REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE. Aspecte itroductive Studiul comportametului diamic al sistemelor fizice modele matematice sub forma ecuaţiilor sau sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare, liiare sau eliiare. Îsă ueori u se cuosc epresiile fucţiilor care defiesc derivatele, iar alteori aceste epresii sut complicate u pot fi rezolvate pe cale aalitică, pri metode clasice. superior. De ordiul îtâi! Cu geeralizări la sisteme şi ordi Problema de rezolvare a uei ecuaţii difereţiale de ordiul îtâi: d f, ) d, : [ a, b ] I R, f [ a b], I R,, a,.) d se otează d, I iterval), cu codiţia iiţială: )..) Se cere să se determie epresia fuctiei ) care verifică relaţiile.) şi.) problemă de tip Cauch.
Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare Forma implicită a ecuaţiei difereţiale ordiare.): F,, ), F:[ a b] I I R cu I şi I itervale.,, [ a b], I, I R,,.3) Se presupue că s-a efectuat î prealabil u studiu al problemei euţate, costatâdu-se eisteţa şi uicitatea soluţiei. Î cotiuare, petru determiarea aproimativă a soluţiei se poate proceda î două moduri: a) se caută o fucţie z) care să aproimeze cât mai bie pe ) petru [ a, b] rezolvare aproimativă aalitică; b) metodă umerică propriu-zisă se determiă valorile,,, care să aproimeze cât mai bie valorile eacte ), ),, ), ale lui ) petru [ a, b] dacă puctele,,, [ a, b] sut cosiderate echidistate: i+ i h, i,.4) cu h pasul de discretizare de itegrare) şi capetele itervalului căruia îi aparţie variabila idepedetă sut: a, b.
Aspecte itroductive 3 Doar de tip b)! determiarea valorilor aproimative,,.. se va face folosid relaţii de tip.5): i i- + h g j, j, h), i, j i..5) Categorii de metode de itegrare umerică după umărul de pucte utilizate aterior puctului curet i, i ): ) metode moopas cu paşi separaţi) la determiarea lui i utilizează iformaţiile referitoare umai la u sigur puct aterior, corespuzător lui i- ; ) metodele multipas cu paşi legaţi) la determiarea lui i utilizează iformaţiile referitoare la mai multe pucte aterioare, corespuzătoare lui i-, i-,. Ambele categorii pot utiliza:
4 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare - algoritmi epliciţi direcţi) puctul curet u apare î epresia fucţiei g; - algoritmi impliciţi iterativi, de tip predictor-corector) puctul curet apare î epresia lui g.. Metode moopas petru ecuaţii difereţiale Trăsătură caracteristică: la calculul valorilor aproimative i, i se folosesc umai iformaţiile di puctul aterior i-, i- ), cu.5) particularizată: i i- + h g i-, i-, h), i..) Metodele se difereţiază ître ele pri forma fucţiei g, dar toate sut bazate pe dezvoltarea î serie Talor î veciătatea lui i : h h i ) i ) + ' i ) + " i ) +...!!.) şi reţierea uui aumit umăr de termei di.). Algoritmii epliciţi determiă valorile i, i pri efectuarea uui umăr fiit de operaţii aritmetice elemetare aplicâd direct o relaţie de tip.).
Metode moopas petru ecuaţii difereţiale 5 Algoritmii predictor-corector determiă valorile i, i pritr-u proces de calcul iterativ cu covergeţă teoretic ifiită, dar practic fiită etape: a) se iiţializează valoarea lui i : i i- + h g p i, i, h) ;.3) b) la u pas oarecare k,, 3, al procesului iterativ de calcul se determiă oua valoare a lui i : k i k + h g,,,, ) ;.4) i c i i i i h c) calculul este termiat câd i a fost determiat cu o precizie impusă / dorită: k k i i ε,.5) cu eroarea ε > prestabilită. Relaţia.3), aplicată o sigură dată formula de predicţie predictor); relaţia..4), aplicată î mod repetat pâă la atigerea preciziei dorite formula de corecţie corector). Metodele de tip Euler Trăsătură caracteristică: metode moopas cu algoritm eplicit la care di dezvoltarea î serie Talor.) se reţi umai primii doi termei:
6 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare i i- + h i-..6) petru versiuea clasică a metodei Euler: i i- + h f i-, i- )..7) Algoritm de rezolvare: porid de la codiţia iiţială.), se aplică succesiv.7) petru i rezultâd toate valorile căutate ilustrare petru i ). Eemplu: Se cosideră ecuaţia difereţială ordiară: f, ) +, cu codiţia iiţială: ) ). Să se rezolve umeric petru [,], cu pasul de discretizare h. ) utilizâd versiuea clasică a metodei Euler. Soluţie: Se particularizează relaţiile.4),.6) şi.7)
Metode moopas petru ecuaţii difereţiale 7 f f, ) f, ) + ; + h +..; + hf +.. ; f f, ) f.,.)..+.; + h.+.. ; + hf. +...4; f f, ) f.,.4).4. +.; 3 + h. +..3; 3 + hf.4+...63; f f, ) f.3,.63).63.3 +.33, 3 3 3 Eerciţiu: calcule petru i 4 şi rezolvare î cazurile h.5 ) şi h.5 4). Avataj: simplă; dezavataj: puţi precisă recomadată doar î cazul rezolvărilor rapide aproimative. Versiuea Cauch a metodei Euler Avataj: îmbuătăţirea preciziei şi stabilităţii umerice; dezavataj: creşterea volumului de calcule. Trăsătură caracteristică: îlocuirea relaţiei.7): i [ +.5h, +.5h f, )],.8) i + h f i i i i
8 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare adică u se mai aproimează pe itervalul [ i, i ] cu valoarea de la îceputul itervalului, ci cu o aproimaţie a valorii de la mijlocul acestui iterval. Eemplu: Să se rezolve ecuaţia difereţială di cadrul eemplului aterior î aceleaşi codiţii cu versiuea Cauch a metodei Euler. Soluţie: Se obţi succesiv următoarele rezultate: f f, ) f, ) + ; + h +..; f +.5h, + 5hf ) f +.5., +.5. ).5; + h.5 +..5.5; f f, ) f.,.5).5.+.5; + h.+.. ; f +.5h, +.5hf ) f.+.5.,.5 +.5..5).6 ; + h.6.5 +..6.4. Eerciţiu: calcule petru i 3 şi rezolvarea eemplului î cazurile h.5 şi h.5. Dezavataje ale metodelor de tip Euler: ) Număr mare de calcule î situaţia î care itervalul [a, b] este relativ larg deoarece este evoie de u umăr foarte mare de paşi de discretizare petru a acoperi itervalul.
Metode moopas petru ecuaţii difereţiale 9 ) Erorile făcute la fiecare pas figura!) se pot acumula şi propaga imprevizibil! Metodele de tip Ruge-Kutta Sut metode moopas cu algoritm eplicit. Avataj: asigură îmbuătăţirea î cotiuare a preciziei şi a erorii de truchiere pe u pas de itegrare. Trăsătură caracteristică: petru reducerea erorii, la determiarea lui i, i,,, se calculează valorile lui f,) îtr-u umăr de pucte itermediare ale itervalului [ i-, i ], acest umăr de pucte fiid legat direct de ordiul p al metodei. Forma geerală a metodelor de tip Ruge-Kutta: k h f i-, i- ),.9) j k j h f i- + h b j, i- + c jm k m ), j p,.) m p i i- + a m k m..) m Determiarea coeficieţilor a m, m p, b j, j p şi c jm, m j, j p se face pri dezvoltare î serie
Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare Talor a ambilor membri ai relaţiei.) şi idetificarea coeficieţilor epresiilor obţiute. Eemplu: metoda Ruge-Kutta de ordiul 4 algoritm bazat pe utilizarea relaţiilor.).6), prezetate î ordiea de efectuare a calculelor: k f i, ),.) k k k i f k i +.5h, i +.5h ),.3) 3 f k i +.5h, i +.5h ),.4) 4 f k3 i +.5h, i +.5h ),.5) h i + k + k + k3 k4 ). 6.6) i + Alte variate de metode de tip Ruge-Kutta cu proprietăţi avatajoase: Ruge-Kutta-Merso, Ralsto Ruge-Kutta şi Butcher-Ruge-Kutta. Adaptarea mărimii pasului de itegrare Î subdomeii ale itervalului [a, b] î care fucţia are variaţii lie poate fi utilizat u pas relativ mare. Dacă îsă, eistă subdomeii î care au loc variaţii rapide ale lui petru variaţii relativ mici ale lui este ecesar u pas mic. Dar: eistă fucţii petru care pot fi prezete ambele tipuri de
Metode moopas petru ecuaţii difereţiale subdomeii meţioate; petru acestea: î locul utilizării uui pas de itegrare mic pe îtreg itervalul [a, b] este preferată o soluţie mai eficietă, de adaptare automată a mărimii pasului de itegrare î fucţie de valoarea gradietului fucţiei ecuoscute, ). 3. Metode multipas petru ecuaţii difereţiale Se cosideră di ou ecuaţia difereţială de ordiul îtâi.) cu codiţia iiţială.) şi se cere să se rezolve această ecuaţie, adică să se determie epresia fuctiei ) care verifică.) şi.). Se pue problema rezolvării ecuaţiei meţioate pritr-o metodă umerică propriu-zisă, adică se cere să se determie valorile,,, care să aproimeze cât mai bie valorile eacte ), ),, ), ale lui ) petru [ a, b] dacă puctele,,, [ a, b] sut cosiderate echidistate cu pasul de itegrare h vezi.4)). Trăsătură caracteristică: la calculul valorilor aproimative i, i se folosesc, spre deosebire de cazul metodelor moopas, iformaţiile di mai multe pucte aterioare puctului curet i, i ), relaţia.5) obţiâd forma particulară 3.):
Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare i i- +h g i-r, i-r,, i-, i-, i-, i-, h), i, 3.) cu r N, r umărul de pucte aterioare utilizate. Metodele se difereţiază ître ele pri forma fucţiei g şi valoarea lui r, dar toate sut bazate pe utilizarea uor itegrale avâd forma 3.): i i ) i-r ) ) d, 3.) i-r ude fucţia ) este aproimată cu u poliom de iterpolare. Algoritmii epliciţi determiă valorile i, i pri efectuarea uui umăr fiit de operaţii aritmetice elemetare aplicâd direct o relaţie de tip 3.). Algoritmii predictor-corector determiă valorile i, i pritr-u proces de calcul iterativ cu covergeţă teoretic ifiită, dar practic fiită etape: a) se iiţializează valoarea lui i : i i- + h g p i-r, i-r,, i-, i-, i-, i-, h) ; 3.3) b) la u pas oarecare k,, 3, al procesului iterativ de calcul se determiă oua valoare a lui i : k i i k + h gc i r, i r,, i, i, i, i, i, i, h) ; 3.4)
3 Metode mutipas petru ecuaţii difereţiale 3 c) calculul este termiat câd i a fost determiat cu o precizie impusă / dorită: k k i i ε, 3.5) cu eroarea ε > prestabilită. Relaţia 3.3), aplicată o sigură dată fomula de predicţie predictor); relaţia 3.4), aplicată î mod repetat pâă la atigerea preciziei dorite formula de corecţie corector). Avataje comparativ cu metodele moopas: estimarea erorii de truchiere este relativ simplă, eroarea de truchiere fiid semificativ mai mică; propagarea erorilor este mai redusă, fiid îmbuătăţite precizia şi stabilitatea umerică se va revei); u este ecesar calculul valorilor fucţiei f, ) î pucte itermediare suplimetare faţă de cele de tip.4). Dezavatajele metodelor multipas faţă de cele moopas:! u este asigurată autoporirea deoarece la primii paşi u sut dispoibile iformaţiile di puctele aterioare se utilizează de regulă petru porire metode moopas cu eroare de truchiere de acelaşi ordi de mărime;! modificarea pasului de itegrare h este vorba î primul râd de reducerea acestuia, efectuată î vederea creşterii
4 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare preciziei) se face relativ dificil, fiid ecesare reveiri la pucte deja determiate sau reporiri cu metode moopas;! la uele variate poate creşte volumul de calcule. Metodele de tip Adams-Bashforth-Moulto Sut metode multipas cu algoritm eplicit; petru metodele de tip Adams-Bashforth-Moulto de ordiul m: " relaţia 3.) este particularizată petru r ; " itegradul di 3.) ) f, ) este aproimat cu u poliom de iterpolare Lagrage P m- ) de gradul m, defiit pri itermediul a m perechi de valori: j, f j, j )), j i m+, i m+,, i. 3.6) Algoritmul metodei Adams-Bashforth-Moulto de ordiul m 4 de tip predictor-corector) etape, pri care se determiă succesiv valorile lui i, i pe baza uor procese de calcul iterativ: ) Se iiţializează i utilizâd formula de predicţie de tip 3.3)): i i- +h55f i-, i- ) 59f i-, i- )+37f i-3, i-3 ) 9f i-4, i-4 ))/ /4, 3.7) ude idicele superior corespude umărului iteraţiei curete.
3 Metode mutipas petru ecuaţii difereţiale 5 ) La u pas oarecare k, k,, 3, al procesului iterativ de calcul se determiă oua valoare a lui i utilizâd formula de corecţie de tip 3.4)): k i i- +h9f i, k- i- )+9f i-, i- ) 5f i-, i- )+f i-3, i-3 ))/ /4. 3.8) 3) Calculul este termiat câd i a fost determiat cu o precizie impusă / dorită codiţia de tip 3.5)): k k i i ε, 3.9) cu eroarea ε > prestabilită. Algoritmul este porit petru i 4, deci valorile f, ), f, ), f, ) şi f 3, 3 ) trebuie cuoscute îaite de porire. Î practică, aceste valori trebuie obţiute pritr-o procedură de autoporire similară celor di cazul metodelor de tip Ruge-Kutta. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale ordiare de ordi superior Se cosideră ecuaţia difereţială de ordiul : ) f,, ', '',..., -) ), 3.)
6 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare cu [ ] b a,, î codiţiile iiţiale 3.): ) ) ) ) ) ) ) '' ) '' ' ) '!. 3.) Se itroduc otaţiile: ) ) ) ' ) ) 3) 3 ) )!. 3.) Pri efectuarea substituţiilor î 3.), se obţie că ecuaţia difereţială de ordiul 3.) este echivaletă cu următorul sistem de ecuaţii difereţiale ordiare de ordiul îtâi: 3 3 ),...,,, f!. 3.3)
3 Metode mutipas petru ecuaţii difereţiale 7 Codiţiile iiţiale petru sistemul 3.3) se obţi di relaţiile 3.) şi 3.): 3 ) ) ) ) ) ) ) 3)!. 3.4) ' Metode de soluţioare similare celor de la ecuaţii! 4. Aspecte privid stabilitatea umerică şi alegerea metodelor de rezolvare umerică a ecuaţiilor difereţiale Petru defiirea stabilităţii umerice a uui algoritm este evoie mai îtâi să se discute despre aaliza codiţioării problemei asociate algoritmului. Aaliza codiţioării uei probleme proces matematic relativ complicat, strâs legat de teoria perturbaţiilor. O problemă este bie codiţioată dacă mici variaţii î datele problemei provoacă doar mici variaţii î soluţie. Î caz cotrar problema este rău codiţioată.
8 Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare De regulă este studiată codiţioarea problemelor umerice di cadrul algebrei liiare, obţiâdu-se umere de codiţioare, calculabile sau estimabile. Aaliza codiţioării petru alte probleme î particular, petru rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare devie îsă dificilă şi ecesită u efort relativ mare. Î ses restrâs, se spue că u algoritm este umeric stabil dacă u itroduce o sesibilitate mai mare î raport cu datele decât cea ieretă problemei, adică u îrăutăţeşte codiţioarea problemei asociate algoritmului. Altfel spus, u algoritm este umeric stabil dacă rezultatul calculat de acesta este sau este apropiat de soluţia eactă a uei mici perturbaţii a problemei iiţiale. Dacă problema umerică este bie codiţioată soluţia calculată de u algoritm umeric stabil este apropiată de soluţia eactă. Petru mulţi algoritmi î particular, petru cei destiaţi rezolvării umerice a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare stabilitatea umerică poate fi demostrată matematic şi eprimată sub forma uor codiţii de stabilitate.
4 Aspecte privid stabilitatea umerică şi alegerea metodelor de rezolvare umerică 9 Observaţii cu referire la stabilitatea umerică a algoritmilor destiaţi rezolvării umerice a ecuaţiilor difereţiale ordiare:. Î cazul metodelor de tip Euler codiţia de stabilitate poate fi eprimată sub forma 4.): < h f/ <, 4.) de ude se poate cocluzioa că: A. este ecesar ca f/ < petru asigurarea stabilităţii umerice, B. poate apare istabilitate umerică petru aumite valori ale pasului de itegrare h.. Şi î cazul metodelor de tip Ruge-Kutta se pot trage aceleaşi cocluzii, rezultate di codiţia de stabilitate 4.): M < h f/ <, 4.) î care parametrul M < poate fi estimat şi diferă de la o metodă de tip Ruge-Kutta la alta. Petru asigurarea stabilităţii umerice se poate proceda la reducerea valorii pasului de itegrare h pâă la o valoare suficiet de mică. Îsă, metodele de tip Ruge-Kutta sut mai puţi eficiete decât cele de tip predictor-corector datorită umărului mai mare de evaluări ale fucţiei la fiecare pas;
Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare deci, o reducere prea substaţială a valorii lui h determiă creşterea cosiderabilă a volumului de calcule legate de evaluările fucţiei. cel puţi di motivul asigurării stabilităţii umerice este evoie de ajustarea cu grijă a pasului de itegrare pe parcursul procesului de soluţioare e ecuaţiei difereţiale. 3. Î cazul metodelor de tip Adams-Bashforth-Moulto se pot trage cocluziile A. şi B. de la metodele de tip Euler. De data aceasta codiţia de stabilitate are epresia 4.3):.5 < h f/ <, 4.3) care este de asemeea utilă la estimarea mărimii pasului de itegrare h. Alegerea metodei umerice de itegrare a ecuaţiilor difereţiale ordiare este strâs legată de aaliza erorilor de calcul î procesul de rezolvare a ecuaţiilor difereţiale ordiare. Remember: erorile de calcul pot fi de trei tipuri erori de truchiere, erori de rotujire şi erori de propagare fiid importată aaliza efectului fiecărui tip de eroare î parte
4 Aspecte privid stabilitatea umerică şi alegerea metodelor de rezolvare umerică asupra preciziei rezultatelor, scopul fiid evidet cel de reducere a erorilor de calcul. Erorile de truchiere depid de metoda umerică aleasă. Petru metodele umerice aalizate aici, erorile de truchiere sut: de ordiul de mărime al lui h petru versiuea clasică a metodelor de tip Euler şi de ordiul de mărime al lui h 3 petru versiuea Cauch a metodelor de tip Euler; de ordiul de mărime al lui h 5 petru metodele de tip Ruge-Kutta de ordiul 4; de ordiul de mărime al lui h 5 petru metodele de tip Adams-Bashforth-Moulto de ordiul 4. Erorile de rotujire depid de posibilităţile echipametului de calcul pe care sut implemetaţi algoritmii de rezolvare a metodelor umerice. Aceste erori pot fi dimiuate dacă se utilizează modul de lucru î dublă precizie. Cu toate acestea, erorile de rotujire cresc pe măsura creşterii umărului de paşi de itegrare datorită propagării erorilor de la u pas la altul.
Rezolvarea umerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii difereţiale ordiare Erorile de propagare: efectul lor este simţit mai ales la metodele de tip predictor-corector. Este importat să fie utilizate umai metode umeric stabile, la care erorile u se propagă î mod imprevizibil sau chiar emărgiit. Petru reducerea erorilor de truchiere este recomadată micşorarea pasului de itegrare, îsă aceasta coduce la creşterea erorii de rotujire. Pe de altă parte, micşorarea pasului de itegrare coduce la creşterea umărului de paşi, cu coseciţa imediată a creşterii timpului de calcul. Deci, trebuie căutată ca o soluţie de compromis acea valoare a pasului de itegrare petru care erorile de calcul suma celor trei tipuri de erori meţioate) să fie cât mai mici. Ţiâd seama legătura ditre mărimea pasului de itegrare şi cea a erorilor de calcul, alegerea uei aumite metode de rezolvare umerică a ecuaţiilor difereţiale ordiare reprezită o problemă relativ compleă recomadări:
4 Aspecte privid stabilitatea umerică şi alegerea metodelor de rezolvare umerică 3 # Dacă se cer rezolvări rapide se poate alege o metodă simplă, de tip Euler, cu u pas de itegrare relativ mic, dar cu o valoare absolută mult superioară celui mai mic umăr posibil a fi reprezetat î echipametul de calcul. # Dacă se cer rezolvări precise fără a fi importat timpul de calcul se poate alege metoda Ruge-Kutta de ordiul 4 datorită avatajelor legate de autoporire. # Dacă se cer rezolvări precise fără modificări semificative ale pasului de itegrare se poate alege metoda Adams- Bashforth-Moulto de ordiul 4 datorită avatajelor legate de stabilitate umerică. # La toate metodele umerice utilizate este ecesară aaliza stabilităţii umerice deoarece toate trebuie să fie umeric stabile. Dacă aceasta u poate fi efectuată teoretic trebuie testată î fucţie de aplicaţie. + eperieţa utilizatorului! + aaliza aplicaţiei!