ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν γ δ ελεγχθεί ν ένς τετργωνικός πίνκς ντιστρέφετι Έστω πίνκς στοιχείο [ ] Ορίζουσ πρώτης τάξεως Α= Ο πργµτικός ριθµός ονοµάζετι ορίζουσ του πίνκ Α Συµβολικά είνι Α = = Επειδή ο πίνκς Α είνι διστάσεων, η ορίζουσ του ονοµάζετι ης τάξεως Έστω πίνκς ή Det( Α ) Ορίζουσ δευτέρς τάξεως Α Χ = Εξ ορισµού, ο πργµτικός ριθµός D Α ονοµάζετι ορίζουσ του πίνκ Α κι συµβολίζετι ως Αή ( ) ηλδή Α = = Όπως γι τον πίνκ έτσι κι γι την ορίζουσ λέµε ότι έχει δυο γρµµές κι δυο στήλες Συνεπώς η ορίζουσ λέγετι ης τάξεως Εφρµογή Έστω πίνκς Α Χ = 4 Ισχύει ότι Α = = 4 = 4 6= 4 Έστω πίνκς Ορίζουσ τρίτης τάξεως Α Χ = Εξ ορισµού, ο πργµτικός ριθµός + ονοµάζετι ορίζουσ του πίνκ Α Επειδή ο πίνκς είνι διστάσεων, η ορίζουσ λέγετι ης τάξεως ηλδή Α = = + Ανάπτυγµ ορίζουσς ης τάξεως
Έστω πίνκς Α Χ = Η ορίζουσ του είνι Α = Ανάπτυγµ της ορίζουσς σύµφων µε τ στοιχεί της ης γρµµής + + + Α = = ( ) + ( ) + ( ) Ανάπτυγµ της ορίζουσς σύµφων µε τ στοιχεί της ης γρµµής + + + Α = = ( ) + ( ) + ( ) Ανάπτυγµ της ορίζουσς σύµφων µε τ στοιχεί της ης γρµµής + + + Α = = ( ) + ( ) + ( ) Ανάπτυγµ της ορίζουσς σύµφων µε τ στοιχεί της ης στήλης + + + Α = = ( ) + ( ) + ( ) Ανάπτυγµ της ορίζουσς σύµφων µε τ στοιχεί της ης στήλης Α = = ( ) + + ( ) + + ( ) + Ανάπτυγµ της ορίζουσς σύµφων µε τ στοιχεί της ης στήλης + + + Α = = ( ) + ( ) + ( ) Κνόνς του Sarrus Πρόκειτι γι µνηµονικό κνόν που εφρµόζετι µόνο γι το νάπτυγµ ορίζουσς τρίτης τάξεως Α = = + + + + + + Ιδιότητες των οριζουσών Η ορίζουσ δε µετβάλλετι ν πάροµε το νάπτυγµ της κτά τ στοιχεί µίς οποισδήποτε γρµµής (ή στήλης) της
Ότν όλ τ στοιχεί µίς οποισδήποτε γρµµής (ή στήλης) είνι µηδέν, τότε η ορίζουσ ισούτι µε τον ριθµό µηδέν = 4 = 4 = = 4 = 4 = = = 4 6 7 8 9 = 7 8 9 = 4 6 = 6 8 9 = 4 6 7 9 = 4 = 7 8 Ότν τ ντίστοιχ στοιχεί δυο γρµµών (ή στηλών) είνι ίσ ή νάλογ, τότε η ορίζουσ ισούτι µε τον ριθµό µηδέν = = = = = = = 7 8 7 8 9 = 4 4 = 6 Η ορίζουσ των διγωνίων πινάκων ισούτι µε το γινόµενο των στοιχείων της κύρις διγωνίου τους Η σχετική πόδειξη γίνετι µε χρήση της επγωγικής µεθόδου = = 6 = ( ) = 6 Γι κάθε τετργωνικό ν ν πίνκ ισχύει ότι Τ Α = Α ηλδή η ορίζουσ κάθε τετργωνικού πίνκ ισούτι µε την ορίζουσ του νάστροφου του Αυτό σηµίνει ότι η ορίζουσ δε µετβάλλετι, ν οι γρµµές της γίνουν στήλες µε την ίδι διάτξη Γι ν = ισχύει ότι a a a a = a a a a = a a a a
Εφρµογή Έστω πίνκς Α Χ = 4 Ισχύει ότι Α = = 4 = 4 6= 4 Τ Τ Είνι Α = 4 κι Α = = 4 6= 4 Γι ν = ισχύει ότι = + + + = Γι κάθε τριγωνικό άνω (ή κάτω) πίνκ ισχύει ότι Α = νν, δηλδή η ορίζουσ του ισούτι µε το γινόµενο των στοιχείων της κύρις διγωνίου υτού Αν σε µί ορίζουσ ενλλάξοµε τη θέση δυο γρµµών (ή στηλών) τότε η ορίζουσ λλάζει πρόσηµο Πράγµτι έστω η ορίζουσ β δ βγ γ δ = Με ενλλγή της θέσεως των δυο γρµµών, προκύπτει ότι Με ενλλγή της θέσεως των δυο στηλών, προκύπτει ότι δ ε ζ β γ γ δ βγ δ a β =, β βγ δ δ γ = Αν δ ε ζ =, τότε ενλλάσσοντς τη θέση των γρµµών προκύπτει ότι: η θ κ β γ =, η θ κ =, η θ κ = η θ κ β γ δ ε ζ β γ β γ δ ε ζ Οµοίως ν δ ε ζ =, τότε ενλλάσσοντς τη θέση των στηλών προκύπτει ότι: β γ η θ κ ε δ ζ =, ζ ε δ =, δ ζ ε =, ε ζ δ = θ η κ γ β κ θ η γ β η κ θ β γ θ κ η
Αν πολλπλσιάσοµε τ στοιχεί µίς γρµµής (ή στήλης) µίς ορίζουσς µε τον ριθµό k, τότε η ορίζουσ πολλπλσιάζετι µε το k ka kβ a β ka β a β ka kβ a β a β = k, = k, = k = k γ δ γ δ kγ δ γ δ kγ kδ kγ kδ γ δ k β γ β γ kδ ε ζ = 6k δ ε ζ, kη θ λ η θ λ k kβ kγ β γ kδ kε kζ = k kη kθ kλ η θ λ δ ε ζ Γι κάθε τετργωνικό ν ν πίνκ Ακι λ R ισχύει ότι λ λ ν Α = Α ν λ λ λ ν ν Πράγµτι ν λ λ λ ν Α= τότε λα= οπότε : : : : : : : : ν ν νν λν λν λνν λ λ λ ν ν λ λ λ Α = = = Α : : : : : : : : ν ν ν ν λ λ λ λ λ λ ν ν νν ν ν νν Αν κάθε στοιχείο µίς γρµµής (ή στήλης) µίς ορίζουσς είνι άθροισµ δυο προσθετέων, τότε η ορίζουσ νάγετι σε άθροισµ δυο οριζουσών = + + 4+ y 4 y Αν στ στοιχεί µίς γρµµής (ή στήλης) µίς ορίζουσς προσθέσοµε τ ντίστοιχ στοιχεί µίς άλλης γρµµής (ή στήλης) πολλπλσισµέν µε ένν ριθµό k, η ορίζουσ δε µετβάλλετι a β a β a β a β a β a+ β β =, =, = γ δ γ + a δ + β γ δ γ 4a δ 4β γ δ γ + δ δ Αν Α, Β είνι πίνκες τότε ισχύει ότι ΑΒ = Α Β Αποδεικνύετι ότι η ισότητ ΑΒ = Α Βισχύει γενικά γι πίνκες ν ν Αν Α=Β προκύπτει ότι Α = Α Γενικότερ k k Α = Α, Α = Α Κάθε τετργωνικός ν ν πίνκς µε περισσότερ πό ν ν µηδενικά στοιχεί έχει ορίζουσ ίση µε µηδέν Απόδειξη Αν η κάθε γρµµή του πίνκ έχει το πολύ ν µηδενικά στοιχεί, τότε οι ν ν ν = ν ν µηδενικά στοιχεί γρµµές, δηλδή ο πίνκς, έχει το πολύ ( )
ν Αν γι τον τετργωνικό ν νπίνκ Αισχύει ότι Α =, τότε Α = Το νάπτυγµ κάθε ορίζουσς ν τάξεως είνι άθροισµ ν! όρων Αν Α, Β τετργωνικοί πίνκες, το άθροισµ των στοιχείων της κύρις διγωνίου του πίνκ ΑΒ είνι ίσο µε το άθροισµ των στοιχείων της κύρις διγωνίου του πίνκ ΒΑ Εφρµογή Αν Α =, κι Α, είνι λ λ λ Α = Α =, Α =, Α = Α = = 9, λ Α = Α = Α = λ λ λ Άσκηση Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, ν λυθεί η εξίσωση + + + + + = = = = ( ) ( ) ( ) Α = Α = = 7, + = + = + = = + = η = ( ΙΠΛΗ ΛΥΣΗ) Άσκηση ( )( ) Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, ν λυθεί η εξίσωση ( ) = = = = + = = = + ( ) ( ) ( )
= + = η = ( ΙΠΛΗ ΛΥΣΗ ) Άσκηση ( )( ) Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, ν λυθεί η εξίσωση = = = = = ( ) ( )( ) = = = = ( ) a= η = η = Άσκηση 4,49 Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, υπολογίστε την ορίζουσ 6 4,49 6 + 4 = ( ) = = 6 Άσκηση β+ Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, δείξτε ότι β + = + β β+ + β+ β+ β+ ( ) ( ) β + = + β+ + = + β + + = + β+ = + β + β+ + β + β Άσκηση 6 Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, δείξτε ότι + y + + y y + y + + y = y + y + + y y
+ y + + y + + y y + + y + y + + y = + + y + y + + y = + y + + y + + y y + + y + y + y y + + y + + y + y + y + y y + y + + y = + + y y y + + y + y + y + + y = y y + + y y y + y y + y y + y + y + y + y = y y + y y + y y y y y y + y y + y + y y + y + y = y y y y y + y y y y y y y y y + y + y + y y = y + y = y y y y y y y y y y y + y = y y y y Άσκηση 7 Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, ν λυθεί η εξίσωση = 6 = = = 6 6 6
6 = = 6 ( ) = 6 η 6 = = = 64 = Ν υπολογίσετε την ορίζουσ Άσκηση 8 4 6 7 8 9 ( ) 4 6 = 6 = = = 6 = 8 = 7 8 9 7 8 9 7 8 9 6 Άσκηση 9 Αν Α Χ, Β Χ, ν βρεθεί ο πίνκς ΑΒ κι ν δειχθεί ότι δεν ντιστρέφετι Έστω Α= κι Β= ( β β β) β β β Είνι ΑΒ= ( β β β) = β β β β β β Είνι ΑΒ = διότι τ στοιχεί δυο γρµµών είνι νάλογ Άσκηση Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, ν δειχθεί ότι βγ β β = γ β β γ γ β γ γ Αν = ή β = ή γ = προφνώς ισχύει Αν βγ, πολλπλσιάζοντς την ορίζουσ επί βγκι τυτόχρον διιρώντς την πρώτη γρµµή µε το, τη δεύτερη γρµµή µε το β κι την τρίτη γρµµή µε το γ προκύπτει: βγ βγ βγ β β = βγ β β = β β = γ β β β β γ γ β γ γ βγ γ γ γ γ γ γ
Πρότση Αν Α, Β τετργωνικοί ν νπίνκες, τότε ΑΒ= I ν κι µόνο ν ΒΑ= I, όπου Iο µονδιίος ν νπίνκς Από την πρότση υτή προκύπτει ότι ν γι τους τετργωνικούς ν ν πίνκες Α, Β ισχύει ότι ΑΒ= Iυτό είνι ρκετό (δεν χρειάζετι κι το ΒΑ= I ) γι ν συµπεράνοµε ότι οι πίνκες Α, Βείνι ντιστρέψιµοι κι ότι ο ένς είνι ντίστροφος του άλλου Άσκηση Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, ν υπολογισθεί η τιµή της ορίζουσς 4 = 4 = 4 = 4 = 6 = 4 = 6 = 6 = 6 = Άσκηση Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, ν υπολογισθεί η τιµή της + + 4 + + 4 4 y y+ y+ 4 = 4 = 4 = Άσκηση Με χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών, ν υπολογισθεί η τιµή της + = = = β + β + β β + + 4 y y+ y+ 4 + + β