ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = a µε R και p a.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a. β) Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστηµα για τις οποίες ισχύει f '( ) = g '( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο χ του. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει f ( ) = g( ) + c για κάθε. γ) Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α. Να δώσετε τον ορισµό του ελαχίστου της συνάρτησης f στο του Α. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α έχει αντίστροφη, τότε είναι γνησίως µονότονη στο Α. β) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο και f ( ) f, τότε f ( ) f για τις τιµές του χ κοντά στο. γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο [α,β] τότε υπάρχει ( α, β ) τέτοιο ώστε να ισχύει f '( ) f. δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο και φορές παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει f ''( ) f για κάθε. ε) Αν f συνεχής στο [α,β] µε f ( ) και ισχύει f ( ) df, τότε υπάρχει [ α, β ] τέτοιος ώστε f ( ) f. στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε το µηδέν στο [α,β] και β ισχύει f ( ) d = τότε η f παίρνει τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές. a β α ΘΕΜΑ Β Α. ίνεται η εξίσωση:
zz + + i z + i z i = + 6[Re[( ) ] Im[( ) ]]. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι αόριστη στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών.. α. Αν z, z είναι δύο τυχαίες λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, τότε να αποδείξετε ότι: iz iz i 8 + β. Αν Α, Β οι εικόνες των µιγαδικών z, για τους οποίους πετυχαίνουµε την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή του µέτρου z, αντίστοιχα και A, B οι προβολές τους στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τότε να υπολογίσετε το εµβαδόν του τραπεζίου AA B B.. Αν το µέτρο z z µεγιστοποιείται, τότε για κάθε * N να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: A = z + z ( z z ) w Β. ίνεται ο µιγαδικός w, για τον οποίο ισχύει + 6i. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού του w.. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν οι µοναδικοί z, w τέτοιοι ώστε z=w.. Να εξετάσετε αν υπάρχει µιγαδικός w τέτοιος ώστε w I. ΘΕΜΑ Γ Α. Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R R, µε τους f () = και f () = 5 για την οποία ισχύει: tf ( t ) ( ) ( ) f f c e dt =, όπου c σταθερά, για κάθε R. α. Να αποδείξετε ότι f ( ) = +. β. Να λύσετε την εξίσωση γ. Να υπολογίσετε το όριο. Να βρείτε τη σταθερά c. e f ( ) + = +.. lim + + + f ( ) +
. Αν για τη συνάρτηση g : R Rισχύει fog = gof να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από σταθερό σηµείο, ανεξάρτητο από τον τύπο της g. Β. Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση h : R Rµε h () =, για την οποία ισχύουν: lim h( ) = +, lim h( ) =, h ( ) =, για κάθε R + h( ) + e. Να λύσετε την εξίσωση h( ) =.. Να αποδείξετε ότι h( ) h( ) + e = f ( ), για κάθε R.. Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της h. ΘΕΜΑ Α. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f ( ) f ( ) + 6 < f ( ) f (9 ), () για κάθε R.. Να αποδείξετε ότι f ( ) >, για κάθε R.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f ( + 997) f ( + 99) f ( + ) + + = Έχει τουλάχιστον δύο µη ακέραιες πραγµατικές ρίζες. Β. ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση h :[,] ισχύει: h( t) dt o f ( u) du, για κάθε [,] Να αποδείξετε ότι:. h ( t ) dt, για κάθε [,]. o. h () =. α. Υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) τέτοιο ώστε h ( t ) dt = R µε h () = για την οποία
β. Η εξίσωση (,). h ( ) h( t) dt = h ( ) έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο 4. Υπάρχει εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της h που σχηµατίζει µε τους άξονες και y y ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Α).Έστω z = + yi,, y R Οπότε η αρχική εξίσωση γίνεται:... ( 9) ( y ) 5 + + = ( C ) έχει λύσεις όλους τους µιγαδικούς z που η εικόνα τους ανήκει στον ( C ). Άρα είναι αόριστη.. α. iz iz i... z z 8+ Οι εικόνες των z, z κινούνται στον ( C ) άρα z z = ma Συνεπώς z z. β. ΟΚ: 4 y = και Α(-6,8) Β(-,6) Άρα Α (-6,) Β (-,) ( AA ) + ( BB ) ( AA B B) = ( A B ) =... = 7 τετρ. Μονάδες.. z z = και Μ εικόνα z ma και Ν εικόνα z (αντιδιαµετρικό) uuuur uuur uuur z + z = OM + ON = OK = 5 = z + z A = =... =, N z z ω Β). + 6i ω ( + i) Άρα ο γεωµετρικός τόπος των Μ(ω) είναι κυκλικός δίσκος ( C ) C y : ( + ) + ( ) 4. είχνουµε ότι C και C εφάπτονται εξωτερικά. 4
. ω I Re( ω) = Συνεπώς: (+ ) + ( y ) 4 ( y ) ( y ) = y = Άρα ω = i. ΘΕΜΑ Γ Α). α. Θ. Μ. Τ. για την f στο [,] Προκύπτει: f ( ) =, (,) για = στη δοσµένη σχέση προκύπτει f ( c ) = (γιατί;) Άρα f ( ) = και καταλήγουµε f ( ) = + β. Μοναδική ρίζα = (πώς;) γ.. f lim + + + ( ) = lim + + + =... + + C =. f ( ) =... = για f g( ) = g f ( )... g( ) = = έχουµε ( ) ( ) Β). Για = : h () =... h() = h() + e οπότε = λύση της h( ) = και h ( ) = > h( ) + e λύση. άρα h είναι γνησίως αύξουσα οπότε = µοναδική h. ( ( ) h ) ( ) h ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( h + e = h + h e = h + e ) ) = ( ) h( )... h( ) e f ( ) + =. y = + ασύµπτωτη της h C στο ( ). ΘΕΜΑ Α). Έστω ότι υπάρχει t R τέτοιο ώστε f ( t ) =. Για = t στην () έχουµε f ( t ) f ( t ) + 6 < f ( t ) f (9 t ) 6 < άτοπο. Άρα f ( ) για κάθε R και f συνεχής στο R οπότε διατηρεί σταθερό πρόσηµο για f f f ( f ) = : () + 6 > ()... () () > 6, 5
άρα f () > (γιατί;) Οπότε f ( ) >, για κάθε R.. Για, και γίνεται ισοδύναµα Θεωρούµε g( ) το πρώτο µέλος και εφαρµόζουµε Θεώρηµα Bolzano στα [, ] και [, ]. Β). Αν < h( t) dt > h( t) dt τότε επειδή ( ) f > για κάθε [,] θα είναι: h( t ) dt f ( u) du >, άτοπο. Άρα h( t) dt h( t) dt. Θεωρούµε φ ( ) = h( t) dt για κάθε [,], [,] µε ( ) φ, [,] Από την εφαρµογή του Θεωρήµατος Fermat προκύπτει το ζητούµενο.. α. Θεωρούµε t( ) = h( t) dt στο [,] (γιατί t () > ;). β., [,] και φ () =., εφαρµόζουµε Θεώρηµα Bolzano h h t dt h h h t dt = = ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) Θεωρούµε ( ) κ και εφαρµόζουµε Θεώρηµα Rolle στο [ ], (όπου από a ). 4. Αρκεί να δείξουµε ότι η εφαπτοµένη σχηµατίζει µε τον γωνία 5, τότε η εσωτερική της θα είναι 45, οπότε το τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές. Εφαρµογή Θ.Μ.Τ. για των h στο [,] αποδεικνύεται ότι υπάρχει a (,) τέτοιο ώστε h ( a) =, άρα ˆ ω = 5. Επιµέλεια: Λιόλιος Αντώνης, Τριανταφυλλίδου Ελένη, Γεωργιάδης Γιώργος, Μπούσµπουρα Σίσυ, Σαµαρτσίδου Αλίκη 6