ιακριτός Μετασχηµατισµός

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -6- ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier DFT (Discrete Fourier Transform) 5. Ορισµός O διακριτός µετασχηµατισµός Fourier DFT, µίας ακολουθίας σηµείων ορίζεται ως εξής: X() = DFT [x(n)] = n= x(n) και ο αντίστροφος µετασχηµατισµός (Ιnverse DFT) : x(n) = IDFT [X()] = = X() n n n (5.) (5.) όπου: π j = e και ονοµάζεται twiddle factor H σειρά x(n) έχει το ίδιο µε τον DFT µήκος (=Ν). Οπως θα δούµε σε επόµενη παράγραφο αυτό άν και είναι καθιερωµενο δεν είναι υποχρεωτικό και σχετίζεται δε µε την διακριτότητα στην ανάλυση ( resolution) που µπορεί να δώσει ο DFT. 5.. Ο DFT σε µορφή πίνακα O DFT όπως ορίσθηκε στη (5.) µπορεί να παρασταθεί σε µορφή πίνακα όπως φαίνεται στις παρακάτω σχέσεις (5.) και (5.) X = D x (5.) x = DX (5.) Στις σχέσεις αυτές είναι: X=[X() X()...X(-)] T, δηλ. οι Ν (φασµατικοί) συντελεστές του DFT x=[x() x()... x(-)] T τα Ν δείγµατα του σήµατος εισόδου και D ο εξής πίνακας:

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -6- D =.... Ο πίνακας D είναι συµµετρικός................ ( ) Παράδειγµα 5. D = = (5.5) jπ / e Εάν θέλουµε να βρούµε τον DFT σηµείων x,x έχουµε: X X = D x x = x x x = x + x x (5.6) Αξίζει να παρατηρήσουµε τo αποτέλεσµα αυτό για τον DFT -σηµείων. Οπως φαίνεται είναι το αθροισµα και η διαφορά των σηµείων x i. Αυτό αποτελεί το βασικό σηµείο του αλγορίθµου υπολογισµού του DFT γνωστού ως FFT. Οµοίως για τον DFT σηµείων έχουµε D = j j = (5.7) 6 6 9 j j Στην εύρεση των πινάκων αυτών εµφανίζονται οι διάφορες δυνάµεις του παράγοντα φάσης - twiddle factor π j = e. Θα δούµε στη συνέχεια ότι Ν- τιµές είναι αρκετές για τον υπολογισµό όλων των δυνάµεων δηλ. ολων των στοιχείων του πίνακα D. 5. Παράγοντας Φάσης -Twiddle Factor (TF) O TF είναι το βασικό στοιχείο σε όλους τους υπολογισµούς του DFT. Oπως είδαµε ορίζεται ως =e -jπ/ν. Επειδή είναι ένα σηµείου του επιπέδου-z, και ουσιαστικά του µοναδιαίου κύκλου ( z =), η περιγραφή του στο επίπεδο z δίνει περισσότερη και αµεσότερη πληροφορία για τις διάφορες τιµές του δηλ. τις τιµές n Η τιµή Ν καθορίζει την γωνία π/ν δηλ. την γωνία που βρίσκεται ο όρος! Oι όροι n έχουν µέτρο = και γωνία -πn/ν

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -6-! Eπίσης ισχύει πάντα = και εποµένως όλες οι δυνάµεις απλοποιούνται : = n ( n ) mod( ) πχ. = = j (βλέπε και D - παράδειγµα 5. ) 9 =- = = j π/8 8 8 = j Σχήµα 5. Οι διάφορες τιµές του (TF) π j = e πάνω στο µοναδιαίο κύκλο (επίπεδο-z ) 5. Σχέση του DFT µε τον DTFT Συγκρίνοντας τη (.) µε την (5.) φαίνεται ότι ο DFT µπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από τον DTFT µε δειγµατοληψία. ηλ X( ) = X( ω ) (5.8) ω = Η σχέση αυτή µπορεί να θεωρηθεί και ως σχέση ορισµού του DFT (βλ. DSP by S.Mitra). H θεώρηση αυτή είναι σηµαντική διότι δίνει µία άλλη διάσταση στον DFT και επίσης εξηγεί διάφορες ιδιότητές του όπως θα δούµε και στη συνέχεια. Η έννοια της δειγµατοληψίας στο πεδίο του µετασχηµατισµού DTFT συνεπάγεται και την περιοδικότητα στο πεδίο του χρόνου. ηλ. όπως κάθε περιοδικό σήµα όταν δειγµατοληπτείται έχει φάσµα µε επανάληψη για κάθε πολλαπλάσιο της συχνότητας δειγµατοληψίας, έτσι και ο DFT σαν αποτέλεσµα δειγµατοληψίας του DTFT περιµένουµε να προέρχεται από αντίστοιχη διακριτή περιοδική σειρά. Πράγµατι η σειρά αυτή φέρεται µε π

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -6- την ονοµασία ιακριτή Σειρά Fourier- Discrete Fourier Series (DFS). Ο DFT -σε συµφωνία µε όλους τους προηγούµενους ορισµούς- µπορεί να ορισθεί και ως µία περίοδος του DFS. Στο σχήµα 5. δεικνύεται η σχέση του DFT µε DTFT και DFS. x(n) X(ω) DTFT n# x(n) ω# X() DFS n# DFT # Σχήµα 5. Σχέση µεταξύ DFT, DTFT και DFS

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -6- παράδειγµα 5. (DFT-DTFT ), Για το σήµα x(n)=, n otherwise υπολογείστε: α)τον DTFT β) τον DFT α) Ο DTFT υπολογίζεται από την σχέση: X(e jω e = e ) = x(n)e jω jω jω n sin( ) = e sin( ω / ) = + e ω j ω jω + e jω + e jω β) Ο DFT ( σηµείων) Χ, δίνεται από την σχέση (βλ και παράδειγµα 5.): (5.9) X () = Αρα X () = + + + = X () = ( j) x(n) X () = X () = n = n, + ( j) + ( j) =,,,; + ( j) = e j π / = j = j + j = Σχήµα 5. Aριστερά ο DTFT και δεξιά ο DFT. Η διακεκοµµένη γραµµή δεικνύει τον DTFT

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -65-5. Αύξηση της πυκνότητος του φάσµατος µε DFT H έννοια του DFT ως αποτελεσµα της δειγµατοληψίας του DTFT θέτει το ερώτηµα πως θα αυξήσουµε την πυκνότητα ενός φάσµατος. Οπως είδαµε η δειγµατοληψία γίνεται σε κανονικά διαστήµατα του ω=π/ν. Η δειγµατοληψία αυτή όµως είναι ενδεχόµενο να µην δίνει τιµές για θεµελιώδη τµήµατα του DTFT. Ειναι χαρακτηριστική η περίπτωση του προηγουµενου παραδείγµατος που το φάσµα δειγµατοληπτείται µόνο στους µηδενισµούς της Χ(ω). Αυξηση της πυκνότητας γίνεται µε ελάττωση του βήµατος ω=π/ν δηλ µε αύξηση του Ν. Αυτό επιτυγχάνεται µε πρόσθεση στη ακολουθία µηδενικών (zero padding). Η "πράξη" αυτή δεν αλλάζει την απόκριση συχνότητας (DTFT) οπως φαίνεται και από την (.). παράδειγµα 5. (DFT- συνέχεια) θεωρούµε το σήµα x(n)={,,,,,,,} που είναι το ίδιο του παραδ. 5. µε πρόσθεση µηδενικών. Θα υπολογίσουµε τον DFT 8 σηµείων, Χ 8 (). Περιµένουµε να έχουµε σαν αποτέλεσµα και άλλα δείγµατα από τον DTFT, Χ(e jω ) Υπολογίζουµε: 7 X n 8 () = x(n), n = 8 Αρα =,,,... 7; X 8 () = + + + + + + + =...... j67.5o X 8 () =... =.6e = X 8 () = X 8 () = j.5o X 8 () =... =.8e = X 8 (7) X 8 (5) DTFT DFT. 5.5 Σχήµα 5. Αυξάνοντας µε µηδενικά την προηγούµενη (σχ.5.) ακολουθία, γίνεται δειγµατοληψία της Η(ω)- DTFT σε 8 σηµεία

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -66-5.5. Φάσµατα µεγάλης ανάλυσης Η προηγούµενη διαδικασία του zero-padding αυξάνει την πυκνότητα δειγµατοληψίας αλλα σε καµµία περίπτωση δεν µεταβάλλει το φάσµα Η(ω). Το φάσµα αυτό καθορίζεται για κάθε ω την στιγµή που είναι δίδονται τα σηµεία x(n). O DFT βρίσκει τις τιµές Η(ω) για τιµές του ω=π/ν και αύξηση του Ν αλλάζει τα σηµεία δειγµατοληψίας. Πως εποµένως θα αλλάξουµε (βελτιώσουµε) την διακριτότητα ανάλυσης (resolution)του φάσµατος ; Στο ερώτηµα αυτό η απάντηση δίδεται (xωρίς απόδειξη)απο την σχέση [] : ω π/l (5.) ω είναι η διαφορά που πρέπει να εχουν δύο συχνότητες ω και ω για να γίνουν αντιληπτές από τον DFT και L είναι ο αριθµός των σηµείων x(n). Η σχέση αυτή είναι η σχέση αβεβαιότητος µεταξύ συχνότητας και χρόνου και δηλώνει ότι αύξηση της διακριτότητας (δηλ. ελάττωση του ω) γίνεται µόνο µε αύξηση του αριθµού L των σηµείων του σήµατος. Παράδειγµα 5. ίνεται ένα σήµα που περιέχει τρείς συχνότητες f /f s =/, f /f s =.5/ και f /f s =/. x(n)=cos(π/n)+cos(π.5/ n)+cos(π/n). Tα αποτελέσµατα του DFT δεικνύονται στο σχήµα 5.5 για διάφορα L και Ν. L= Ν= L= Ν=6 L= Ν= L= Ν=6 Σχήµα 5.5. Στην πάνω γραµµή έχει αυξηθεί η πυκνότητα αλλα δύο µονο µέγιστα παρατηρούνται δηλ δεν υπάρχει βελτίωση της ανάλυσης (resolution) του Η(ω). Στη δεύτερη γραµµή λόγω αύξησης της ανάλυσης εµφανίζεται και το τρίτο µέγιστο.

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -67-5.6 Ιδιότητες του DFT Στις περισσότερες ιδιότητες του DFT υπεισέρχεται η έννοια της κυκλικής διαδικασίας. Αυτό οφείλεται στην περιοδικότητα του DFT και στη περιοδικότητα του IDFT. Χ(+)=X() Υπενθυµίζουµε επίσης τον ορισµό του DFT ως µία περίοδο του DFS ή ως δειγµατοληψία του DTFT στην βασική µπάντα έως π. Επίσης σε όλες τις περιπτώσεις υπολογισµού που υπεισέρχεται ο DFT ή ο IDFT, έχουµε Ν µόνο σηµεία. H κυκλική αυτή διαδικασία στούς διαφόρους υπολογισµούς σχηµατικά υλοποιείται µε δύο τρόπους:! µε την περιοδική επέκταση των Ν σηµείων του σήµατος (ή του DFT) ή! µε την τοποθέτηση των σηµείων σε ένα περιστρεφόµενο κύκλο Με την κυκλική διαδικασία σχετίζεται η πράξη modulo-. Ετσι µία ακολουθία σηµείων x(n), <n<- µπορεί να ορισθεί εκτός του διαστήµατος αυτού να γίνει δηλ. περιοδική, µε τον συµβολισµό x π (n)=x(n mod ) ή απλούστερα x π (n)=x((n)) Η πράξη n modulo- επιστρέφει το υπόλοιπο της διαίρεσης του n/, και εποµένως βρίσκεται πάντα µέσα στο διάστηµα έως Ν-. Θα δούµε στη συνέχεια τις ιδιότητες του DFT και επίσης ορισµό και χρήση της κυκλικής διαδικασίας. α) γραµµικότητα DFT[ax (n)+bx (n)] = adft[x (n)] +bdft[x (n)] Εάν οι ακολουθίες x (n) και x (n) έχουν διαφορετικό µήκος τότε ο DFT υπολογίζεται και για τις δύο ακολουθίες µε το µήκος της µεγαλυτέρας απο αυτές. β) κυκλική αντιστροφή (circular folding) Είναι αδύνατον µία ακολουθία Ν σηµείων να την αντιστρέψουµε µε τις κλασσικές έννοιες της αντιστροφής. Εκτός αυτού είναι και εσφαλµένη η χρήση της κλασσικής αντιστροφής στον DFT. Ορίζουµε την αντιστροφή στο χρόνο : x() εάν n = x(( n)) = (5.) x( n) εάν n - Τοτε ο DFT δίνεται: DFT[x(( n)) ] = X(( )) X() = X( ) εάν = (5.) εάν -

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -68- H κυκλική αντιστροφή που ορίστηκε στην (5.) σχηµατικά παριστάνεται στο παρακάτω σχήµα 5.6. Το x(n) "διπλώνεται" στην περιφέρεια σύµφωνα µε την φορά των δεικτών του ρολογιού ενώ το x(-n) 'τρέχει' στη αντίθετη φορά αρχίζοντας στο n=. Η σχέση (5.) συνεπάγεται άρτια συµµετρία για το πλάτος και περιττή για τη φάση. x(n) (α) x(-n) (β) 5 6 7 n 5 6 7 n (γ) - n n x(n) (δ) 5 6 7 n Σχήµα 5.6 α)η ακολουθία x(n) β)η x(-n) γ)στην περιφέρεια παριστάνεται η x(n) και η x(-n) σε αντίθετη φορά δ) Το ίδιο αποτέλεσµα έχουµε για την x(-n) αν ακολουθήσουµε την κλασσική έννοια της αντιστροφής αλλά σε περιοδική επέκταση του σήµατος

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -69- παράδειγµα 5.5 ίνεται η ακολουθία x(n)=(.8) n, n, α) Να υπολογισθεί η x((-n)) και β) να επιβεβαιωθεί η κυκλική ιδιότητα του DFT. Στο επόµενο σχήµα δεικνύονται οι x(n), x((-n)) και οι FFT{x(n)} και FFT{ x((-n)) } Σχήµα 5.7

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -7- γ) Συµµετρίες (για πραγµατικές σειρές) X()=X * X() εά ν = ((-)) = X( ) εά ν - Re[X()]=Re[X((-)) ] Im [X()]=-Im[X((-)) ] X() = X((-)) (5.) X()=- X((-)) Παρατηρήσεις:! Λόγω της συµµετρίας ο X() πρέπει να υπολογισθεί για τιµές του =,, / (για άρτιο) ή (-)/ (για Ν περιττό). Αυτό είναι απόλυτα λογικό διότι ο DFT Ν σηµείων είναι µιογαδικός αριθµός εποµένως έχει Ν τιµές. Επειδή όµως προέρχεται από Ν σηµεία x(n) πρέπει να έχει τους ίδιους βαθµούς ελευθερίας δηλαδή Ν.! Επειδή Χ()=Χ * ((-)) Ν =Χ * () # Χ() = πραγµατικός (Αποδεικνύεται εύκολα και απο τον ορισµό)! Εάν Ν=άρτιος τότε και ο Ν/ όρος είναι πραγµατικός: Χ(Ν/) =Χ * ((-Ν/)) Ν =Χ * (-Ν/) =X * (/) παράδειγµα 5.6» X=fft(x) Πραγµατικός Χ() x =. 8. 6. X =.6 9.6 -.6i 5.8657-5.985i 5..96.768.6.97.6777. δ) Κυκλική Μετατόπιση 5.59 -.89i 5.7 -.i.959 -.i 5.7 +.i 5.59 +.89i 5.8657 + 5.985i 9.6 +.6i Πραγµατικός Χ(5) Η έννοια της κυκλικής µετατόπισης εµφανίζεται στη διαδικασία της συνέλιξης σαν µία κυκλική διαδικασία. Στο ερώτηµα "Τι γίνεται όταν µια ακολουθία Ν σηµείων πρέπει να µετατοπισθεί" ακολουθούµε τα εξής βήµατα:

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -7- µετατρέπουµε την ακολουθία x(n) σε περιοδική x~ (n) = x((n)) µετατοπίζουµε κατά m δείγµατα : x~ (n m) = x((n m)) κρατάµε µία περίοδο x~ (n m)r R είναι ένα ορθογώνιο παράθυρο που έχει Ν µόνο µη µηδενικές τιµές (και =).! για τον DFT έχουµε: DFT[x((n-m)) R (n)]= m X() (5.) Παράδειγµα 5.7 ίνεται η ακολουθία x(n)=.8 n για n Να σχεδιασθεί η ακολουθία x((n+)) R δηλαδή µε κυκλική µετατόπιση σηµείων αριστερά (α) (β) (γ) (δ) x(n+) Σχήµα 5.8 α)αρχική ακολουθία x(n) σηµείων β) περιοδική επέκταση γ) µετατόπιση αριστερά κατα τέσσερα σηµεία δ)µετατροπή σε µία ακολουθία πάλι σηµείων ε) Κυκλική συνέλιξη Βασει της κυκλικής µετατόπισης η κυκλική συνέλιξη ορίζεται: x (n) x (n) = x (m)x ((n m)) m= n - (5.5)

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -7- Για τον DFT της κυκλικής συνέλιξης ισχύει η εξής βασική ιδιότητα: DFT[x (n) x (n)]=x () X () (5.6) παράδειγµα 5.8 x (n) ={,,} και x (n) ={,,,}. Να υπολογισθεί η κυκλ. συνέλιξη σηµείων : x (n) x (n) Αρχικά θεωρούµε x (m) ={,,,} και x (m) ={,,,}. Στο πεδίο του χρόνου: n=# m= x (m)x (-m) = {,,,} T {,,,}=5 n=# m= x (m)x ((-m)) = {,,,} T {,,,}= n=# =9 n=# = Αρα x (n) x (n) = {5,,9,} Στο πεδίο των συχνοτήτων (DFT) DFT{x (m)}= { 5, --j,, -+j} DFT{x (m)}= {, -+j, -, --j} X () X ()={5, 6+j, -, 6-j} IDFT{X () X ()} = x (n) x (n) ={5,, 9, } n= n= Σχήµα 5.9 Οι δύο εσωτερικοί κύκλοι περιστάνουν τις κυκλικές ακολουθίες x (n) και x (-n). Στον εξωτερικό κύκλο δεικνύεται η x (-n)

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -7- στ) Σχέση Parseval x = x(n) = X() n= = E (5.7) ζ)γραµµική συνέλιξη Στηριζόµενοι στην κυκλική συνέλιξη µπορούµε να υπολογίσουµε και την γραµµική συνέλιξη αφού επιφέρουµε µια τροποποίηση στον αριθµό Ν, ως εξής:! Εστω x (n) µια ακολουθία Ν σηµείων και x (n) µια ακολουθία Ν σηµείων. Η γραµµική συνέλιξη είναι x (n) = x (n) x (n) = x ) x ( n ) ( Η ακολουθία x (n) είναι µια ακολουθία Ν +Ν - σηµείων.! Εποµένως επιλέγοντας Ν= Ν +Ν - και για τις δύο ακολουθίες µπορούµε να υπολογίσουµε την κυκλική συνέλιξη: x (n) = x (n) x (n) = x (n) για n - παράδειγµα 5.9 Να υπολογισθεί η γραµµική και κυκλική συνέλιξη για τα σήµατα: x (n) ={,,,} και x (n) = {, -, -, } Με το Matlab εκτελούµε και λαµβάνουµε : x=[ ]; x=[ ]; x=conv(x,x) x= - Επιλέγωντας Ν=+-=7 και εκτελώντας κυκλική συνέλιξη λαµβάνουµε το ίδιο αποτέλεσµα

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -7-5.7 Ταχύς µετασχηµατισµός Fourier FFT (fast fourier transform) 5.7. Εισαγωγικά Ο DFT είναι ενας µετασχηµατισµός διακριτός στο χρόνο και στη συχνότητα και ορίζεται για µία πεπερασµένη ακολουθία σηµείων. Ο υπολογισµός του DFT βάσει του ορισµού του (5.) X() = DFT [x(n)] = n= x(n) n (5.8) απαιτεί για κάθε, Ν µιγαδικούς πολαπλασιασµούς και Ν- προσθέσεις. Εποµένως συνολικά για όλα τα απαιτούνται Ν µιγαδικοί πολλαπλασιασµοί και Ν(Ν-) προσθέσεις. ηλ. οι πράξεις για υπολογισµό του DFT είναι: C = o( ) (5.9) Απο την σχέση αυτή φαίνεται ότι για µεγάλα Ν οι πράξεις κάνουν τον υπολογισµό απαγορευτικό. Στο µειονέκτηµα αυτό δίνονται λύσεις για υλοποιησεις της (5. ή 5.8) που έχουν κύριο χαρακτηριστικό την µεγάλη ταχύτητα και που φέρονται µε την ονοµασία FFTs. Κοινό χαρακτηριστικό όλων αυτών των αλγορίθµων είναι ότι η υλοποίηση του DFT γίνεται µε διάσπαση των ακολουθιών σε µικρότερες οµάδες και υπολογισµό της συνολικής εξόδου απο συνδυασµό των επιµέρους (divide and combine ). Οι διαδικασίες αυτές βασίζονται σε δύο χαρακτηριστικές ιδιότητες του twiddle factor = e π j. της περιοδικότητας και. της συµµετρίας του: n+ / Oι δύο βασικοί FFT αλγόριθµοι είναι οι: = decimation in time (DIT-FFT) και decimation in frequency (DIF-FFT). Θα δούµε στη συνέχεια ένα παράδειγµα υπολογισµού του FFT που θα διαφανούν οι παραπάνω ιδέες. Παράδειγµα 5. Ας υπολογίσουµε τον DFT για σηµεία: X () = n= Σε µορφή πινάκων: X() X() = X() X() n n x(n) = j 6 x() x() 6 x() 9 x() Οπως φαίνεται απαιτούνται 6 πολλαπλασιασµοί..

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -75- Υπολογίζωντας τις τιµές του twiddle factor έχουµε: X() X() = X() X() j j x() j x() x() j x() Εάν αναδιατάξουµε και οµαδοποιήσουµε τις παραπάνω πράξεις έχουµε: X()=x()+x()+x()+x() =[x()+x()] + [x()+x()] X()=x()-jx()-x()+jx() =[x()-x()] j[x()-x()] X()=......... =[x()+x()] [x()+x()] X()=... =[x()-x()] + j[x()-x()] Αρα ένας ταχύς αλγόριθµος υλοποιεί τον παραπάνω DFT στα εξής δύο βήµατα: g=x()+x() g=x()+x() h=x()-x() o Βήµα h=x()-x() X()=g+g X()=h-jh X()=g-g ο Βήµα X()=h+jh Παρατήρηση: Ο DFT σηµείων έχει υλοποιηθεί µε δύο DFT σηµείων. Οι πράξεις έχουν µειωθεί σε + =8 αντί =6 x() g X() x() - h -j X() x() g - X() x() - h j X() Σχήµα 5. ιαγραµµα του αλγορίθµου (παραδειγµα 5.)

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -76-5.7. Μέθοδος διάσπασης και συνδυασµού (divide and combine) Με την µέθοδο αυτή χωρίζουµε την ακολουθία x(n) που έχει Ν σηµεία σε M µικρότερες ακολουθίες µήκους L ώστε Ν= LΜ. Το σκεπτικό είναι να υπολογίσουµε M το πλήθος DFTs µήκους L και εξ αυτών να υπολογίσουµε µε συνδυασµό τους Ν το πλήθος DFTs. Πράγµατι αυτή η διαδικασία συνεπάγεται την µείωση των πράξεων υπολογισµού του DFT. Στο πνεύµα αυτής της διαδικασίας η µεγίστη µείωση των πράξεων επιτυγχάνεται όταν η διάσπαση συνεχισθεί µέχρι το όριο οπου οι υπο-µετασχηµατισµοί DFT αναφέρονται σε δύο τιµές. Για να συµβεί αυτό πρέπει το πλήθος των σηµείων Ν να είναι µία δύναµη του : = ν. Ο αλγόριθµος αυτός ονοµάζεται radix- FFT. 5.7. radix- FFT Η µέθοδος αυτή βασίζεται στη διάσπαση της ακολουθίας των Ν σηµείων σε υποακολουθίες που αντιστοιχούν στούς άρτιους και περιττούς όρους. g(n) = x(n) n (5.) h(n) = x(n + ) Εστω G() και H() oι DFT για τα Ν/ σηµεία αντίστοιχα της άρτιας και περιττής υποακολουθίας g(n) και h(n). Τότε G() = H() = / n / n / g(n) = =,,... (5.) n h(n) n= / X() = G() + H() (5.) Aυτός είναι ο τύπος συγκερασµού (merging formula) όπου µε συνδυασµό DFTs Ν/ σηµείων υπολογίζεται ο DFT Ν σηµείων. Στη διαδικασία αυτή οι πράξεις είναι o(ν /). Το σηµαντικό στη διαδιακασία αυτή είναι ότι µπορεί να συνεχισθεί ώστε τελικά να υπολογίζεται o DFT σηµείων ή ενός σηµείου. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται decimation in-time FFT (DIT-FFT) και ο συνολικός αριθµός των πράξεων στη περίπτωση αυτή είναι C =ν=νlog (5.) Εάν διαχωρίσουµε τον δείκτη : /- και Ν/ - τότε η σχέση (5.) µπορεί να απλοποιηθεί ενα βήµα ακόµη ως εξής:

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -77- Αρχικά X() = G() + H() X( + / ) = G( + / ) + + / H( + / ) =,,... (5.) Λόγω της περιοδικότητας των G, H G(+/)=G() και H(+/)=H() Επίσης λόγω της περιοδικότητας του Twiddle factor εχουµε: / = Τελικά η (5.) γίνεται : X() = G() + H() X( + / ) = G() H() =,,... (5.) Oι σχέσεις αυτές περιγράφουν τις σχέσεις συγκερασµού και δεικνύονται γραφικά στο σχήµα 5.. H σχέση αυτή µε απλά λόγια δηλώνει ότι οι Ν συντελεστές Χ() του DFT υπολογίζονται σε ζευγάρια όπου χρησιµοποιούνται οι DFTs G() και H() της προηγούµενης /-DFT -DFT / G Χ() + X / H _ Χ(+/) Σχήµα 5. Υπολογισµός του FFT µε διαδικασία Butterfly. Oι Ν/ "πάνω" συντελεστές Χ() υπολογίζονται από τους / G() και Ν/ Η() µε πρόσθεση, ενώ οι Ν/ "κάτω" συντελεστές µε αφαίρεση. βαθµίδας (/ σηµεία) µε µία πρόσθεση και µία αφαίρεση. Λόγω του χαρακτηριστικού αυτού σχήµατος (που συµβολικά παριστάνει την "πεταλούδα") χρησιµοποιείται για την παραπάνω δοµή η ονοµασία "butterfly". Aν σαν παράδειγµα θεωρήσουµε την περιπτωση Ν= έχουµε σε µορφή πίνακα τις σχέσεις: [ X ] = [ G ] + [ H ] = [ G ] + [ H ] [ X ] = [ G ] [ H ] = [ G ] [ H ] Ενώ αντίστοιχα για Ν= όπου =-j και όπου εµφανίζονται οι όροι και έχουµε: (5.5)

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -78- X X X X G = G G = G H + H H H G = G G = G + H jh H jh (5.6) Αναδιάταξη (shuffling) Όπως συµπεραίνεται από τα παραπάνω, ο DFT Ν σηµείων δηλ. Χ() =, -, θα υπολογισθεί από τις σχέσεις συγκερασµού (5.) δηλαδή από DFTs / σηµείων οι οποίοι θα έχουν υπολογισθεί αντίστοιχα από DFTs / ζηµείων κ.οκ µέχρι τελικά να έχουµε υπολογισµό DFT σηµείων που δεν είναι τίποτε άλλο από το άθροισµα και την διαφορά των σηµείων αυτών. Ουσιαστικά η διαδικασία υπολογισµού του DFT (FFT) αρχίζει από την οµαδοποίηση σε "δυάδες" των σηµείων x i. H διαδοχική οµαδοποίηση των αρχικών σηµείων σε άρτια και περιττά, δηµιουργεί µία ανάµιξη ή καλύτερα αναδιάταξη των σηµείων (shuffling) -µέχρι να καταλήξουµε σε δυάδεςοπότε θα αρχίσει η αντίστροφη διαδικασία δηλ. ο υπολογισµός των DFTs µε τις σχέσεις συγκερασµού (5.). Στο σχήµα 5. δεικνύεται γραφικά η διαδικασία αναδιάταξης και συγκερασµού όπου από τα 8 αρχικά σηµεία x o, x, x 7 προκύπτουν τελικά οι Χ o, X, X 7 συντελεστές DFT. x o x o x o A o G o X o x x x x x x A B o G G X X x x 6 x 6 B G X x x x C o H o 8 X x 5 x x 6 C H 8 X 5 x 6 x 5 x D o H 8 X 6 x 7 x 7 x 7 D H 8 X 7 Σχήµα 5. Tα 8 αρχικά σηµεία οµαδοποιούνται σε τετράδες στη συνεχεία σε "δυάδες". Από το σηµείο αυτό αρχίζει ο υπολογισµός τoυ DFT, των, και 8 τελικά σηµείων που είναι και ο ζητούµενος.

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -79- H διαδικασία αναδιάταξης µπορεί εύκολα να γίνει σε ένα στάδιο αν δούµε σε δυαδική µορφή τους δείκτες των αρχικών και των τελικών x i. Όπως εύκολα δεικνύεται : Οι δείκτες i στο τελικό στάδιο της αναδιάταξης προκύπτουν από την τιµή που έχουν αρχικά µε αντιστροφή της σειράς των (δυαδικών) ψηφίων. Ετσι ο δείκτης που παριστάνεται σε δυαδική µορφή ως, θα γίνει δηλ. 6 και εποµένως στην αντίστοιχη θέση του x θα βρεθεί το σηµείο x 6. o Αρα αναδιάταξη (suffling) αντιστοιχεί σε δυαδική αντιστροφή των ψηφίων (bit reversal) x o x o x o x x x x x x x x 6 x 6 x x x x 5 x x 6 x 6 x 5 x x 7 x 7 x 7 Σχήµα 5. "Αναδιάταξη"των 8 σηµείων µε "διαδική" αντιστροφή 8 - - - 5 5 5+j - 5+j+j -+6j - -j 5-j 5-j+j - - - -5 - - - - -+j (-j)/ 5+j-j - - -j -6 --j -j -(-j)/ --6j 5-j-j Σχήµα 5. Ένα παράδειγµα υπολογισµού FFT 8 σηµείων

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -8-5.8 Ταχεία συνέλιξη (Fast Convolution) Η ιδιαίτερη αξία του FFT έγκειται στην χρησιµοποίησή του για την εύρεση αποκρίσεων σε ψηφιακά συστήµατα. Ετσι αντί να γίνεται συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης h(n) ενός συστήµατος µε το σήµα εισόδου x(n) για να βρεθεί η έξοδος y(n) χρησιµοποιείται ο FFT και ο ΙFFT. H διαδικασία αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιµη σε φιλτράρισµα σηµάτων µεγάλου µήκους. Η συνολική διαδικασία φιλτραρίσµατος µε FFT περιλαµβάνει o την εύρεση των δύο FFTs δηλ. της κρουστικής απόκρισης h(n) και του σήµατος εισόδου x(n) o την εύρεση του γινοµένου των δύο FFTs. o την αντιστροφή του γινοµένου Η συνολική αυτή διαδικασία έχει την ονοµασία ταχεία συνέλιξη (fast convolution) και παριστάνεται σχηµατικά στο σχήµα 5.5. x(n) h(n) FFT FFT Πολλαπλα σιασµός Αντιστροφή FFT y(n) Σχήµα 5.5 Ταχεία συνέλιξη (Fast Convolution) o Στην παραπάνω διαδικασία πρέπει να ληφθούν υπόψη τα εξής σηµεία που συνδέονται µε τον FFT. H διαδικασίες που συνδέονται µε FFT είναι κυκλικές διαδικασίες. Εποµένως και η υπολογιζόµενη συνέλιξη είναι κυκλική συνέλιξη που είναι βέβαια περιοδική. Η ζητούµενη όµως συνέλιξη στην επεξεργασία των ψηφιακών σηµάτων είναι η γραµµική µη περιοδική συνέλιξη. Για να επιτύχουµε το σωστό αποτέλεσµα µε FFTs πρέπει να πάρουµε µία περίοδο από την κυκλική συνέλιξη. Πέρα όµως από αυτό για να είναι σωστός ο υπολογισµός θα πρέπει να προσθέσουµε ένα αριθµό µηδενικών στα δύο σήµατα (zero filling). Ο αριθµός αυτός υπολογιζεται από το συνολικό µήκος που πρέπει να εχει η συνέλιξη δηλαδή Ν +Ν - όπου Ν και Ν το µήκος των δύο σηµάτων.

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -8- x(n) h(n) 6 y(n) 8 H() X() 7 7 H() X() 7 Σχήµα 5.6 Συνέλιξη του x(n) και του h(n), Γραµµική και µέσω FFT.

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -8-5.9 Κατάτµηση σήµατος (Signal segmentation) Στη διαδικασία ψηφιακής επεξεργασίας (φιλτράρισµα) µε τον FFT (κυκλική συνέλιξη κλπ) το σήµα εισόδου x(n) και η κρουστική απόκριση h(n) πρέπει να έχουν το ίδιο µήκος. Επειδή αυτό δεν συµβαίνει συνήθως συµπληρώνουµε τον ιδιο αριθµό σηµείων µε πρόσθεση µηδενικών (zero filling) στο µικρότερο σήµα ή και στα δυο για να έχουµε αριθµό σηµείων Κ (και να είναι εφαρµόσιµη η διαδικασία FFT). Στη πράξη όµως αυτό δεν είναι πάντα εφαρµόσιµο διότι συνήθως το σήµα εισόδου είναι πολύ µεγάλο και εποµένως η εφαρµογή του FFT καθίσταται ουσιαστικά αδύνατη. Για τον λόγο αυτό η διαδικασία της συνέλιξης µέσω FFT γίνεται µε κατάτµηση του σήµατος (σε blocs ) µε δύο µεθόδους : επικάλυψη - πρόσθεση και επικάλυψη αποθήκευση. 5.9. Μέθοδος επικάλυψης πρόσθεσης (overlap and add) Στη µέθοδο αυτή το σήµα x(n) χωρίζεται σε µη επικαλυπτόµενα τµήµατα x, x,x κλπ.στη συνέχεια κάθε τµήµα συνελίσεται µε το σήµα h(n) διαδοχικά και ανεξάρτητα. Η κάθε επιµέρους συνέλιξη επικαλύπτεται µε τις γειτονικές κατά ένα αριθµό σηµείων. Η συνολική έξοδος συνέλιξη ευρίσκεται σαν το άθροισµα των επιµέρους συνελίξεων. Στο σχήµα 5.7 δεικνύεται η διαδικασία αυτή για σηµα εισόδου x(n) που διασπάται σε τµήµατα των 5 σηµείων και συνελίσεται µε το σήµα h(n) που έχει σηµεία. Εποµένως η κάθε επιµέρους συνέλιξη έχει µήκος 5+- και συνεπώς απαιτείται µήκος FFT 8 σηµείων. 5.9. Μέθοδος επικάλυψης αποθήκευσης (overlap and save ή select and save) Στην µέθοδο αυτή το σήµα x(n) χωρίζεται σε επικαλυπτόµενα τµήµατα. Η επικάλυψη έχει το µήκος Ν του h(n) (Ν-). Γίνονται όπως και προηγουµένως οι επιµέρους συνελίξεις. Το τελικό αποτέλεσµα της γραµµικής συνέλιξης υπολογίζεται από το άθροισµα των επι µέρους συνελίξεων αφού πρώτα µηδενιστούν τα Ν- σηµεία κάθε επι µέρους συνέλιξης. Στο σχήµα 5.8 δεικνύεται η διαδικασία αυτή για τα ιδια σήµατα x(n) και h(n) του παραδείγµατος 5.7.

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -8- x(n) h(n) y y y y(n) Σχήµα 5.7 Συνέλιξη µε την µέθοδο επικάλυψης-πρόσθεσης

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -8- x(n) h(n) y y y y(n) Σχήµα 5.8 Συνέλιξη µε την µέθοδο επικάλυψης-αποθήκευσης.η επικάλυψη είναι σηµεία. Τα πρώτα δείγµατα σε κάθε επι µέρους συνέλιξη απορρίπτονται.

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -85-5. Αλγόριθµος Goertzel Ο αλγόριθµος Goertzel είναι µία µέθοδος υπολογισµού του FFT µε διαδικασίες φιλτραρίσµατος. Μία βασική εφαρµογή της µεθόδου αυτή είναι στην ανίχνευση DTMF σηµάτων. Η µεθοδος περιγράφεται ως εξής:. Η περιοδικότητα των παραγόντων φάσης { } του DFT επιτρέπει να εκφραστεί ο DFT σαν µια διαδικασία φιλτραρίσµατος όπου µπορούν να χρησιµοποιηθούν και επαναληπτικές µέθοδοι (εξισώσεις διαφορών) Ένας DFT σηµείων ορίζεται ως: X m ( ) = x( m) = x( m) m= Καθώς = η εξίσωση (5.7) µπορεί να γραφεί και ως: X m= e π j m m ( ) = x( m) = x( m) m= m= e π ( m) j (5.7) (5.8) Η τελευταία εξίσωση µπορεί να ειδωθεί και σαν η συνέλιξη του σήµατος εισόδου n h n = U n ενός φίλτρου πρώτου x ( n) (µήκους Ν) µε την κρουστική απόκριση ( ) ( ) π βαθµού. Η έξοδος του φίλτρου για n = δίνει την τιµή του DFT στη συχνότητα ω =. Η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου είναι η: H ( z) = (5.9) z και η εξίσωση διαφορών του είναι: y π j ( n) = e y ( n ) x( n) + π j (5.) µε y ( ) = και έναν πόλο στο p = e. Αν χρησιµοποιηθεί αυτό το φίλτρο απαιτεί Ν µιγαδικούς πολλαπλασιασµούς για τον υπολογισµό του DFT. Οι µιγαδικοί πολλαπλασιασµοί δεν είναι βολικοί για την υλοποίηση του αλγόριθµου ανίχνευσης σε κάποιον DSP. Έτσι αντί για το φίλτρο ου βαθµού µπορεί να π ± j χρησιµοποιηθεί ένα ου βαθµού, µε πόλους στα p, = e, όπου χρειάζεται µόνο ένας µιγαδικός πολλαπλασιασµός κάθε Ν σηµεία για τον υπολογισµό του DFT. Η συνάρτηση µεταφοράς αυτού του φίλτρου είναι: z H ( z) = (5.) π cos z + z και η εξίσωση διαφορών είναι: π v ( n) = cos v ( n ) v ( n ) + x( n) (5.) y n = v n v n µε ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) v v Στο παρακάτω σχήµα (5.9) φαίνεται η υλοποίηση του φίλτρου αυτού. Καθώς η έξοδος του φίλτρου δίνει την ζητούµενη τιµή του DFT για n =, ο µιγαδικός

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 5 ο DFT -86- πολλαπλασιασµός µπορεί να γίνει µόνο τότε (δηλαδή µόνο µιγαδικός πολλαπλασιασµός κάθε Ν σηµεία). Σχήµα 5.9. Η οµή του φίλτρου που υλοποιεί τον αλγόριθµο Goertzel ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [] ITRODUCTIO TO SIGAL PROCESSIG by S.Orphanidis, PRETICE HALL, 996 (Chapter 9) [] DIGITAL SIGAL PROCESSIG Using MATLAB by V.Ingle and J.Proais, PS Publishing Company, 997 [] DIGITAL SIGAL PROCESSIG with computer applications by P.Lynn and.fuerst, JOH ILEY &SOS, 989 [] Α COURSE I DIGITAL SIGAL PROCESSIG by B.Porat, John ieley &Sons 997 [5] DIGITAL SIGAL PROCESSIG Acomputer based approach by S. Mitra McGraw-Hill 998 [6] DIGITAL SIGAL PROCESSIG by A. Oppenheim and R. Schafer, PrenticeHall,Inc, 975