ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του Κεφ.2.7 του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT Α. Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα ( αβ., ] C f A(,f( )) a 1 2 β Παρατηρούμε ότι στο σημείο = η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο. Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία 1 και 2. Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού A, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο μέγιστο, όταν υπάρχει δ>, τέτοιο ώστε f() f( ) για κάθε A ( δ, +δ ). A τοπικό Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f( ) τοπικό μέγιστο της f. Aν η ανισότητα f() f( ) ισχύει για κάθε A A ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το f( )., τότε, η f παρουσιάζει στο Β. Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα ( αβ., ] 3 C f a 1 β 1
Παρατηρούμε ότι στο σημείο = η τιμή της συνάρτησης είναι μικρότερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό ελάχιστο. Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία 1 και β. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού A, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει δ>, τέτοιο ώστε f() f( ), για κάθε A ( δ, +δ ). Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το f( ) τοπικό ελάχιστο της f. ΣΧΟΛΙΑ Αν η ανισότητα f() f( ) ισχύει για κάθε A A ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, το f( )., τότε, η f παρουσιάζει στο Τα τοπικά μέγιστα και τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής, ενώ τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοπικών ακρότατων. Το μέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ολικά ακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής. i) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο. (βλέπε σχήμα (α)) 1 2 3 4 (a) ii) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. (βλέπε σχήμα (β)) 32 ma a 1 2 (β) 3 min 4 β 2
iii) Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής. Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης. (βλέπε σχήμα (α)) 3
ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα και ένα εσωτερικό σημείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: f ( ) = Απόδειξη: 33 f( ) δ +δ Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο. Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε ( δ, +δ) και f() f( ), για κάθε ( δ, +δ ). (1) Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει f() f( ) f() f( ) f ( ) = lim = lim. + Επομένως, f() f( ) αν ( δ, ), τότε, λόγω της (1), θα είναι, οπότε θα έχουμε f() f( ) = f ( ) lim (2) f() f( ) αν (, +δ ), τότε, λόγω της (1), θα είναι f() f( ) f ( ) = lim. (3) + Έτσι, από τις (2) και (3) έχουμε f ( ) =. Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη., οπότε θα έχουμε 4
Σημαντικές παρατηρήσεις 1. - Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο. - Ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο. 2. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο,τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα,ενώ αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο,τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. 3. Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης, δεν είναι πάντα το μέγιστο αυτής ενώ το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μιας συνάρτησης, δεν είναι πάντα το ελάχιστο αυτής. 4. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [ αβ, ], τότε η f παίρνει στο [ αβ, ] μία μέγιστη τιμή Μ και μία ελάχιστη τιμή m. Δηλαδή, υπάρχουν 1, 2 αβ [, ] ώστε αν m = f( 1) και M = f( 2) να ισχύει: m f() M για κάθε αβ. [, ] 5. Το θεώρημα Fermat ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής: H ισότητα f ( ) = σημαίνει ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(,f( )) είναι παράλληλη προς τον άξονα Ο. (βλέπε σχήμα ) 1 2 3 6. Το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat δεν ισχύει, δηλαδή: Υπάρχει περίπτωση για μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f να έχουμε f ( ) =, αλλά η f να μην παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο. Για παράδειγμα, θεωρούμε τη συνάρτηση 3 f() =,. ' Τότε f () = αλλά η f δεν παρουσιάζει στο = τοπικό ακρότατο, εφ όσον για < έχουμε f() < και για > έχουμε f() >. (βλέπε σχήμα) = 3 5
7. Υπάρχει περίπτωση η f να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα σημείο και να μην είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Για παράδειγμα η συνάρτηση, f() = = παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο =, αλλά δεν είναι, < παραγωγίσιμη στο =. (βλέπε σχήμα) 8. Αν για κάθε ισχύει f (), τότε η f δεν έχει ακρότατα. 9. Αν στο η C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη δεν σημαίνει ότι υποχρεωτικά η f παρουσιάζει ακρότατο στο. Για παράδειγμα η συνάρτηση f() = + 3, η οποία δέχεται εφαπτομένη στο =, αλλά δεν παρουσιάζει ακρότατο. 1. Αν το σημείο είναι άκρο του διαστήματος, η f παρουσιάζει στο τοπικό ακρότατο και η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε γενικά δεν αληθεύει ότι ' f ( ) 2 =. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (), [, 2] μέγιστο στο σημείο = 2 όμως f (2) = 4. =, παρουσιάζει τοπικό 11. Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακρoτάτων μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα είναι: Τα εσωτερικά σημεία του στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται. Τα εσωτερικά σημεία του στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. Τα άκρα του (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της). Τα εσωτερικά σημεία του στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα. Ημερομηνία τροποποίησης: 2/9/211 6