ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : --, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΑΡ. ΜΗΤΡ :....... ΟΝΟΜΑ :...... ΕΤΟΣ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΡΟΣΟΧΗ: Το φύλλο των θεμάτων καθώς και όλες οι κόλλες που χρησιμοποιήσατε (συμπεριλαμβανομένων και των πρόχειρων σελίδων) θα παραδίδονται. Η εξέταση διεξάγεται με κλειστά συγγράμματα. Δέσμευση: όλες οι ασκήσεις να ε- πιλυθούν με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας. Τυπολόγιο: Τα απαραίτητα μητρώα για την επίλυση όλων των ασκήσεων καθώς και οι αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού δίνονται στο τέλος των θεμάτων. ΘΕΜΑ ο (. μον.) Δίνεται το μεταλλικό επίπεδο πλαίσιο του σχήματος. Ολες οι ράβδοι είναι συμπαγούς κυκλικής διατομής ακτίνας cm και πλήρως πακτωμένες στο ένα τους άκρο. Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού είναι Ε = GPa. Η σύνδεση των τριών ράβδων στον κοινό κόμβο σύνδεσής τους είναι στερεού τύπου (θεωρούμενη ως μονολιθική). Η φόρτιση του πλαισίου αποτελείται από εξαναγκασμένες στροφές θ = θ =. rad του κοινού κόμβου και του κόμβου της βάσης του υποστυλώματος (δηλ. εξαναγκασμένη στροφή της πάκτωσης) με φορές όπως στο σχήμα. Επί πλέον, ο κοινός κόμβος φορτίζεται με κατακόρυφη δύναμη F = ΚΝ και φορά όπως στο σχήμα. Να μην αγνοηθούν οι αξονικές παραμορφώσεις. Ζητούνται: (α). μον.: Ο υπολογισμός των αγνώστων μετακινήσεων. (β). μον.: Ο υπολογισμός των εντατικών μεγεθών των άκρων κάθε μέλους και των αντιδράσεων. (γ). μον.: Η σύνταξη διαγραμμάτων εσωτερικών εντατικών μεγεθών. (δ). μον.: Η εξαναγκασμένη στροφή θ του κοινού κόμβου αντικαθίσταται από την επιβολή μίας εξωτερικής επικόμβιας ροπής Μ στον κόμβο αυτό. Ποιά πρέπει να είναι η τιμή και η φορά της ροπής αυτής προκειμένου να προξενείται ή ίδια στροφή θ του εν λόγω κόμβου (σε μέτρο και φορά); Διευκρινίζεται ότι η επικόμβια δύναμη F παραμένει. (ε). μον.: Να διατυπώσετε με λίγα λόγια τη θεμελιώδη συνθήκη η οποία πρέπει να ισχύει προκειμένου οι δύο δοκοί να μην εντείνονται αξονικά. Στη συνέχεια προσπαθήστε να διατυπώσετε τη σχέση που πρέπει να ισχύει μεταξύ των φορτίσεων θ, θ και F προκειμένου να πληρείται η διατυπωθείσα συνθήκη. ΘΕΜΑ ο (. μον.) (α). μον.: Nα συνταχθεί το μητρώο δυσκαμψίας (δυστένειας) Κ του επιπέδου δικτυώματος του σχήματος στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ. (β). μον.: Θεωρείστε ότι ο ελεύθερος κόμβος φορτίζεται με επικόμβιες δυνάμεις και ότι η στήριξη της μεσαίας (κατακόρυφης) ράβδου εξαναγκάζεται σε γνωστού μεγέθους κατακόρυφη βύθιση. Βάσει της εν λόγω φορτιστικής κατάστασης να διατυπωθούν τα υπομητρώα Κ,, sf και ss τα οποία απαιτούνται για πλήρη επίλυση του δικτυώματος.
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου τύπου δοκού στο επίπεδο Απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ +Y + x j + y m +θ i s = sinθ c = cosθ +Χ AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI c + s cs s c s cs s + AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI cs s + c c cs s + c c EI EI EI EI EI EI s c s c = AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI c + s cs s c s cs s + AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI cs s + c c cs s c c + EI EI EI EI EI EI s c s c Καμπτική ροπή αδράνειας συμπαγούς κυκλικής διατομής π r Για ακτίνα διατομής r είναι: I =. Καλή σας Επιτυχία!
ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Υπολογισμός αγνώστων μετακινήσεων Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται η αρίθμηση κόμβων, μελών και βαθμών ελευθερίας στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ (με κόκκινο) καθώς και οι αριθμήσεις των βαθμών ελευθερίας κάθε μέλους στο τοπικό του σύστημα xy (με μπλέ). Οι θετικές φορές των τοπικών αξόνων x κάθε μέλους επιλέχθηκε (χωρίς αυτό να είναι δεσμευτικό) να κατευθύνονται προς τον κοινό κόμβο για τον οποίο οι δύο από τους τρείς βαθμούς ελευθερίας είναι άγνωστοι. Συγκεκριμένα, οι δύο μεταθέσεις u και u. Η u είναι γνωστή και ίση με θ, u = θ. Eπίσης είναι και u = θ, ενώ u = u = u = u = u = u = u 8 = u 9 =. Ετσι, με αυτή τη διάταξη διευκολύνεται προς το συντομότερο η σύνταξη των απαιτούμενων υπομητρώων για την επίλυση, όπως φαίνεται παρακάτω. Μέλος Μέλος Μέλος 8 9 Τοπικό AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI c + s cs s c + s cs s AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI cs s c c cs s c c + + EI EI EI EI EI EI s c s c = AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI c + s cs s c s cs s + AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI cs s + c c cs s + c c EI EI EI EI EI EI s c s c οπικό Μέλος Μέλος Μέλος 8 9 Κ ss sf () Σχέση ΑΕ και ΕΙ: Είναι Α = πr (για r=. m) π r και I = άρα A = I A = I ή AE = EI () r r 8.. Επίσης είναι EI = E π = =. N m Ημίτονα και Συνημίτονα κατευθύνσεως μελών: Μέλος : θ = 9 ο s =, c = Μέλος : θ = ο s =, c = () Μέλος : θ = 8 ο s =, c = -
Υπομητρώα Κ μελών, και : Εφαρμόζεται το υπομητρώο της σχέσης () (πράσινο πλαίσιο) για κάθε μέλος ξεχωριστά σε συνδυασμό και με τις σχέσεις (), () και για = m. Ετσι προκύπτουν: = EI = EI., Υπομητρώo Κ κατασκευής:, EI = = = EI.,,. =, +, +, = EI Γινόμενο Κ U s: Η εφαρμογή της μεθόδου για τη διαδικασία υπολογισμού των αγνώστων μετακινήσεων U f περιλαμβάνει το γινόμενο U s το οποίο θα έχει την ακόλουθη μορφή. u = u = u = θ 8 9 u = u = Us = u = u = u8 = u9 = u = θ Λόγω των μηδενικών γινομένων που προκύπτουν κατά την εκτέλεση, το εν λόγω γινόμενο μπορεί να συμπιεσθεί στη μορφή: u = θ U s = u = θ Us Ετσι, το μέλος συνεισφέρει στο υπομητρώο με τα στοιχεία (,), (,), (,) και (,), βλ. στη σχέση () τα δύο κόκκινα οβάλ. Τα μέλη και συνεισφέρουν στο υπομητρώο (,), το καθένα, βλ. στη σχέση () το αντίστοιχο κόκκινο δεξί οβάλ. Ετσι θα είναι: EI EI EI EI s s + s + s.. = = EI EI EI EI EI c c c c Υπολογισμός αγνώστων μετακινήσεων: Δεν υπάρχουν φορτίσεις στα μέλη μεταξύ των ακραίων κόμβων τους επομένως P F =. με τα στοιχεία (,) και
p =. u.. u = θ Pf = U f + Us = U f + Us = EI + EI p = F u u = θ P f f U U s ( θ θ ) ( ). +.. +... F F = EI u u = = =.9 m EI. =. EI u +. EI θ +. EI θ u = = =.99 m Στο σχήμα φαίνεται η παραμορφωμένη μορφή του πλαισίου και η σήμανση των μετακινήσεων (υπολογισθέντων και εξαναγασμένων) στο απόλυτο σύστημα ΧΥ. () (β) ερώτημα Υπολογισμός εντατικών μεγεθών άκρων μελών και αντιδράσεων: Ο υπολογισμός θα γίνει απ ευθείας στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων κάθε μέλους. Επομένως εφαρμόζεται το μητρώο Κ της σχέσης () για s = s = s = s = και c = c = c = c = προκειμένου να προκύψει το μητρώο κάθε μέλους. Επίσης αντιστοιχίζονται κατάλληλα οι μετακινήσεις των κόμβων των άκρων κάθε μέ-λους από το απόλυτο σύστημα ΧΥ στο τοπικό του xy. Ετσι είναι: Μέλος : U [ θ u u θ ] = =..9.99. Είναι φανερό ότι κατά τη διάρκεια εκτέλεσης των πράξεων του γινομένου U τα στοιχεία των δύο πρώτων στηλών του μητρώου από τη σχέση () θα δίνουν μηδενικό αποτέλεσμα όταν πολλαπλασιάζονται με τα στοι-χεία u = u = του μητρώου U. Επομένως, για υπολογιστική συνόμευση, το εν λόγω γινόμενο μπορεί να συμπιεσθεί στη μορφή:... 9 P = U = = U =.9.99.99.. U U Ετσι θα είναι: AE EI EI EI EI EI EI.... = AE = EI... EI EI EI. EI EI EI
οπότε: 9.99 N.....9 N.9.9 Nm P = U = EI. P = =..99 9.99 N.....9 N.9 Nm. Μέλη & : Κατ αντιστοιχία με το μέλος θα είναι: U U [ u u θ ].99.9. = = U =.99.9. [ u u θ ] = = U =.99.9..99.9. AE EI EI EI EI... = = = AE EI.. EI EI. EI EI.88 N.88 N.9 Nm P = U =.88 N.88 N. Nm.88 N.88 N. Nm P = U =.88 N.88 N. Nm Τα εντατικά μεγέθη των κόμβων, και με τις φορές που φαίνονται στα σχήματα είναι και οι ζητούμενες αντιδράσεις. (γ) ερώτημα Διαγράμματα εσωτερικών εντατικών μεγεθών Οι σχέσεις συντάσσονται με αναφορά το τοπικό σύστημα xy κάθε μέλους. Μέλος : Μέλος : N( x) = p =9.99 N N( x) = p =.88 N Qx ( ) = p =.9 N M( x) = p + p x=.9 +.9 x Nm Qx ( ) = p =.88 N M( x) = p + p x=.9 +.88 x Nm
Μέλος : N( x) = p =.88 N Qx ( ) = p =.88 N M( x) = p + p x=. +.88 x Nm (δ) ερώτημα Ισοδύναμη εξωτερική επικόμβια ροπή Μ Η άθροιση των εσωτερικών ροπών του κόμβου είναι ίση με.9 +. +. = 8.9 ΚΝm και αφορά την πλασματική αντίδραση που οφείλεται στην εξαναγκασμένη στροφή θ. Εναλλακτικά, είναι η ισοδύναμη εξωτερική επικόμβια ροπή η οποία θα έπρεπε να ασκηθεί στον κόμβο προκειμένου αυτός να στραφεί κατά u = θ =. rad. Ανάλογο φυσικό νόημα έχει και η ροπή.9 Nm του κόμβου. (ε) ερώτημα Συνθήκη μή αξονικής έντασης των δοκών. Η θεμελιώδης συνθήκη για μή αξονική ένταση των δοκών είναι η πλήρης απουσία οριζόντιων μεταθέσεων των κόμβων των άκρων τους. Ετσι, στον παρόν πλαίσιο θα πρέπει u =. Από την πρώτη των σχέσεων () προκύπτει:. ( θ+ θ) u = = θ = θ. Επομένως η στροφή θ πρέπει να εφαρμοσθεί με την αντίθετη φορά. Σημειώνεται ότι η προκύπτουσα συνθήκη είναι ανεξάρτητη της δύναμης F, που είναι και αναμενόμενο.
ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Μητρώο δυσκαμψίας Κ Καθ όσον πρόκειται για δικτύωμα, από το δοθέν μητρώο δυσκαμψίας Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στήλες (στροφικοί βαθμοί ελευθερίας) και τίθεται ΕΙ =. Ετσι προκύπτει η ακόλουθη γενική μορφή του μη-τρώου Κ για δικτύωμα σε απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ, όπου οι εναπομείναντες ενεργοί βαθμοί ελευθερίας (,,, ) επαναριθμούνται στο εξής ως (,,, ). () m = AE cs s cs s c cs c cs cs s cs s c cs c cs Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται αριθμήσεις κόμβων, μελών και βαθμών ελευθερίας στο απόλυτο σύστημα ΧΥ. Περαιτέρω, για κάθε μέλος σημειώνονται οι γωνίες θ του τοπικού του άξονα x με τον απόλυτο Χ άξονα. Ετσι, προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας με τις τιμές μηκών, γωνιών, ημιτόνων και συνημιτόνων s και c, αντίστοι-χα. α/α i i θ i s i c i s i c i s i c i π/ = ο / / / / / π/ = 9 ο π/ = ο / / / / -/ Mε εφαρμογή των παραπάνω τιμών των s, c και s c στη σχέση () προκύπτουν τα παρακάτω μητρώα Κ των τριών μελών στο απόλυτο σύστημα ΧΥ. 8 8 8 AE AE AE =, =, = 8 8 8 Ή, προκειμένου ο κοινός παράγοντας εκτός των μητρώων να είναι ταυτόσημος για τα τρία μητρώα:
8 8 8 AE AE =, = AE, = 8 8 Η υπέρθεση των παραπάνω μητρώων Κ i δίνει το ζητούμενο μητρώο Κ. 8 8 = AE + + + + + + 8 8 AE = + 8 (β) ερώτημα - Υπομητρώα Κ,, sf και ss Ο μοναδικός ελεύθερος κόμβος του πλαισίου έχει δύο βαθμούς ελευθερίας, τους και 8 για τους οποίους οι μετακινήσεις u και u 8 αποτελούν αγνώστους οι οποίοι συνθέτουν το υπομητρώο U f. Η γνωστή βύθιση u της στήριξης της μεσαίας κατακόρυφης ράβδου, απλά θα ανήκει στο υπομητρώο U s μαζί με τις υπόλοιπες μηδενικές, δηλ. τις u, u, u, u και u. Επομένως δεν επηρεάζει τη σύνθεση των ζητουμένων υπομητρώων. Ετσι, για το προς επίλυση γενικό σύστημα της μορφής P U P F f f f = + F Ps sf ss Us Ps τα υπομητρώα Κ, Κ, Κ ss και Κ sf παρουσιάζονται εντός των εγχρώμων πλαισίων στο προκύπτον μητρώο Κ του (α) ερωτήματος ως: Κ πράσινο, Κ μπλέ, Κ ss κόκκινο, Κ sf καφέ. Είναι δηλαδή: sf 8 AE = + 8 ( ) 8 AE = ( ) ss AE = 8 ( ) AE = ( )