Χρονοσειρές - Μάθημα 7 Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών Γραμμική ανάλυση / Γραμμικά μοντέλα αυτοσυσχέτιση AR μοντέλο ARMA(p,q) μοντέλο x x px p z z z q q Πλεονεκτήματα:. Απλά 2. Κανονική διαδικασία, ανεπτυγμένη θεωρία για στοχαστικές διαδικασίες και στατιστική συμπερασματολογία 3. Χρήσιμα στις εφαρμογές Μειονεκτήματα:. Δεν εξηγούν μη-κανονικές μορφές της χρονοσειράς - ασυμμετρία δεδομένων (κατανομής) - μη-αντιστρεψιμότητα στο χρόνο - «ξεσπάσματα» 2. Καθοριστικό μέρος: - σταθερό οριακό σημείο - ασταθές σύστημα - ταλάντωση μεταξύ σημείων Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών περιγραφή μηκανονικών χαρακτηριστικών εξήγηση / εντοπισμός σύνθετων καθοριστικών δομών
Γενικό μη-γραμμικό μοντέλο f (, 2,, f, ) p (, 2,, p ) Προσθετικός θόρυβος p ',, 2, p f : p f?
Γραμμικό AR μοντέλο 2 2 p p Γενικεύσεις / επεκτάσεις του γραμμικού ΑR μοντέλου σταθερά (γραμμικό ΑR),, 2, p () () (), 2,, p (2) (2) (2), 2,, p ( l) ( l), 2,, ( l) p τμηματικά μοντέλα - SETAR - Μαρκοβιανά τυχαίες μεταβλητές - RCA - BL σταθερό (γραμμικό ΑR, ARMA) συνάρτηση των - ARCH - GARCH
φυσιολογία Πραγματικές χρονοσειρές μηχανική γεωφυσική οικονομία
Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών και δυναμικά συστήματα Χρονοσειρά x, x 2,, xn Υπόθεση: Παρατήρηση: x h( s ) s h: d d : τροχιά δυναμικού συστήματος συνάρτηση παρατήρησης Μη-γραμμικό δυναμικό σύστημα s f ( s ) s : το διάνυσμα θέσης για χρόνο f d d : συνάρτηση του συστήματος : συνεχής ή διακριτός χρόνος Για χρονοσειρές Τροχιά στο d συστήματα απώλειας ενέργειας ελκυστής
Ελκυστής: ευσταθές σημείο ισορροπίας πεπερασμένο σύνολο σημείων ισορροπίας οριακός κύκλος τόρος παράξενος ελκυστής μπορεί να σχηματιστεί από γραμμικό σύστημα δε μπορεί να σχηματιστεί από γραμμικό σύστημα αυτό-ομοιότητα μορφοκλασματικά ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες χάος
Μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα, απεικονίσεις (διακριτός χρόνος) Λογιστική απεικόνιση περιοδικό a=3.52 s i = a s i- ( - s i- ) χαοτικό a=4 χαοτική απεικόνιση Henon s i =.4 s i- 2 +.3s i-2 χαοτική απεικόνιση Ikeda s k.9s 6i exp.4i sk k 2
Μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα,ροές (συνεχής χροόνος) Σύστημα Lorenz: s s s a( s2 s) 2 3 bs cs s 3 2 s s s a b 28 c 2 s 3 8 3 s, s 2, s 3 s Χρόνος δειγματοληψίας τ s s 2 s 3
Χρονοσειρές με θόρυβο Παρατήρηση x h( s ) θόρυβο x h( s ) w θόρυβος παρατήρησης w : λευκός θόρυβος, ασυσχέτιστος με x και s Δυναμικό σύστημα s f ( s ) θόρυβο s f ( s ) δυναμικός θόρυβος : λευκός θόρυβος, ασυσχέτιστος με su u
Θόρυβος: δυναμικός (συστήματος) ε παρατήρησης (μέτρησης) w λογιστική απεικόνιση s i = a s i- ( - s i- ) + ε i, ε i ~ N(,s 2 ) x i = s i περιοδική s i = a s i- ( - s i- ) x i = s i + w i, w i ~ N(,s) χαοτική
Διαγράμματα διασποράς σε 2 και 3 διαστάσεις d= d=2 d=3
x(i-2) x(i) x(i-) x(i) x(i-2) x(i-) x(i-2) x(i) x(i-) 2 Διαγράμματα διασποράς σε 2 και 3 διαστάσεις d= d=2 d=3 annual sunspos 7-996 2 sunspos sunspos 5 5 2 5 5 5 5 2 25 3 ime index i 5 square of AR(9) 5 5 5 2 Square x(i) of AR(9) 5 5 5 5 2 x(i) Square of AR(9) 5 2 5 x(i-) 4 4 5 3 3 4 3 2 2 2 5 5 2 25 3 ime index i 2 3 4 5 x(i) 2 4 x(i) 6 2 x(i-) 4 6 2 square of z-lorenz 2 square of z-lorenz square of z-lorenz 5 5 2 5 5 5 5 2 25 ime index i 5 5 5 2 x(i) 5 5 5 x(i) 2 5 2 5 x(i-)
Χρονοσειρές - Μάθημα 9 Aνάλυση χρονοσειρών και δυναμικά συστήματα - Ανακατασκευή του χώρου καταστάσεων παρατήρηση της πολυπλοκότητας / στοχαστικότητας / δομής του συστήματος - Εκτίμηση χαρακτηριστικών του συστήματος / ελκυστή μέτρηση της πολυπλοκότητας / διάστασης του συστήματος - Μοντελοποίηση / Πρόβλεψη Χρήση μη-γραμμικών μοντέλων για καλύτερες προβλέψεις - Άλλα θέματα: - Έλεγχος υπόθεσης για γραμμικότητα / μη-γραμμικότητα - Έλεγχος εξέλιξης συστήματος (conrol) - Συγχρονισμός δυναμικών συστημάτων -
Ανακατασκευή του χώρου καταστάσεων αρχικός χώρος καταστάσεων s M s i s i f ( s i i ) συνθήκη: m 2D Εμβύθιση Φ? ανακατασκευασμένος χώρος καταστάσεων R m x F( x i i x x i ) i x i = F(s i ) Υποθέτουμε πως το υπό μελέτη σύστημα είναι αιτιοκρατικό παρατηρούμενο μέγεθος R x x i = h(s i ) h Μέθοδος των υστερήσεων x i = [x i, x i-,, x i-(m-) ] Παράμετροι διάσταση εμβύθισης m χρόνος υστέρησης εύρος παραθύρου χρόνου w w = (m-)
s(i)=.4 s(i-) 2 +.3s(i-2) ή s (i)=.4 s (i-) 2 + s 2 (i-) s 2 (i)=.3 s (i-) Παράδειγμα: Απεικόνιση Henon Μέθοδος των υστερήσεων Αυτο-τομές m=2 τ= m=2 τ=2 Προβολή x i = s (i) m=3 τ= m=3 τ=2
s s a( s s2) 2 s s s 3 ss2 cs3 a=, b=28, c=8/3 3 bs s 2 Παράδειγμα: σύστημα Lorenz Μέθοδος υστερήσεων, m=3 Βέλτιστο τ? τ= τ =5 Προβολή x i = s (i) τ = τ =2
Εκτίμηση του τ 24 Από την αυτοσυσχέτιση r(τ) (μετράει γραμμικές συσχετίσεις) τ r(τ) =/e ή τ r(τ) = Από την αμοιβαία πληροφορία I(τ) (μετράει γραμμικές και μη-γραμμικές συσχετίσεις) τ πρώτο τοπικό ελάχιστο της I(τ) Εκτίμηση αμοιβαίας πληροφορίας συνεχών τυχαίων μεταβλητών: εκτιμητές, ιδιότητες (μεροληψία, αποτελεσματικότητα) I(, Y) p py ( x, y) ( x, y)log p ( x) p ( ) Y x, y Y y x i Y I(, Y) I( ) x i
Βέλτιστο m? Εκτίμηση του m Αν m είναι πολύ μικρό, ο ελκυστής παρουσιάζει αυτο-τομές Αν m είναι πολύ μεγάλο curse of dimensionaliy Θεώρημα Takens: άγνωστο m 2D αλλά D Μέθοδος των ψευδών γειτόνων (FNN) R R 2 Κοντινά σημεία του ελκυστή είναι - είτε πραγματικά γειτονικά σημεία (λόγω της δυναμικής του συστήματος) - ή ψευδή γειτονικά σημεία (λόγω των αυτο-τομών και μικρού m) Σε μεγαλύτερο m όπου δεν υπάρχουν αυτο-τομές έχουν φανερωθεί όλα τα ψευδή γειτονικά σημεία αφού δε θα είναι πια γειτονικά. Το βέλτιστο m είναι αυτό για το οποίο δεν εμφανίζονται πλέον ψευδή γειτονικά σημεία καθώς αυξάνουμε τη διάσταση σε m +.
% FNN Παράδειγμα εκτίμησης του m από τη μέθοδο FNN % FNN x-lorenz χωρίς θόρυβο x-lorenz + % θόρυβο 4 35 3 FNN, x-lorenz, no-noise =2 =5 = =2 4 35 3 FNN, x-lorenz % noise =2 =5 = =2 25 25 2 2 5 5 5 Singular specrum analysis 5 2 4 6 8 m 2 4 6 8 m Η εκτίμηση του m με τη μέθοδο FNN εξαρτάται από: - την υστέρηση - θόρυβο 25 Ανακατασκευή χώρου κατάστασης με την «ανάλυση φάσματος ιδιάζουσων τιμών (Singular Specrum Analysis, SSA) 26 Μέθοδοι εκτίμησης παραμέτρων ανακατασκευής χώρου κατάστασης (εκτός των γνωστών)