Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων

Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της απόκρισης συχνοτήτων και αναλύεται η περιγραφή των χρονικά αμετάβλητων (LinearTimeInvariant LTI) συστημάτων μέσω της απόκρισης συχνοτήτων Προαπαιτούμενη γνώση Ολοκληρώματα, Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο, Κεφάλαιο, Κεφάλαιο 3 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου ----5-6 6 Ορισμός μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (ContinuousTimeFourierTransform ) είναι ένας μετασχηματισμός, που συνδέει το πεδίο του χρόνου με το πεδίο της συχνότητας Ο μετασχηματισμός Fourierσυνεχούςχρόνου X μίας συνάρτησης xt, αν υπάρχει, είναι η αναπαράσταση της συνάρτησης j t συναρτήσει μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων της μορφής e, όπου είναι η συχνότητα Ο ευθύς (direct) μετασχηματισμός ενός σήματος από το πεδίο του χρόνου xt στο πεδίο της συχνότητας X ορίζεται από ένα γενικευμένο ως ολοκλήρωμα Ο αντίστροφος μετασχηματισμός (inversetransform) από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου ορίζεται επίσης ως ολοκλήρωμα Ο ευθύς μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (ContinuousTime Fourier Transform ) μίας συνάρτησης ορίζεται από το ακόλουθο γενικευμένο ολοκλήρωμα: jt X x t e () Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου (InverseContinuousTimeFourierTransform I) ορίζεται από το ακόλουθο γενικευμένο ολοκλήρωμα: jt xt X ( ) e d (6) Ύπαρξη μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Τα ολοκληρώματα του ευθέως και του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου δεν υπάρχουν πάντα Επίσης είναι δυνατόν να υπάρχει μόνο το ένα από τα δύο Ο ευθύς μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου μίας συνάρτησης πραγματικός αριθμός x() t L L, τέτοιος ώστε να ισχύει: (6) υπάρχει, όταν υπάρχει Αν υπάρχουν ο ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου, αποτελούν ένα μοναδικό ζεύγος και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός: x() t X Είναι προφανές, από τον ορισμό, ότι ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου είναι μιγαδική συνάρτηση: j ( ) X ( ) X ( ) j X ( ) X ( ) e (64) R I xt (63) 34

όπου - X ReX είναι η πραγματική συνιστώσα του X X R I X R X R - X Im X είναι η φανταστική συνιστώσα του I - X X X είναι το μέτρο του Im X X I - ( ) arg X arctan arctan είναι η φάση του Re X X xt X R XR XR X I XI XI X X X Αν η συνάρτηση - είναι άρτια συνάρτηση: - είναι περιττή συνάρτηση: - είναι άρτια συνάρτηση: είναι ένα πραγματικό σήμα συνεχούς χρόνου, τότε - είναι περιττή συνάρτηση: Επίσης, ισχύει * X X Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία McClellan, Schafer & Yoder, 6, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 6 Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου () Ο υπολογισμός του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου μίας συνάρτησης ολοκλήρωμα του ορισμού του xt () γίνεται από το Παράδειγμα Για κάθε θετικό αριθμό T ορίζεται το σήμα συνεχούς χρόνου: T, t x(t) T, t Έλεγχος ύπαρξης μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου με εφαρμογή της (63): T / T / T T xt t T T / T / Άρα, υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου 35

X ( ) T / jt jt jt x t e e e j T / cost j sint cost j sin t j T T T T T T j T T T T cos jsin cos jsin j T T T T cos sin cos sin j j j T T T T cos jsin cos jsin j T T j sin sin j Στο Σχήμα 6 παρουσιάζεται ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου, t συνεχούς χρόνου xt (), t sin X του σήματος 5 X(ω) 5-5 - -5 - -5 5 5 frequency ω Σχήμα 6Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου ως πραγματική συνάρτηση Παράδειγμα Για κάθε θετικό αριθμό a ορίζεται το σήμα συνεχούς χρόνου: at x() t e ut Έλεγχος ύπαρξης μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου με εφαρμογή της (63): 36

at at x t e u t e at e e e a a a a Άρα, υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου a jt jt at jt at jt X ( ) x t e e u t e e e e a jt e e e a j a j a j a j Στο Σχήμα 6 παρουσιάζονται η πραγματική συνιστώσα, η φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και η φάση του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου X του σήματος συνεχούς χρόνου j x t e t u t 5 real part 5 imaginary part - - frequency ω -5 - - frequency ω magnitude 5 phase - - - frequency ω - - - frequency ω Σχήμα 6Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου ως μιγαδική συνάρτηση Παράδειγμα 3 x( t) ( t) Χρησιμοποιώντας την (47): ( t), το σήμα μοναδιαίου παλμού x( t) ( t) επαληθεύει την (63), δηλαδή, x( t) ( t) 37

Άρα, το σήμα έχει μετασχηματισμό Fourierσυνεχούς χρόνου, που υπολογίζεται από τον ορισμό j t (6) και την ιδιότητα του μοναδιαίου παλμού στην (46): f ( t) ( t) f (), με f () t e, οπότε j t e ( t) f ( t) ( t) f () e Συνεπώς, εφαρμόζοντας την (6) και το παραπάνω αποτέλεσμα, έχουμε: Άρα, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου του παλμού x( t) ( t) Επομένως, από τον ορισμό (6) έχουμε: j t j t t e d e d Αντιμεταθέτοντας t και, παίρνουμε: jt e δηλαδή x( t) ( t) Παράδειγμα 4 xt Έλεγχος ύπαρξης μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου με την εφαρμογή της (63) : είναι το σήμα μοναδιαίου Παρατηρούμε ότι δεν ισχύει το κριτήριο ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Αυτό συμβαίνει γιατί το σήμα xt είναι σήμα ισχύος Τα σήματα ισχύος δεν έχουν πάντα μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου Στο σημείο αυτό, αξίζει να σημειωθεί ότι τα σήματα ενέργειας έχουν πάντα μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου του σήματος υπάρχει και μπορεί να υπολογιστεί, jt εφαρμόζοντας την (6), χρησιμοποιώντας την ισότητα e από το παραπάνω Παράδειγμα 3 και την ιδιότητα 4 της αρτιότητας του μοναδιαίου παλμού, από την (5), ως ακολούθως: ( ) ( ) j t j t j X x t e e e t e j t Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου του σήματος αυτός με χρήση ορίων: jt jt jt ( ) ( ) ( ) X x t e t e e t e jt t x t xt X xt, είναι 38

X ( ) t' t' t' t' t ' jt jt jt jt x t e e e lim e t ' t ' lim cos t jsin t lim cos t jsin t t' t' t' t' lim cost j lim sin t lim sin t j li m cost t ' t ' t ' t ' t' t' limsint sin t j limcos t cost t' t' limsint sin t j limcos t cost t ' t ' sin t limsin t j lim lim t ' t ' t ' sin t Παρατήρηση: Το τελευταίο όριο προκύπτει θέτοντας t και t στη σχέση lim t, που a t αναφέρεται στο βιβλίο (Papoulis, 985, σελ ) t t t t 63 Ζεύγη μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Στον Πίνακα 6 παρουσιάζονται μερικοί τυπικοί μετασχηματισμοί Fourier συνεχούς χρόνου () Συνάρτηση Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου συνεχούς χρόνου () xt () X ( ω) ( ) δ( tt ) j t Πίνακας 6 Ζεύγη μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου () e e ω a a ω at e at u() t a j at t e u() t ( a jω) sin( t) j [ ( ) ( )] cos( t) [ ( ) ( )] 64 Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου είναι: 64 Γραμμικότητα Αν x () t X και x () t X, τότε ( ) ( ) c x t c x t c X c X (65) 39

για οποιεσδήποτε σταθερές c, c Απόδειξη Αν y( t) c x ( t) c x ( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: 64 Μετατόπιση στον χρόνο Αν, τότε Απόδειξη Αν y( t) x( t t ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: Θέτοντας tt, έχουμε: jt j ( ) ( ) ( t ) jt j jt Y x t t e x e d e x( ) e d e X 643 Αναδίπλωση Αν, τότε Απόδειξη Αν y( t) x( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: Θέτοντας t, έχουμε: jt j j j Y x( t) e x( ) e ( d ) x( ) e d x( ) e d X ( ) 644 Μετατόπιση στη συχνότητα Αν jt jt jt jt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y y t e c x t c x t e c x t e c x t e X ω x t jt x t t e X ω j t, τότε jt jt c x ( t) e c x ( t) e jt Y y( t) e x( t t ) e x jt jt ( ) ( ) c x t e c x t e c X c X X ω x t t Xω jt Y y t e x t e jt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X ω x t jt e x t X ω Απόδειξη jt Αν y( t) e x( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: j t j t j t j( ) t Y y t e e x t e x t e x t e jt jt ( ) ( ) ( ) ( ) (66) (67) (68) 4

Θέτοντας, έχουμε: j ( ( ) ) t jt Y x t e x( t) e X X ( ) 645 Συνέλιξη Αν x t X και x t X, τότε Απόδειξη Αν y( t) x( t) x( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: Y y( t) e jt xt x( t) e jt x( ) x( t ) d e jt Θέτοντας t t θεωρώντας μεταβλητή, αλλάζοντας τη σειρά των ολοκληρωμάτων και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της μετατόπισης στον χρόνο από την (66), έχουμε: jt jt Y x ( ) x ( t ) d e x ( t t ) x( t )( ) e 646 Κλιμάκωση στον χρόνο Αν ω, τότε ω t ω ω x t x X X jt x( t t ) x( t ) e jt x( t ) x( t t ) e x( t ) x( t t ) e jt jt x( t ) e X( ) jt X ( ) x ( t ) e X ( ) X ( ) X ω x t xa t X (6) a a Απόδειξη Αν yt () xat, τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: jt Y y t e e jt () xa t Αν a, τότε θέτοντας a t, έχουμε: j t j t j( / ) Y y() t e xa t e x e d X a a a Αν a, τότε θέτοντας a t, έχουμε: (69) 4

jt Y y t e x a t e jt () j( / ) x e d a j( / ) x e d a j( / ) t x t e a X a a Παρατηρήσεις: α Αν μία συνάρτηση διασταλεί στο πεδίο του χρόνου, τότε συστέλλεται στο πεδίο των συχνοτήτων και αντίστροφα β Αν, τότε x t X ω, δηλαδή, η (67) είναι ειδική περίπτωση της (6) 647 Παραγώγιση Αν a X ω x t, τότε k d x t k j X, για κάθε φυσικό αριθμό k k (6) Απόδειξη Η απόδειξη στηρίζεται στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής και στην κατά παράγοντες ιδιότητα των ολοκληρωμάτων dxt Θεωρούμε ότι k και y() t Οπότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: ( ) j dx t t j t Y y t e e x( t) e j t j x( t) e j t e t Επειδή lim xt ( ), και η εκθετική j t j t είναι φραγμένη συνάρτηση, προκύπτει lim xt ( ) e Επομένως, από την παραπάνω σχέση έχουμε: dxt jt jt Y e j x() t e j X k d x t kˆ Συνεπώς, για k η (6) ισχύει Θεωρούμε ότι για κάποιο τυχαίο ˆk ισχύει j X και kˆ επαναλαμβάνοντας ακριβώς την ίδια διαδικασία αποδεικνύεται ότι η (6) ισχύει και για kˆ, η ολοκλήρωση της απόδειξης αφήνεται ως άσκηση Άρα, η (6) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό k ˆ t 648 Θεώρημα Parseval (αρχή διατήρησης της ενέργειας) Αν X ω x t Απόδειξη, τότε X xt d (6) 4

Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου ευθύ και αντίστροφο στην (6) και (6) και αλλάζοντας τη σειρά των ολοκληρωμάτων μπορούμε να γράψουμε * jt * X d X X d x() t e X d * jt x() t X e d jt x() t X e d * x( t) x( t) * x( t) x ( t) x t * Στον Πίνακα 6 παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου () Ιδιότητα μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου () Γραμμικότητα Μετατόπισηστον χρόνο Αναδίπλωση Μετατόπισηστησυχνότητα Συνέλιξη στον χρόνο Κλιμάκωση στον χρόνο Παραγώγιση Θεώρημα Parseval (Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας) Συνάρτηση συνεχούς χρόνου () Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου () X xt ( ) xt () X ( ) x () X ( x () X ( c X c X xt t j e t X ω xt X ω j t e xt X ω x t x X ω X ω c x ( t) c x ( t) t xa t k d x t k X xt X a a k j X d Πίνακας 6 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου () Μπορείτε να διερευνήσετε τον μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου () με το Διαδραστικό πρόγραμμα 6 Διαδραστικό πρόγραμμα 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου () 43

Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 65 Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (Inverse Continuous Time Fourier Transform I) ορίζεται από ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα Για να αποφευχθεί η χρήση του ολοκληρώματος στον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου, ο υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου, στηρίζεται τόσο στα ζεύγη του μετασχηματισμού, όσο και στις ιδιότητες του μετασχηματισμού Παράδειγμα X cos jsin( ) Από την ταυτότητα του Euler έχουμε: j X cos jsin cos jsin e Άρα από τα ζεύγη του μετασχηματισμού προκύπτει: x t t Παράδειγμα 3 j X j Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου γράφεται X j j Άρα από τα ζεύγη του μετασχηματισμού και από την ιδιότητα της γραμμικότητας προκύπτει: t t x t e u t t e u() t 66 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον ----5- Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorksInc, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IngleandProakis, 3 και Leis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlabείναι το βιβλίο Παρασκευάς, 4 Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eaton, Bateman, Hauberg, Wehbring, και Hansen, Η συνάρτηση [F]=fourier(f) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ευθέως μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου () Η συνάρτηση δέχεται ως είσοδο τη συνάρτηση fκαι παράγει στην έξοδο τον μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνουf Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του t μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου () του σήματος xt e απαιτείται η κλήση: syms t; fourier(exp(-t^)+sin(t)); Το αποτέλεσμα είναι: pi^(/)/exp(w^/4) - pi*(dirac(w - ) - dirac(w + ))*i Η συνάρτηση [f]=ifourier(f) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου () Η συνάρτηση δέχεται ως είσοδο τον μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνουfκαι παράγει στην έξοδο τη συνάρτηση f Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου () του σήματος xt cos t απαιτείται η κλήση: syms x t; X=fourier(cos(t)); και για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου () απαιτείται η κλήση: x=ifourier(x,t); 44

Το αποτέλεσμα είναι: /(*exp(t*i)) + exp(t*i)/ που σημαίνει jt e jt jt jt jt e e e e cos( t) jt e Παρατήρηση: Οι συναρτήσεις syms, fourier και ifourier είναι διαθέσιμες σε Matlab και σε Octave (symbolic package) Όταν είναι γνωστός ο μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου (), τότε είναι δυνατό να υπολογιστεί το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και η φάση Ο μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου () είναι συνάρτηση του ω Πρώτα δηλώνεται το πεδίο τιμών της μεταβλητής ω Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται ώστε το πεδίο τιμών της μεταβλητής ω να είναι διάνυσμα Μετά δίνεται ο τύπος υπολογισμού του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου Προσοχή στη χρήση της τελείας στους τελεστές των πράξεων, ώστε οι πράξεις να γίνονται με κάθε τιμή του διανύσματος που αντιστοιχεί στη μεταβλητή ω Χρήσιμο είναι να υπολογίζεται το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και η φάση του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου () Για τον υπολογισμό του πραγματικού μέρους χρησιμοποιείται η συνάρτηση real Για τον υπολογισμό του φανταστικού μέρους χρησιμοποιείται η συνάρτηση imag Για τον υπολογισμό του μέτρου χρησιμοποιείται η συνάρτηση abs Για τον υπολογισμό της φάσης χρησιμοποιείται η συνάρτηση angle Είναι δυνατή η ταυτόχρονη σχεδίαση του πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου () σε ένα Σχήμα με τη χρήση της συνάρτησης subplot Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι το σήμα διακριτού χρόνου xt e t u() t έχει μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου () X j Για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου () και τη σχεδίαση του πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου () απαιτείται η κλήση w=[-::]; X= / (+j*w); realx=real(x); imagx=imag(x); absx=abs(x); anglex=angle(x); figure(); subplot(,,); plot(w,realx); subplot(,,); plot(w,imagx); subplot(,,3); plot(w,absx); subplot(,,4); plot(w,anglex); 6 Απόκρισησυχνοτήτων ----5-6 6 Ορισμός της απόκρισης συχνοτήτων Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου () H της απόκρισης μοναδιαίου παλμού ht ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος συνεχούς χρόνου ονομάζεται απόκριση συχνοτήτων: jt H h t e () (63) Από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου, είναι προφανές ότι ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου () X της εισόδου xt και ο μετασχηματισμός Fourier 45

συνεχούς χρόνου () της εξόδου y t h t x t του LTI συστήματος συνδέονται με τη σχέση: Y H X Είναι προφανές, από τον ορισμό, ότι η απόκριση συχνοτήτων είναι μιγαδική συνάρτηση και γράφεται: j H H jh H e ( ) Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου έχουμε είσοδο το φανταστικό εκθετικό σήμα με συχνότητα, τότε η έξοδος είναι επίσης φανταστικό εκθετικό σήμα με την ίδια συχνότητα: jt y t H e H x() t δηλαδή το LTI σύστημα διατηρεί τη συχνότητα του σήματος εισόδου Απόδειξη Παράδειγμα Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H j jt Αν στο σύστημα τεθεί είσοδος x t e με συχνότητα, τότε η έξοδος του συστήματος είναι jt y t H x t 3j e, που έχει την ίδια συχνότητα με τη συχνότητα του σήματος εισόδου Γενικά, ένα LTI σύστημα μεταβάλλει το μέτρο και τη φάση του σήματος εισόδου, όχι όμως τη συχνότητα του σήματος εισόδου Επομένως, λόγω της ιδιότητας της γραμμικότητας των LTI συστημάτων, αν στην είσοδο ενός LTI συστήματος τεθεί ένα σήμα, που αποτελείται από άθροισμα σημάτων απλών συχνοτήτων, τότε και η έξοδος του LTI συστήματος αποτελείται από άθροισμα σημάτων με ίδιες συχνότητες και με διαφορετικό πλάτος και φάση Έτσι δικαιολογείται η ονομασία «απόκριση συχνοτήτων» 6 Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω απόκρισης συχνοτήτων Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές: (64) Παίρνοντας μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου () και στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης και αξιοποιώντας τις ιδιότητες της γραμμικότητας και παραγώγισης του μετασχηματισμού, έχουμε: Οπότε R j t e x t I Y () j t y t h t x t h x t d h e d M jt j jt j jt h e e d e h e d e H k N k d x( t) d y( t) b a k k k k k k 3 M N M N k k k k b k ( j) X ( ) a k ( j) Y( ) X ( ) b k ( j) Y( ) a k ( j) k k k k Αλλά Y H X H M k N k k b ( j) k k a ( j) k (65) 46

Παρατηρούμε ότι η απόκριση συχνοτήτων εξαρτάται από τους συντελεστές του LTIσυστήματος συνεχούς χρόνου Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης αρκούν για να ορίσουν την απόκριση συχνοτήτων Έτσι, η απόκριση συχνοτήτων αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα συνεχούς χρόνου Επίλυση διαφορικής εξίσωσης με μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου () Παράδειγμα Σε ένα RLC κύκλωμα υπάρχει μία αντίσταση R, ένα πηνίο L και ένας πυκνωτής C σε σειρά Το κύκλωμα έχει τάση vt () και ρεύμα it () Τότε το κύκλωμα περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: di( t) t v( t) R i( t) L i( t ) C Παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση: dv( t) R di( t) L d i( t) i () t C Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου () στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: ( j ) V ( ) R ( j ) I( ) L ( j ) I( ) I( ) R ( j ) L ( j ) I( ) C C Επομένως, η απόκριση συχνοτήτων του κυκλώματος είναι: I( ) j H ( ) V ( ) R ( j) L ( j) R j L C j C 63 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H, όπως φαίνεται στο Σχήμα 63 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο xn ( ) με X και έξοδο wn ( ) με W Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο, την έξοδο wn ( ) του πρώτου συστήματος με W και έξοδο yn () με Y Η σύνδεση σε σειρά των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H H H (66) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα σε σειρά, ισχύει: Y H W W H X οπότε Y H W H H X [ H H ] X επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό Όμως, η έξοδος γράφεται: Y H X Επομένως, H H H H H 47

Σχήμα 63Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Η συνολική απόκριση συχνοτήτωνενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενο των αποκρίσεων συχνοτήτωντων επί μέρους συστημάτων 64 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H, όπως φαίνεται στο Σχήμα 64 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο xn ( ) με X και έξοδο wn ( ) με W Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο xn ( ) με X και έξοδο vn ( ) με V Οι έξοδοι των δύο συστημάτων αθροίζονται και δίνουν τη συνολική έξοδο yn () με Y Η παράλληλη σύνδεση των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H H H (67) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα παράλληλα ισχύει: V H X W H X οπότε Y V W H X H X H H X, επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα Όμως, η έξοδος γράφεται: Y H X Επομένως, H H H H H 48

Σχήμα 64Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Η συνολική απόκριση συχνοτήτωνενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των αποκρίσεων συχνοτήτωντων επί μέρους συστημάτων 63 Λυμένες Ασκήσεις ----5-6 Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () του σήματος συνεχούς χρόνου: t, t xt (), t Λύση Έλεγχος ύπαρξης μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου: x( t) t ( t) ( t) t t t t ( ) Άρα, υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου Παρατήρηση Στο Σχήμα 65 φαίνεται το τριγωνικό σήμα x( t) t, t Αξίζει να σημειωθεί ότι το ολοκλήρωμα x() t είναι το εμβαδόν του τριγώνου, που σχηματίζεται από το σήμα και τον άξονα του χρόνου Το εμβαδόν είναι προφανώς ίσο με 49

9 8 7 6 x(t) 5 4 3 - -8-6 -4-4 6 8 time t Σχήμα 65Τριγωνικό σήμα συνεχούς χρόνου j t j t j t j t X x( t) e t e ( t) e ( t) e jt jt jt jt jt jt jt jt e t e e t e e e t e t e jt jt e t e t e jt Έχουμε: jt jt j j j j e e e e e e j j j j cos jsin cos jsin j cos jsin cos jsin jsin sin j j Επίσης, έχουμε: ' jt jt jt jt jt jt t e t e t e t' e t e e j j j j j t e e t e e t e e j j j j j j jt jt jt jt jt jt 5

Οπότε jt jt jt j j t e t e e e e j j (cos j sin ) (cos j sin ) j cos sin cos j sin j και jt jt jt j j t e t e e e e j j cos jsin cos jsin j cos jsin cos jsin j cos sin cos j sin j Άρα jt jt jt X e t e t e sin cos sin cos j sin j cos sin cos j sin j sin sin cos sin sin cos cos cos Επομένως, X cos Παρατηρήσεις α X Πράγματι: cos cos cos δηλαδή cos Επειδή, έχουμε: X cos β X, όταν k, kz Πράγματι: 5

X cos cos cos Η τελευταία τριγωνομετρική εξίσωση έχει λύση k, kz γ X Πράγματι: cos cos ' X lim X lim cos lim lim ' lim ( sin sin sin sin ' cos lim lim lim lim lim ' cos cos Στο Σχήμα 66 φαίνεται ο μετασχηματισμός Fourier Συνεχούς Χρόνου () του τριγωνικού σήματος συνεχούς χρόνου x( t) t, t Είναι φανερό ότι ισχύουν οι παραπάνω παρατηρήσεις 9 8 7 6 X(ω) 5 4 3 - -5 - -5 5 5 frequency ω Σχήμα 66Ο μετασχηματισμός Fourier Συνεχούς Χρόνου () του τριγωνικού σήματος συνεχούς χρόνου Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () του σήματος συνεχούς χρόνου: c, t xt () c, t 5

Έλεγχος ύπαρξης μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου: c/ c/ c c x( t) t c c/ c/ Άρα, υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου c/ jt jt jt c/ jc/ jc/ X x() t e e e e e j c/ j c c sin( c / ) j sin sin c j c/ 3 Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt ( ) έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () X ( ) και το σήμα συνεχούς χρόνου yt ( ) έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () Y( ), να αποδείξετε την εξίσωση του Parseval: j( t ) 4 Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H τεθεί είσοδος xt ce, τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t H( ) x( t) Λύση 5 Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y'' t 5 yt x' t x( t) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνοτήτων Λύση Παίρνοντας μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου () στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: j Y 5Y j X X j 5Y j X Αλλά Y H X οπότε c/ c c c c j j jc/ jc/ e e cos j sin cos j sin c c c c cos j sin cos j sin j c c c c cos j sin cos j sin j ( ) ( ) x t Y y t X Λύση ( ) ( ) j t jt x t Y x t y t e y t x( t) e y( t) X y t h t x t h x t d h j( ( t ) ) c e d h j( t ) j c e e d * j( t ) c e h j e d j( t ) c e H 53

H j j j 5 5 6 Σε ένα RC κύκλωμα υπάρχει μία αντίσταση R και ένας πυκνωτής C σε σειρά Η τάση εισόδου του κυκλώματος είναι vin() t και η τάση εξόδου του κυκλώματος στα άκρα του πυκνωτή είναι vout() t Να βρείτε τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει το κύκλωμα Να υπολογίσετε την απόκριση συχνοτήτων του κυκλώματος Να υπολογίσετε την απόκριση μοναδιαίου παλμού του κυκλώματος Λύση vin( t) Ri( t) vout ( t) όπου it () είναι το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα Επίσης, t vout( t) i( t ) C οπότε dvout() t C i() t Άρα, παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση: dvout() t R C vout( t) vin( t) Παίρνοντας μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου () στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: RC ( j) Vout ( ) Vout ( ) Vin( ) ή RC ( j) Vout ( ) Vin( ) Επομένως, η απόκριση συχνοτήτων του κυκλώματος είναι: Vout( ) H( ) Vin( ) R C ( j) Η απόκριση συχνοτήτων του κυκλώματος γράφεται: (/ RC ) H( ) R C ( j) ( j) (/ R C) R C (/ R C) j Επομένως, η απόκριση μοναδιαίου παλμού του κυκλώματος είναι: t / RC h( t) e u( t) RC 64 Ασκήσεις ----5-6 Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () X ( ), τότε να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () του σήματος συνεχούς χρόνου x( t) Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () X ( ), τότε να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () του σήματος συνεχούς χρόνου: y t x t t ( ) cos(4 ) 3 Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () του σήματος συνεχούς χρόνου: 54

t, t c xt () c, t c 4 Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () X ( ) και το σήμα συνεχούς χρόνου yt ( ) έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () Y( ), τότε να αποδείξετε ότι: xt y( t) X ty ( t) 5 Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () του σήματος συνεχούς χρόνου: ct e, t xt () ct e, t με c 6 Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H τεθεί είσοδος x t A cos( t ), τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t H( ) x( t) 7 Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y'' t yt x' t x( t) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνοτήτων Να υπολογίσετε το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και τη φάση της απόκρισης συχνοτήτων 8 Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y' t yt x ' t x( t) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνοτήτων Να υπολογίσετε την απόκριση μοναδιαίου παλμού 65 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων ----5- Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Να μελετήσετε τη συνάρτηση fourier Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση fourier να υπολογίσετε τους μετασχηματισμούς Fourier συνεχούς χρόνου των σημάτων x ( t) exp( t ) x ( t) exp( ( t) ) x 3 ( t ) exp( ( t ) ) x 4 ( t ) exp( ( t ) ) και να εμφανίσετε τα αποτελέσματα Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου Να μελετήσετε τη συνάρτηση ifourier Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση fourier να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου του σήματος x( t) cos( t) 55

Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ifourier να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου του σήματος Να εμφανίσετε τα αποτελέσματα 3 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου: πραγματική συνάρτηση Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου:, t 4 xt (), t 4 Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () X ( ) 4 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου: μιγαδική συνάρτηση Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου: t x t e u() t 4 Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου () X ( ) 5 LTI σύστημα συνεχούς χρόνου Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων τεθεί είσοδος x t j t c e, τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t H( ) x( t) Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H j jt Αν στο σύστημα τεθεί είσοδος x t e με συχνότητα, τότε η έξοδος του συστήματος είναι ( ) ( 6 ) y t H x t j e Να σχεδιάσετε την απόκριση συχνοτήτων H j Να σχεδιάσετε τα σήματα εισόδου και εξόδου, που έχει την ίδια συχνότητα με τη συχνότητα του σήματος εισόδου 6 LTI σύστημα συνεχούς χρόνου j ( t ) Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H τεθεί είσοδος xt c e, τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t H( ) x( t) jt Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H j j( t ) Η είσοδος είναι x t 4e Να σχεδιάσετε τα σήματα εισόδου και εξόδου 3 H 3 3 7 LTI σύστημα συνεχούς χρόνου Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων 3 x t A cos( t ), τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t H( ) x( t) Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H j Η είσοδος είναι xt cos( t ) Να σχεδιάσετε τα σήματα εισόδου και εξόδου H τεθεί είσοδος 8 LTI σύστημα συνεχούς χρόνου Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H j j ( t ) Η είσοδος είναι xt cos3 t 4e 4 Να σχεδιάσετε τα σήματα εισόδου και εξόδου 3 56

66 Περίληψη (ηχογραφημένη) ----5-6 Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου 6 με τον Ήχο 6 Ήχος 6Περίληψη Κεφαλαίου 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (ContinuousTimeFourierTransform ) είναι ένας μετασχηματισμός, που συνδέει το πεδίο του χρόνου με το πεδίο της συχνότητας Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου X μίας συνάρτησης xt (), αν υπάρχει, είναι η αναπαράσταση της συνάρτησης j t συναρτήσει μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων της μορφής e, όπου είναι η συχνότητα Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου () της απόκρισης μοναδιαίου παλμού ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος συνεχούς χρόνου ονομάζεται απόκριση συχνοτήτων Η απόκριση συχνοτήτων εξαρτάται από τους συντελεστές του LTI συστήματος συνεχούς χρόνου Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης αρκούν για να ορίσουν την απόκριση συχνοτήτων Έτσι, η απόκριση συχνοτήτων αρκεί για να περιγράψει ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου Η συνολική απόκριση συχνοτήτων ενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενο των αποκρίσεων συχνοτήτων των επί μέρους συστημάτων Η συνολική απόκριση συχνοτήτων ενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των αποκρίσεων συχνοτήτων των επί μέρους συστημάτων 57

Βιβλιογραφία/Αναφορές Eaton, J W, Bateman, D, Hauberg, S, Wehbring R () GNU Octave (3rd ed) Hansen J S () GNU Octave Beginner's Guide Packt Publishing Ingle, V K, & Proakis, J G (3) Digital Signal Processing using MATLAB Stamford, CT: Thomson Brooks Cole Leis, J W () Digital Signal Processing using MATLAB for students and researchers J Wiley and Sons McClellan, J H, Schafer, R W, Yoder, M A (6) Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων Φιλομάθεια Μετάφραση Επιστημονική Επιμέλεια: Ε Ζ Ψαράκης PapoulisA (985) SignalAnalysis McGraw Hill The MathWorks Inc (5) Signal Processing Toolbox User s Guide Θεοδωρίδης, Σ, Μπερμπερίδης, Κ, Κοφίδης, Λ (3) Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις τυπωθήτω Καραγιάννης, Γ, & Μαραγκός, Π () Βασικές Αρχές Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραγιάννης, Γ, & Τζιτζιράχου, Κ (3) Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραμπογιάς, Σ (9) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Καραμπογιά Μάργαρης, Α (4) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Τζιόλα Παρασκευάς, Μ (4) Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου με Matlab Εκδόσεις Τζιόλα Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β (3) Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων ΕΑΠ Φωτόπουλος, Π, & Βελώνη, Α (8) Σήματα και Συστήματα Σύγχρονη Εκδοτική 58

Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 6 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 6Κριτήριο αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 63 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 63Κριτήριο αξιολόγησης 59