ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β B. A,, g και g ( ) A, f B. ( ) ln fo g f g fo g ( ) h ( ) ln ln ( ), για κ α ι, α φ ο ύ, Νέο Φροντιστήριο
h Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε η h είναι -, άρα αντιστρέφεται. Για το σύνολο τιμών έχουμε: lim h lim ln lim h lim ln Η h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,, άρα lim, lim h h h Οπότε h y y y y y y y f y ln y ( ) y y y Άρα h με h B3. ( ) ( ) Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο και δεν έχει ακρότατα. Νέο Φροντιστήριο
( ) 3 3 3 3 ( ) 3 μ ε κ α ι ( ) + - 3 Άρα η φ είναι κυρτή, η φ είναι κοίλη,, Και σημείο καμπής ( ) Β lim lim D L H άρα η Cφ έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ε: y= lim άρα η Cφ έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ε: y= Άρα η ( ) έχει στο ορίζονται ασύπμτωτη την y= και στο την y = Νέο Φροντιστήριο
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Γ : Γ. Η f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην, κε f '(). Η εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο C ζην,f ( ), όπνπ, f, είλαη : y f ( ) f ( ) ( ) y ( ) ( ) y θαη δηέξρεηαη από ην, όηαλ Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε g() εμίζσζε g(), κε,. Αξθεί λα δείμνπκε όηη ε έρεη αθξηβώο δύν ξίδεο ζην,. Η g είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην g () πξάμεηο παξαγσγίζηκσλ κε Είλαη g () ή ή ή αθνύ,, σο Τν πξόζεκν ηεο g, ε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο g ζην, θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα π g () + g() MέγηζηνEιάρηζην Μέγηζην Η g είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην, θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην, Η g παξνπζηάδεη ζηε ζέζε κέγηζην ην g(), ζηε ζέζε ειάρηζην ην g θαη Νέν Φξνληηζηήξην
ζηε ζέζε 3 κέγηζην ην g( ) ( ). Παξαηεξνύκε ινηπόλ όηη ε εμίζσζε g() έρεη αθξηβώο δύν ξίδεο ηηο, 3 άξα ππάξρνπλ δύν ζεκεία επαθήο ηα, θαη,, επνκέλσο ππάξρνπλ θαη δύν εθαπηνκέλεο ηεο Cf πνπ άγνληαη από ην, ζην, θαη είλαη νη : ( ) : y y ζην, θαη ( ) : y y Γ. ( ) : y ΚC f Ε Ο Β(π,) Ε -π Α, ( ) : y Τν είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f θαη ηηο επζείεο, θαη είλαη ίζν κε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ κείνλ ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f θαη ηνλ άμνλα δειαδή ην. Τν ηξίγσλν ΟΑΒ είλαη νξζνγώλην επεηδή νη επζείεο, ηέκλνληαη θάζεηα αθνύ ( ). Είλαη ( ) ( ) ( ), όπνπ ΑΚ ην ύςνο από ηελ θνξπθή ηεο νξζήο γσλίαο Α Η f είλαη ζπλερήο ζην, θαη f () γηα θάζε, νπόηε f ()d d d ( ) ( ) θαη ( ). Οπόηε 8 Νέν Φξνληηζηήξην
Γ3. Είλαη f () f () lim lim lim f () f () f () f (), δηόηη lim f () lim θαη lim f () lim ( ) ( ) ελώ παξαηεξνύκε από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ζην Γ όηη θαζώο ην, αθνύ από ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f βξίζθεηαη πάλσ από ηελ επζεία ( ) : y, πνπ ζεκαίλεη όηη f() θνληά ζην π. Άξα lim f () ( ) Γ. Από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f θαη ηεο ζην Γ εξώηεκα είλαη f() νπόηε έρνπκε : γηα θάζε, f () f () f () f () επνκέλσο είλαη θαη f () f () f () d d d d d d ln f () f () d ln ln d Νέν Φξνληηζηήξην
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ Δ. Η H f () f() 3 είναι συνεχής στο, ημ είναι συνεχής στο Εξετάζουμε τη συνέχεια της f στο. 3 lim f () lim lim f () lim ημ f () Δηλαδή ως σύνθεση των συνεχών, π ως γινόμενο των συνεχών lim f() lim f() f, άρα η f είναι συνεχής στο. Τελικά η f είναι συνεχής στο, π. Αναζητούμε τα κρίσιμα σημεία της f στο, π. 3 3 Για, έχουμε f 3., 3, ημ.. Η f είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση των παραγωγίσιμων u και (παραγωγίσιμη στο, ), με 3 3 3 f () Είναι f () Για, π 3 3. για κάθε,, άρα η f δεν έχει κρίσιμα σημεία στο, η f είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων, με. f ημ (ημ συν) Είναι. f () ημ συν ( ) Άρα αφού, π. Οπότε η f έχει κρίσιμο σημείο το. Εξετάζουμε παραγωγισιμότητα της f στο. Είναι 3 f f 3 lim lim lim ( ) f f ημ lim lim lim ημ συν Εφόσον τα πλευρικά όρια παραγωγισιμότητας στο είναι άνισα η f δεν. 3 u Νέο Φροντιστήριο
είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε είναι κρίσιμο σημείο της. Τελικά κρίσιμα σημεία της f είναι (μηδενίζεται η f () ) και (η f δεν παραγωγίζεται). Δ. Από το ερώτημα Δ έχουμε ότι: f συνεχής [, π] και 3, (,) f () 3 (ημ συν), (, π) κρίσιμα σημεία της f οι, f () στο (,) Πρόσημο της f () (ημ συν ) στο (,π) f συνεχής στο (,π), με μοναδική ρίζα διαστήματα Είναι,,, π. π π f, άρα f () στο, άρα διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα, και 5π 5π 3 6 f στο 6, π Είναι f στα,,, π άρα f γνησίως φθίνουσα στα,,,π και f στο, άρα f γνησίως αύξουσα στο,. Η f είναι συνεχής στο, π άρα παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο σ αυτό, και παραγωγίσιμη στα,,, π οπότε από τον πίνακα προσήμων της f () έχουμε ότι: η f παρουσιάζει Νέο Φροντιστήριο
τοπικό μέγιστο στο, το f και στο f οπότε Τοπικό ελάχιστο στο, το f ολικό μέγιστο της f., το f f() f(π) ολικό ελάχιστο της f. Η f είναι συνεχής στο, π με ολικό μέγιστο το f και στο π f π άρα το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα Δ3. Το ζητούμενο εμβαδό E ορίζεται από τη C f,, το f π οπότε f και ολικό ελάχιστο,. C g και τις ευθείες (άξονας y'y ) και π. Στο [,π] η f() σύνθεση των συνεχών 5, ημ είναι συνεχής (ερώτημα Δ) και η. Οπότε, g() 5 είναι συνεχής ως π π 5 E f() g() d ημ d θέτω Έχουμε: 5 h() f() g() ημ (ημ ), [,π] π π π π () και π ημ (). Προσθέτοντας τις () και () κατά μέλη προκύπτει: π ημ. Άρα h() στο [,π], εφόσον. Επομένως, π π π 5 5 (3) E ( ημ)d d ημd Είναι π 5 π 5 5 d 5 5 () και π π π π π π I ημd [ ημ] (ημ)'d συνd [ συν] ( ημ)d π π I συνπ συν Ι Ι π I (5) Νέο Φροντιστήριο
Επιμέλεια απανηήζεων: Τζαλιγόποσλος Μίληος, Μήηροσ Βαζίλης, Πανούζης Γιώργος, Βαλιάδη Μαρία Βαζίλης Μαζηρογεωργίοσ - Θωμάς Καραγιάννης Ναηάζα Παπαγούλα, Ηλίας Κοσνηούπης Νέο Φρονηιζηήριο