ΥΝΑΜΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ)

ΥΝΑΜΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ ΛΥΟΜΕΝΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ( υναµικά Συστήµατα Εξισώσων). ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (Dnmic Simlneos Eqion odels). G. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΝΟΣ (ΙΣΤΟΡΙΚΟΥ) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. G. ΠΩΣ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ (ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ). G. ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ. Αναύσις Προέψις. Άριστος Εχος. Στοχαστικές Εξοµοιώσις. G. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. G4. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ. ιαρθρωτική Μορή νός Συστήµατος Εξισώσων Υπό Μορή Μητρών. Υπό Μορή ιανυσµάτων. Ανοιµένη Μορή νός Συστήµατος Εξισώσων. Υπό Μορή Μητρών Υπό Μορή ιανυσµάτων. G5. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ιαθρωτική Μορή του Συστήµατος. Ανοιµένη Μορή του Συστήµατος. G6. ΕΙ Η ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Πριοδικά Συστήµατα Εξισώσων. Κατά Οµάδς Πριοδικά Συστήµατα Εξισώσων. Συστήµατα ιασυδδµένων Εξισώσων. Οµάδς Συστηµάτων Αηξατηµένων Εξισώσων. Συµπαή Συστήµατα Εξισώσων.

G7. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. Οικονιµική Ταυτοποίηση Στατιστική Ταυτοπίηση. G8. ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΙΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Μέθοδοι Εκτίµησης των Παραµέτρων κάθ ξίσωσης του Συστήµατος Χωριστά. Απή Μέθοδος των Εαχίστων Ττραώνων. Έµµση Μέθοδος των Εαχίστων Ττραώνων. Η Μέθοδος των Εαχίστων Ττραώνων σ Στάδια. Η Μέθοδος της Μίστης Πιθανοάνιας µ Πρικρισµένς Πηροορίς. Μέθοδοι Ταυτόχρονης Εκτίµησης των Παραµέτρων όων των ιαρθρωτικών Εξισώσων του Συστήµατος. Η µέθοδος των Εαχίστων Ττραώνων σ Στάδια. Η Μέθοδος της Μίστης Πιθανοάνιας. G9. ΙΑΦΟΡΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ. G. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ. G. ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΡΙΜΗΝΙΑΙΩΝ ΕΘΝΙΚΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ.

4 ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. (Dnmic Simlneos Eqions odels). Αν ια κάποιο όο δχθούµ ότι µρικές από τις µταητές, και νός τριµταητού συστήµατος χρονοσιρών ( ), p q VARA : (FFF,5) ίναι ξωνώς καθοριζόµνς τότ το παραπάνω σύστηµα ποαπών χρονοσιρών µτασχηµατίζται σ ένα υναµικό Σύστηµα Εξισώσων.(Dnmic Simlneos Regression odels). (GGG.)

5 Σχδιάραµµα 8. Γραική παρουσίαση του συστήµατος των ξισώσων του πουµταητού(ραµµικού) Συστήµατος Χρονοσιρών (GGG.) όταν έχουµ υποθέσι ότι ή µταητή ίναι ξωνώς καθορισµένη. Ε όσον η µταητή ίναι ξωνής αυτό αυτόµατα σηµαίνι ότι η µταητή αυτή πιδρά στις άς χωρίς όµως να δέχται τις πιδράσις τους. Αυτό σηµαίνι ότι µρικές από τις παραµέτρους του συστήµατος (GGG.) ίναι µηδέν. Μ άση τις παραπάνω υποθέσις το σύστηµα των ξισώσων (GGG.) ράται ως ξής: Εάν η ίναι ξωνώς καθορισµένη µταητή σηµαίνι ότι η µταητή δν δέχται πιδράσις αά πιδρά µόνο στην µταητικότητα των άων µταητών του συστήµατος, διαχέοντας αυτή την πίδραση στον χρόνο (µέον). Στην πρίπωση αυτή το σχήµα αηξαρτήσων µταξύ των µταητών, και δίδται στο Σχδιάραµµα. Υποθέτουµ δηαδή ότι µταξύ των µταητών και των µταητών, δν υπάρχι κάποιου ίδους ανατροοδοτική πίδραση (feedbck ssem)/.. Πρίοδος Πρίοδος

6 (GGG.) Μ άση την (GGG.)η πρώτη ξίσωση του υναµικού Συστήµατος των Εξισώσων θα ίναι: (GGG.) Η τρίτη ξίσωση του συστήµατος µπορί να ρατί ως...... ή ή 44 4 44 4 4 4 4 4 (GGG.) το οποίο ίναι ένα µικτό σχήµα αυτοπαίνδροµο κινητού µέσου ARA (.), και υσικά µη συνδδµένο πέον µ το σύστηµα των ξισώσων (GGG.) Μ άση τα παραπάνω αντί ια ένα σύστηµα ξισώσων έχουµ ένα διαρθρωτικό σύστηµα ξισώσων της µορής: (GGG.5) και υσικά η κτός συστήµατος η τρίτη ξίσωση που αντιστοιχί στην ξωνή µταητή, ράται ως ξής: (GGG.6) Χρησιµοποιώντας τον τστή των χρονικών υστρήσων j j L ή (GGG.6) ράται ως ξής:

( ) ( L) (GGG.7) ή ( L) ( L) (GGG.8) Το σύστηµα ξισώσων (GGG.5) ίναι ένα διαρθρωτικό δυναµικό σύστηµα ξισώσων µ δύο νδονίς (, ) και µία ξωνή µταητή την. Συνήθως τα συστήµατα αυτά θωρούνται ως πρισσότρο ραιστικά των ξίξων µταξύ των διαόρων οικονοµικών µθών. Αυτό που κυρίως νδιαέρι στην χρησιµοποίηση τους ίναι η µέτη της πίδρασης των ξωνών µταητών ( )στην διαµόρωση της µταητικότητας των νδονών µταητών (, ), και υσικά η διαδικασία αξιοποίησης τους ια προέψις. Στο Σχδιάραµµα παρουσιάζουµ αυτές τις πιδράσις µ άση το δυναµικό σύστηµα ξισώσων (GGG.5) Πρίοδος Πρίοδος Σχδιάραµµα. Γραική παρουσίαση των πιδράσων της ξωνούς µταητής στην διαµόρωση της µταητικότητας των νδονών µταητών (, ). 7

8 Παράδιµα. Στο τριµταητό σύστηµα χρονοσιρών των µταητών: Κατανάωση ( ), Επνδύσις ( ) και Εισοδήµατος ( ) (GGG.9) Εάν η µταητή των Επνδύσων ίναι ξωνώς (δηαδή ) τότ ισχύουν οι ξής υποθέσις: (GGG.) Μ άση τις παραπάνω το σύστηµα χρονοσιρών προκύπτι σ ένα διµταητό δυναµικό σύστηµα ξισώσων. (GGG.) Η τρίτη ξίσωση µη συνδδµένη µ το παραπάνω υναµικό Σύστηµα Εξισώσων θα ίναι: ή ( )

Χρησιµοποιώντας τον τστή χρονικών υστρήσων L, µπορούµ να ράψουµ την παραπάνω σχέση ως ξής: L L ( L) ~ ARA(.) σχήµα (GGG.) L L Οι ξισώσις που αντιστοιχούν στο υναµικό Σύστηµα Εξισώσων ίναι οι ξής: Πρώτη Εξίσωση: (GGG.) ύτρη Εξίσωση: (GGG.4) Εάν πιπέον υποθέσουµ στην (GGG.) και (GGG.4) ότι: ( L) L L L ( Νέος. ιορθωτικός. Όρος ) L ( ) ( ) L L L δ L δ (GGG.5) τότ προκύπτι το νωστό διµταητό (Γραµµικό) υναµικό Σύστηµα Κυσιανό των ξισώσων. 9

δ (GGG.6) Εάν πιπέον υποθέσουµ ότι,,, δ και (GGG.7) Το σύστηµα (GGG.6) ράται ως ξής: (GGG.8) (GGG.9) Το σύστηµα των ξισώσων (GGG.8) και (GGG.9) αποτίται µ δύο νδονίς ίναι και µία ξωνή µταητή. Η ( ) και ( ) ίναι νδονίς νώ η ( ) ξωνής. Η (GGG.8) ίναι µία στοχαστική ξίσωση νώ η (GGG.9) ίναι µία ταυτότητα.

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΜΗΤΡΩΝ. Αν στην (GGG.5) υποθέσουµ ότι, τότ το υναµικό Σύστηµα των Εξισώσων ράται ως ξής: σταθρά. (GGG.) σταθρά (GGG.) Το σύστηµα των ξισώσων (GGG.) και (GGG.) αποτίται από δύο στοχαστικές ξισώσις µ δύο νδονίς µταητές την και την. Έχουµ οιπόν ένα σύστηµα µ δύο νδονίς µταητές (, ) και τρις ξωνίς µταητές την καθώς και τις νδονίς µταητές µ τις ανάος χρονικές υστρήσις (, ). Γνικύοντας τον συµοισµό µας ως τις παραµέτρους του συστήµατος (GGG.)- (GGG.), µπορούµ να ράψουµ το σύστηµα υπό µορή µήτρων ως ξής: ή Χρησιµοποιώντας τις διαθέσιµς µταητές του συστήµατος.,, K, T παρατηρήσις ια κάθ µία από τις ( T ) ( T ) ( ), o, 44 Β, 44 T T T T T T T 44 444 444 Γ 44 Y X U (GGG.)

ή YB XΓ U (GGG.) Η (GGG.)ίναι η ιαρθρωτική (Srcrl Form) νική µορή νός υναµικού Συστήµατος Ταυτόχρονων Λυοµένων Εξισώσων (Dnmic Simlneos Regressions Ssem). Συνήθως η µήτρα Β ονοµάζται µήτρα των ιαρθρωτικών Συντστών και κράζι τον τρόπο που οι νδονίς µταητές του συστήµατος ίνα συνδδµένς µταξύ τους. Η µήτρα Γ ίναι ξίσου σηµαντική σ ένα υναµικό Σύστηµα Εξισώσων, δδοµένου ότι κράζι τον τρόπο που οι ξωνίς µταητές πιδρούν στις νδονίς. Όπως θα αναύσουµ και στο ανάοο κάαιο τα συστήµατα αυτά ίναι χρησιµότατα τόσο ια και., αναύσις όσο και ια προέψις της ξέιξης των νδονών των µταητών ( ) ιδιαίτρα άν νωρίζουµ την µοντική ξέιξη των ξωνών µταητών.

Παράδιµα. Εχοντας στην διάθση σας τρις παρατηρήσις ια τις οικονοµικές µταητές : Κατανάωση ( ), Επνδύσις ( ) και Εισόδηµα ( ) και το Σχδιάραµµα αηξαρτήσων. Σχδιάραµµα. Να δηµιουρήστ την ιαρθρωτική Μορή του Συστήµατος που αντιστοιχί σ αυτές τις τρις οικονοµικές µταητές. Απάντηση: Μ άση το Σχδιάραµµα προκύπτι ότι πρόκιται ια ένα σύστηµα ξισώσων µ δύο νδονίς και µία ξωνή µταητή. Ως νδονίς θωρούνται η Κατανάωση, και το Εισόδηµα, δδοµένου ότι δέχονται και στένουν πιδράσις στις άς µταητές. Ως ξωνίς θα πρέπι να θωρηθί η µταητής Επνδύσις, διότι µόνο στένι και δν δέχται πιδράσις. Έχοντας διαθέσιµς τρις παρατηρήσις από κάθ µταητή, και (GGG.4) η ιαρθρωτική µορή του συστήµατος ίναι η ξής: { [] { 44 44 44 O U X B Y Γ (GGG.5) ( ) ( ) ( )

4

5 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. Ένα σύστηµα ξισώσων στην διαρθρωτική του µορή θα µπορούσ κτός της µορής των µήτρων (GGG.),να ρατί και υπό µορή διανυσµάτων ως ξής: B Γ (GGG.6) όπου διάνυσµα των Μ νδονών µταητών του συστήµατος. N N διάνυσµα των Ν ξωνών µταητών του συστήµατος. διάνυσµα των Μ διαταρακτικών όρων του συστήµατος. B L L L µήτρα των διαταρακτικών παραµέτρων των νδονών µταητών του συστήµατος.

6 N N N N Γ L L L µήτρα των διαρθρωτικών παραµέτρων των ξωνών µταητών του συστήµατος.

Παράδιµα. Να ρατί στην διαρθρωτική του µορή ένα στατικό σύστηµα δύο (µακροοικονοµικών) ξισώσων ια την ρµηνία της Ιδιωτικής Κατανάωσης ( c ) και του ιαθέσιµου Εισοδήµατος ( ) σ σχέση µ µια ξωνή µταητή (Επνδύσις ). Απάντηση: Το σύστηµα των ξισώσων που θα µπορούσ να διαµορωθί µ άση τις παραπάνω προδιαραές, στην απούστρη του µορή θα µπορούσ να ίναι το ξής: ( ) c f, (Α.) ( c ) f, (Α.) ( c ) f, (Α.) όπου c : Κατανάωση : ιαθέσιµο Εισόδηµα. : Επνδύσις. και :, ιαταρακτικοί όροι που ακοουθούν τις υποθέσις του Κασσικού Γραµµικού Υποδίµατος. Επιδή οι πνδύσις ( ), θωρούνται ξωνής µταητή, η τρίτη ξίσωση παύι να υίσταται, δχόµνοι ότι η µταητή δν διαµορώνι την µταητικότητα της από την ιτουρία του συστήµατος των ξισώσων (Α.) έως (Α.). Έχουµ δηαδή την πρίπτωση µιάς ξωνούς µταητής, οπότ η Επένδυση θα συµοίζται µ. Το σύστηµα µας ράται: ( ) c f, (Α.) ( c ) f, (Α.) Υποθέτουµ πίσης ότι η ξίσωση (Α.) ίναι µία ταυτότητα και όχι µία ξίσωση συµπριοράς, όπως θωρούµ ότι ίναι η (Α.). Επίσης υποθέτουµ ότι η 7

Κατανάωση c ίναι µία συνάρτηση του ισοδήµατος. ηαδή οι Επνδύσις δν πιδρούν άµσα στην διαµόρωση (της µταητικότητας) της ( ) Κατανάωσης ( ) c. Μ άση τις παραπάνω υποθέσις µπορούµ να προσίσουµ αρικά τις (Α.) και (Α.) χρησιµοποιώντας το ανάπτυµα µιάς σιράς Tlor. Εάν o και o ίναι κάποις αρχικές (ή µέσς) τιµές των µταητών και o, τότ µ άση το ανάπτυµα µιάς σιράς Tlor, η πρώτη ξίσωση ράται ως ξής: c c c ( ) o, (Α.4) o Εάν υποθέσουµ ότι c c, τότ η (Α.4) ράται ως: (, ) c, co o ή c ( c, ) o Εάν συµοίσουµ µ c o, τότ η (Α.4) ράται c (Α.5) Την παραπάνω διαδικασία προσέισης του αναπτύµατος µιας ξίσωσης µ άση την ταυτότητα του Tlor, αρµόζουµ και ια την ξίσωση (Α.). ( c c ) ( ),,, c o o 8

Επιδή έχουµ υποθέσι ότι έχουµ µία ταυτότητα, τότ ισχύι ότι: c o και o Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσις το σύστηµα (Α.4) ράται ως ξής: ( c c ) ( ),,,, ( c ) c, c c,, Επιδή έχουµ µία ταυτότητα c, όπου η (Α.4) ράται ως ξής:,,,,, c (Α.6) Μ άση την παραπάνω η µαθηµατική ξιδίκυση του συστήµατος, µπορούµ να ράψουµ το σύστηµα µας ως ξής: c (Α.5) c (Α,6),, K,T. Οπου c Ιδιωτική Κατανάωση ιαθέσιµα Εισοδήµατα (Ενδονίς Μταητές). Επνδύσις (Εξωνής Μταητή) Το σύστηµα των ξισώσων (Α.5) (Α.6) έχι µία ξίσωση συµπριοράς (την Α.5) και µια ταυτότητα την Α.6. Εάν υποθέσουµ πίσης ότι έχουµ τρις παρατηρήσις από κάθ µταητή του συστήµατος: (Α.5) (Α.6). c c c c,, Το σύστηµα των ξισώσων µας στην διαρθρωτική του µορή YB Γ ακοουθώντας τα ξής ήµατα. 9

Βήµα. Μταέρουµ το αριστρό µέρος του συστήµατος ός τις µταητές. c c Βήµα. Σχηµατίζουµ την διαρθρωτική µορή ια τις τρις παρατηρήσις ως ξής: T N Γ 44 44 44 44 44 O X B Y Βήµα. Στο ήµα αυτό µπορούµ να παηθύσουµ ότι οι παραπάνω σχέσις οδηούν στην αρχική µορή του συστήµατος. Μ άση το παραπάνω το σύστηµα µας στην διαρθρωτική του µορή Γ U X YB, οι µήτρς Β και Γ ίναι:, B Γ

Παράδιµα 4. Να ρατί στην διαρθρωτική του µορή B Γ ένα στατικό σύστηµα δύο (µακροοικονοµικών) ξισώσων ια την ρµηνία της Ιδιωτικής Κατανάωσης ( ) και του ιαθέσιµου Εισοδήµατος ( ) σ σχέση µ µία ξωνή µταητή (Επνδύσις ). Βήµα. Γράουµ το σύστηµα των ξισώσων. c c Βήµα. c c c T οπότ στην B Γ αντιστοιχούν οι µήτρς, B Γ

Τι Εκράζι η ιαρθρωτική Μορή νός Συστήµατος υναµικών Εξισώσων. Η διαρθρωτική µορή (Srcrl Form) νός συστήµατος ξισώσων κράζι τις σχέσις αηξάρτησης µταξύ των νδονών µταητών του συστήµατος καθώς πίσης και τον τρόπο που οι ξωνίς µταητές πηράζουν τις αντίστοιχς νδονίς. Μ άση την διαρθρωτική µορή του συστήµατος των ξισώσων (GGG.) η µήτρα B, κράζι τον τρόπο αηξάρτησης µταξύ των νδονών µταητών και του συστήµατος. Ειδικότρα όσον η µήτρα B ίναι µία συµπαής µήτρα, αυτό µταράζται ότι µταξύ των δύο νδονών µταητών (Σχδιάραµµα 6). και υπάρχι ένα σχήµα αηξάρτησης της µορής Σχδιάραµµα 6. Γραική παρουσίαση των αηξαρτήσων µ άση την µήτρα ιαρθρωτικών Συντστών Γ έχι µοναδιαία στοιχία, οπότ Συνήθως υποθέτουµ ότι η µήτρα Β έχι στην διαώνιο της µοναδιαία στοιχία, οπότ αυτή ράται ως : B και το Σχδιάραµµα 6 µτασχηµατίζται πέον ως ξής:

Σχδιάραµµα 7. Γραική παρουσίαση των διαρθρωτικών αηξαρτήσων µταξύ των µταητών και µ άση την µήτρα διαρθρωτικών συντστών Β. Όπως θα αναπτύξουµ και στο πόµνο κάαιο η µήτρα διαρθρωτικών συντστών Β ίναι σηµαντικής σηµασίας ια την οικονοµική ξιδίκυση νός συστήµατος ξισώσων. Οι σχέσις ξάρτησης µταξύ των ξωνών µταητών και και των, νδονών µταητών και µανίζονται στην µήτρα Γ. Αν παραστήσουµ ραικά τις παραπάνω ξωνίς πιδράσις της µήτρας Γ, τότ το Σχδιάραµµα 8 παρουσιάζται ως ξής: Πρίοδος Πρίοδος Σχδιάραµµα 8. Γραική παρουσίαση των πιδράσων ξωνών µταητών στην διαµόρωση της µταητικότητας των αναόων νδονών.

ΑΝΗΓΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΟΣ ΙΑΡΘΡΩΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. (REDUED FOR) Αρκτές ορές στην δυναµική ανάυση νός συστήµατος µας νδιαέρι να νωρίσουµ την καθαρή πίδραση µιάς ξωνούς µταητής ( ) στην διαµόρωση της µταητικότητας των νδονών µταητών νός συστήµατος. Μας νδιαέρι δηαδή να κράσουµ τις άµσς σχέσις µταξύ ξωνών και νδονών µταητών. Θέουµ δηαδή να µτασχηµατίσουµ τις έµµσς πιδράσις των ξωνών µταητών σ άµσς: Η ΑΝΟΙΓΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΜΗΤΡΩΝ. Η Ανηµένη µορή νός συστήµατος ξισώσων αρικά µ άση την διαρθρωτική µορή Y Β Γ προκύπτι ως ξής: Y Β XΓ U YΒ XΓ U ΒΒ XΓΓ UΒ Y ( BB ) Y XBΒ UΒ Y X BΒ UΒ ( ) Αν συµοίσουµ µ B Γ, V Γ Τότ προκύπτι η ανηµένη µορή του συστήµατος των ξισώσων µας Y X V ή όπως συνήθως συµοίζουµ Y X 4

5 Παράδιµα 5. Έστω ότι θέουµ να µτήσουµ την τική πίδραση µιάς µταοής των Επνδύσων ( ) στην Ιδιωτική Κατανάωση ( ) και χρησιµοποιούµ ένα οικονοµτρικό σύστηµα ξισώσων της µορής: (ΑΑΑ.) (ΑΑΑ.) Το σύστηµα των ξισώσων (ΑΑΑ.) και (ΑΑΑ.) ίναι στην ιαρθρωτική του µορή και άν θέουµ να µτήσουµ την πίδραση µιάς µταοής του Εισοδήµατος αυτό µπορί να ίνι ως ξής: Επιδή όµως µας νδιαέρι να υποοίσουµ αµέσως την πίδραση του ισοδήµατος στην Κατανάωση, µπορούµ να αντικαταστήσουµ την (ΑΑΑ.) στην (ΑΑΑ.) και να άουµ τα ξής: ( ) ( ) Άρα η άµση πίδραση των Επνδύσων στην Κατανάωση θα ίναι ( ) Άρα η άµση πίδραση των Επνδύσων στην Κατανάωση θα ίναι

Αυξάνοντας ή µιώνοντας τις Επνδύσις πιδρούµ άµσα πί του Εισοδήµατος και µέσω του Εισοδήµατος στην Κατανάωση. Όη αυτή η διαδικασία παρουσιάζται στο Σχδιάραµµα. 4 Σχδιάραµµα. Γραική παρουσίαση της έµµσης πίδρασης των Επνδύσων στην Ιδιωτική Κατανάωση ( ). Η ρµηνία των πιδράσων στο Σχδιάραµµα ίναι η ξής: (): Επίδραση (µταοή στις Ιδιωτικές Επνδύσις. (): Μέσω των Επνδύσων πίδραση στο Εισόδηµα ( ). () (): Από το Εισόδηµα ( ) πίδραση στην Κατανάωση ( ). (4): Από την Κατανάωση ( ) ξανά πίδραση στο Εισόδηµα ( ) κ..π. Μ άση οιπόν την διαρθρωτική µορή νός συστήµατος ξισώσων ίναι πού δύσκοο να έχουµ µία άµση και τική πίδραση από τις Επνδύσις στην Κατανάωση ( ). Αυτό που θα πάρουµ ίναι όταν τιώνι αυτός ο κύκος των πιδράσων, κάποια στιµή να µηδνισθί αυτή η πίδραση. Αυτό αίνται πού καά στο Σχδιάραµµα. o 444444444 444444444 ιάρκια της Επίδρασης χρόνος 6

Για τις,, KT διαθέσιµς παρατηρήσις των µταητών του Συστήµατος, η Ανηµένη του µορή ίναι η ξής: T T o,, T T T T, T T T o T,,, T Η µήτρα των συντστών ονοµάζται µήτρα των συντστών ανηµένης µορής δδοµένου ότι πέον κάθ νδονής µταητής του συστήµατος ίναι κρασµένη ως µία ραµµική συνάρτηση όων των ξωνών µταητών του συστήµατος. Θα µπορούσαµ να πκταθούµ ακόµη πρισσότρο διξοδικά στην ανηµένη µορή νός συστήµατος ξισώσων ράοντας την διαρθρωτική του µορή ως ξής: Y Γ XB Y Λ U 7

8 Παράδιµα Εαρµοή: Να ρατί στην ανοιµένη του µορή το σύστηµα των ξισώσων. όπου :, ίναι νδονίς µταητές (Κατανάωση &Εισόδηµα) ξωνής µταητής. Απάντηση: Για να δηµιουρήσουµ την ανηµένη µορή του συστήµατος χριαζόµθα την διαρθρωτική του µορή. Η µορή αυτή προκύπτι µταέροντας ός τις µταητές στο δξιό µέρος του συστήµατος των ξισώσων. / / / / / Το σύστηµα στην διαρθρωτική του µορή Γ U XB Y µπορί να ρατί ως ξής: T T T o ή Γ U XB Y X µ Γ B ηαδή Π Π Π Π Π ΒΓ Άρα ια να υποοίσουµ τους συντστές ( ), ij ij χριάζται να υποοίσουµ την αντίστροο της µήτρας.

9 Γνωρίζουµ ότι η αντίστροος µιάς µήτρας Α µπορί να προκύψι ως ξής: Α Ο Α Π..... ) de( τρας µ ζοντα της ρ τρα νη µ ροσαρµοσµ ή ί ή έ A A d A A d A j j Ή ορίζουµ ( ) ( ) de de A Γνωρίζουµ πίσης ότι η προσαρµοσµένη µήτρα A d j µπορί να προκύψι ως ξής: [ ] c ij ( ) ij j i ij D v j i K,,, ij D ίναι οι άσσονς ορίζοντς της µήτρας Α. Άρα µ άση τους παραπάνω συµοισµούς και πξηήσις προκύπτι ότι: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ij άρα A Ad j ( ) A d A d A j Άρα η µήτρα Π Π Π Π Π Άρα η ανοιµένη µορή του συστήµατος των ξισώσων θα ίναι:

Π Π Π Π ή κατ πέκταση πίσης Οι δύο παραπάνω σχέσις κράζουν την άµση σχέση µταξύ Επένδυσης και Κατανάωση και Εισοδήµατος. Οι ανάος άµσς πιδράσις των Επνδύσων στην Κατανάωση και το Εισόδηµα ίναι: d d d d

Η ΑΝΗΓΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. Αν χρησιµοποιήσουµ την διαρθρωτική µορή νός συστήµατος ξισώσων B Γ τότ η ανοιµένη µορή του συστήµατος προκύπτι ως ξής: B Γ B Γ B B B Γ B ( B B ) B Γ B Αν ράψουµ B Γ, v B τότ η ανοιµένη µορή του συστήµατος ίναι: v µ [ ] B Γ ij ίναι διαστάσων N n N L L L N N N N N v v v ή L L N N L Από τα παραπάνω µτασχηµατισµένς σχέσις δν ίναι δύσκοο να δούµ πρισσότρο πριραικά την ρµηνία των συντστών της ανοιµένης νός συστήµατος. Ειδικότρα N N N v v N v N j N j j N j j j j j j ij j i

οι συντστές ij της µήτρας της ανοιµένης µορής, κράζουν την πίδραση της η ξωνούς µταητής στην διαµόρωση της µταητικότητας της j νδονούς µταητής. Παράδιµα. Μ άση την διαρθρωτική µορή B Γ του συστήµατος των ξισώσων (Α.5) και (Α.6). c η ανοιµένη µορή θα ίναι: [ ] Γ B ij Αποδικνύται ότι η αντίστροος µήτρα B ίναι: [ ] ij c άρα, c c Οι παραπάνω σχέσις ίναι ακριώς ανάος των σχέσων της ανηµένης µορής µ άση την ιαρθρωτική Μορή νός υναµικού Συστήµατος υπό µορή µήτρων.

ΙΑΦΟΡΑ ΕΙ Η ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΩΜΕΝΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.

ιάορα Είδη Συστηµάτων Αηξαρτώµνων Εξισώσων Η µορή της µήτρας διαρθρωτικών συντστών B [ ij ] GG στην νική µορή (παρουσίαση) νός συστήµατος G ξισώσων. BY ΓX U ίναι καθοριστική στον χαρακτηρισµό νός οικονοµτρικού συστήµατος. Ανάοα µ B ij έχουµ τα ξής ήδη συστηµάτων: την µορή της µήτρας [ ] GG Πριοδικά Συστήµατα Εξισώσων (Recrsive) Κατά Οµάδς Πριοδικά Συστήµατα Εξισώσων (Block Recrsive) Συστήµατα µ διασυνδδµένων ξισώσων (Seemingrl Unreled) Οµάδς Συστηµάτων Αηξαρτώµνων Εξισώσων. Συµπαή Συστήµατα Εξισώσων. 4

. Συµπαή Συστήµατα Αηξαρτωµένων Εξισώσων. Η κατηορία αυτών των συστηµάτων ίναι η πρισσότρο διαδδοµένη. Στην κατηορία αυτών των συστηµάτων η µήτρα διαρθρωτικών συντστών B [ ij ] GG ίναι συµπαής. Αυτό σηµαίνι ότι ένα µάο µέρος (πάνω του 55%) των συντστών δν ίναι διάοροι του µηδνός. Στην πρίπτωση αυτή η µήτρα ij διαρθρωτικών συντστών Β ίναι της µορής: B [ ] ij GG G G L L L G G GG Άρα η ύπαρξη µίας τέτοιας µήτρας διαρθρωτικών συντστών σ ένα σύστηµα ξισώσων υποδηώνι ένα µάο πήθος αηξαρτήσων µταξύ των νδονών µταητών του συστήµατος. Όσο πιο ιότρα µηδνικά έχι η µήτρα διαρθρωτικών συντστών, τόσο πρισσότρς διασυνδέσις υπάρχουν µταξύ των νδονών µταητών του συστήµατος. Παράδιµα: Έστω ένα σύστηµα δύο ξισώσων µ δύο ξωνίς µταητές και, και έστω ότι η µήτρα διαρθρωτικών συντστών B [ ij ] GG ίναι η ξής: B [ ] ij Το σύστηµα των ξισώσων που αντιστοιχί σ αυτή την µήτρα διαρθρωτικών συντστών ίναι η ξής: B Γ ή ή 5

Από το παραπάνω σύστηµα των ξισώσων προκύπτι ότι ια να ύσουµ την ξίσωση () ως προς χριαζόµθα τιµές τόσο των και όσο και των µταητών. Για να έχουµ όµως στοιχία ια την µταητή χριαζόµθα πίσης στοιχία ια την µταητή. Άρα ίναι αδύνατο να ύσουµ το σύστηµα των ξισώσων µας ια µόνο µία νδονή µταητή. Θα πρέπι απαραιτήτως να ύσουµ ταυτόχρονα το σύστηµα των ξισώσων, ούτως ώστ να έχουµ σωστά αποτέσµατα του τρόπου που διαµορώνονται οι τιµές των νδονών µταητών και σ σχέση τόσο µ τις ίδις όσο και σ σχέση µ τις ξωνίς µταητές και. Πάντοτ σ συστήµατα ξισώσων µ συµπαίς µήτρς διαρθρωτικών συντστών, αντιστοιχούν πήθος αηξαρτήσων µταξύ των νδονών κυρίως µταητών. Το ράηµα αηξαρτήσων που αντιστοιχί στο σύστηµα των ξισώσων δίδται στο Σχδιάραµµα. Σχδιάραµµα. Γραική παρουσίαση των αιτιωδών αηπιδράσων των µταητών νός διµταητού συστήµατος ξισώσων. Μ άση το Σχδιάραµµα, ίναι µανές ότι ια να µτηθί µία πίδραση της ξωνούς µταητής στην διαµόρωση της νδονούς µταητής η διαδικασία ίναι η ξής: έµµσα άµσα Άρα το συνοικό αποτέσµα της πίδρασης της και έµµσο. στην ίναι τόσο άµσο όσο 6

. Πριοδικά Συστήµατα Εξισώσων. Στα συστήµατα αυτά η µήτρα διαρθρωτικών συντστών B [ ij ] GG ίναι άνω ή κάτω τριωνική µήτρα (Low or pper ringlr mri). B [ ] ij GG G G L L L ij GG ή B [ ] ij GG ij L L L G G G GG Παράδιµα: Έστω ένα πριοδικό σύστηµα δύο ξισώσων µ δύο ξωνίς µταητές. Εάν η µήτρα διαρθρωτικών συντστών ίναι κάτω τριωνική, τότ το σύστηµα των ξισώσων µπορί να ρατί ως ξής: ή Όπως αίνται από την µορή του παραπάνω συστήµατος θα µπορούσαµ να «ύσουµ» το σύστηµα έχοντας τιµές των ξωνών µταητών και όπως αίνται στο Σχδιάραµµα.,,, Σχδιάραµµα. Αιτιώδς σχέσις µταξύ των µταητών του συστήµατος. ηαδή έχοντας τιµές των και µπορούµ να υποοίσουµ την τιµή της. Έχοντας τώρα την, και την µπορούµ να υποοίσουµ ως προς την. 7

Οι ύσις πίδρασης των ξωνών µταητών Σχδιάραµµα. και δίδονται ύκοα στο Σχδιάραµµα. Γραική παρουσίαση των αηξαρτήσων µταξύ των µταητών νός Πριοδικού Συστήµατος. Ενα shock στην i άµσα έµµσα. 8

. Συστήµατα µη αινοµνικά συνδόµνων ξισώσων. Πρόκιται ια συστήµατα ξισώσων στα οποία η µήτρα B [ ij ] GG ίναι µία διαώνια µήτρα της µορής: B [ ] ij GG K K O GG Σ ένα τέτοιο σύστηµα ξισώσων οι G ξισώσις του συστήµατος δν συνδέονται διαρθρωτικά µταξύ τους. Αυτό µ απά όια µταράζται ότι η νδονίς µταητές του συστήµατος δν αηοπηράζονται µταξύ τους. Ακόµη απούστρα αυτό σηµαίνι ότι σ κάθ ξίσωση του συστήµατος των ξισώσων υπάρχι µόνο µία νδονής µταητή. Παράδιµα. Έστω ένα σύστηµα δύο ξισώσων µ δύο ξωνίς µταητές και και µ διαώνια µήτρα διαρθρωτικών συντστών. B [ ] ij Στην διαρθρωτική του µορή B Γ, το σύστηµα αυτό ράται ως ξής: ή ή 9

Στο παραπάνω σύστηµα σ κάθ ξίσωση αντιστοιχί µία µόνο νδονής µταητής. Άρα έχοντας τιµές ια τις ξωνούς µταητές και µπορί να ύσουµ την κάθ µία από τις δύο παραπάνω ξισώσις χωριστά. Οι σχέσις αηξάρτησης στο παραπάνω σύστηµα δίδονται στο Σχδιάραµµα. Σχδιάραµµα 4. Γραική παρουσίαση των αιτιωδών αηξαρτήσων µταξύ των µταητών νός αινοµνικά Συνδδµένων Εξισώσων. 4

4. Οµάδς Συστηµάτων Φαινοµνικά Αηξαρτηµένων Εξισώσων. Υπάρχουν πριπτώσις συστηµάτων αηξαρτηµένων ξισώσων όπου η µήτρα του διαρθρωτικού συντστή B [ ij ] GG ίναι µία διαώνια µήτρα όπου στην διαώνιο του αντιστοιχούν συµπαίς υποµήτρς. Μία τέτοια µήτρα έχι συνήθως την µορή: B [ ] ij GG B B L L O Br όπου πέον τα B, B K Br ίναι µήτρς διαρθρωτικών συντστών. Για την πρίπτωση νός συστήµατος τσσάρων ξισώσων η µήτρα αυτή θα µπορούσ να ίχ την µορή: B [ ] B 4 44 ij 44 µ B B 4 44 B Παράδιµα: Έστω ένα σύστηµα τριών ξισώσων µ δύο ξωνίς µταητές και και µη διαρθρωτική µήτρα της µορής: B [ ] ij Στο σύστηµα αυτό στην διαρθρωτική του µορή ρατί ως ξής: B Γ θα µπορούσ να 4

4 ή... ν ίναι καθόου δύσκοο να διακρίνουµ ότι στις δύο πρώτς ξισώσις υπάρχουν δύο ρµηνυµένς µταητές ( ). και νώ στην τρίτη υπάρχι µόνο µία ρµηνυµένη µταητή.

4