξίσωσης διαφορών (Π2.2). J3

Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Για να βρούµε µία «συγκεκριµένη» λύση, πρέπει να µπορούµε να προσδιορίσουµε το c. Ας υποθέσουµε ότι στο χρόνο 0, η y είχε την τιµή y. Από την (Π2.4) προκύπτει ότι, 0 c y - 0 λ (Π2.5) Συνεπώς, η λύση της (Π2.2) δίνεται από, y + λ ( y 0 - ) (Π2.6) λ λ Εάν η αρχική τιµή y /(-λ), τότε η (Π2.6) συνεπάγεται ότι y y 0. Συνεπώς το /(-λ) 0 0 είναι σηµείο ισορροπίας. Εάν επιπλέον λ <, η (Π2.6) συνεπάγεται ότι, lim y λ (Π2.7) H (Π2.7) συνεπάγεται ότι η εξίσωση διαφορών είναι ευσταθής, καθώς τείνει να προσεγγίσει τη µακροχρόνια ισορροπία µε την πάροδο του χρόνου. Εάν λ >, η µόνη πορεία που οδηγεί στην τιµή ισορροπίας είναι η άµεση µεταπήδηση του y στην τιµή ισορροπίας /(-λ). Η λύση αυτή συνεπάγεται c0, y /(-λ). Π2.3 Γραµµικές Εξισώσεις Διαφορών Δεύτερου Βαθµού Ερχόµαστε τέλος στη δευτεροβάθµια εξίσωση διαφορών J y + by + cy 2 (Π2.8) H (Π2.8) µπορεί να γραφεί ως, J ( bl cl 2 )y (Π2.9) Η (Π2.9) µπορεί να µετασχηµατιστεί σε, J ( λ L)( λ 2 L)y (Π2.20) όπου, J λ + λ 2 b (Π2.2) J λ λ 2 c (Π2.22) Οι λ και λ2 είναι οι δύο ρίζες της δευτεροβάθµιας εξίσωσης διαφορών (Π2.8). J4

Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Θα αναλύσουµε τρεις ξεχωριστές περιπτώσεις, ανάλογα µε την τιµή της διακρίνουσας της χαρακτηριστικής εξίσωσης της (Π2.8). Περίπτωση : b 2 >-4c Στην περίπτωση αυτή η διακρίνουσα είναι θετική, και οι ρίζες είναι πραγµατικές και διακριτές, και λαµβάνουν τη µορφή, J λ b + b2 + 4c, J λ 2 b 2 b2 + 4c 2 Από την (Π2.20), η γενική λύση της (Π2.8) λαµβάνει τη µορφή, J y (Π2.23) ( λ )( λ 2 ) + d λ + d 2 λ 2 ( b c) + d λ + d 2 λ 2 d και d2 είναι δύο αυθαίρετες σταθερές. Προκειµένου να προσδιορίσουµε τις δύο αυτές σταθερές χρειαζόµαστε δύο συνοριακές συνθήκες (boundry condiions), ανάλογα µε τις τιµές των δύο ριζών. Όπως και στην περίπτωση της πρωτοβάθµιας εξίσωσης διαφορών, το /(-b-c) µπορεί να θεωρηθεί ως η τιµή ισορροπίας του y. Προκειµένου να εξετάσουµε εάν θα έχουµε σύγκλιση στην τιµή ισορροπίας, λαµβάνουµε το όριο της (Π2.23) καθώς το τείνει στο άπειρο. Θα έχουµε σύγκλιση στην τιµή ισορροπίας εάν και µόνο εάν λ <, και λ2 <. Στην περίπτωση αυτή, η τιµή ισορροπίας είναι ένας ευσταθής κόµβος, και προκειµένου να προσδιορίσουµε τις δύο αυθαίρετες σταθερές χρειαζόµαστε δύο αρχικές συνθήκες y, y2 0. Εάν η απόλυτη τιµή των δύο ριζών κείται εκατέρωθεν της µονάδας, δηλαδή εάν λ <, και λ2 >, τότε η τιµή ισορροπίας είναι ένα σαγµατικό σηµείο. Στην περίπτωση αυτή, προκειµένου να προσδιορίσουµε τις δύο αυθαίρετες σταθερές, χρειαζόµαστε µία αρχική συνθήκη που να αντιστοιχεί στη ρίζα µε τη µικρότερη απόλυτη τιµή, και µία τελική συνθήκη, η οποία δεν µπορεί να είναι άλλη από την τιµή ισορροπίας. Κατά συνέπεια θα έχουµε σύγκλιση στην τιµή ισορροπίας µόνο εάν d 0 και d2 0. Εάν και οι δύο ρίζες είναι µεγαλύτερες από τη µονάδα σε απόλυτες τιµές, δηλαδή εάν έχουµε ταυτόχρονα ότι λ >, και λ2 >, τότε η µόνη πορεία που οδηγεί στη µακροχρόνια ισορροπία είναι η άµεση µεταπήδηση του y στην τιµή ισορροπίας /(-λ)(-λ2). Η πορεία αυτή απαιτεί, d0, d20, y /(-λ)(-λ2) Περίπτωση 2: b 2-4c Στην περίπτωση αυτή η διακρίνουσα είναι ίση µε το µηδέν, και θα έχουµε δύο ταυτόσηµες ρίζες της µορφής, J5

J Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 λ λ 2 λ b 2 Η γενική λύση στην περίπτωση αυτή λαµβάνει τη µορφή, J y (Π2.24) ( b c) + d λ + d 2 λ Στην περίπτωση αυτή, και εάν λ <, προκειµένου να προσδιορίσουµε τις δύο αυθαίρετες σταθερές d και d2, χρειαζόµαστε δύο αρχικές συνθήκες. Εάν το λ είναι µεγαλύτερο από τη µονάδα σε απόλυτη τιµή, δηλαδή εάν λ >, τότε η µόνη πορεία που οδηγεί στην τιµή ισορροπίας είναι µία άµεση µεταπήδηση του y στο /(-b-c), δηλαδή στην τιµή ισορροπίας. Η πορεία αυτή απαιτεί, d0, d20, y /(-b-c) Περίπτωση 3: b 2 <-4c Στην περίπτωση αυτή η διακρίνουσα είναι αρνητική, και θα έχουµε δύο µιγαδικές ρίζες, µε τη µορφή συζυγών µιγαδικών αριθµών. J λ µ +νi, J λ 2 µ νi (Π2.25) όπου, J µ b 4c b2, J ν 2 2 Υποκαθιστώντας στη γενική µορφή της λύσης (Π.2.23), λαµβάνουµε, J y (Π2.26) ( b c) + d ( µ + vi) + d 2 ( µ νi) Κάνοντας χρήση του θεωρήµατος του De Moivre και του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, η λύση λαµβάνει τη µορφή, J y (Π2.27) b c + (( R d + d 2 )cos( θ) + ( d d 2 )sin( θ) ) όπου, R και θ ορίζονται από, J R µ 2 + v 2 b2 4c b 2 c, και, J cos(θ) µ, J. 4 c b sin(θ) ν 4c b2 2 c c 2 c J6

J J Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Η λύση αυτή συνεπάγεται περιοδικές ταλαντώσεις. Οι ταλαντώσεις θα είναι φθίνουσες, εάν και µόνο εάν c <. Σε µία τέτοια περίπτωση θα υπάρχει σύγκλιση µε ταλαντώσεις προς την τιµή ισορροπίας. Στην περίπτωση κατά την οποία c, θα υπάρχουν συνεχείς ταλαντώσεις σταθερής περιοδικότητας, ενώ στην περίπτωση κατά την οποία c >, θα υπάρχουν αποκλίνουσες ταλαντώσεις. Η µόνη πορεία που οδηγεί στην τιµή ισορροπίας απαιτεί dd20, δηλαδή άµεση µεταπήδηση του y στην τιµή ισορροπίας. 2.4 Ένα Σύστηµα Δύο Γραµµικών Εξισώσεων Διαφορών Πρώτου Βαθµού Επικεντρώνουµε τώρα την προσοχή µας σε ένα δευτεροβάθµιο σύστηµα, δύο γραµµικών εξισώσεων διαφορών πρώτου βαθµού. Το σύστηµα αυτό περιγράφεται από, x 0 + x + 2 y y 20 + 2 x + 22 y (Π2.28) Όπως και στην περίπτωση ενός συστήµατος δύο πρωτοβάθµιων διαφορικών εξισώσεων, η πρώτη µέθοδος επίλυσης αυτού του συστήµατος είναι η µέθοδος της αντικατάστασης. Μπορούµε να κάνουµε χρήση της δεύτερης εξίσωσης προκειµένου να αντικαταστήµουµε το y- στην πρώτη εξίσωση, και να καταλήξουµε µε µία γραµµική εξίσωση διαφορών δεύτερου βαθµού στο x. Αυτή θα λάβει τη µορφή, J x + bx + cx 2 (Π2.29) ( ) b + 22 c ( 22 2 2 ) όπου, J 0 ( 22 ) + 2 20, J, J. (Π2.29) έχει ακριβώς τη µορφή της (Π2.8) και µπορεί να επιλυθεί σαν µία κανονική δευτεροβάθµια γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές. Χρησιµοποιώντας τον τελεστή των χρονικών υστερήσεων, η οµογενής εξίσωση που αντιστοιχεί στην (Π2.29) µπορεί να γραφεί ως, J L 2 + 22 L + (Π2.29 ) 22 2 2 22 2 2 x 0 Οι δύο ρίζες του πολυωνύµου στον τελεστή των χρονικών υστερήσεων πρέπει να ικανοποιούν την χαρακτηριστική εξίσωση, J λ 2 + 22 λ + 0 (Π2.30) 22 2 2 22 2 2 Κάνοντας τις ακριβώς αντίθετες αντικαταστάσεις, µία αντίστοιχε δευτεροβάθµια εξίσωση διαφορών µπορεί να συναχθεί και για τη δεύτερη µεταβλητή y. Εναλλακτικά, µπορεί κάποιος να εκφράσει το σύστηµα (Π2.28) σε µορφή µήτρας, ως, J7

J J J J J Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 x y 2 x 2 22 y + 0 20 (Π2.30) Το οµογενές σύστηµα που αντιστοιχεί στη µήτρα (Π2.30), µε 0200, λαµβάνει τη µορφή, x y 2 x 2 22 y (Π2.3) Κάνοντας χρήση του τελεστή των χρονικών υστερήσεων L, η (Π2.3) µπορεί να γραφεί ως, x L 2 L J (Π2.32) y 2 L 22 L 0 0 Για την (Π2.3) να έχει µία λύση, η µήτρα στον τελεστή των χρονικών υστερήσεων θα πρέπει να είναι ιδιάζουσα. Συνεπώς, η ορίζουσά της θα πρέπει να ισούται µε το µηδέν. Κατά συνέπεια, για να έχει µία λύση στο σύστηµα (Π2.28), θα πρέπει να ισχύει ότι, de L 2 L 2 L 22 L 0 Η συνθήκη αυτή συνεπάγεται ένα πολυώνυµο στο τελεστή των χρονικών υστερήσεων µε χαρακτηριστική εξίσωση, J λ 2 + 22 λ + 0 (Π2.33) 22 2 2 22 2 2 Αυτή όµως είναι η ακριβώς ταυτόσηµε µε την χαρακτηριστική εξίσωση της δευτεροβάθµιας εξίσωσης διαφορών (Π2.29), και κατά συνέπεια θα δώσει την ίδια λύση για τις δύο ρίζες. Ωστόσο και αυτή η µέθοδος επίλυσης καθίσταται δύσχρηστη για συστήµατα ανωτέρου βαθµού, όταν υπάρχουν περισσότερες από δύο µεταβλητές. Για να διερευνήσουµε άλλες µεθόδους επίλυσης αξίζει να γενικεύσουµε το σύστηµά µας σε ένα σύστηµα n γραµµικών εξισώσεων διαφορών πρώτου βαθµού. 2.5 Ένα Σύστηµα n Γραµµικών Εξισώσεων Διαφορών Πρώτου Βαθµού Ας θεωρήσουµε τώρα το ακόλουθο σύστηµα n γραµµικών εξισώσεων διαφορών πρώτου βαθµού. Τέτοια συστήµατα ανακύπτουν αρκετά συχνά στη δυναµική µακροοικονοµική. x, 0 + x, + 2 x 2, +!+ n x n, x 2, 20 + 2 x, + 22 x 2, +!+ 2n x n, (Π2.34) J8

J Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2... x n, n0 + n x, + n2 x 2, +!+ nn x n, Σε µορφή µήτρας, το σύστηµα (Π2.34) µπορεί να γραφεί ως, x, n x, 0 J!! "! (Π2.35)! +! x n, n # nn x n, 2 x n0 Ορίζοντας το διάνυσµα των x ως x, τη µήτρα των συντελεστών ως A, και το διάνυσµα των σταθερών ως 0, το σύστηµα µπορεί να γραφεί ως, J x Ax 0 (Π2.35 ) Εάν i0 για i στο σύστηµα (Π2.35), οι n εξισώσεις είναι ανεξάρτητες, και το σύστηµα µπορεί να λυθεί ως n ανεξάρτητες πρωτοβάθµιες εξισώσεις διαφορών, µε λύσεις, J x i, i0 + x i,0 i0 (Π2.36) ii ii ( ii ) όπου xi,0 είναι µία συνοριακή τιµή για το xi. Κατά συνέπεια, αν µπορούσαµε να µετατρέψουµε το σύστηµα σε ένα σύστηµα µε µία διαγώνιο µήτρα συντελεστών, θα µπορούσαµε να επιλύσουµε το σύστηµα αυτό µε ευκολία. Το ερώτηµα που προκύπτει είναι πως µπορούµε να µετατρέψουµε το σύστηµα αυτό σε ένα σύστηµα µε µία διαγώνιο µήτρα συντελεστών. Γνωρίζουµε από τις ιδιότητες των µητρών ότι η µήτρα των συντελεστών A µπορεί να εκφραστεί ως, J A PJP (Π2.37) όπου J είναι µία διαγώνιος µήτρα, µε τις ιδιοτιµές της A στη διαγώνιο, και P είναι µία µήτρα που αποτελείται από τα αντίστοιχα (δεξιά) ιδιο-διανύσµατα. Η (Π2.37) συνεπάγεται ότι, J AP PJ (Π2.38) Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αυτές τις ιδιότητες ώστε να εκφράσουµε το σύστηµα (Π2.35 ) ως, J x Ax 0 PJP x 0 (Π2.39) Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της f (Π2.39) µε το P -, λαµβάνουµε, J P x JP x P 0 (Π2.36) J9

Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Ορίζοντας ένα νέο διάνυσµα µεταβλητών XP - x, και ένα νέο διάνυσµα σταθερών A0P - 0, µπορούµε να εκφράσουµε την (Π2.36), ως, J X JX A 0 (Π2.37) Κατά συνέπεια, χρησιµοποιώντας τη µήτρα των ιδιοδιανυσµάτων της αρχικής µήτρας των συντελεστών A, προκειµένου να ορίσουµε νέες µεταβλητές και νέες σταθερές, µπορούµε να µετατρέψουµε το αρχικό αλληλεξαρτώµενο σύστηµα των εξισώσεων διαφορών σε ένα σύστηµα ανεξάρτητων εξισώσεων διαφορών σε διαφορετικά ορισµένες µεταβλητές, όπως και στην περίπτωση των διαφορικών εξισώσεων. Το ανεξάρτητο σύστηµα µπορεί να επιλυθεί για κάθε µία από τις διαφορετικά ορισµένες µεταβλητές στο διάνυσµα X. Κατόπιν, µπορούµε να βρούµε τη λύση για τις αρχικές µεταβλητές χρησιµοποιώντας την αντίστροφη µετατροπή, J x PX (Π2.38). Κατά συνέπεια, κάνοντας χρήση της διαγώνιας µήτρας των ιδιοτιµών της A και της µήτρας των αντίστοιχων (δεξιών) ιδιοδιανυσµάτων, µπορούµε να επιλύσουµε το σύστηµα των n αλληλεξαρτόµενων εξισώσεων διαφορών πρώτου βαθµού (Π2.34). Η µέθοδος επίλυσης είναι αντίστοιχη της µεθόδου για ένα σύστηµα n γραµµικών διαφορικών εξισώσεων πρώτου βαθµού. J0