Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων

Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης Finite Impulse Response (FIR) filters y(n) = M k= bk x(n k) / 8

παράδειγμα (εισαγωγικό) y(n) = 9 k = x(n k ) 2 / 8

Βασικές κατηγορίες FIR φίλτρων Φίλτρα μέσης τιμής (ΜΑ filters) Μέθοδος Μετασχ. Fourier ή Μέθοδος των παραθύρων Φίλτρα ισοκυματικά βέλτιστα (equiripple filters) Φίλτρα με δειγματοληψία συχνότητας 3 / 8

Τα 4 βασικά είδη φίλτρων Βαθυπερατό ή κατωπερατό (Low-pass) Η = Η = (α) Υψιπερατό ή ανωπερατό (High-pass) Ζωνοπερατό (band-pass) Η (β) (γ) Απόρριψης ζώνης (band-reject) ω= π 2π (δ) 4 / 8

προδιαγραφές Η(e jω ) ΙΔΑΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Ζώνη διέλευσης (-ω p ) Η κυμάτωση μεταξύ +δ και -δ. +δ -δ Ζώνη διέλευσης Ζώνη μετάβασης Ζώνη αποκοπής (ω>ω s ) Η κυμάτωση < δ 2 δ 2 Ζώνη αποκοπής ω p ω s ω 5 / 8

Προδιαγραφές σε λογαριθμική κλίμακα db (decibel) R p = + δ 2log δ και Α s δ2 = 2log + δ 2logδ 2 Η(ω) db R p Ζώνη μετάβασης A s ω p ω s ω 6 / 8

Χαρακτηριστικά των FIR φίλτρων 7 / 8

H μορφή των FIR φίλτρων: y(n) = M k= b k x(n k) Συνάρτηση μεταφοράς και απόκριση συχνότητας (DTFT) H(z) = M k= b k z k και Η(e jω ) = Μ k= b k e jkω Έχουν μόνο μηδενισμούς ευστάθεια 8 / 8

γραμμική φάση Γενικά: Ασυν(nω) Α Η(ω) συν(nω+θ). καθυστέρηση φάσεως (phase delay)- ορισμός: nω+θ= n = θ(ω) ω Γραμμική φάση : θ=αω n = θ(ω) ω = α 9 / 8

παράδειγμα.5 x=cos(nπ/) -.5-2 4 6 8 2 4 6 8 2.5 y=.8cos(nπ/-π/5) -.5-2 4 6 8 2 4 6 8 2 καθυστέρηση φάσεως= θ(ω) π / 5 n = = = ω π / 2 δειγματα / 8

/ 8 Έστω σύστημα με γραμμική φάση, ω a ω j j e H e H = ) ( Είσοδος, n j n j e e n x 2 ) ( ω ω + = (δύο ημίτονα) Έξοδος, + = 2 2 ) ( ω ω ω ω a j n j a j n j e e H e e H n y 2 ) ( ) ( ) ( ω ω n a j n a j e H e H n y + + + = γραμμική φάση

γραμμική φάση Η γραμμική μεταβολής της φάσης προκαλεί χρονική υστέρηση αλλά διατηρεί την μορφή του σήματος. 2 / 8

Μη γραμμική φάση το σήμα εξόδου έχει διαφορετική μορφή. 3 / 8

γραμμική φάση Η γραμμική φάση αποτελεί το βασικό χαρακτηριστικό των FIR φίλτρων Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για γραμμική φάση είναι η συμμετρία των συντελεστών h(n) του FIR φίλτρου Για ένα φίλτρο τάξεως Ν, έχουμε δύο είδη συμμετρίας: άρτια: h(n) = h(n-n) και περιττή: h(n) = -h(n-n) 4 / 8

5 / 8

Ποια είναι η Απόκριση Συχνότητας των FIR φίλτρων? Απόκριση για άρτια συμμετρία: b k =b -k Υποθέτουμε συμμετρία στο χρόνο (μη αιτιατό) - h(n) -5 5 n H r ( ω) = Μ κ= Μ b k e jkω = b o + 2b cos ω + 2b 2 cos 2ω +... + 2b M = b o + 2 M k= b k coskω Η απόκριση συχνότητας είναι πραγματικός αριθμός δηλ. η φάση είναι = Το σύστημα όμως αυτό δεν είναι αιτιατό!! 6 / 8

τελικά. h(n) h(n M) H H r r (e (e jω jω ) ) e jmω h(n) - -5 5 h(n) - 5 n n Δηλ. Το σύστημα γίνεται αιτιατό με μετακίνηση της h(n) κατά Μ σημεία. έχουμε: Η(e jω )=e -jmω Η r (ω) 7 / 8

8 / 8

H και H h (n) -5 5 n h(n) 5 n 9 / 8

Χαρακτηριστικά των FIR φίλτρων (συνέχεια) h(n) θ= n - -5 5 5 Οι συντελεστές είναι συμμετρικοί ως προς την αρχή των αξόνων και το σύστημα δεν είναι αιτιατό θ=-μω - -5 5 5 Το σύστημα είναι αιτιατό και έχει βέβαια (γραμμική) φάση θ=-μω 2 / 8

H(e jω Να υπολογισθεί η απόκριση Η(e jω ) για μήκος φίλτρου Ν=7 και άρτια συμμετρία συντελεστών: h(n)=h(6-n) για n=,,...6 6 ) = h(n)e = e = e = e 3jω 3jω 3jω jnω = h( ) + h( )e παράδειγμα jω + h( 2)e j2ω + h( 3)e j3ω + h( 4)e Προφανώς η φάση είναι: θ=-3ω 4jω + h( 5)e j5ω + h( 6)e j3ω j2ω jω jω j2ω j3ω { h( )e + h( )e + h( 2)e + h( 3) + h( 4)e + h( 5)e + h( 6)e } j3ω j3ω j2ω j2ω jω jω { h( )(e + e ) + h( )(e + e ) + h( 2)(e + e ) + h( 3) } { 2h( )cos( 3ω) + 2h( )cos( 2ω) + 2h( 2)cos(ω) + h( 3) } H(e ) = e jω j3ω M j6ω 2 / 8

Τα 4 είδη των FIR φίλτρων Τύπος Ν=περιττός h(n)=h(n--n) H(ω)=-αω όπου α=(ν-)/2 Υλοποιεί όλους τους τύπους των φίλτρων Τύπος 2 Ν=άρτιος h(n)=h(n--n) H(ω)=-αω όπου α=(ν-)/2 Ν/2 H 2 2 Η(ω)=Η r (ω)e -jαω όπου (ω) 2 h( N π r = n) cos(ω n - ) Επειδή για ω=π Η r (ω)= ΔΕΝ μπορεί να υλοποιήσει φίλτρα Υψιπερατά και Απόρριψης ζώνης. 22 / 8

Τύπος 3 Ν=περιττός Τα 4 είδη των FIR φίλτρων (συνέχεια) h(n)=-h(n--n) H(ω)=β-αω =π/2-ω(ν-)/2 Η(ω)=Η r (ω)e j[β-αω] όπου για ω= και ω=π Η r = (N N- H r (ω) 2 = h( n) sin(ωn) Aρα ο τύπος αυτός ΔΕΝ δίνει Υψιπερατά και Βαθυπερατά φίλτρα Είναι όμως κατάλληλο για διαφοριστές και μετασχ. Hilbert Τύπος 4 Ν=άρτιος ) / 2 h(n)=-h(n--n) H(ω)=β-αω =π/2-ω(ν-)/2 Η(ω)=Η r (ω)e j[β-αω] όπου για ω= Η r = N 2 Αρα ο τύπος αυτός είναι κατάλληλος για διαφοριστές και μετασχ. Hilbert H (ω) 2 h( N r = n)sin{ω(n - )} 2 2 2 23 / 8

Τα 4 είδη των FIR φίλτρων - Παράδειγμα - - - - N=3 Τύπος Κέντρα συμμετρίας 2 4 6 8 2 4 N=2 Τύπος2 2 4 6 8 2 4 Τύπος3 N=3 2 4 6 8 2 4 Τύπος4 N=2 2 4 6 8 2 4 24 / 8

Μηδενισμοί των FIR φίλτρων Επειδή δεν έχουν πόλους αλλά μόνο μηδενισμούς η ευστάθεια είναι δεδομένη για όλο το μιγαδικό επίπεδο z Οι μηδενισμοί εφόσον είναι μιγαδικοί θα πρέπει να είναι συζυγείς για να έχουμε συναρτήσεις με πραγματικούς συντελεστές z z * Εάν θεωρήσουμε και την συμμετρία δεδομένη θα πρέπει για κάθε μηδενισμό να υπάρχει και ο αντίστροφός του (επειδή Η(z)=H(z - )) z (z ) - Aρα για κάθε μηδενισμό τιμής z, θα πρέπει να υπάρχουν και οι μηδενισμοί: z *, (z ) - και (z * ) - 25 / 8

26 / 8

To φίλτρο (κινούμενης) μέσης τιμής (moving average filter) Όπως είδαμε.. 27 / 8

To φίλτρο μέσης τιμής ΕΔ : y(n) = x(n) + x(n ) +... + x(n N +) N Συντελεστές: h(n) = γιά n =,,2,...N - N 28 / 8

Ν=2Μ+ ΕΔ : y(n) = x(n M) + x(n M + ) +...x(n)... + 2M + x(n + M ) + x(n + M) DTFT: 2M + H(e jω )= {e -jωm +.++ + e jωm } = = 2 M + {+2cosω+2cos2ω+..+2cosMω} Μη αιτιατό φίλτρο φάση = 29 / 8

Aιτιατό φίλτρο φάση ΕΔ : y(n) = x(n) + x(n ) +...x(n M) + x(n 2M + M ) +...x(n 2M) απόκριση συχνότητας (DTFT) 2M + 2M + - jω -2jω - jμω - j2μω { + e + e +..e...e } jω H (e ) = + = { e jμω + e jω(m-) +..+ e - jω +...e - jμω } e - jμω = { + 2 cosω + 2 2 M + cos2ω +...2cosMω} - e jμω Δηλαδή η φάση είναι: H(ω)= -Μω 3 / 8

παράδειγμα Ν=5 ΕΔ: y(n) = x(n) + x(n ) +...x(n 4) 5 H(e jω ) = 5 j5 -jω -2jω -j3ω -j4ω -i2ω e { + e + e + e + e } = { + 2cosω + 2cos2ω}e = -jω 5 e ω H(e jω ).8.6.4 φ=-2ω.2.2.4.6.8 ω π μηδενισμοί για ω=2π/5 και 4π/5 3 / 8

-5 - z Η(z)=.2{+z - +z -2 +z -3 +z -4 }=.2 - - z Για τους μηδενισμούς : z 5 = θέτοντας : z=e jθ, έχουμε e jθ5 = =e j2kπ θ=2kπ/5 Άρα οι μηδενισμοί της H(z) είναι: z= e j2π/5, z= e j4π/5 z= e j6π/5, z= e j8π/5 (Ο μηδενισμός z= δεν υφίσταται λόγω του αντίστοιχου πόλου).5 -.5 - Iφανταστικός Πραγματικός z= e j2π/5 - -.5.5 sin2.5ω Mία άλλη μορφή για την απόκριση: Η(ω)=.2 e -j2ω sin.5ω 32 / 8

Φίλτρα μέσης τιμής Πώς βρίσκεται η τάξη Ν του φίλτρου; H(ω).8.6.4.2.2.4.6.8 Η απόκριση (πλάτους) «πέφτει» στο.77 (-3dB) περίπου στη συχνότητα: ω = π N ω π 33 / 8

παράδειγμα Να σχεδιασθεί ένα φίλτρο μέσης τιμής με συχνότητα αποκοπής (-3dB) στα 5Ηz και συχνότητα δειγματοληψίας f s =5kHz Υπολογίζουμε: ω f 2π f 5 2π 5 π 5 C = = = = s.294 rad Επειδή ο ος μηδενισμός γίνεται στη συχνότητα 2ω C =.488 και επειδή γνωρίζουμε ότι ο πρώτος μηδενισμός γίνεται στη συχνότητα 2π/Ν 2π N =.488 N = 2π.488 = 5.28 Αρα η επιθυμητή τάξη του φίλτρου είναι Ν=5 σχήμα 34 / 8

Απόκριση φίλτρου μέσης τιμής 5 ης τάξεως Η συχνότητα δειγματοληψίας είναι 5kHz H.9.8.7.6.5.4.3.2 Το ο βαθυπερατό φίλτρο!! oς. 5 5 2 25 3 Αρα f μηδενισμός C ω = 2 ω = 5Hz 2π = f 5 fs = = 5 Hz 5 5 = Hz 35 / 8

Ζωνοδιαβατά φίλτρα (με διαμόρφωση) Μία βαθυπερατή συνάρτηση Η(ω) μετατοπίζεται στο πεδίο των συχνοτήτων κατά ω ο εάν συνελιχθεί με τη μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(ω-ω ο ). Επειδή η συνέλιξη στο πεδίο των συχνοτήτων αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό στο πεδίο του χρόνου, μια ζωνοδιαβατή συνάρτηση προκύπτει από τους συντελεστές του βαθυπερατού φίλτρου αν πολλαπλασιαστούν με cos(nω ο ) ω ο ω ο 36 / 8

Ζωνοδιαβατά φίλτρα - παράδειγμα θεωρούμε τους 2 συντελεστές βαθυπερατού φίλτρου που είναι h(n)=/2, n=- έως Πολλαπλασιάζουμε με cos(nπ/3): n=- έως h b = / 2 cos(nπ/3).8 Η(ω).6 Η απόκριση συχνότητας.4 π/3.2..2.3.4.5.6.7.8.9 ω π 37 / 8

Υψιπερατά φίλτρα (με διαμόρφωση) Υψιπερατά φίλτρα υλοποιούνται όπως τα ζωνοδιαβατά αν η μετατόπιση της συχνότητας είναι ω ο = π Επειδή cosnπ = ± ουσιαστικά αρκεί αλλαγή κάθε περιττού όρου των συντελεστών του βαθυπερατού φίλτρου για να μετατραπεί στο αντίστοιχο υψιπερατό.5 h(n) -.5.5 h(n) Βαθυπερατό H(ω).5 2 4 6 Υψιπερατό.5 H(ω).5 -.5 2 4 6.5 38 / 8

Απόκριση μέτρου και απόκριση πλάτους Η απόκριση μέτρου διαφοροποιείται από την απόκριση πλάτους στις περιοχές που η απόκριση έχει πραγματική αλλά αρνητική τιμή Παράδειγμα Εστω h(n)=[,, ] Απόκριση συχνότητας : H(e jω )=Σh(n)e -jnω =+e -jω +e -j2ω =e -jω {+2cosω} Απόκριση πλάτους : H(e jω )=H r (e jω ) H(e jω ) H r (e jω )= +2cosω και H(e jω )=-ω για <ω π 39 / 8

Απόκριση μέτρου: H(e jω )= H(e jω ) H(e jω ) H(e jω ) = +2cosω και H(e jω )=-ω για <ω 2π/3 H(e jω )=π-ω για 2π/3<ω π 3 3 Η r (e jω ) H(e jω ) 2 2 (α) (β) -.5 Απόκριση πλάτους xπ -.5 και απόκριση μέτρου xπ 4 / 8

4 / 8

Μέθοδος των παραθύρων (ή μέθοδος Μετασχ. Fourier) Βασίζεται στον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier (IDTFT). Δηλαδή δίδεται η μορφή της απόκρισης συχνότητας Η(ω) και ζητείται η αντίστοιχη h(n) π jω jnω h(n) = H(e )e dω 2π π Συνήθως εφαρμόζεται για απλές μορφές Η(ω) Το βασικό πρόβλημα στη μέθοδο αυτή είναι ο αριθμός των συντελεστών h(n) που πρέπει να επιλεγούν. Η μέθοδος αρχίζει με την υλοποίηση ιδανικής μορφής βαθυπερατού φίλτρου 42 / 8

Μέθοδος των παραθύρων (συνέχεια) Η(e jω ) Επιθυμητή Η(e jω ) -π -ω ω π ω Εύρεση του h(n) h(n) = = h(n) = 2π 2π π π π π Η(e e sin(nω nπ ) jω jnω dω = )e ω π jnω = dω 2π e jn jnω sin c(nω ω ω ) 43 / 8

sin(nω ) ω h(n) = = sinc(nω nπ π ) 44 / 8

Μέθοδος των παραθύρων - παράδειγμα Θα υπολογισθούν οι συντελεστές h(n) για ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής ω =π/5 π sin(n 5 ) h(n) = nπ h(n)= [.-.378 -.432 -.32..468.9.54.87.2.87.54.9.468. -.32 -.432 -.378. ].3.2 h(n). 33 συντελεστές -. -2-5 - -5 5 5 2 n 45 / 8

Μέθοδος των παραθύρων (συνέχεια).3.2. h(n) -. -2-5 - -5 5 5 2 n Αποκοπή Για να έχει νόημα το φίλτρο πεπερασμένου μήκους (FIR) πρέπει να κρατήσουμε έναν πεπερασμένο μόνο αριθμό από τους συντελεστές h(n) δηλ. να κάνουμε αποκοπή. Η αποκοπή αυτή αλλοιώνει την αρχική ιδανική βαθυπερατή συνάρτηση της οποίας είναι προσέγγιση. Η προσέγγιση αυτή είναι η βέλτιστη με την έννοια του μέσου τετραγωνικού σφάλματος e = Η (ω) Η 2π d a (ω)dω 46 / 8

Μέθοδος των παραθύρων (συνέχεια) Η αποκοπή εκφράζεται καλύτερα με την έννοια του παραθύρου. Δηλ. είναι πράξη πολλαπλασιασμού της (άπειρης) ακολουθίας h(n) με ένα ορθογώνιο παράθυρο w(n) πεπερασμένου μήκους Ν. Η έννοια του παραθύρου μας δίνει την δυνατότητα γενίκευσης της αποκοπής με ταυτόχρονη διαμόρφωση των συντελεστών h(n). 47 / 8

Ορθογώνιο παράθυρο α)ιδανική άπειρη κρουστική απόκριση β)ορθογώνιο παράθυρο.3.2. -. - -5 n 5.5.5 h (n) w(n) -5 5 (α) (β).5.5 5 5 H (e jω ).5 ω xπ W(e jω ) 3d B.5 γ) η πραγματική απόκριση.3.2. h(n) (γ).5.5 Η(e jω ) 2d B -. - -5 5.5 h(n)=h (n) w(n) H(e jω )=Η (e jω ) W(e jω ) 48 / 8

Μέθοδος των παραθύρων (συνέχεια) Τελικά Αποκλίσεις: -. - -5 5 n.3 εμφάνιση ζώνης μετάβασης και.3.2..2. h (n) h(n).5 xπ ω.5 πεπερασμένη τιμή της ελάχιστης εξασθένισης που είναι ανεξάρτητη του μήκους του παραθύρου (περίπου 2dB) (α) (γ) -. - -5 5.5.5.5 H (e jω ) 2d B.5 49 / 8

Μέθοδος των παραθύρων (συνέχεια) Βελτίωση: Τριγωνικό παράθυρο παράθυρο Bartlett w(n)=m+- n -M n M M + ή πιο απλά: (n) = w(n)= [,2,3,4..M,M+,M,.4,3,2, (M + ] n w M n 2 ) M Άλλα παράθυρα Παράθυρο Blackman 5 / 8

Μέθοδος των παραθύρων (συνέχεια) παράθυρο hanning και hamming w(n)=.5+.5cos{nπ/(n+)} -M n M w(n)=.54+.46cos{nπ/n} -M n M και Ν=2Μ+ συχνότητα ω π Απόκριση db (κανονικοποιημένη) -2-4 -6-8 - -2-4 - Τετραγωνικό - Bartlett - Hanning - Hamming -6-8 5 / 8

Μέθοδος των παραθύρων (συνέχεια).3.2. h (n) (α).5.5 H (e jω ) Τετραγωνικό Bartlett -. - -5 5 n.3 n.2. h(n) (γ).5 xπ ω.5.5 2d 25d B Βελτιώσεις: -. - -5 5 μεγαλύτερη τιμή εξασθένισης.5 52 / 8

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ-τα βήματα Η(ω) σε db R p Η(ω) +δ -δ Ζώνη μετάβασης A s δ 2 ωp ω s ω 53 / 8

Μέθοδος των παραθύρων -ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Τύπος παραθύρου Ευρος ζώνης μετάβασης Δω (rad) Μέγιστη εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής σε db Ορθογώνιο.8π/N 2 Bartlett 6.π/N 25 Hanning 6.2π/N 44 Hamming 6.6π/N 53 Blackman π/n 74 από την επιθυμητή εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής 54 / 8

Τύπος παραθύρου Ευρος ζώνης μετάβασης Δω (rad) Μέγιστη εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής σε db Ορθογώνιο.8π/N 2 Bartlett 6.π/N 25 Hanning 6.2π/N 44 Hamming 6.6π/N 53 Blackman π/n 74 από το εύρος της ζώνης μετάβασης. Και οι συντελεστές του παραθύρου w(n) 55 / 8

sin(nω ) h(n) = nπ h (n) w(n) 56 / 8

Παράδειγμα Να σχεδιασθεί FIR βαθυπερατό φίλτρο με προδιαγραφές: f p =.5kHz, Δf =.5kHz, A s >5dB Συχνότητα δειγματοληψίας f s =8kHz Η(ω) σε db f C Επιλέγουμε παράθυρο Hamming Για τους συντελεστές h D (n)=sin(nω C )/(nπ), n=, ±, ±2, ±3, ±4. και ω C =2πf C /f s =2π(f p +Δf/2)/f s =.4375π έχουμε: για n= h D (n)=.4375, n=±.322 n=±2.69 n=±3 -.882 Τύπος παραθύρου n=±4 -.563 Δω (rad) Τάξη φίλτρου N=3.3/Δf=3.3/(.5/8)=52.8 53 παράθυρο w(n)=.54+.46cos{πn/26} -26 n 26 Oι συντελεστές τελικά είναι : h A (n)=h D (n).w(n) n= h A (n)=.4377 n=±.33 n=±2.6 n=±3 -.856 n=±4 -.533... n=±26 -. Ευρος ζώνης μετάβασης Bartlett 6.π/N 25 Hanning 6.2π/N -2 44 Hamming 6.6π/N -4 53 Blackman π/n -6 74-8.4375π H(ω) (db) R p A s Ζώνη μετάβασης f p f p +Δf f Μέγιστη εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής σε db Ορθογώνιο.8π/N 2..2.3.4.5.6.7.8.9 x π 57 / 8

Παράδειγμα 2 Nα σχεδιασθεί FIR φίλτρο με τις εξής προδιαγραφές ω p =.2π, R p =.25dB, ω s =.3π, Α s =5dB +δ p Η(ω) σε db R p Ζώνη μετάβασης ω ο. ω =(.2π+.3π)/2=.25π 2. h D (n)=sin(nω )/(nπ) 3. Επιλέγουμε παράθυρο Hamming δ A s ω p ω s ω H επιλογή αυτή ικανοποιεί και την συνθήκη κυμάτωσης στη ζώνη διέλευσης που είναι.25db διότι: + δp 2log =.25 δp =.44 δp 2logδ = 5 δ =.32 min( δ 4. Η ταξη του φίλτρου Ν=6.6π/Δω=6.6π/(.3π-.2π)=66 +=67 (Προσθέτουμε + για να έχουμε FIR φίλτρο η ς τάξεως) 5. Οι 5 μεσαίοι (-2 n 2) συντελεστές είναι οι ακόλουθοι:.592.225.25.225.592 6. Και οι τελικοί συντελεστές με διαμόρφωση (παράθυρο).579.2246.25.2246.579 s s p, δ s ) = δ s 58 / 8

Παράθυρο Kaiser Mε το παράθυρο Kaiser γίνεται ένας "συμβιβασμός" μεταξύ του εύρους και της εξασθένησης Η D (ω) +δ -δ Δ w(n) = I o α Ορισμός: I o (α) n M 2 Μ n Μ π ω δ -δ 2 n x Io(x) n= 2 n! = + Bessel 59 / 8

Bessel ου είδους μηδενικής τάξεως 6 / 8

Παράθυρο Kaiser συνέχεια. Αρχίζει με τον υπολογισμό της παραμέτρου Α που είναι η εξασθένηση δ σε db: A =-2 log δ 2. Στη συνέχεια απο την τιμή Α επιλέγουμε την παράμετρο α ως εξής: α=.2(α-8.7) εάν Α 5 α=.5842(α-2).4 +.7886(Α-2) εάν 2<Α<5 α= εάν Α 2 3. Από το μήκος Δ της ζώνης μετάβασης επιλέγουμε την τάξη του φίλτρου Ν=2Μ+ M A 7.95 28.72Δ 6 / 8

Σχεδιασμός Υψιπερατού, Ζωνοδιαβατού και Απόρριψης ζώνης (φίλτρων) Με διαμόρφωση Μετα την εύρεση του παραθύρου και αντίστοιχης διαμόρφωσης των συντελεστών h(n) του βαθυπερατού φίλτρου, πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές h(n) με cos(nω ο ) όπου ω ο αντιστοιχεί στη συνολική μετατόπιση της βαθυπερατής απόκρισης. Με την διαδικασία αυτή υλοποιούμε ζωνοδιαβατά και υψιπερατά φίλτρα 62 / 8

Σχεδιασμός Υψιπερατού, Ζωνοδιαβατού Απορ. Ζώνης φίλτρωνσυνέχεια Με συνδυασμό Βαθυπερατών συναρτήσεων. Μία οποιαδήποτε ιδανική συνάρτηση απόκριση συχνότητας μπορεί να υλοποιηθεί σαν άθροισμα βαθυπερατών συναρτήσεων. ω ω 2 π h BP =sin(ω 2 n)/(πn)- sin(ω n)/(πn) 63 / 8

Σχεδιασμός Υψιπερατού, Ζωνοδιαβατού Απορ. Ζώνης φίλτρωνσυνέχεια Με συνέλιξη βαθυπερατου -υψιπερατού Για την απόκριση συχν.: H BP (e jω )=H high (e jω ) H low (e jω ) - γινόμενο Για τους συντελεστές: h BP (n)=h high (n)*h low (n) - συνέλιξη ω ω 2 π 2π 64 / 8

Φίλτρα απόρριψης ζώνης (με άθροισμα) H BS (e jω )=H high (e jω ) +H low (e jω ) ω ω= ω 2 π 2π ω= π 2π Για τους συντελεστές: h BS (n)=h high (n)+h low (n) 65 / 8

Nα σχεδιασθεί FIR φίλτρο με παράθυρο Kaiser και τις εξής προδιαγραφές Ζώνη διέλευσης: 5-25 Hz. Ζώνη μετάβασης: 5 Hz Kυμάτωση στη Ζώνη διέλευσης: δ p R p =.db Εξασθένηση στη Ζώνη αποκοπής: δ s A s = 6 db Συχνότητα δειγματοληψίας ΚΗz Το φίλτρο είναι Ζωνοδιαβατό Παράδειγμα 3 Σχεδιάζουμε το αντίστοιχο βαθυπερατό φίλτρο Η(ω) σε db R p Βρίσκουμε τους συντελεστές h D με ω p =2π{(25-5)/2+5/2}/=.5 π Υπολογίζουμε την τάξη Ν=(Α-7.95)/(4.36 Δf) Α=-2log{min(δ p, δ s )} = 6 Δf= 5/ N=(6-7.95)/(4.36 x.5)=72.5 73 Η μεταβλητή α=.2(6-8.7)=5.67 A s.5..5 ω s ω p ω p2 ω s2 ω h(n) για το βαθυπερατό -.5-4 -2 2 4 Υπολογισμός του παραθύρου w(n)=i o {5.67 [-(n/36) 2 ]}/I o (5.67) h A =h D (n).w(n) -36 n 36 Διαμόρφωση του βαθυπερατού για μετατροπή στο ζητούμενο Ζωνοδιαβατό:.2. -. h(n) για το Zωνοδιαβατό h(n)= h A cos(n2π2/) -36 n 36 -.2-4 -2 2 4 66 / 8

Απόκριση συχνότητας του ζωνοδιαβατού φίλτρου H db -2-4 -6-8 - 5 2 25 3 35 συχνότητα Hz 67 / 8

Ισοκυματικά φίλτρα (equiripple ifilters) optimal equiripple FIR filter design Στη μέθοδο των παραθύρων το σφάλμα βρίσκεται κυρίως πλησίον της ζώνης μετάβασης. Στην μέθοδο αυτή το σφάλμα κατανέμεται σε όλες τις συχνότητες Και ο σχεδιασμός βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του μεγίστου σφάλματος Στο σχήμα δεικνύεται μία τέτοια απόκριση. Οι κυματώσεις σχετίζονται με την τάξη του φίλτρου. Η μέθοδος υλοποίησης φέρεται με το όνομα Parks - McClellan.4 H(ω).2.8.6.4.2 Μέθοδος παραθύρων Μέθοδος ισοκυματικών..2.3.4.5.6.7.8.9 ω 68 / 8

Ισοκυματικά φίλτρα-συνέχεια H(ω) +δ -δ δ 2.2.4.6.8 ω H r ( ω) = Μ b κ= Μ k e jkω = b o + 2b cos ω + 2b 2 cos 2ω +... + 2b M = b o + 2 M k= b k coskω 69 / 8

Ισοκυματικά φίλτρα-συνέχεια H ( ω ) = b + 2 b cos kω M r o k k= 2 cos 2ω= 2cos ω 3 cos3ω= 4cos ω 3cosω... M H r( ω ) = ck( cosω) k= M zeros M ακρότατα k M d H r ( ) sin kc k cos ω k= d ( ) ω = ω ω 2 ακ όµη ακρότατα k 7 / 8

FIR Φίλτρα δειγματοληψίας φάσματος.5 H(ω).5 2 4 6 8 2 4 6 συχνότητα ω F s Η απόκριση συχνότητας δειγματοληπτείται σε Ν σημεία στο διάστημα 2π ( F s ) Με τον IDFT λαμβάνουμε την επιθυμητή κρουστική απόκριση h(n) 7 / 8

Φίλτρα δειγματοληψίας φάσματοςς (σχεδιασμός) Η(k)=H(e jω ) ω=2πk/n =A(k)e jφ(k) k=,, N- Θυμόμαστε θ = -Μω η φάση φ(k) προσδιορίζεται από τις συνθήκες:. γραμμική φάση συμμετρικοί h(n) φ(k ) = - N - 2 2π N k 2. H(k)=H*(N-k) φ(k ) = και - φ(k ) = N - 2 2π N N - 2 k 2π N για k (Ν - k ) N - =,,... 2 για k = N +, 2....., N - 72 / 8

Φίλτρα δειγματοληψίας φάσματος (συνέχεια) Απόκριση Η απόκριση διέρχεται από τα σημεία που έγινε η δειγματοληψία Η εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής είναι πολύ «φτωχή».4.2.8.6.4.2.2.4.6.8 - -2-3 -4-5 -6-7.2.4.6.8 73 / 8

Φίλτρα δειγματοληψίας φάσματος (παράδειγμα) Προδιαγραφές: βαθυπερατό με ζώνη διέλευσης -.3π Επιλέγουμε Ν=2 σημεία βήμα δειγματοληψίας=2π/2=.π H(k).5 2 3 4 5 6 7 8 π 9 6 2 k 2π 74 / 8

Για το πλάτος (μέτρο): Η(k)=,,,, 3μηδενικά.,,, Υπολογίζουμε Φάση: 2π φ = -9.5 k = -.95k 2 φ =.95π(2 - k) για για k =,,...9 k =,,...9 h=[,,, zeros(,3),,]; phi=[-.95*pi*(:9).95*pi*(2-(:9))]; H=h.*exp(j.*phi); coeff=ifft(h);.4 freqz(coeff).2 πλάτος.8.6.4.2..2.3.4.5.6.7.8.9 συχνότητα xπ 75 / 8

Διαφοριστές Επειδή d dn Aπόκριση: H(ω)=jω e jnω = jωe jnω Η(ω)/j π ω Η κρουστική απόκριση h(n)=idtf{h(ω)} είναι: h(n) = jω e 2π n = n π π n = ±, 3, 5. n = ± 2 4, 6.. για jωn n = dω =... Σε κάθε περίπτωση γίνεται χρήση των παραθύρων για αποκοπή και «διαμόρφωση» των συντελεστών h(n) 76 / 8

h(n).5 -.5 n 4 Η(ω) 3 2 Ιδανικός Διαφοριστής - ω π Για τα 2 σημεία h(n) δεικνύεται η απόκριση Η(ω) h(n)= -.. -.25.429 -.667.2 -.25.333 -.5 -.5 -.333.25 -.2.667 -.429.25 -.. 77 / 8

Μία προσέγγιση διαφοριστού με διαφορά ης τάξεως y(n)=x(n)-x(n-) H(ω)=-e -jω =-cosω+jsinω Η(ω) =.=2sin(ω/2) ω για ω<<π π Η(ω) 3 2 ιδανικός πραγματικός ω π 78 / 8

Μετασχηματιστής Hilbert Η(ω)/j Απόκριση: Η(ω)=-jsign(ω) -Π π ω - π = jωn jnω h(n) H(ω)e dω = je dω + 2π 2π 2π π για n = = cos(nπ) γιά n nπ π π je jnω dω =... 79 / 8