Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712 & ΘΕΜ.13) http://eclass.uoa.gr/courses/math492/ Εαρινό Εξάμηνο 2015-16

Τελεστές Γουατ ιζ αν Οπερέιτωρ; Παράδειγμα 1. T : f a 1 f + a 2 f + a 3 f : διαφορικός τελεστής (εδώ a i «καλές» συναρτήσεις). Πού ορίζεται; Στον χώρο C 2 (Ω). Ορίζεται η T (f ) όταν η f δεν παραγωγίζεται; Μήπως αρκεί να παραγωγίζεται με την «ασθενή έννοια»; Εστω f, g -παραγωγίσιμες, με συμπαγή φορέα. Τότε + fg = [fg] + f g = f g, οπότε f g = fg. Οπότε ορίζω ασθενή παράγωγο της f μια h που ικανοποιεί hg = fg για κάθε g -παραγωγίσιμη. Τώρα ο T μπορεί να ορισθεί σε «μεγαλύτερο» χώρο. Παράδειγμα 2. T :. [a i,j ]. x 1 x n x 1 x n (x i C,[a i,j ] M n (C))

Τελεστές Παράδειγμα 3. T : f (Tf )(x) = 1 2π 2π 0 g(x y)f (y)dy: ολοκληρωτικός τελεστής (εδώ g «καλή» συνάρτηση, 2π-περιοδική) Παρατήρηση: Αν f n (x) = e inx βρίσκω Tf n = ĝ(n)f n (n Z),........ f 1... ĝ( 1) 0 0... f 1 δηλαδή T : f 0... 0 ĝ(0) 0... f 0 f 1... 0 0 ĝ(1)... f 1........ Ο T διαγωνοποιήθηκε!... Ως προς την {f n : n Z}. Είναι γραμμ. ανεξάρτητα. Γιατί; Γιατί είναι ορθοκανονικά. Άρα είναι βάση του χώρου που παράγουν. Ο χώρος αυτός δεν είναι πλήρης, είναι όμως πυκνός στους χώρους που ενδιαφέρουν στην Ανάλυση...

Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Ορισμός Εστω E K-γραμμικός χώρος (K = R ή C). Ενα εσωτερικό γινόμενο (inner product ή scalar product) στον E είναι μια απεικόνιση, : E E K τέτοια ώστε (i) (ii) x 1 + λx 2,y = x 1,y + λ x 2,y x,y = y,x (iii) x,x 0 (iv) x,x = 0 x = 0 για κάθε x,x 1,x 2,y E και λ K. άρα (i) x,y 1 + λy 2 = x,y 1 + λ x,y 2.

Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Πρόταση (Ανισότητα Cauchy-Schwarz) Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, (α) για κάθε x,y E ισχύει x,y x,x 1/2 y,y 1/2. (β) Ισότητα ισχύει αν και μόνον αν τα x,y είναι γραμμικά εξαρτημένα. Άσκηση Δείξτε την Cauchy-Schwarz (α) για ημι-εσωτερικό γινόμενο. Πρόταση Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, η απεικόνιση. : E R + όπου x = x,x 1/2 είναι νόρμα στον E, δηλαδή ικανοποιεί, για κάθε x,y E και λ K, (i) x + y x + y (ii) λx = λ x (iii) x = 0 x = 0.

Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Πόρισμα Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, η απεικόνιση (E,. ) (E,. ) (K,. ) : (x,y) x,y είναι συνεχής. Πρόταση (α) (Κανόνας Παραλληλογράμμου) για κάθε x,y E, x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2. (β) (Πυθαγόρειο Θεώρημα) αν x,y E και x,y = 0, τότε x + y 2 = x 2 + y 2.

Καθετότητα Ορισμός Δύο στοιχεία x, y ενός χώρου E με εσωτερικό γινόμενο λέγονται κάθετα (συμβολικά x y) όταν x,y = 0. Μια οικογένεια {e i : i I } E λέγεται ορθοκανονική (orthonormal) αν e i,e j = δ ij για κάθε i,j I. ορθοκανονική γραμμικά ανεξάρτητη. Προς την αντίστροφη: Πρόταση (Διαδικασία Gram-Schmidt) Αν {x n : n N} είναι μια γραμμικά ανεξάρτητη ακολουθία σ έναν χώρο (E,.,. ) με εσωτερικό γινόμενο, τότε υπάρχει μια ορθοκανονική ακολουθία {e n : n N} στον E ώστε, για κάθε k N, να ισχύει 1 [e n : n = 1,2,...,k] = [x n : n = 1,2,...,k]. Κάθε υπόχωρος F E πεπερασμένης διάστασης έχει μια αλγεβρική βάση {e 1,...,e n } που είναι ορθοκανονική. Κάθε x F γράφεται μοναδικά x = n x,e k e k. k=1 1 με [A] ή spana θα συμβολίζουμε την γραμμική θήκη ενός A E.

Το πλησιέστερο διάνυσμα (βέλτιστη προσέγγιση) (Ι) Λήμμα Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο, x E και {e 1,e 2,...,e n } πεπερασμένη ορθοκανονική ακολουθία στον E. Το διάνυσμα y x = n k=1 x,e k e k είναι το (μοναδικό) πλησιέστερο στο x στοιχείο του υποχώρου F = span{e 1,e 2,...,e n }. Επιπλέον το x y x είναι κάθετο στον F και αντίστροφα, αν y F και x y F, τότε y = y x. Δηλαδή η απεικόνιση K n R + n : (λ 1,λ 2,...,λ n ) x k e k k=1λ έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο ( x,e 1, x,e 2,..., x,e n ).

Το πλησιέστερο διάνυσμα (Βέλτιστη προσέγγιση) (Ι) Απόδειξη Λήμματος Κάθε y F γράφεται y = n k=1 y,e k e k. Τώρα: (x y) F x y,e k = 0 k, y,e k = x,e k k, y = y x. Αν (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n, x n k=1 λ k e k = ( x n k=1 )+( n ) x,e k e k ( x,e k λ k )e k = z +y 1 k=1 παρατηρούμε ότι z F (γιατί z,e k = 0 για k = 1,...n) και y 1 F, άρα y 1 z. Πυθαγόρειο: z +y 1 2 = z 2 + y 1 2 δηλαδή n 2 x λ k e k k=1 = = n 2 x x,e k e k + k=1 n 2 x x,e k e k + k=1 n k=1 n k=1 ( x,e k λ k )e k 2 x,e k λ k 2 (1)

Bessel κ.λπ. Παρατήρηση Εστω E χώρος με εσωτ. γιν. και {e 1,e 2,...} ορθοκανονική ακολουθία. n 2 x x,e k e k = x 2 k=1 n k=1 x,e k 2 x E,n N. (από την (1) με λ k = 0). Πρόταση (Ανισότητα Bessel) (ι) n k=1 x,e k 2 x 2 (ιι) Στην (ι) ισχύει ισότητα αν και μόνον αν x [e i : i = 1,...,n]. Πρόταση (Γενικευμένη ανισότητα Bessel) x,e n 2 x 2. n=1

Χώροι Hilbert Ορισμός Ενας χώρος (E,.,. ) με εσωτερικό γινόμενο λέγεται χώρος Hilbert αν είναι πλήρης ως προς την μετρική που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο. Παραδείγματα (a) Ο χώρος K n, με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, είναι βέβαια χώρος Hilbert. Είναι επίσης πλήρης ως προς την νόρμα., αλλά δεν είναι χώρος Hilbert ως προς αυτήν (γιατί δεν ικανοποιείται ο κανόνας του παραλληλογράμμου), μολονότι οι δυο νόρμες είναι ισοδύναμες. (b) Ο χώρος l 2, με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, είναι χώρος Hilbert, και ο χώρος c oo των ακολουθιών με πεπερασμένο φορέα είναι πυκνός υπόχωρος του. Επομένως ο χώρος (c oo,. 2 ) είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο αλλά όχι Hilbert, εφ όσον δεν είναι πλήρης. (c) Ο χώρος C([a,b]) δεν είναι πλήρης ως προς την νόρμα. 2 που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο. Ο (L 2 ([a,b]),. 2 ) είναι Hilbert.

Ορθογώνιες διασπάσεις Θεώρημα (Πλησιέστερο διάνυσμα (ΙΙ)) Εστω H χώρος Hilbert, E κλειστός γραμμικός υπόχωρος του H. Αν x H \ E, τότε υπάρχει μοναδικό y E πλησιέστερο προς το x, δηλαδή τέτοιο ώστε x y = d(x,e) inf{ x z : z E}. Το μοναδικό αυτό στοιχείο y του E ονομάζουμε (ορθή) προβολή του x στον E, και το συμβολίζουμε P E (x) ή P(E)x. Από την απόδειξη του Θεωρήματος: Παρατήρηση Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο, F κυρτό και πλήρες υποσύνολο του E. Αν x E \ F, τότε υπάρχει μοναδικό y F πλησιέστερο προς το x, δηλαδή τέτοιο ώστε x y = d(x,f ) inf{ x z : z F }.

Ορθογώνιες διασπάσεις Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert, E κλειστός γραμμικός υπόχωρος του H. Αν x H \ E, τότε το διάνυσμα x P E (x) είναι κάθετο στον E. Αντίστροφα αν y 0 E και (x y 0 ) E τότε y 0 = P E (x). Πόρισμα ( Υπαρξη καθέτου διανύσματος) Αν H είναι χώρος Hilbert και M είναι γνήσιος κλειστός υπόχωρος του H τότε υπάρχει z H, z 0 ώστε z M. Η απόσταση του z από τον M είναι η μεγαλύτερη δυνατή : d(z,m) = z.

Ορθογώνιες διασπάσεις Πόρισμα Ενας γραμμικός υπόχωρος E ενός χώρου Hilbert H είναι πυκνός (dense) στον H αν και μόνον αν το μόνο διάνυσμα του H που είναι κάθετο στον E είναι το 0. Ορισμός (κάθετος υπόχωρος) Αν A είναι μη κενό υποσύνολο ενός χώρου E με εσωτερικό γινόμενο, θέτω A = {x E : x,y = 0 για κάθε y A}. Παρατηρήσεις (α) Ο A είναι πάντα κλειστός γραμμικός υπόχωρος του E. (β) A = {0} span(a) πυκνός στον E.

Ορθογώνιες διασπάσεις Θεώρημα (Ορθογώνια διάσπαση) Αν M είναι κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H, τότε Πόρισμα (Ορθή προβολή) M M = H. Εστω M κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H. Η απεικόνιση P M : H H : y P M (y) είναι γραμμική και συνεχής. Παράδειγμα Στον (c 00,, ) υπάρχει γνήσιος κλειστός υπόχωρος M, ώστε M = {0}. { M = x =(x(n)) c 00 : x(n) } n = 0.

Ο δυϊκός ενός χώρου Hilbert Λήμμα Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Αν x E, ονομάζουμε f x την απεικόνιση f x : E K : y y,x. Η f x είναι γραμμική και συνεχής. Θεώρημα (Riesz) Εστω H χώρος Hilbert. Για κάθε γραμμική και συνεχή f : H K υπάρχει μοναδικό x H ώστε f = f x, δηλ. f (y) = y,x για κάθε y H.

Ορθοκανονικές Βάσεις Υπενθύμιση Ενα υποσύνολο X ενός K-γραμμικού χώρου V είναι γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο {x 1,...,x n } X είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αν δηλαδή ισχύει η συνεπαγωγή (λ 1,λ 2,...,λ n ) K n \ {0} n k=1 λ kx k 0. Το X είναι (αλγεβρική) βάση του V αν η γραμμική του θήκη span(x ) ισούται με V, δηλαδή αν κάθε v V είναι γραμμικός συνδυασμός v = n k=1 λ kx k στοιχείων x k X. Ορισμός Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Μια οικογένεια {e i : i I } E λέγεται ορθοκανονική βάση του E αν (i) είναι ορθοκανονική και (ii) Η γραμμική θήκη της είναι πυκνός υπόχωρος του E, δηλ. span{e i : i I } = E. Παρατήρηση Σε απειροδιάστατους χώρους, μια αντικανονική βάση δεν είναι συνήθως αλγεβρική βάση (π.χ. στον l 2 ).

Ορθοκανονικές Βάσεις Παρατήρηση Εστω C = {e i : i I } ορθοκανονική οικογένεια σ έναν χώρο Hilbert H. Η C είναι βάση του H αν και μόνον αν είναι μεγιστική, αν δηλαδή δεν περιέχεται σε κανένα ορθοκανονικό υποσύνολο του H (εκτός από την C ), ισοδύναμα αν το μόνο στοιχείο του H που είναι κάθετο στην C είναι το 0.

Ορθοκανονικές Βάσεις Πρόταση Κάθε διαχωρίσιμος 2 χώρος E με εσωτερικό γινόμενο περιέχει μια ορθοκανονική βάση (και αντίστροφα). Μάλιστα, αν F E πυκνός υπόχωρος, μπορώ να βρω ορθοκανονική βάση του E μέσα στον F (π.χ. E = C([0,1]) και F = πολυώνυμα). Θεώρημα Εστω {e n : n N} ορθοκανονική βάση σ έναν χώρο E με εσωτερικό γινόμενο. Τότε, για κάθε x E, (ι) x = x,e n e n ( σύγκλιση ως προς τη νόρμα του E). n=1 (ιι) x 2 = x,e n 2. n=1 2 Το ευθύ ισχύει και σε μη διαχωρίσιμους

Ορθοκανονικές Βάσεις Απόδειξη Εστω x E και ε > 0. Υπάρχουν n N και λ 1,...λ n K ώστε n x λ k e k < ε. k=1 Ομως πάντα n 2 n 2 x λ k e k x x,e k e k k=1 Ξέρουμε όμως (Πυθαγόρειο) x 2 n k=1 k=1 x,e k 2 n 2 = x x,e k e k < ε 2. k=1

Ορθοκανονικές Βάσεις Αν m n, έχουμε και συνεπώς m 2 x x,e k e k = x 2 k=1 για κάθε m n. Επομένως lim m x Πόρισμα m k=1 n k=1 m k=1 x,e k 2 m k=1 x,e k 2 x 2 x,e k 2 n k=1 x,e k 2 < ε 2 m x,e k e k = 0 και lim m x,e k 2 = x 2. k=1 Αν {e n : n N} είναι ορθοκανονική βάση σ έναν χώρο με εσωτερικό γινόμενο E, για κάθε x,y E έχουμε x,y = n=1 x,e n e n,y = n=1 x,e n y,e n.

Ισομορφισμοί Δείξαμε: Εστω {e n : n N} ορθοκανονική βάση σ έναν χώρο E με εσωτερικό γινόμενο. Τότε, για κάθε x E, x 2 = n=1 x,e n 2. Άρα η απεικόνιση (E, ) (l 2, 2 ):x ( x,e n ) n είναι (γραμμ.) ισομετρική εμφύτευση. Η εικόνα της είναι πυκνή στον l 2. (Άρα, ο E έχει μια πλήρωση που είναι χώρος Hilbert.) Θεώρημα Κάθε απειροδιάστατος διαχωρίσιμος 3 χώρος Hilbert H είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον l 2. Ακριβέστερα, αν {x n } είναι μια ορθοκανονική βάση του H, η απεικόνιση U : H l 2 : x ( x,x n ) n απεικονίζει τον H (γραμμικά και) ισομετρικά επί του l 2. 3 Ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει και για μη διαχωρίσιμους χώρους.

Η πλήρωση Πρόταση Αν (E,.,. ) είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, υπάρχει χώρος Hilbert (H,.,. ) και γραμμική και ισομετρική εμφύτευση φ : E H με πυκνή εικόνα. Ο H είναι «ουσιαστικά μοναδικός», με την έννοια ότι αν (K,.,. ) είναι χώρος Hilbert και ψ : E K γραμμική ισομετρία με πυκνή εικόνα, τότε υπάρχει γραμμική ισομετρία T από τον H επί του K ώστε T (φ(x)) = ψ(x) για κάθε x E. Ο χώρος Hilbert (H,.,. ) λέγεται η πλήρωση του (E,.,. ). E φ φ(e) H = φ(e) id T E ψ ψ(e) K = ψ(e)

Ο L 2 ([a,b]), ο L 2 (R) Χωρίς Μέτρο Θεωρώ τον E = (C([a,b]),, ) όπου f,g = b a f (t)g(t)dt. Ονομάζω L 2 ([a,b]) την πλήρωση του E. Θεωρώ τον F = (C c (R),, ) όπου f C c (R) σημαίνει f : R C συνεχής και υπάρχει K f R συμπαγές ώστε f (t) = 0 όταν t / K f. Θέτω f,g = f (t)g(t)dt. K f Ονομάζω L 2 (R) την πλήρωση του F.

Ο L 2 ([a,b]), ο L 2 (R) Με Μέτρο (Παν Μέτρον Άριστον!) Εστω (X,S, µ) χώρος μέτρου (π.χ. ([a,b],b,λ)). Ορισμός Ο χώρος L 2 (X,S, µ) = L 2 (µ) αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις f : X R {± } (ή f : X C) που είναι μετρήσιμες και ικανοποιούν f 2 dµ < +. Ο αριθμός X ( 1/2 f dµ) 2 συμβολίζεται f 2. X Θέτω N = {f L 2 (µ) : f 2 = 0}. Αν f,g L 2 (µ), έχω f = g µ-σ.π. f g N. Επίσης, ο N είναι γραμμικός υπόχωρος του L 2. Θέτω f + N 2 := f 2. Είναι καλά ορισμένη νόρμα στον χώρο πηλίκο L 2 (µ) := L 2 (µ)/n. Επεται ότι ο L 2 (µ) αποτελείται από τις κλάσεις ισοδυναμίας συναρτήσεων του L 2 (µ) modulo ισότητα µ-σ.π.

Ο L 2 ([a,b]), ο L 2 (R) Θεώρημα (Riesz Fisher) Ο L 2 (µ) είναι πλήρης (άρα είναι χώρος Hilbert αφού η 2 προέρχεται από το εσωτ. γινόμενο f + N,g + N = f (t)g(t)dµ(t)). X Θεώρημα (πόρισμα π.χ. του Luzin) Ο C([a, b]) είναι πυκνός στον L 2 ([a,b],b,λ) ως προς τη νόρμα 2, βεβαίως. Ο C c (R) είναι πυκνός στον L 2 (R,B,λ) ως προς τη νόρμα ν 2.

Φραγμένοι τελεστές Υπενθύμιση: E,F γραμμικοί χώροι, T : E F γραμμική: T (x + λy) = T (x) + λt(y) x,y E,λ K. Παραδείγματα; Θεώρημα Αν (E,. E ) και (F,. F ) είναι χώροι με νόρμα και T : E F είναι γραμμική απεικόνιση, τα εξής είναι ισοδύναμα: (α) Η T είναι συνεχής. (β) Η T είναι συνεχής στο 0 E. (γ) Η T είναι συνεχής σε κάποιο σημείο του E. (δ) Υπάρχει M < ώστε Tx F M x E για κάθε x E. (ε) Ο περιορισμός της T στην μοναδιαία μπάλα του E είναι φραγμένη συνάρτηση, δηλαδή το σύνολο { Tx F : x E 1} είναι φραγμένο. (στ) Η T είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Φραγμένοι τελεστές Παρατήρηση. Καμμιά γραμμική απεικόνιση (εκτός απ την 0) δεν είναι φραγμένη σε όλον το χώρο. Ορισμός Μία γραμμική απεικόνιση T : (E,. E ) (F,. F ) λέγεται φραγμένη ή φραγμένος τελεστής (bounded operator) αν η T απεικονίζει φραγμένα υποσύνολα του E σε φραγμένα υποσύνολα του F. Ισοδύναμα, αν ο περιορισμός της T στην μοναδιαία μπάλα του E είναι φραγμένη συνάρτηση. Αν T : E F είναι γραμμική απεικόνιση, θέτουμε T = sup{ Tx F : x E, x E 1} [0,+ ]. Η Τ είναι φραγμένη αν και μόνον αν T < +.

Φραγμένοι τελεστές Πρόταση T = sup{ Tx F : x E, x E 1}. Αν (E, E ),(F, F ) είναι χώροι με νόρμα και T : E F φραγμένος τελεστής, τότε T = sup{ Tx F : x E, x E = 1} { } Tx F = sup : x E,x 0 x E = inf{k > 0 : Tx F k x E για κάθε x E}. Επιπλέον, ισχύει για κάθε x E. Tx F T. x E

Φραγμένοι τελεστές Πρόταση Εστω (E,. E ) χώρος με νόρμα, (F,. F ) χώρος Banach, D πυκνός υπόχωρος του E και γραμμική απεικόνιση. Η T δέχεται συνεχή επέκταση T : D F T 1 : E F δηλ. T 1 D = T αν και μόνον αν είναι συνεχής. Η επέκταση T 1 είναι μοναδική (αν υπάρχει) και T 1 = T.

Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Αν (E,, ),(F,, ) είναι χώροι με εσωτερικό γινόμενο πεπερασμένης διάστασης, κάθε γραμμική απεικόνιση T : E F είναι συνεχής. Αν επιλέξω ορθοκανονικές βάσεις {e 1,...,e m } του E και {f 1,...,f n } του F, ορίζεται ένας n m πίνακας [a nm ] M nm (K) από την σχέση a ik = Te k,f i,i = 1,...m, k = 1,...n. Αντίστροφα, κάθε [a nm ] M nm (K) ορίζει μια μοναδική απεικόνιση T : E F που ικανοποιεί τη σχέση αυτή. Γενικότερα, κάθε φραγμένος τελεστής T : l 2 l 2 ορίζει έναν πίνακα [ Te k,e i ], όπου {e n : n N} η συνηθισμένη ορθοκανονική βάση του l 2. Δεν ισχύει όμως το αντίστροφο. Παράδειγμα;

Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Διαγώνιοι τελεστές Αν a = (a n ), a n C, είναι τυχούσα ακολουθία, η απεικόνιση (x(n)) (a n x(n)) στέλνει τον l 2 στον l 2 ανν (a n ) l και τότε ορίζει φραγμένο τελεστή D a με νόρμα D a = a. Εχουμε D a e k,e i = a k δ ik (διαγώνιος πίνακας). Τελεστές Hilbert-Schmidt Μία ικανή (αλλά όχι αναγκαία) συνθήκη ώστε ένας πίνακας [a ik ] να ορίζει φραγμένο τελεστή T : l 2 l 2 ώστε a ik = Te k,e i για κάθε i,k N είναι η i=1 k=1 a ik 2 < (σύγκρινε με τους διαγώνιους). Εχουμε (Tx)(i) = Tx,e i = k a ik x(k).

Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Ολοκληρωτικοί τελεστές στον L 2 ([a,b]) Αν k C([a,b] [a,b]), ορίζουμε b (Kf )(x) = k(x,y)f (y)dy, f C([a,b]). a Ορίζει γραμμικό τελεστή K : (C([a,b]), 2 ) (C([a,b]), 2 ) φραγμένο, με K 2 K(x,y) 2 dxdy. Άρα επεκτείνεται σε K : L 2 ([a,b]) L 2 ([a,b]). Πολλαπλασιαστικοί τελεστές στον L 2 ([a,b]) Αν f C([a,b]), ορίζουμε M o f : C([a,b]) C([a,b]) : g fg (κατά σημείο γινόμενο). Επειδή fg 2 f g 2, ο M o f επεκτείνεται σε M f : L 2 ([a,b]) L 2 ([a,b]) με M f f (μάλιστα, ισότητα). (Αλλιώς: με μέτρο) Πάρε f L (µ) και όρισε M f : L 2 (µ) L 2 (µ) : g fg. Είναι καλά ορισμένος και M f f (ισότητα για σ-πεπερασμένο µ).

Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα Τελεστές μετατόπισης (shift operators) (α) Στον l 2 (Z): Ue n = e n+1 (μετατόπιση δεξιά) και U e n = e n 1 (μετατόπιση αριστερά) (n Z) Επεκτείνω γραμμικά στον c 00 (Z), παρατηρώ ότι είναι 2 -ισομετρίες, άρα επεκτείνονται σε ισομετρίες l 2 (Z) l 2 (Z). (β) Στον l 2 (Z + ): Se n = e n+1 (μετατόπιση δεξιά) (n Z + ) { και S en 1 όταν n 1 e n = (μετατόπιση αριστερά) 0 όταν n = 0 Επεκτείνω γραμμικά στον c 00 (Z + ), παρατηρώ ότι είναι 2 -συστολές (δηλ. Sx 2 x 2 για κάθε x c 00 (Z + )), άρα επεκτείνονται σε συστολές l 2 (Z + ) l 2 (Z + ).

Ο Χώρος των Τελεστών Ορισμός Αν (E,. ),(F,. ) είναι χώροι με νόρμα, ονομάζουμε B(E,F ) το σύνολο όλων των φραγμένων γραμμικών απεικονίσεων T : (E,. ) (F,. ). Οταν E = F, γράφουμε B(E) αντί για B(E,E). Με γραμμ. πράξεις κατά σημείο, δηλ. (T + λs)(x) = Tx + λ(sx) (x E) το σύνολο B(E,F ) γίνεται γραμμικός χώρος. Πρόταση Η απεικόνιση T T είναι νόρμα στον χώρο B(E,F ). Αν επί πλέον ο F είναι πλήρης, ο B(E,F ) είναι χώρος Banach. Οταν E = F, ο B(E) γίνεται (μη μεταθετική, αν dime > 1) άλγεβρα ως προς τη σύνθεση: (TS)(x) = T (S(x)) (x E). Μάλιστα TS T S.

Ο συζυγής τελεστής Να δείξουμε Θεώρημα Αν H 1,H 2 είναι δύο χώροι Hilbert και T : H 1 H 2 ένας φραγμένος τελεστής, τότε υπάρχει ένας μοναδικός τελεστής T : H 2 H 1 που ικανοποιεί τη σχέση Tx,y H2 = x,t y H1 για κάθε x H 1, y H 2. Ο T : H 2 H 1 ονομάζεται ο συζυγής (adjoint) του T. Είναι φραγμένος τελεστής και T = T. Παραδείγματα (α) Αν H 1 = H 2 = l 2 (n) και ο T έχει πίνακα [a ij ], ο T είναι ο τελετής που έχει πίνακα [b ij ] όπου b ij = a ji. (β) Αν H 1 = H 2 = l 2 και a l, ο συζυγής του τελεστή D a είναι ο D b, όπου b = a (δηλαδή b(n) = a(n) για κάθε n). (γ) Αν H 1 = H 2 = L 2 ([0,1]) και f C([0,1]), ο συζυγής του τελεστή M f είναι ο τελεστής M g όπου g = f. Δηλαδή M f = M f.

Sesquilinear μορφές Ορισμός Μια απεικόνιση φ : H 1 H 2 C λέγεται sesquilinear μορφή αν έχει τις ιδιότητες (i) είναι γραμμική ως προς την πρώτη μεταβλητή, δηλαδή για κάθε y H 2 η απεικόνιση x φ(x,y) : H 1 C είναι γραμμική. (ii) είναι αντιγραμμική ως προς την δεύτερη μεταβλητή, δηλαδή για κάθε x H 1 η απεικόνιση y φ(x,y) : H 2 C είναι γραμμική. Μια sesquilinear μορφή λέγεται φραγμένη, αν επιπλέον έχει την ιδιότητα (iii) sup{ φ(x,y) : x H1 1, y H2 1} := φ < +. Παράδειγμα φ(x,y) = Tx,y όπου T B(H 1,H 2 ). Μάλιστα T = φ, δηλαδή T = sup{ Tx,y : x H1 1, y H2 1}.

Sesquilinear μορφές Ταυτότητα πολικότητας (polarization) Αν φ : H H C sesquilinear και φ(x) = φ(x,x) η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή, ( ) ( ) ( ) ( ) x + y x y x + iy x iy φ(x,y) = φ φ + i φ i φ. 2 2 2 2 Πρόταση Εστω H μιγαδικός χώρος Hilbert. Μια γραμμική απεικόνιση T :H H είναι φραγμένη αν και μόνον αν Τότε sup{ Tx,x : x H, x 1} < +. sup{ Tx,x : x B H } T 2sup{ Tx,x : x B H }. Επίσης, αν T,S B(H), τότε T = S αν και μόνον αν Tx,x = Sx,x για κάθε x H.

Sesquilinear μορφές Θεώρημα Εστω H 1,H 2 χώροι Hilbert. Κάθε φραγμένη sesquilinear μορφή φ : H 1 H 2 C ορίζει έναν μοναδικό φραγμένο τελεστή T B(H 1,H 2 ) από την σχέση Επεται το Θεώρημα φ(x,y) = Tx,y για κάθε x H 1,y H 2. Αν H 1,H 2 είναι δύο χώροι Hilbert και T : H 1 H 2 ένας φραγμένος τελεστής, τότε υπάρχει ένας μοναδικός τελεστής T : H 2 H 1 που ικανοποιεί τη σχέση Tx,y H2 = x,t y H1 για κάθε x H 1, y H 2. Αποδ. Η φ(y,x) := y,tx H2 είναι sesquilinear και φραγμένη.

Ο συζυγής μη φραγμένου τελεστή Εστω H 1,H 2 χώροι Hilbert και D H 1 πυκνός γραμμικός υπόχωρος και T : D H 2 γραμμική. Να βρούμε (αν ) γραμμ. υπόχωρο D H 2 και γραμμ. απεικόνιση T : D H 1 ώστε T x,y 1 = x,ty 2 για κάθε x D,y D. (*) Εστω x H 2. Θεωρώ τη γραμμική μορφή f x : D C : y Ty,x 2. Για ποιά x H 2 είναι συνεχής; Αυτά: Ορίζω D := {x H 2 : C x : Ty,x 2 C x y y D}. (Μπορεί D = {0}). Αν x D, τότε (Riesz)!T x H 1 ώστε f x (y) = y,t x 1 για κάθε y H 1. Οπότε Ty,x 2 = y,t x 1 για κάθε y D, δηλαδή ισχύει η (*). Ελέγχω ότι ο D είναι γραμμ. υπόχωρος του H 2 και η x T x : D H 1 γραμμική.

Ο συζυγής μη φραγμένου τελεστή Παράδειγμα Εστω H 1 = H 2 = L 2 (R). Θέλω (Tf )(s) = sf (s) (σχεδόν) για κάθε s R, γι αυτό θέτω D = {f L 2 (R) : R sf (s) 2 ds < } (μέγιστο). Τότε T g,f = g,tf τουλάχιστο όταν f D και g D, άρα D D. Ισότητα; Ο συζυγής φραγμένου τελεστή Αν συμβεί ο T να είναι φραγμένος, τότε η f x : y Ty,x 2 είναι συνεχής στο D για κάθε x H 2, αφού Ty,x 2 ( T x ) y. Τότε λοιπόν D = H 2 και ο T είναι αυτομάτως συνεχής, διότι y,t x 1 = Ty,x 2 T x y για κάθε x H 2 και y D άρα (αφού D πυκνός) T x T x για κάθε x H 2 οπότε T T.

Τελεστές Πεπερασμένης Τάξης Αν H 1,H 2 είναι χώροι Hilbert, x H 2 και y H 1 ορίζουμε τον τελεστή x y : H 1 H 2 από τον τύπο (x y )(z) = z,y x (z H 1 ). Ο x y είναι φραγμ., x y = x y και (x y ) = y x. Εχουμε (x y )(H 1 ) = span{x}: ο x y είναι πρώτης τάξης. Παράδειγμα Εστω H 1 = H 2 = L 2 (R) και f,g L 2 (R). Τότε (f g )(h) = ( hḡ)f για κάθε h L 2 (R). Κάθε φραγμένος τελεστής T : H 1 H 2 πεπερασμένης τάξης (δηλ. rank(t ) := dimt (H 1 ) = n < ) είναι γραμμ. συνδυασμός τέτοιων: T = n k=1 T (H 1 ) και βάλε y k = T (x k ).) x k y k (πάρε πχ. {x 1,...,x n } ο.κ. βάση του Στο παράδειγμα ( k f k g k )(h)(s) = k(s,t)h(t)dt όπου k(s,t) = k f k (s)ḡ k (t).

Ο συζυγής τελεστής Πρόταση Η απεικόνιση T T : B(H 1,H 2 ) B(H 2,H 1 ) έχει τις εξής ιδιότητες: (α) είναι αντιγραμμική, δηλαδή (T + λs) = T + λs. (β) T = T. (γ) T = T. (δ) ( Οταν H 1 = H 2 ) (TS) = S T. (ε) T T = T 2. Ειδικότερα (αν H 1 = H 2 = H), η T T : B(H) B(H) είναι μια ενέλιξη (involution) που ικανοποιεί την λεγόμενη ιδιότητα C, δηλ. την (ε).

Κατηγορίες τελεστών Ορισμός Εστω H 1,H 2 χώροι Hilbert. (i) Ενας T B(H 1 ) λέγεται φυσιολογικός (normal) αν T T = TT.(σαν τις συναρτήσεις) (ii) Ενας T B(H 1 ) λέγεται αυτοσυζυγής (self-adjoint) αν T = T. (σαν τις πραγματικές συναρτήσεις) (iii) Ενας T B(H 1,H 2 ) λέγεται ορθομοναδιαίος (unitary) αν T T = I H1 και TT = I H2. (σαν τις συναρτήσεις που f (t) = 1) Παραδείγματα: Ο shift S δεν είναι φυσιολογικός. Κάθε M f είναι φυσιολογικός. Ενας M f είναι αυτοσυζυγής ανν f (t) R για κάθε t. Ο μετασχηματισμός Fourier F : L 2 ([0,2π]) l 2 (Z) είναι ορθομοναδιαίος. Πρόταση Εστω T B(H), όπου H μιγαδικός χώρος Hilbert. Ο T είναι φυσιολογικός αν και μόνον αν Tx = T x για κάθε x H.

Κατηγορίες τελεστών Πρόταση Εστω T B(H), όπου H μιγαδικός χώρος Hilbert. Ο T είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν Tx,x R για κάθε x H. Γράφω B h (H) = {T B(H),T = T }. Πρόταση Εστω T B(H), όπου H μιγαδικός χώρος Hilbert. Αν ο T είναι αυτοσυζυγής, τότε T = sup{ Tx,x : x H, x 1}. Πρόταση Εστω T B(H 1,H 2 ), όπου H i μιγαδικοί χώροι Hilbert. Τότε (i) Ο T είναι ισομετρία αν και μόνον αν T T = I H1, ισοδύναμα αν και μόνον αν Tx,Ty = x,y για κάθε x,y H 1. (ii) Ο T είναι ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν είναι ισομετρία και επί.

Αυτοσυζυγείς και θετικοί τελεστές Κάθε T B(H) γράφεται μοναδικά στην μορφή Ορισμός A = A 1 + ia 2, όπου A i = A i (i = 1,2). (i) Ενας τελεστής T B(H) λέγεται θετικός (positive) αν Tx,x 0 για κάθε x H (οπότε T B h (H)). Το σύνολο των θετικών τελεστών συμβολίζουμε B + (H). (ii) Αν T,S B h (H), ορίζουμε T S αν Tx,x Sx,x για κάθε x H, αν δηλαδή T S B + (H).

Θετικοί τελεστές Η διάταξη στον B h (H) είναι συμβιβαστή με την γραμμική του δομή, δηλαδή A B, S T A + S B + T και λ µ 0 (λ,µ R) λa µb. Δεν είναι όμως αλήθεια ότι αν A 0 και B 0 τότε AB 0. Επίσης, αν T n 0 και T n T 0, τότε ο T είναι θετικός. Αν A = A τότε A I A A I άρα A = (A + A I ) A I (διαφορά δυο θετικών)

Προβολές M κλειστός υπόχωρος χώρου Hilbert H: H = M M : x = x M + x M Η ορθή προβολή επί του M: P M : H H : x x M γραμμική και ταυτοδύναμη (δηλ. P 2 = P) με P 1. Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert και P : H H γραμμική και ταυτοδύναμη απεικόνιση (δηλ. P 2 = P). Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: (α) Υπάρχει κλειστός υπόχωρος M του H ώστε P = P M. (β) (ker P) (im P). (γ) P 1.

Προβολές Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert και P B(H) ταυτοδύναμος μη μηδενικός τελεστής. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Ο P είναι η ορθή προβολή επί του imp. (δ) Ο P είναι θετικός. (ε) Ο P είναι αυτοσυζυγής. (ζ) Ο P είναι φυσιολογικός. Ενας φραγμένος τελεστής είναι ορθή προβολή αν και μόνον αν είναι ταυτοδύναμος και αυτοσυζυγής.

Προβολές Πρόταση Αν P, Q είναι ορθές προβολές, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) P Q (β) Px Qx για κάθε x H (γ) imp imq (δ) QP = P (ε) PQ = P. Πρόταση Αν M,N είναι κλειστοί υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H και P = P(M), Q = P(N) είναι οι αντίστοιχες προβολές, τότε (i) Ο τελεστής R = PQ είναι προβολή αν και μόνον αν PQ = QP. Τότε R = P(M N). (i ) Ειδικότερα, M N PQ = 0 QP = 0 P N = 0 Q M = 0. (ii) Ο τελεστής S = P + Q είναι προβολή αν και μόνον αν M N. Τότε S = P(M + N). (iii) Ο τελεστής D = P Q είναι προβολή αν και μόνον αν M N. Τότε D = P(M N ).

Προβολές Αν M,N είναι κλειστοί υπόχωροι του H, ο M N είναι ο μεγαλύτερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχεται και στον M και στον N. Ο M + N είναι ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχει και τον M και τον N. P Q := P(M N) = P(M + N) P Q := P(M N) = P(M N). Πρτρ: Εστω M, N κλειστοί υπόχωροι. (α) Αν M,N κλειστοί υπόχωροι και dimn <, τότε M + N κλειστός. (ασκ.) (β) Αν M N, τότε M + N κλειστός. (ασκ.) (γ) Αν M = {(x,0) : x l 2 } και N = {(y,d a y) : y l 2 } όπου a(n) = 1 n, τότε M + N όχι κλειστός.

Προβολές Πρόταση Αν {Q i } είναι αύξουσα ακολουθία προβολών, τότε συγκλίνει κατά σημείο στην προβολή Q = P(M), όπου M είναι η κλειστή γραμμική θήκη της ένωσης των imq i (i N). (Ανάλογο αποτέλεσμα για φθίνουσες.) Πρόταση Εστω {P n } ακολουθία προβολών σ έναν χώρο Hilbert H. (i) Αν οι P n είναι ανά δύο κάθετες, τότε η σειρά n P n x συγκλίνει για κάθε x H, και n P n x = P(M)x, όπου M είναι η κλειστή γραμμική θήκη της ένωσης των imp n (n N). Για κάθε x H ισχύει n P n x 2 = P(M)x 2. (ii) Αν n P n x 2 x 2 για κάθε x H, τότε οι P n είναι ανά δύο κάθετες (επομένως ισχύει το συμπέρασμα του (i).

Τελεστές Πεπερασμένης Τάξης Ορισμός Μια γραμμική απεικόνιση T : E F μεταξύ δύο γραμμικών χώρων E,F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = imt έχει διάσταση n. Γράφουμε rank(t ) = n. Αν οι E,F είναι χώροι με νόρμα, συμβολίζουμε με F (E,F ) το σύνολο των φραγμένων γραμμικών απεικονίσεων T : E F που έχουν πεπερασμένη τάξη (finite rank), δηλαδή F (E,F ) = {T B(E,F ) : rank(t ) < + }. Ειδικότερα, γράφουμε F (E) = F (E,E).

Τελεστές Πεπερασμένης Τάξης Αν H,K είναι χώροι Hilbert, x K και y H ορίζουμε τον τελεστή x y : H K από τον τύπο (x y )(z) = z,y x (z H). Ο τελεστής x y είναι φραγμένος, και x y = x. y. Κάθε T F (H,K) πρώτης τάξης (rank(t ) = 1) είναι αυτής της μορφής (με x,y μη μηδενικά). Κάθε A F (H,K) γράφεται A = n x k yk, και ισχύει k=1 A = n y k xk. k=1 Τοπολογική ιδιότητα: Αν A F (H,K), τότε το A(B H ) είναι (σχετικά) συμπαγές στον K.

Συμπαγείς Τελεστές K (E,F ) Ορισμός Εστω E, F χώροι Banach. Μια γραμμική απεικόνιση T : E F λέγεται συμπαγής (compact) αν απεικονίζει την κλειστή μοναδιαία μπάλα ˆB E = {x E : x 1} του E σε ένα -σχετικά συμπαγές υποσύνολο του F (αν δηλαδή το T (ˆB E ) είναι συμπαγές υποσύνολο του F ). Γράφουμε T K (E,F ). Κάθε συμπαγής τελεστής είναι φραγμένος, γιατί αν το σύνολο T (ˆB E ) είναι συμπαγές, είναι βέβαια φραγμένο. Οι φραγμένοι τελεστές πεπερασμένης τάξης είναι συμπαγείς.

Υπενθύμιση: Χαρακτηρισμός της συμπάγειας Θεώρημα Εστω (X,ρ) μετρικός χώρος και K X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1 Το K είναι συμπαγές (δηλ. ο (K,ρ K ) είναι συμπαγής χώρος). 2 Κάθε άπειρο υποσύνολο A του K έχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης στο K. 3 Το K είναι ακολουθιακά συμπαγές (δηλ. κάθε ακολουθία στο K έχει υπακολουθία που συγκλίνει μέσα στο K). 4 Ο (K,ρ K ) είναι ολικά φραγμένος (δηλ. για κάθε ε > 0 ο K καλύπτεται από πεπερασμένο πλήθος μπάλες ακτίνας ε > 0) και πλήρης.

Συμπαγείς Τελεστές Παρατήρηση. Το σύνολο τιμών ενός φραγμένου τελεστή (είναι γραμμ. χώρος, αλλά) δεν είναι πάντα κλειστό (πρδγ: D a B(l 2 ), όπου a n = 1 n ). Το σύνολο τιμών ενός φραγμένου τελεστή πεπερασμένης τάξης είναι κλειστό (γιατί;). Παρατήρηση. F (E,F ) K (E,F ) B(E,F ). Αν οι E και F είναι απειροδιάστατοι, δεν ισχύουν οι ισότητες. Παραδείγματα Ο ταυτοτικός τελεστής ή η προβολή σε έναν υπόχωρο άπειρης διάστασης δεν είναι συμπαγής. Ο D a B(l 2 ) όπου a n = 1 n είναι συμπαγής αλλά έχει άπειρη τάξη.

Συμπαγείς Τελεστές Θεώρημα Εστω E,F χώροι Banach, T : E F γραμμική απεικόνιση. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Ο T είναι συμπαγής. (ii) Για κάθε φραγμένο υποσύνολο A E, το T (A) είναι σχετικά συμπαγές. (iii) Για κάθε φραγμένη ακολουθία {x n } του E, η ακολουθία {Tx n } έχει -συγκλίνουσα υπακολουθία. (iv) Το σύνολο T (B E ) είναι ολικά φραγμένο.

Συμπαγείς Τελεστές Παρατήρηση: Λήμμα Ο F (E,F ) είναι γραμμικός χώρος. Αν E,F είναι χώροι Banach, T,S K (E,F ) και λ C, τότε T + λs K (E,F ). Παρατήρηση: Γινόμενο φραγμένου τελεστή με πεπερασμένης τάξης ή πεπερ. τάξης με φραγμένο είναι πεπερασμένης τάξης. Λήμμα Αν E,F,G είναι χώροι Banach, X K (E,F ) και Y B(F,G) YX K (E,G), και A B(E,F ) και B K (F,G) BA K (E,G).

Συμπαγείς Τελεστές Παρατήρηση: Ο υπόχωρος F (E,F ) δεν είναι κλειστός στον B(E, F ) (σε απειροδιάστατους χώρους). Πρόταση Αν E,F είναι χώροι Banach, ο K (E,F ) είναι κλειστός υπόχωρος του χώρου Banach B(E,F ), άρα χώρος Banach. Παρατήρηση: Άρα, αν A n A 0 και κάθε A n είναι συμπαγής, τότε ο A είναι συμπαγής. Ομως: Το κατά σημείο όριο ακολουθίας τελεστών πεπερασμένης τάξης δεν είναι πάντα συμπαγής.

Συμπαγείς Τελεστές Παράδειγμα: Κάθε ολοκληρωτικός τελεστής είναι συμπαγής. Απόδειξη. Αν (A k f )(x) = b a k(x,y)f (y)dy προσεγγίζουμε την k από γραμμ. συνδυασμούς χαρακτηριστικών συναρτήσεων ορθογωνίων, οι οποίες ορίζουν ολοκληρωτικούς τελεστές πεπερασμένης τάξης. (Δες και το αρχείο hscompn.pdf στην η-τάξη.) Πρόταση Αν H,K είναι χώροι Hilbert και T B(H,K) τότε T K (H,K) T T K (H) T K (K,H).

Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Θεώρημα Εστω E,F χώροι Banach, T : E F γραμμική απεικόνιση. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Ο T είναι συμπαγής. (ii) Για κάθε φραγμένο υποσύνολο A E, το T (A) είναι σχετικά συμπαγές. (iii) Για κάθε φραγμένη ακολουθία {x n } του E, η ακολουθία {Tx n } έχει -συγκλίνουσα υπακολουθία. (iv) Το σύνολο T (ˆB E ) είναι ολικά φραγμένο.

Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Ορισμός Μια ακολουθία {x n } σ έναν χώρο με νόρμα E συγκλίνει ασθενώς στο x E αν lim n y (x n ) = y (x) για κάθε y E. w Γράφουμε τότε x n x. Λήμμα Κάθε ασθενώς συγκλίνουσα ακολουθία {x n } σε χώρο με νόρμα είναι -φραγμένη. Λήμμα Κάθε -φραγμένη ακολουθία σ έναν χώρο Hilbert έχει μια ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία.

Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Λήμμα Κάθε -φραγμένη ακολουθία (y n ) σ έναν χώρο Hilbert έχει μια ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία. Ισχύει: x H : ( y n,x ) n φργ. (k n ) : ( y kn,x ) n συγκλ. Θέλω: (k n ) : x H : ( y kn,x ) n συγκλ. Σκιαγράφηση πρώτου βήματος: Εστω H διαχ. και {x 1,x 2,...} πυκνό. ( y n,x 1 ) n ( yn 1,x 1 )n συγκ. ( : υπακ.) ( yn 1,x 2 )n ( yn 2,x 2 )n συγκ. (και ( yn 2,x 1 )n συγκ.). ( yn k,x k+1 )n ( yn k+1,x k+1 )n συγκ. (και ( yn k+1,x m )n συγκ.). διαγώνια: (z n ) = (y 1 1,y2 2,y3 3,...) k,(z n ) n k (y k n ) n k, άρα ( z n,x k ) n συγκ. k.

Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Πρόταση Εστω E,F χώροι Banach και T : E F συμπαγής τελεστής. Αν x n w x στον E, τότε Txn Tx 0. Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert, F χώρος Banach και T : H F γραμμική απεικόνιση. Η T είναι συμπαγής αν και μόνον αν Tx n 0 για κάθε ασθενώς μηδενική ακολουθία {x n } στον H. Λήμμα Αν H χώρος Hilbert, F χώρος με νόρμα και T B(H,F ), τότε ο T απεικονίζει την κλειστή μοναδιαία μπάλα ˆB H του H σε κλειστό υποσύνολο του F.

Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Θεώρημα Αν H,K είναι χώροι Hilbert και T : H K γραμμική απεικόνιση, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Ο T είναι συμπαγής τελεστής. (ii) Για κάθε φραγμένο υποσύνολο A H, το T (A) είναι σχετικά συμπαγές. (iii) Για κάθε φραγμένη ακολουθία {x n } του H, η ακολουθία {Tx n } έχει -συγκλίνουσα υπακολουθία. (iv) Το σύνολο T (ˆB H ) είναι ολικά φραγμένο. (v) Το σύνολο T (ˆB H ) είναι συμπαγές. (vi) Αν x n w 0, τότε Txn 0.

Χαρακτηρισμοί Συμπαγών Τελεστών Θεώρημα Αν H είναι χώρος Hilbert και T B(H), τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Ο T είναι συμπαγής. (ii) Για κάθε ορθοκανονική ακολουθία {x n } του H, ισχύει Tx n,x n 0. (iii) Υπάρχει μια ακολουθία {F n } από φραγμένους τελεστές πεπερασμένης τάξης ώστε T F n 0. Πόρισμα Εστω H,K χώροι Hilbert και A B(H,K). Ο A είναι συμπαγής αν και μόνον αν για κάθε ε > 0 υπάρχει B F (H,K) και C B(H,K) ώστε C < ε και A = B + C. Λέμε ότι «ο A είναι μικρή διαταραχή ενός τελεστή πεπερασμένης τάξης».

Συμπαγείς Τελεστές Πόρισμα Εστω H,K χώροι Hilbert και A B(H,K). Αν ο A είναι συμπαγής, τότε οι υπόχωροι ima και (ker A) είναι διαχωρίσιμοι.

Αναλλοίωτοι υπόχωροι Ενας υπόχωρος E H είναι αναλλοίωτος (invariant) από έναν φραγμένο τελεστή A B(H) αν A(E) E, δηλ. αν Ax E για κάθε x E. Τότε ο κλειστός υπόχωρος E είναι και αυτός A-αναλλοίωτος. Θα λέμε ότι ο υπόχωρος E ανάγει (reduces) τον A όταν και ο E και ο E είναι A-αναλλοίωτοι. Γράφοντας H = E E, ο A γράφεται [ ] A11 A A = 12. A 21 A 22 Επεται ότι A(E) E αν και μόνον αν A 21 = 0, και ότι ο A ανάγεται από τον E αν και μόνον αν A 12 = A 21 = 0. Λήμμα Ενας κλειστός υπόχωρος E είναι A-αναλλοίωτος αν και μόνον αν AP = PAP. Ο E ανάγει τον A αν και μόνον αν A(E) E και A (E) E, ισοδύναμα αν και μόνον αν AP = PA. Δες και το αρχείο invt.pdf στην η-τάξη.

Υπάρχουν αναλλοίωτοι υπόχωροι; Παρατήρηση Αν x H, ο υπόχωρος E x = span{x,ax,a 2 x,...} είναι A-αναλλοίωτος, διαχωρίσιμος. Αν ο χώρος H δεν είναι διαχωρίσιμος και x 0, ο E x είναι μη τετριμμένος. Επίσης, κάθε ιδιόχωρος του A είναι A-αναλλοίωτος. Αν ο H είναι μιγαδικός χώρος πεπερασμένης διάστασης, κάθε τελεστής έχει ιδιοτιμές. Μένει η περίπτωση απειροδιάστατου αλλά διαχωρίσιμου χώρου. Το πρόβλημα του αναλλοίωτου υπόχωρου: Είναι αλήθεια ότι κάθε φραγμένος τελεστής A σε έναν (διαχωρίσιμο, απειροδιάστατο) χώρο Hilbert H έχει μη τετριμμένο αναλλοίωτο υπόχωρο; ή μήπως υπάρχει τελεστής A που ικανοποιεί E x = H για κάθε x 0;

Υπάρχουν αναλλοίωτοι υπόχωροι; Απάντηση: όχι για γενικούς χώρους Banach, άγνωστο για αυτοπαθείς χώρους Banach. Το πρώτο παράδειγμα: P. Enflo, On the invariant subspace problem in Banach spaces, Acta Math., 158, 1987. Στον l 1 : C.J. Read, A solution to the invariant subspace problem on the space l 1, Bull. London Math. Soc. 17, 1985. Ενας χώρος όπου κάθε τελεστής έχει αναλλοίωτο υπόχωρο: S.A. Argyros and R.G. Haydon, A hereditarily indecomposable L -space that solves the scalar-plus-compact problem, Acta Mathematica 206, No. 1 (2011). Μια σύγχρονη παρουσίαση: I. Chalendar and J. R. Partington, Modern approaches to the invariant subspace problem, Cambridge University Press, 2011.

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ορισμός Εστω E γραμμικός χώρος, A : E E γραμμική απεικόνιση. Ενας (μιγαδικός) αριθμός λ λέγεται ιδιοτιμή (eigenvalue) της A αν υπάρχει μη μηδενικό x E ώστε Ax = λx. Το x λέγεται ιδιοδιάνυσμα (eigenvector) της A και το σύνολο M λ {x E : Ax = λx} = ker(a λi) (που είναι προφανώς γραμμικός χώρος) είναι ο ιδιόχωρος (eigenspace) της A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Το σύνολο των ιδιοτιμών της A συμβολίζουμε σ p (A).

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Παρατηρήσεις: (i) Κάθε ιδιόχωρος M λ της A είναι αναλλοίωτος από την A, δηλαδή A(M λ ) M λ, και A Mλ = λi Mλ. Μάλιστα ο M λ είναι αναλλοίωτος και από κάθε γραμμική απεικόνιση B που μετατίθεται με την A. (ii) Αν ο E είναι χώρος με νόρμα και η A είναι συνεχής, κάθε ιδιόχωρος M λ είναι κλειστός υπόχωρος του E, γιατί M λ = (A λi) 1 ({0}). (iii) Αν ο E είναι (μη μηδενικός) μιγαδικός χώρος και dime = n < +, κάθε γραμμική απεικόνιση A : E E έχει ιδιοτιμές. Αυτό φυσικά δεν αληθεύει πάντα σε πραγματικούς γραμμικούς χώρους. Σε απειροδιάστατους μιγαδικούς χώρους;

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα (α) Στον χώρο l 2 θεωρούμε τον τελεστή T όπου T (x 1,x 2,x 3,...) = (0,x 1, 1 2 x 2, 1 3 x 3,...) x = (x 1,x 2,...) l 2. Ο T είναι συμπαγής, δεν έχει όμως ιδιοτιμές. (β) Στον χώρο L 2 ([0,1]) θεωρούμε τον τελεστή A όπου (Af )(t) = tf (t), f L 2 ([0,1]). Ο A είναι αυτοσυζυγής, δεν έχει όμως ιδιοτιμές. Και τα δύο μαζί; Αυτοσυζυγής και συμπαγής;

Διαγωνοποιήσιμοι τελεστές Εστω H διαχωρίσιμος χώρος Hilbert. Ενας τελεστής A B(H) λέγεται διαγωνοποιήσιμος (diagonalizable) αν υπάρχει μια ορθοκανονική βάση {x n } του H και μια ακολουθία a = {a(n)} μιγαδικών αριθμών ώστε Ax n = a(n)x n για κάθε n N. Τότε a = {a(n)} φραγμένη και A = U 1 D a U : A u D a όπου U : H l 2 : x n e n είναι unitary. Άρα διαγωνοποιήσιμος φυσιολογικός. Οταν dimh < : Θεώρημα (Φασματικό θεώρημα σε χώρους πεπερασμένης διάστασης) Εστω A B(H) όπου H χώρος Hilbert πεπερασμένης διάστασης. Ο A είναι φυσιολογικός αν και μόνον αν είναι διαγωνοποιήσιμος.

Το (μινι) Φασματικό Θεώρημα Λήμμα Εστω T B(H ) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του T με ιδιοτιμή λ, τότε T x = λx. Επεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή (αν υπάρχουν) τον ανάγουν, και είναι κάθετοι μεταξύ τους. Θεώρημα Κάθε φυσιολογικός τελεστής T σ έναν (μιγαδικό) χώρο Hilbert H διάστασης n < είναι διαγωνοποιήσιμος, δηλαδή υπάρχει ορθοκανονική βάση {e k : k = 1,...,n} του H και a k C ώστε Te k = a k e k (k = 1,...,n). Ισοδύναμα, ο T είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος (unitarily equivalent) με έναν διαγώνιο τελεστή, δηλαδή υπάρχει ορθομοναδιαίος τελεστής U : H C n ώστε ο UTU 1 να είναι διαγώνιος.

Διαγωνοποιήσιμοι τελεστές Παράδειγμα Εστω f : R C συνεχής και 2π-περιοδική συνάρτηση. Ορίζουμε (K f g)(x) = 1 π f (x y)g(y)dy. 2π π Ο K f είναι ολοκληρωτικός τελεστής (με πυρήνα την συνεχή συνάρτηση k(x,y) = f (x y). Η {e n : n Z} (όπου e n (x) = expinx) είναι ορθοκανονική βάση του L 2 ([ π,π]). K f e n = ˆf (n)e n (n Z). Επομένως ο τελεστής K f διαγωνοποιείται από την ορθοκανονική βάση {e n }.

Το Φάσμα Ορισμός Το φάσμα ενός φραγμένου τελεστή A σ έναν χώρο Banach είναι το σύνολο σ(a) = {λ C : ο A λi δεν έχει (φραγμ.) αντίστροφο }. Πρόταση Το σ(a) φράσσεται από A : Αν λ > A, ο λi A είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφος του είναι το -όριο της σειράς (λi A) 1 = 1 ( ) A n. λ λ n=0 Ισχύει ότι Το φάσμα σ(a) είναι συμπαγές μη κενό υποσύνολο του C.

Το Φάσμα Εστω A B(X ) (όπου X χώρος Banach). Ενα λ C είναι ιδιοτιμή του A (συμβ. λ σ p (A)) αν και μόνον αν υπάρχει x H \ {0} ώστε (A λi)x = 0. Το λ είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A (συμβ. λ σ a (A)) αν και μόνον αν υπάρχει ακολουθία (x n ) H με x n = 1 ώστε (A λi)x n 0. Ισοδύναμα, λ / σ p (A) αν και μόνο αν υπάρχει δ > 0 ώστε (A λi)x δ x για κάθε x H.

Το Φάσμα Πρόταση Εστω A B(H ) φυσιολογικός τελεστής. Τότε σ(a) = σ a (A). Δηλαδή, αν το λ δεν είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή, τότε ο A λi έχει (φραγμ.) αντίστροφο. Πρόταση Εστω A = A B(H ). Τότε (α) σ(a) R και (β) A = sup{ λ : λ σ(a)}. Πρόταση Αν A K (H) είναι φυσιολογικός, τότε κάθε λ σ(a) \ {0} είναι ιδιοτιμή. (Ισχύει για κάθε συμπαγή: δες αργότερα.) Πόρισμα Αν A K (H) και A = A, τότε υπάρχει λ σ p (A) με λ = A.

Το Φασματικό Θεώρημα Παράδειγμα Αν A K (H) το 0 δεν είναι πάντα ιδιοτιμή: D a όπου a = ( 1 n ). (Πρτρ. Σε απειροδιάστατο χώρο αν A K (H) τότε 0 σ(a). ) Πρόταση Εστω A K (H). (i) Κάθε ιδιόχωρος του A που αντιστοιχεί σε μη μηδενική ιδιοτιμή έχει πεπερασμένη διάσταση. (ii) Αν {x n } είναι άπειρη ορθοκανονική ακολουθία και υπάρχουν λ n C ώστε Ax n = λ n x n για κάθε n N, τότε η {λ n } είναι μηδενική ακολουθία. (iii) Αν ο A είναι φυσιολογικός, το σύνολο σ p (A) των ιδιοτιμών του ή είναι πεπερασμένο, ή αποτελεί μηδενική ακολουθία.

Το Φασματικό Θεώρημα Θεώρημα Αν H είναι χώρος Hilbert, κάθε συμπαγής φυσιολογικός τελεστής A B(H) διαγωνοποιείται στον υπόχωρο (ker A). Υπάρχουν δηλαδή a(n) C και ορθοκανονική βάση {x n : n N} του (ker A) ώστε Ax n = a(n)x n για κάθε n N. Ισοδύναμα, αν U : (ker A) l 2 είναι ο unitary τελεστής που ικανοποιεί U(x n ) = e n για κάθε n N, τότε UAU 1 = D a (ο διαγώνιος τελεστής με διαγώνιο την ακολουθία a = (a n )).

Το Φασματικό Θεώρημα Λήμμα Εστω A B(H) και M H κλειστός A-αναλλοίωτος υπόχωρος. Εστω B B(M) ο περιορισμός B := A M. Τότε, B = A M αν και μόνον αν ο M είναι και A -αναλλοίωτος. Υπενθύμιση: Εστω {M n : n N} κάθετοι ανά δύο υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H και M := n M n το ευθύ τους άθροισμα, δηλ. ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος που περιέχει κάθε M n. Αν P n = P(M n ), η προβολή P = P(M) στον M ικανοποιεί Px = P n x και Px 2 = P n x 2 για κάθε x H. n n Επομένως αν κάθε M n έχει μια ορθοκανονική βάση {e i,n : i I }, η n{e i,n : i I } είναι ορθοκανονική βάση του M.

Το Φασματικό Θεώρημα Θεώρημα (Φασματικό θεώρημα για φυσιολογικούς συμπαγείς τελεστές - δεύτερη μορφή.) Αν A είναι συμπαγής τελεστής σ έναν χώρο Hilbert H, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Οι ιδιόχωροι M λ είναι κάθετοι ανά δύο, έχουν αριθμήσιμο πλήθος και παράγουν τον H. ( ii) Οι αντίστοιχες προβολές P λ είναι κάθετες ανά δύο, έχουν αριθμήσιμο πλήθος και για κάθε αρίθμηση {λ n : n N} του σ p (A), αν P n = P λn ισχύει n=1 P n x = x για κάθε x H και A = n=1 λ n P n όπου η δεύτερη σειρά συγκλίνει ως προς την νόρμα του B(H). (iii) Ο A είναι φυσιολογικός.

Το Φασματικό Θεώρημα Θεώρημα (Φασματικό θεώρημα: Τρίτη μορφή) Ενας τελεστής A σ έναν χώρο Hilbert H είναι φυσιολογικός και συμπαγής αν και μόνον αν υπάρχει μια (πεπερασμένη ή άπειρη) ορθοκανονική ακολουθία {x n } ιδιοδιανυσμάτων του A, με αντίστοιχες ιδιοτιμές {a n } ώστε N lim N A a n x n xn n=1 = 0. ( ) Τότε η ακολουθία {a n }, αν είναι άπειρη, είναι μηδενική. Υπενθύμιση: Αν x K,y H ο τελεστής x y : H K ορίζεται από τη σχέση (x )y (z) = z,y x, z H. Ειδικότερα αν y = 1 ο τελεστής y y είναι η προβολή στον υπόχωρο [y] του H.

Το Φασματικό Θεώρημα Πόρισμα Εστω A συμπαγής φυσιολογικός τελεστής σ έναν χώρο Hilbert H. Τότε (i) A = max{ λ : λ σ p (A)} (ii) A = max{ Ax,x : x H, x = 1}

Το Φασματικό Θεώρημα Θεώρημα (Γενική μορφή συμπαγούς τελεστή σε χώρο Hilbert) Αν A : H K είναι συμπαγής τελεστής μεταξύ χώρων Hilbert H και K, υπάρχουν ορθοκανονικές ακολουθίες {x n } στον K και {y n } στον H και (πεπερασμένη ή μηδενική) ακολουθία θετικών αριθμών {λ n } ώστε A = λ i x i yi i=1 όπου η σειρά συγκλίνει ως προς τη νόρμα του B(H,K).

Ο Συναρτησιακός Λογισμός: συμπαγείς τελεστές Πρόταση Εστω A = n=1 λ n P n η φασματική ανάλυση του συμπαγούς φυσιολογικού τελεστή A, όπου σ p (A) = {λ n : n N} και P n = P(M λn ). Αν f : σ(a) C είναι μια φραγμένη συνάρτηση, ορίζουμε A f (x) = n=1 f (λ n )P n x για κάθε x H, Η σειρά αυτή συγκλίνει (κατά σημείο) και ορίζει φραγμένο φυσιολογικό τελεστή A f B(H). Η απεικόνιση f A f είναι γραμμική, πολλαπλασιαστική (δηλ. A f A g = A fg ) και ικανοποιεί A f = A f (όπου f (λ) = f (λ)) και A f = sup{ f (λ) : λ σ p (A)}. Τέλος, αν X B(H), XA = AX XP n = P n X n XA f = A f X f φραγμένη στο σ(a). Η απεικόνιση αυτή ονομάζεται συναρτησιακός λογισμός (functional calculus). Οταν η f είναι πολυνώνυμο, τότε A f = f (A). Συνήθως γράφουμε f (A) αντί για A f.

Ο Συναρτησιακός Λογισμός: συμπαγείς τελεστές Πρόταση Αν A είναι συμπαγής φυσιολογικός τελεστής σε έναν χώρο Hilbert H και λ C \ {0}, τότε ή το λ είναι ιδιοτιμή του A ή ο A λi είναι αντιστρέψιμος. Στην πραγματικότητα, το συμπέρασμα της Πρότασης ισχύει για οποιονδήποτε συμπαγή τελεστή σε οποιονδήποτε χώρο Banach.

Εναλλακτικό Θεώρημα Fredholm (Fredholm alternative) Θεώρημα Αν K είναι συμπαγής τελεστής σε έναν χώρο Hilbert 4 H, ή η εξίσωση x Kx = y (2) έχει μοναδική λύση x H για κάθε y H, ή αλλιώς η αντίστοιχη ομογενής εξίσωση x Kx = 0 έχει γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις, μάλιστα πεπερασμένου πλήθους. 4 Το Θεώρημα αληθεύει και σε χώρους Banach.

Εναλλακτικό Θεώρημα Fredholm (Fredholm alternative) Λήμμα Αν T B(H) και T < 1, ο I T είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι το -όριο της σειράς Λήμμα (I T ) 1 = n=0 T n. Εστω K B(H) συμπαγής τελεστής. Ο τελεστής I K έχει φραγμένο αντίστροφο αν και μόνον αν είναι 1-1.

Τέλος Προπτυχιακού Μαθήματος!

Το Φασματικό Θεώρημα Θεώρημα (Φασματικό Θεώρημα - Πρώτη μορφή) Ενας τελεστής T B(H) είναι φυσιολογικός αν και μόνον αν είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή, δηλαδή αν υπάρχουν: χώρος μέτρου (X, µ), ορθομοναδιαίος τελεστής U : H L 2 (X, µ) και συνάρτηση f L (X, µ) ώστε T = U 1 M f U:] H T H U L 2 (µ) M f U L 2 (µ) P.R. Halmos [1963]. What does the spectral theorem say? Amer. Math. Monthly 70.

Ο συναρτησιακός λογισμός για πολυώνυμα Σταθεροποιούμε A B(H ). p(λ) = Πολυώνυμα Τελεστές n k=0 c k λ k Φ 0 n p(a) = c k A k. k=0 Πρόταση (Θεώρημα Φασματικής Απεικόνισης Ι) Αν A B(H) και p είναι πολυώνυμο, τότε σ(p(a)) = {p(λ) : λ σ(a)}.

Ο συναρτησιακός λογισμός Υπενθύμιση Αν A B(H ) και A = A, τότε A = sup{ λ : λ σ(a)} (άρα σ(a) /0.) Θεώρημα Αν A B(H ) και A = A τότε p(a) = sup{ p(λ) : λ σ(a)} p σ(a). Άρα η απεικόνιση Φ o : (P(σ(A)), σ(a) ) (B(H ), ) : p p(a) είναι όχι μόνο *-μορφισμός *-αλγεβρών, αλλά και ισομετρία χώρων με νόρμα. Ο συναρτησιακός λογισμός για συνεχείς συναρτήσεις είναι η μοναδική συνεχής επέκταση Φ c : (C(σ(A)), σ(a) ) (B(H ), ) : f f (A) της απεικόνισης Φ o : p p(a). Είναι ισομετρικός *-μορφισμός.

Ο συναρτησιακός λογισμός Εστω A = A B(H ) και f : σ(a) C συνεχής. Παρατήρηση Ο f (A) μετατίθεται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A. Πρόταση Ο f (A) είναι αντιστρέψιμος (στον B(H )) αν και μόνον η f είναι αντιστρέψιμη στην C(σ(A)), δηλ. f (λ) 0 για κάθε λ σ(a) (οπότε (f (A)) 1 = g(a) όπου g = 1/f ). Θεώρημα (Φασματικής Απεικόνισης) Πόρισμα σ(f (A)) = {f (λ) : λ σ(a)}. Ο τελεστής f (A) είναι φυσιολογικός. Ο f (A) είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν η f παίρνει πραγματικές τιμές στο σ(a). Επίσης, f (A) 0 αν και μόνον αν f (σ(a)) R +.

Τετραγωνική ρίζα Πρόταση Αν σ(a) R + τότε υπάρχει μοναδικός αυτοσυζυγής B B(H ) με σ(b) R + ώστε B 2 = A. Γράφουμε B = A 1/2. Αποδειξη Η συνάρτηση f (t) = t είναι καλά ορισμένη (πραγματική) και συνεχής στο σ(a). Επομένως αν θέσουμε B = f (A), έχουμε B = B, σ(b) = f (σ(a)) R + και B 2 = A. Ο B μετατίθεται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A. Πράγματι, αν ένας T B(H) μετατίθεται με τον A τότε θα μετατίθεται και με κάθε πολυώνυμο του A, άρα και με την f (A) = B, που είναι όριο πολυωνύμων του A. Μοναδικότητα:

Μοναδικότητα της τετραγωνικής ρίζας Εστω C positive (δηλ. C = C και σ(c) R + ) τελεστής ώστε C 2 = A. Υπάρχουν positive τελεστές D και Z με D 2 = C και Z 2 = B. Σταθεροποιούμε ένα x H και θέτουμε y = (C B)x. Τότε Dy 2 + Zy 2 = D 2 y,y + Z 2 y,y = (B + C)y,y = (B + C)(B C)x,y ( ) = (B 2 C 2 )x,y = 0 (*) γιατί CB = BC αφου CA = AC άρα Cf (A) = f (A)C. Επομένως Dy = 0 και άρα Cy = D 2 y = 0. Ομοια, By = 0. Τότε όμως (C B)y = 0 και συνεπώς (C B)x 2 = (C B)x,(C B)x = y,(c B)x = (C B)y,x = 0. Αφού το x είναι αυθαίρετο, δείξαμε ότι B = C.

Θετικοί τελεστές Υπενθύμιση Ενας A B(H) λέγεται θετικός αν Ax,x 0 για κάθε x H. Λήμμα Ενας αυτοσυζυγής τελεστής A στον H είναι θετικός αν και μόνον αν σ(a) R +. (δηλ positive θετικός!) Αποδειξη Εστω ότι σ(a) R +. Τότε ορίζεται ο B = A 1/2. Για κάθε x H, άρα ο A είναι θετικός. Ax,x = B 2 x,x = Bx,Bx = Bx 2 0 Αντίστροφα έστω ότι ο A είναι θετικός. Αν λ σ(a), υπάρχει (x n ) στον H με x n = 1 και (A λi)x n 0 (γιατί A = A ). Τότε Ax n,x n λ = (A λi)x n,x n (A λi)x n. x n 0 άρα λ 0 (αφού λ R).

Θετικοί τελεστές Σημείωσε ότι η υπόθεση A = A δεν μπορεί να παραλειφθεί. Για παράδειγμα, ο A = ( 0 0 1 0 ) έχει μη αρνητικό φάσμα (σ(a) = {0}) αλλά δεν είναι θετικός: Ax,x = 1 για x = ( 1,1). Συνοψίζουμε: Θεώρημα (Τετραγωνική ρίζα) Εστω T B(H ). Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Ο T είναι θετικός. (β) Υπάρχει B B(H ) θετικός ώστε T = B 2. (γ) Υπάρχει S B(H ) ώστε T = S S. (δ) T = T και σ(t ) R +.

Η πολική αναπαράσταση Ορισμός Εστω T B(H 1,H 2 ) τυχαίος τελεστής. Υπενθυμίζουμε ότι ο τελεστής T T : H 1 H 1 είναι θετικός. Η μοναδική θετική τετραγωνική του ρίζα συμβολίζεται T. Άσκηση Να βρεθούν δύο 2 2 πίνακες A,B ώστε να μην ισχύει η ανισότητα A + B A + B. Θεώρημα Εστω T B(H 1,H 2 ) τυχαίος τελεστής. Υπάρχει μερική ισομετρία V : H 1 H 2 με αρχικό χώρο T (H 1 ) και τελικό χώρο T (H 1 ) ώστε T = V T. «Μοναδικότητα»: Αν T = UX όπου X 0 και U μερική ισομετρία με αρχικό χώρο X (H 1 ) τότε U = V και X = T.

Υπενθύμιση: Ο συναρτησιακός λογισμός Ορισμός Εστω A B(H ) αυτοσυζυγής τελεστής. Ο συναρτησιακός λογισμός για συνεχείς συναρτήσεις είναι η μοναδική συνεχής επέκταση Φ c : (C(σ(A)), σ(a) ) (B(H ), ) : f f (A) της απεικόνισης Φ o : p p(a). Είναι ισομετρικός *-μορφισμός. Για κάθε f C(σ(A)), f (A) = Φ c (f ) = -limp n (A) όπου p n πολυώνυμα με p n f σ(a) 0.

Το Θεώρημα Αναπαράστασης του Riesz Αν µ θετικό μέτρο Borel σε συμπαγή (μετρικό) χώρο Σ τότε η απεικόνιση φ µ : C(Σ) C : f f (t)dµ(t) είναι (συνεχής) γραμμική μορφή, και είναι θετική, δηλ. f 0 φ µ (f ) 0. Θεώρημα Για κάθε θετική γραμμική φ : C(Σ) C υπάρχει (μοναδικό) θετικό κανονικό μέτρο Borel µ στο Σ ώστε φ = φ µ.

Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Λήμμα Για κάθε μη μηδενικό x H υπάρχει θετικό κανονικό (πεπερασμένο) μέτρο Borel µ x στο σ(a) και ισομετρία U x : L 2 (σ(a), µ x ) H ώστε U x M f = f (A)U x για κάθε f C(σ(A)) (και ειδικότερα AU x = U x M f1 όπου f 1 (λ) = λ). H f (A) H U x U x L 2 (µ x ) M f L 2 (µ x )

Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Λήμμα Για κάθε μη μηδενικό x H υπάρχει θετικό κανονικό (πεπερασμένο) μέτρο Borel µ x στο σ(a) και ισομετρία U x : L 2 (σ(a), µ x ) H ώστε U x M f = f (A)U x για κάθε f C(σ(A)) (και ειδικότερα AU x = U x M f1 όπου f 1 (λ) = λ). Αποδ. Σταθεροποιούμε ένα μη μηδενικό x H και θεωρούμε την γραμμική απεικόνιση φ x : C(σ(A)) C : f f (A)x,x. Παρατηρούμε ότι η φ x είναι θετική γραμμική μορφή, δηλαδή φ x (f ) 0 για κάθε f 0. Από το Θεώρημα Αναπαράστασης του Riesz υπάρχει (μοναδικό) θετικό πεπερασμένο κανονικό μέτρο Borel µ x στο σ(a) ώστε fdµ x = φ x (f ) = f (A)x,x για κάθε f C(σ(A)).

Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές `Ομως C(σ(A)) L 2 (σ(a), µ x ). Ορίζουμε U ox : (C(σ(A)),. L 2 (µ x )) (H,. H ) : f f (A)x Ισχυρίζομαι ότι είναι ισομετρία. Πράγματι, για κάθε f C(σ(A)), f (A)x 2 H = f (A)x,f (A)x = f (A) f (A)x,x = ( f f )(A)x,x = f fdµ x = f 2 2 Άρα επεκτείνεται σε μια ισομετρία U x : L 2 (σ(a), µ x ) H που ικανοποιεί U x (f ) = f (A)x όταν η f είναι συνεχής. Τέλος, για κάθε g C(σ(A)) έχουμε (U x M f )(g) = U x (fg) = (fg)(a)x = f (A)(g(A)x) = (f (A)U x )(g).... άρα U x M f = f (A)U x.

Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Το σύνολο τιμών im(u x ) της ισομετρίας U x του Λήμματος είναι ακριβώς ο κυκλικός υπόχωρος του x για τον A. Ορισμός H x = [A n x : n = 0,1,...] = [x,ax,a 2 x,...] Ενα διάνυσμα x H λέγεται κυκλικό (cyclic) για τον τελεστή A B(H) αν ο κυκλικός υπόχωρος (cyclic subspace) που ορίζει είναι όλος ο H, ισοδύναμα αν ο γραμμικός χώρος [A n x : n = 0,1,...] είναι πυκνός στον H. Πρόταση Αν ένας αυτοσυζυγής τελεστής A B(H) έχει κυκλικό διάνυσμα, υπάρχει (πεπερασμένο) θετικό κανονικό μέτρο Borel µ στο σ(a) ώστε ο A να είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με τον τελεστή M f1 του πολλαπλασιασμού επί την ανεξάρτητη μεταβλητή, (M f1 (g))(x) = xg(x), στον L 2 (σ(a), µ).

Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Παράδειγμα Εστω H = L 2 ([0,1]) L 2 ([0,1]) 5 και έστω A = M f M f όπου f (λ) = λ (λ [0,1]). Τότε ο A είναι αυτοσυζυγής τελεστής χωρίς κυκλικό διάνυσμα. Λήμμα Αν A B(H) είναι αυτοσυζυγής, υπάρχει μια οικογένεια {H i : i I } από κάθετους ανά δύο υποχώρους του H, ώστε (ι) κάθε H i να είναι A-αναλλοίωτος, δηλ. A(H i ) H i (ιι) κάθε H i να είναι A-κυκλικός, δηλ. να περιέχει ένα A-κυκλικό διάνυσμα (ιιι) το ευθύ άθροισμα i H i (δηλαδή ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχει κάθε H i ) να είναι όλος ο H. 5 με το εσωτερικό γινόμενο f 1 g 1,f 2 g 2 = f 1,f 2 + g 1,g 2