ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. (α) Να βρεθεί η τιμή της σύνθετης αντίστασης Ζ(s) των τριών κυκλωμάτων στο σχήμα Π5. (β) Να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά της Ζ(s). (γ) Να βρεθεί το ρεύμα εισόδου i(t) αν η τάση υ(t) είναι η βηματική συνάρτηση υ(t)u(t). ΣΧΗΜΑ Π5. 5. (α) Να γραφούν οι εξισώσεις βρόχων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.α. (β) Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.β ΣΧΗΜΑ Π5. 5.3 (α) Να δειχθεί η σύνθετη αντίσταση μεταφοράς H( s) V( s) I ( s) κυκλωμάτων του σχήματος Π5.3 δίδεται από των δύο g -5.67-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : Rù s + ù s + ù c c c και 3 Rù 3 3 s + ù s + ù s + ù c c c c αντίστοιχα. (β) Να βρεθούν οι πόλοι τα μηδενικά και το διάγραμμα Η(jω) για κάθε περίπτωση. (γ) Να βρεθεί η σταθερή κατάσταση του υ(t) αν i t 6 + 6cos ùt+ 6cos ùt. g c c ΣΧΗΜΑ Π5.3 5.4 (α) Προσαρμογή (scaling). Να βρεθούν οι σύνθετες αντιστάσεις Ζ(s), Z () s και Zb ( s) των τριών κυκλωμάτων του σχήματος Π5.4α.Να δειχθεί ότι Z ( s) Z( s) και Z s Zb ( s) bz( s). (β) Ομογενές Φορτίο. Να βρεθούν οι σύνθετες αντιστάσεις Ζ(s) και των δύο κυκλωμάτων του σχήματος Π5.4b και να δειχθεί ότι Z ( s) Z( s ) Γενικεύσετε. +. (γ) ΣΧΗΜΑ Π5.4 5.5 Αν r(t) είναι η βηματική απόκριση του συστήματος Η(s) και r ( t) απόκριση του συστήματος H ( s) H( s + ),να δειχθεί ότι είναι η βηματική - 5.68-8//8 5:: μμ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Υπόδειξη t t ô () () + r t e r t e r ô dô ( + ) H( s + ) H s s s + + s 5.6 Να δειχθεί ότι:(α) Αν Η(s) είναι ένα σταθερό αναλογικό σύστημα με βηματική απόκριση r(t),τότε r H (β) Αν Η(z) είναι ένα σταθερό ψηφιακό σύστημα με βηματική απόκριση r[n],τότε r H. [ ] () 5.7 Να δειχθεί ότι τα δύο κυκλώματα του σχήματος Π5.7 είναι τελικά ισοδύναμα από την V s V s I s I s.γενικεύσετε. άποψη ότι αν () (),τότε ΣΧΗΜΑ Π5.7 5.8 Το δίκτυο L με τους τέσσερις ακροδέκτες του σχ.π5.8 είναι παθητικό με είσοδο σύνθετης αντίστασης Ζ(jω)R(ω)+jX(ω) και μεταφορά σύνθετης αντίστασης H( jù) Á( ù) e jö ù. ΣΧΗΜΑ Π5.8 (α) Να δειχθεί ότι αν ig () t cos ùt,τότε cos sin õ ( t) Á( ù) ùt ö( ù) õ t R ù ùt X ù ùt [ ] cos + (i) -5.69-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : Ô () () Ô é t õ t dt R ù Ô ð (ii) g ù (β) Χρησιμοποιώντας τη (ii),να δειχθεί ότι Rù Á ( ù) r (iii) (γ) Κάτω από ποιες συνθήκες είναι το (iii) ισότητα; 5.9 Στο κύκλωμα του σχ. Π5.9α,Η(s)V(s)/E(s). (α) Σχεδιάστε Α(ω) για () R, () R Ù,και (3) RΩ. (β) Να βρεθεί το R αν Α(ω) είναι η καμπύλη που φαίνεται στο σχ.π5.96. (γ) Να βρεθούν ù m και ù και να δειχθεί ότι ù. ù m ΣΧΗΜΑ Π5.9 5. Στο κύκλωμα του σχ.π5.9,rω,η(s)v(s)/e(s) και H ( s) I( s) E( s). (α) Να γίνει το διάγραμμα Η(jω) και H ( jù) (β) Αν et + cos 5 tvolts,και να βρεθεί ακριβώς το μέγιστό τους.,να βρεθεί το i(t) και υ(t) (σταθερή κατάσταση). 5. (α) Να δειχθεί ότι αν H( jù) Á( ù) e jö ù και x(t)cos(ωt+θ),τότε y(t)α(ω) cos[ωt+θ+φ(ω)] (β) Να βρεθεί y(t) αν x(t)3cost+4sint και Η(jω)/(jω+3). 5. Στο σχήμα Π5.,τo C είναι ένα κύκλωμα που τέμνει τη γραμμή I-I στο L m και η διάμετρος N N είναι παράλληλη στην Ι. Να δειχθεί ότι όσο το L προχωράει κατά μήκος της Ι, το προϊόν ( LN )( LN ) είναι ελάχιστο αν L L m. - 5.7-8//8 5:: μμ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Υπόδειξη Το προϊόν ( LN )( LN ) sin ã ισούται με τη σταθερά αβ(δύο φορές στην περιοχή του τριγώνου LN N ). ΣΧΗΜΑ Π5. 5.3 Να δειχθεί ότι αν (σχ.π5.3) A ù + ù ù τότε το προϊόν Áù Á( ù) Á ( ù) Á ù + ù ù είναι μέγιστο για ù ù m όπου ù ù ± â m ï ù ù ù + ï ù ù â ΣΧΗΜΑ Π5.3 5.4 Με I g () s και V(s),όπως στο σχ.π5.4,να δειχθεί ότι Vs H() s I g sc () s ( s s )( s s ) s RC s RC και να επαληθευθεί το διάγραμμα του Α(ω) όπως φαίνεται στο σχήμα. -5.7-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΣΧΗΜΑ Π5.4 5.5 Στο κύκλωμα του σχ.π5.5, H(s)V(s)/E(s). (α) Να βρεθούν τα μηδενικά και οι πόλοι του Η(s). (β) Να σχεδιαστεί η απόκριση της συχνότητας Α(ω). ΣΧΗΜΑ Π5.5 5.6 Στο σύστημα του σχ.π5.6,h(s)v(s)/e(s). (α) Να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά του Η(s). (β) Να σχεδιαστεί το Η(jω). ΣΧΗΜΑ Π5.6 5.7 Να προσδιοριστούν τα διαγράμματα Nyquist για τις συναρτήσεις - 5.7-8//8 5:: μμ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ jù + 4 jù jù + 4 και να δειχθεί ότι είναι κύκλοι. jù + jù + 4 jù jù + 5.8 (α) Να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά της τάσης του λόγου Η(s) για καθένα από τα κυκλώματα του σχπ5.8. (β) Να γίνουν τα διαγράμματα Α(ω) και φ(ω). (γ) Να καθοριστεί το διάγραμμα Nyquist του Η(jω). ΣΧΗΜΑ Π5.8 5.9 H() s H( jù) Á( ù) e jö ù ( s + ) + â Να σχεδιαστούν Α(ω), φ(ω) και το διάγραμμα Nyquist του Η(jω) για βα,βα,και βα. 5. (α) Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις κόμβων να δειχθεί ότι η μεταφορά της σύνθετης H s V s I s του κυκλώματος του σχ.π5.α δίνεται από αντίστασης g όπου () H s 3 ks ( s + s + ù )( s + s + ù ) G ( C C ) LC ( C ) G C C ù ù + LC ( + C ) (i) -5.73-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΣΧΗΜΑ Π5. Χρησιμοποιώντας πόλου-μηδενικά προσεγγίσεις, να βρεθούν οι παράμετροι του κυκλώματος έτσι ώστε η προκύπτουσα απόκριση της συχνότητας Α(ω) να είναι η καμπύλη που φαίνεται στο σχ.π5.b Υπόδειξη Να σημειωθεί ότι C << C G C. (β) Χρησιμοποιώντας εξισώσεις δικτυώματος, να δειχθεί ότι η μεταφορά της σύνθετης αγωγιμότητας H( s) I ( s) E( s) του κυκλώματος του σχ.π5.c δίδεται από (i).να βρεθούν οι παράμετροι του κυκλώματος έτσι ώστε Α(ω) να είναι η καμπύλη στο σχ.π5.b. 5. Η είσοδος στο σύστημα του σχ.π5. ισούται με τα δείγματα x[n]x(nt) του xt + cos ð t T Να βρεθεί η προκύπτουσα απόκριση y[n] (σταθερή κατάσταση). ΣΧΗΜΑ Π5. 5. Να βρεθούν οι λύσεις σταθερής κατάστασης των εξισώσεων y t + y t cos t (α) (β) yn e. yn. cos. n - 5.74-8//8 5:: μμ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ jùô 5.3 (α) Να σχεδιαστεί η απόκριση της συχνότητας He Áù του συστήματος του σχ.π5.3α. (β) Χρησιμοποιώντας πόλου μηδενικά προσεγγίσεις, να βρεθούν οι σταθερές, του συστήματος του σχ.π5.3β έτσι ώστε το αντίστοιχο Α(ω) να είναι η καμπύλη που φαίνεται στο σχήμα. Υπόδειξη z e j ð 3 99. [βλέπε επίσης (5.98)]., ΣΧΗΜΑ Π5.3 5.4 (α) Με Õ () s του συστήματος, Y () s, Y () s Y() s Y ( s) H () s H () s H () s Xs () Xs () (β) Με V ( s ), V ( s ), V ( s ),όπως φαίνεται στο σχήμα Π5.4α να βρεθούν οι εξισώσεις () Y s Xs, όπως φαίνεται στο σχ.π5.4b,να προσδιοριστούν οι σταθερές,,b,b,b έτσι ώστε Y () s V ( s), Y ( s) V ( s), Y ( s) V ( s). -5.75-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : (γ) Επαναλάβετε το (α) ερώτημα αντικαθιστώντας τις δύο διαφορίσεις με δύο ολοκληρωτές (/s). (δ) Επαναλάβετε το (α) ερώτημα αντικαθιστώντας τις δύο διαφορίσεις με δύο στοιχεία καθυστέρησης ( e st ). ΣΧΗΜΑ Π5.4 5.5 (α) Να βρεθεί η μεταφορά των κυριοτέρων εξισώσεων του συστήματος του σχ.π5.5. (β) Να βρεθούν οι εξισώσεις του συστήματος H Y( z) Y ( z) ( z) H ( z) H ( z) X( z) X( z) Y z X z ΣΧΗΜΑ Π5.5 5.6 Η απόκριση κρούσης ενός FIR είναι το σήμα h[n] του σχ.π5.6.να δειχθεί ότι η απόκριση της συχνότητας Α(ω) Η(jω) είναι η καμπύλη Áù όπως φαίνεται στο σχήμα. sin 9ùÔ sin 7ùÔ sin ùô - 5.76-8//8 5:: μμ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΧΗΜΑ Π5.6 5.7 (α) Να δειχθεί ότι το σύστημα L T του σχ.π5.7 είναι το πραγματικό δείγμα του συστήματος L αν Á Ô Ôe sin âô âlc A e Ô A e Ô (β) Να σχεδιαστούν οι αντίστοιχες αποκρίσεις της συχνότητας ÁÔ ( ù) και Á ( ù) 4 r s,â 6 r s, και Τμs. για ΣΧΗΜΑ Π5.7 5.8 Να δειχθεί ότι (α) Αν η είσοδος σ' ένα σταθερό αναλογικό σύστημα Ç ( s) CH. σταθερά x(t)c, τότε η έξοδος είναι yt είναι μία (β) Αν η είσοδος σ' ένα σταθερό ψηφιακό σύστημα H(z) είναι μία σταθερά x[n]c, τότε η έξοδος είναι y[n]ch(). -5.77-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : 5.9 Δίνεται ένα αναλογικό σύστημα Ç ( s),δείχνουμε με H ( z) και H ( z) τους ψηφιακούς εξομοιωτές, που βρέθηκαν με τη μέθοδο μεταφοράς συχνότητας και με τη μέθοδο χρόνοδειγματοληψίας, αντίστοιχα. (α) Να δειχθεί ότι H H ( ). (β) Αν Τ είναι ικανοποιητικά μικρό, τότε Ç Ç ( ). (γ) Να βρεθούν τα μηδενικά και οι πόλοι του H ( z) και H ( z) Ç () s s ( s + )( s + ) αν Τ. και 5.3 Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μετασχηματισμού συχνότητας, με Τμs,να βρεθεί ο ψηφιακός προσομοιωτής Η(z) του συντονισμένου κυκλώματος του σχ.π5.3,και σχεδιάστε την απόκριση συχνότητας. ΣΧΗΜΑ Π5.3 5.3 H ( s) είναι ένα αναλογικό σύστημα με κρουστική απόκριση () ( t 3t 5 + 4 ) () ht e e U t. που προκύπτει από την μέθοδο χρόνο- (α) Να βρεθεί ο ψηφιακός προσομοιωτής H ( z) δειγματοληψίας, και ο ψηφιακός προσομοιωτής του H ( z) που προκύπτει από την μέθοδο μεταφοράς συχνότητας με Τ.. (β) Να βρεθούν οι αποκρίσεις βήματος r(t),r n,και r n των συστημάτων Ç () s, H ( z) και H ( z),αντίστοιχα, και να συγκριθούν τα r n και r n με τα δείγματα r(nt) ή r(t). 5.3 Να λυθεί αριθμητικά η διαφορική εξίσωση y t + y t t y() T. (i) (α) Με τη μέθοδο του χρόνου-δειγματοληψίας. (β) Με τη μέθοδο μεταφοράς συχνότητας. (γ) Να συγκριθούν οι προσεγγίσεις που προκύπτουν y n και y n με τα δείγματα y(nt) της ακριβούς λύσης yt () 4t + e t από (i). 5.33 Δίνεται ένα αναλογικό σύστημα με συνάρτηση συστήματος - 5.78-8//8 5:: μμ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ () H s ( s ) + + (α) Να βρεθεί το αντίστοιχο δείγμα του συστήματος H ( s) T για Τ.3. (β) Η είσοδος και στα δύο συστήματα είναι ένα ενιαίο βήμα x(t)u(t).να βρεθούν και να y t σχεδιαστούν οι προκύπτουσες αποκρίσεις y(t) και 5.34 Κανόνας Simpson Να δειχθεί ότι αν T. xt t + bt+ c,τότε T T xtdt x T + x + x T T 3 [ ] () 4 ( ) 5.35 (α) Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες το σύστημα του σχ.π5.35 είναι σταθερό. (β) Να βρεθεί η κρουστική απόκριση του h(t) και το βήμα απόκρισης r(t) αν () k- και () k-5. (γ) Να βρεθεί y(t) (σταθερή κατάσταση) αν x(t)5 cost και k-. ΣΧΗΜΑ Π5.35 5.36 Να δειχθεί ότι αν zi w z + Υπόδειξη z i i + w w i i i και Re w i <, τότε z i < και + wi < wi (σχ.π5.36) ΣΧΗΜΑ Π5.36-5.79-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : 5.37 Να δειχθεί ότι αν Η(s) είναι μεταφορά Laplace μιας πραγματικής συνάρτησης h(t) και H(jω)R(ω)+jX(ω) τότε R(-ω)R(ω) Χ(-ω)-Χ(ω) H(-jω)Η*(jω) 5.38 Να βρεθούν τα διαγράμματα Bode των συναρτήσεων ( s + ) s ( s + ) ss ( + 8) ( s + ) ( s + 4) s 9 ( s + ) ΣΧΗΜΑ Π5.39 5.39 Οι συναρτήσεις H ( s) και H ( s) είναι ελάχιστης φάσης και τα ασύμπτωτα διαγράμματα των κερδών τους είναι οι καμπύλες που φαίνονται στο σχ.π5.39.να βρεθούν H () s και H () s. 5.4 Να βρεθεί η δεξιά ασύμπτωτη ( ù ) του διαγράμματος Bode του H(jω) αν ht H( s) και ht t για t μικρό. 5.4 Το διάγραμμα Nichols του Η(jω) είναι το διάγραμμα Nyquist του λογαρίθμου του, με άλλα λόγια, είναι το σύνολο όλων των τιμών του log H(jω)log Α(ω)+jφ(ω) στο μιγαδικό επίπεδο αφού το ω ποικίλει από το έως το. Να βρεθεί το διάγραμμα Nichols για τη συνάρτηση H(jω)/(jω+α). - 5.8-8//8 5:: μμ