KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks 4 Vektorit võib tähistada ka väiketähega, näiteks a 5 Paralleelseid vektoreid nimetatakse kollineaarseteks a 6 Samasihilised vektorid on kas samasuunalised ( a b ) või vastassuunalised ( a b ) 7 Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on a) kollineaarsed b) samasuunalised c) võrdse pikkusega ) Vektori, mille alguspunkt on (x ;y ; z ) ja lõpp-punkt (x ;y ; z ), koordinaadid leitakse valemiga x x ; y y z z ning pikkus ; x x y y z z (so ka kahe punkti vaheline kaugus d) ) Punkti koordinaadid ruumis z (ehk aplikaattelg) z (x ; y ; z ) y y (ehk ordinaattelg) x ) Vektorite a x ; y ; ) ja b x ; y ; ) liitmine või lahutamine ( z a b x x ; y y ; z ) ( z x (ehk abstsisstelg) ( z 4) Vektori korrutamine arvuga k a k x ; k y ; k ), kus k 0 ( z
Kui k > 0, siis Kui k < 0, siis k a on vektoriga a samasuunaline; k a on vektoriga a vastassuunaline 5) Kaks vektorit a ( x; y; z ) ja b ( x; y; z ) on kollineaarsed x y z a b x y z Näide Kontrollime, kas vektorid 6;, 8 Leiame vastavate koordinaatide suhted tulemuseks a ja b 4; ; on kollineaarsed 4 Kõik need suhted annavad 6 8 ja kuna suhted on võrdsed, siis on tegemist kollineaarsete vektoritega 6) Kahe vektori a x ; y ; ) ja b x ; y ; ) skalaarkorrutis a b a b cos, kus ( z ( z on nurk nende vektorite vahel või koordinaatides a b x x y y z z Nurk vektorite vahel cos a b a b Kahe vektori ristseisu tunnus a b a b x x y y z z 0 b on risti Leiame skalaarkorrutise (-) + + (-8) (-0,5) = 0, st vektorid on teineteisega risti 7) Vektorite liitmiseks geomeetriliselt kasutatakse a) kolmnurga reeglit; Näide Kontrollime, kas vektorid a ;, 8 ja ;; 0,5 a b a b b) või rööpküliku reeglit a a b b 8) Vektorite lahutamine geomeetriliselt a a b Näide Leiame jooniselt OC O O C O C CO O D O b C
JOONE VÕRRNDID SIRGE VÕRRNDEID TSNDIL y Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka x- telje positiivse suuna ja sirge vahel Sirge tõusuks nimetatakse tõusunurga y y tangensit k tan x x a) Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y y kx x Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti (-;) ja tõus k = -5 Saame võrrandi y 5( x ) b) Tõusu ja algordinaadiga sirge võrrand y kx b Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge algordinaat b = ja tõus k = 4 Saame võrrandi y 4x x x y y c) Kahe punktiga määratud sirge võrrand x x y y Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge läbib punkte (-;) ja (-4;-) x y x y Saame võrrandi 4 x y d) Sirge võrrand telglõikudes a b Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge lõikab x-telge punktis (-4;0) ja y-telge punktis x y (0;) Saame võrrandi 4 e) x-teljega paralleelse sirge võrrand y a Näide Kirjutame x-teljega paralleelse sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti K(;-) Saame võrrandi y f) y-teljega paralleelse sirge võrrand x b Näide Kirjutame y-teljega paralleelse sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti R(-;) Saame võrrandi x g) Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand x x y y s x s y Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti (-5;4) ja sirge sihivektor on s = (;-) Saame võrrandi x 5 y 4 h) Sirge üldvõrrand x y C 0 Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui kordajad on = -4, =, C = - Saame võrrandi 4x y 0 (Ruumis saame analoogilised võrrandid lisades kolmanda koordinaadi z Näiteks saame üldvõrrandi x y Cz D 0 y y α (x ;y ) (x ;y ) x x x
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem x y C 0 x y C 0 Saadud lahend ( x, y) on kahe sirge lõikepunktiks Sirgete vastastikused asendid tasandil: a) Sirged on paralleelsed, kui ; C C b) Sirged ühtivad, kui ; C C c) Sirged lõikuvad, kui Sirged on risti, kui nende tõusude korrutis k k Tõusude abil saame leida ka nurga sirgete vahel tan k k k k, kus on teravnurk antud sirgete vahel RINGJOONE VÕRRND avaldub kujul x a y b r, kus ringjoone keskpunkt on O(a; b) ja raadius r Kui ringjoone keskpunkt asub koordinaatide alguspunktis, siis saame võrrandi kujul x y r PROOLI VÕRRND leiad materjalid ruutfunktsiooni graafiku teema alt NÄITEÜLESNDED ) Leia vektori koordinaadid, kui tema otspunktid on (-;) ja (-5;) Leidke selle vektori pikkus Lahendus Kasutame valemeid x x ; y y z z x x y y z z ; ning Saame 5 ; 4;0 ja 4 0 4 ( üh) ) valda rööpküliku CD diagonaalide a C ja b D kaudu vektorid, C, CD ja D Lahendus O C a O D b O O a b a b D O C 4
O D b, OC C a, C O OC b a a b CD b a D C a b Vastus Saime tulemuseks a b, C a b, CD b a, D a b ) Põhjenda, kas nelinurk K(-,), (;4), R(6;) ja U(-;-4) on trapets Lahendus Nelinurk on trapets, kui tal on üks paar paralleelseid vastaskülgi Kontrollime, kas KU R Kollineaarsuse tingimusest peavad vektorite koordinaadid olema võrdelised 5 KU ; 5 ja R 5; Kuna, siis vektorid kollineaarsed ei ole Kontrollime 5 4 nüüd kas K RU? K 4; ja RU 7, 6ning 7 6 Vastus Kuna nelinurgal puuduvad paralleelsed vastasküljed, siis nelinurk trapets ei ole 4) Tõesta, et vektor n = (;) on risti sirgega x + y = 4 Lahendus nname sirge võrrandile punkti ja sihivektoriga esitatud kuju x x y y, s x s y kus s x ja s y on sirge sihivektori koordinaadid ning x ja x sirgel vabalt võetud punkti koordinaadid Teisendame sirge x + y = 4 võrrandit y x valdame y = -x + 4 : Seega sirge sihivektor on s ; Kontrollime vektorite ristseisu Selleks leiame vektorite n ja s skalaarkorrutise ns ; ; 0 Kuna skalaarkorrutis on null, siis vektor n on risti ka antud sirgega x +y = 4 Vastus Vektor n risti sirgega x +y = 4 5) Lõik otspunktidega (;4) ja (-4;6) on ringjoone diameetriks Leia a) ringjoone võrrand; b) sellele ringjoonele punktis joonestatud puutuja võrrand Lahendus Ringjoone võrrand avaldub valemiga x a y b r Ringjoone keskpunktiks on lõigu keskpunkt Lõigu keskpunkti koordinaatideks on otspunktide aritmeetilised keskmised rvutame ringjoone keskpunkti koordinaadid 5
4 4 6 K ; K(-;5) Ringi raadiuseks võtame näiteks lõigu K Leiame punktide (; 4) ja K(-;5) vahelise kauguse K kasutades valemit d x x y y z z Saame raadiuseks r = K = 4 5 9 0 ( üh) Ringjoone võrrand avaldub seega x y 5 0 Koostame nüüd raadiuse võrrandi kasutades kahe punkti vahelise sirge võrrandit x x y y x x y y Raadiuse otspunktid on (;4) ja K(-;5), koostame raadiuseks oleva sirge võrrandi x y 5 - x - = y 5 y = - x + 4 : y = x 4 Puutuja ja raadius on puutepunktis risti, st vastavate sirgete tõusude korrutis k Kuna vaadeldava sirge tõus on k k Leiame nüüd puutuja võrrandi kasutades tõusu ja punktiga määratud sirge võrrandit y y kx x Saame y 7 ( x ) y x 9 7 y x Vastus ) Ringjoone võrrand on x y ) Puutuja võrrand on y = x 5 0 k 6) Leida sirgete vastastikune asend Lõikumise korral leia lõikepunkt a) x y = 0 ja x + y 4 = 0 Lahendus Kontrollime sirgete paralleelsust Selleks leiame kordajate suhted Seega sirged ei ole paralleelsed ning järelikult nad lõikuvad Leiame lõikepunkti koordinaadid Selleks lahendame võrrandisüsteemi x y x y 4 Kasutame lahendamiseks näiteks asendusvõtet Teisest võrrandist x 4 y sendades esimesesse võrrandisse saame 4 y y 8 4y y 5y 5 y Leiame muutuja x 4 Lõikepunktiks on ; Kontrollige saadud lahendit iseseisvalt Vastus ntud sirged lõikuvad ja sirgete lõikepunkt on ; b) x - y + 4 = 0 ja x - 6y + 5 = 0 Lahendus Kontrollime sirgete paralleelsust Selleks leiame kordajate suhted 4 Seega antud sirged on paralleelsed 6 5 Vastus Sirged on paralleelsed 6
7) Leia nurk sirgete y = x + ja y = x 7 vahel k k Lahendus Leiame nurga valemist tan k k Esimese sirge tõus k ja teise sirge tõus k Leiame tan 8 8 7 Vastus Nurk sirgete vahel on 8 8 8) Riigieksam 00(5p) Tasandil on antud 4 sirget Esimene neist on antud võrrandiga y = x - 6 Teine on paralleelne esimesega ja läbib punkti P(; 6) Kolmas on risti esimesega ja läbib punkti Q( 9; ) Neljas on paralleelne x-teljega ja läbib punkti R(-; 6) Kolmas sirge lõikab kahte esimest sirget punktis ja teist punktis Neljas sirge lõikab kahte esimest sirget punktis D ja teist punktis C Tehke joonis ja koostage antud sirgete võrrandid Leidke nelinurga CD tippude koordinaadid rvutage nelinurga CD külgede täpsed pikkused ja pindala Lahendus a) Leiame teise sirge võrrandi Kuna sirged on paralleelsed, siis nende tõusud on võrdsed (k = k = ) ja koostame punkti ning tõusuga sirge võrrandi y 6 ( x ) y x 4 b) Kolmas sirge on eelmistega risti, st sirgete tõusude korrutis on k k k Seega kolmanda sirge tõus on 0,5 Koostame võrrandi y 0,5( x 9) y 0,5x,5 c) Neljas sirge on x-teljega paralleelne ja läbib punkti R(-; 6), st võrrand avaldub kujul y = a Saame võrrandiks y 6 y x 4 y x 6 8 7 6 5 4 0-8 -7-6 -5-4 - - - - 0 4 5 6 7 8 - - -4-5 -6-7 -8 C d) Leiame nelinurga CD tippude koordinaadid Lahendame võrrandisüsteemid ) y x 6 y x 4 Sellel võrrandisüsteemil lahendid puuduvad (sirged on paralleelsed) D y y 6 y 0,5x,5 7
C CD y x 6 ) y 0,5x,5 x 6 0,5x,5 x y 4 (; 4) y 0,5x,5 ) y x 4 0,5x,5 x 4 x y ( ; ) y x 6 4) y 6 x 6 6 x 6 D(6;6) y 6 5) y x 4 6 x 4 x C(;6) e) rvutame nelinurga CD külgede täpsed pikkused ja pindala 4 6 4 0 5( üh) 6 6 64 80 4 5( üh) 6 6 6 5 0 5 5( üh) 6 6 4 500 5 5 5 ( üh) D f) Nelinurk CD on täisnurkne trapets ja selle pindala avaldub a b 5 5 4 5 S h 5 4,5 5 5 45 ( üh ) Vastus: Trapetsi CD külgede pikkused on 5 üh, 4 5 üh, 5 üh ja 5 5 üh ning pindala 45 üh 9) Riigieksam00(5p) Nelinurga KLMN tipud on K(;;7), L(;;7), M(9;;) ja N(4;0;4) ) Veenduge, et see nelinurk on trapets Teha kindlaks, millised lõigud on selle trapetsi alusteks ) Selgitage, kas trapets on võrdhaarne ) Leidke trapetsi kesklõigu otspunktid 4) Leidke trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus Lahendus valdame nelinurga KLMN külgede vektorid 5; ;, KN ; ; LK ( ; ;0), LM (6; ; 6), MN 6 6 Vektorid MN ja LK on kollineaarsed, kuna L M K K 8 N
Vektor MN ei ole kollineaarnevektoriga LK, 5 kuna 0 Seega nelinurk KLMN on trapets, mille alusteks on LM ja KN Haarad on KL ja NM rvutame haarade pikkused valemiga x y z a a a a, kus a a ; a ; a ) ( x y z Saame KL = 4 4 0 ( üh), MN = 5 9 5 ( üh) Seega KL MN ja trapets ei ole võrdhaarne Trapetsi kesklõiguks on haarade keskpunkte ühendav lõik Seega kesklõigu otspunktid on 7 7 9 4 0 4 ; ; (;;7) ja ; ; (6,5;0,5;,5 ) rvutame haarade LK ja MN pikenduste vahelise nurga koosinuse Nurk vektorite LK ja LK vahel on sama, mis trapetsi haarade pikenduste vahel (kuna tegemist on kaasnurkadega paralleelsete sirgete LK ja MN korral) Seega saame LK MN 5; ;, LK (-;-;0) LK LK cos, LK LK 5; ; ; ;0 0 6 cos 6 70 70 4 4 5 80 70 70 70 5 Vastus Trapetsi alused on LK ja KN, trapets ei ole võrdhaarne Kesklõigu otspunktite koordinaadid on (;;7) ja ( 6,5; 0,5;,5) Trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus on 70 cos 5 0) Riigieksam 00 (0p) Kolmnurga tipud on (0;), (4;4) ja C(4;-) ) Joonestage antud kolmnurk koordinaattasandile ja arvutage selle pindala ) Koostage sirge võrrand ) Kui suur on tõus sirgel, millel paikneb tipust C joonestatud kolmnurga kõrgus? Lahendus 5 4 y D E 0-5 -4 - - - 0 4 5 - - - C x -4-5 Võtame kolmnurga aluseks C = 5 üh ja kõrguseks E = 4 üh 9
Kolmnurga pindala arvutame valemiga ah 5 4 S 0 ( üh ) Koostame sirge võrrandi ntud on punktid (0;) ja (4;4) Koostame sirge võrrandi kahe punkti abil x x y y x0 y 4 x y 4 x x y y ; 4 valdame y ja saame sirge võrrandiks y 0,5x Kuna kolmnurga alus ja kõrgus on risti, siis CD k k 0,5 k k Vastus Kolmnurga pindala on 0 pindalaühikut ja võrrand on y = 0,5x + Sirge tõus, millel paikneb tipust C joonestatud kõrgus on - ) Parabool y ax bx c läbib punkte (-;0), (6;0) ja (0;-) Leia parabooli võrrand ja haripunkti koordinaadid Lahendus Kuna antud punktid on graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega, siis teame, et parabool lõikab y-telge punktis (0;-) ja seega on ruutfunktsiooni vabaliige c = - Lõikepunktid x- teljega (-;0) ja (6;0) annavad funktsiooni nullkohad x ja x 6 Parabooli võrrandit võime otsida ka kujul y a( x x )( x x ) kus x ja x on ruutfunktsiooni nullkohad sendame nullkohad parabooli võrrandisse punktis(0;-) a 0 0 6, millest leiame a -a = - ja a = Seega parabooli võrrand on x x 6 y ehk y = x - 4x - b Haripunkti abstsissi leiame kas valemi järgi x h või nullkohtade aritmeetilise a 6 keskmisena xh ja ordinaadi saame, kui asetame abstsissi väärtuse parabooli võrrandisse y h = 4-8 - = -6 Haripunkt on H(;-6) Vastus Parabooli võrrand on y = x - 4x - ja haripunkt on H(; -6) ) Kolmnurga tipud on (-;;-), (-;-;-) ja C(-5;5;-) Leia tipu juures olev sisenurk ja küljega C paralleelse kesklõigu pikkus Lahendus Leiame nurga skalaarkorutise abil kasutades valemit Leiame tipust vektorid ( ; ; ) ( ;,) ja C 5 ;5 ; ;4;0 Leiame nende vektorite pikkused 4 4 9 üh ja C 9 6 0 5 5( üh) cos a b a b Leiame vektorite skalaarkorrutise C 4 0 5 ja tipu juures 5 oleva sisenurga cos arccos 09 8 Kolmnurga kesklõik võrdub 5 poolega temaga paralleelsest küljest, seega kesklõik on 0,5C,5 ( üh) 0
Vastus Tipu juures olev sisenurk on 09 8 ja küljega C paralleelne kesklõik on pikkusega,5 ühikut ) Rööpküliku CD kolm tippu on (-4;;), (-;-;) ja C(-;;-) Leia neljas tipp ja nurk pikema diagonaali ning lühema külje vahel Lahendus Leiame rööpküliku neljanda tippu D(x;y;z) D(x;y;z) C(-;,-) D x 4; y ; z Kuna D C, siis saame x 4 x y y D( ;; ) z z Leiame külgede ja C pikkused (; ; ) 4 4 ( üh) (-4;,) (-;-;) C (;; ) C 4 9 4 ( üh) Leiame diagonaalide pikkused D ( ;4; ) D 6 4 ( üh) C ;0; 4 C 9 0 6 5 ( üh) Seega C on pikem diagonaal ja on lühem külg Leiame nende vahele jääva nurga valemist cos C C 0 4 5 Vastus Tipu D koordinaadid on D(-; ; -) ja = 48º 48 0 4) Riigieksam 997(0p) ntud on tasandi neli punkti (-6;-), (-4;-4), C(-;-6) ja D(-;-) Tõestage, et nelinurk CD on romb ja arvutage selle pindala Lahendus Nelinurk on romb, kui tema diagonaalid on risti ja küljed on võrdsed D Kontrollime vektorite ristseisu sklalaarkorrutise abil 5 ( 5) 0, st diagonaalid on teineteisega risti Teiseks leiame külgede pikkused Leiame rombi diagonaalideks olevad vektorid C 5; 5 ja ;
C CD 4 6 4 4 9 üh 4 6 4 9 4 üh 6 4 9 üh 6 9 4 üh D Leiame nüüd rombi pindala diagonaalide kaudu C D 5 5 50 S Vastus Nelinurk on romb pindalaga 5 üh² 00 5 üh 5) Riigieksam 000 (0p) Täisnurkse kolmnurga kaks tippu on punktides (;-;) ja (-4;-4;) Täisnurga tipp C asetseb y- teljel Leida punkti C koordinaadid Lahendus Kuna tipp C asub y- teljel, siis saame tema koordinaadid tähistada C 0; y;0 Leiame selle tipu koordinaadid kasutades Pythagorase teoreemi Vastavalt ülesande tekstile on kaatetiteks küljed C ja C ning hüpotenuusiks Seega C C Leiame C C C C 5, ;0 5 4 0 ; y ; 4; y 4; 6 9 ( üh) y y 4y 6 ( üh) y 4 y 8y ( üh) sendame saadud tulemused Pythagorase teoreemi 9 y 4y 6 y 8y y y 0 0 : y 6y 5 0 Lahendades ruutvõrrandi Viete i teoreemi abil saame lahenditeks y = -5 ja y = - Oleme saanud kaks võimalikku tipu C asukohta (0;-5;0) või (0;-;0) Vastus Täisnurga tipp asub punktis C (0;-5;0) või C (0;-;0) HRJUTUSÜLESNDED ) Koosta võrrand sirgele, mis läbib punkti (8;0) ja on paralleelne sirgega y = -x Millises punktis läbib see sirget y = 0? V: y = -x + 8, (8;0) ) Silindri telje otspunktid on O (0;-;-) ja O (0;4;), vektor telje otspunktist O sama põhja ümberringjoone punkti P on koordinaatidega O P = (0;;-) Leia nurk silindri telje ja y-telje vahel rvuta silindri ristlõike pindala, täispindala ja ruumala V: 45º, S = 64, V = 48
) On antud punkt (;-) ja sirge a: 4x-7y + = 0 Koosta võrrand sirgetele b ja c, mis läbivad punkti, kusjuures sirge b on paralleelne ja sirge c risti sirgega a Tee joonis V: 4x 7y 5 = 0 ja 7x + 4y 0 = 0 4) Riigieksam 998 Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = - x ja sirgega y = 0 Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk Leia kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus V: 0,5 üh 5) Riigieksam 998 Paja telglõige on piiratud joontega y=x ja y= Pada asetseb koonuses, mille tipp on allpool, telg on vertikaalne ja telglõike tipunurk on täisnurk Leia paja kaugus koonuse tipust V: 0,5 üh 6) Riigieksam 999 ntud on sirged x+7y-6=0 ja 5x-5y+=0 a) Leia nende sirgete lõikepunkt b) Leia nende sirgete vahelise nürinurga poolitaja võrrand V: ; ja y = -x +,5 40 40 7) Joone y = -x - x + 8 graafiku teises veerandis asuval osal on antud punktid (x ;y ) abstsissiga x = - ja (x ;y ) ordinaadiga y = 5Leia a) punktide ja koordinaadid b) vektorite O ja O skalaarkorrutis; c) vektorite O ja O vahelise nurga suurus täpsusega V: (-;9), (-;5); 48; 4º7 8) Riigieksam 000 Täisnurkse kolmnurga kaks tippu on punktides (;-;) ja (-4;-4;) Täisnurga tipp C asetseb y- teljel leia punkti C koordinaadid V: (0;-5;0) või (0;-;0) 9) Riigieksam 00 (5 p) Tasandil on antud 4 sirget Esimene neist on antud võrrandiga y = 0,5x + Teine on paralleelne esimesega ja läbib punkti P(; ) Kolmas on risti esimesega ja läbib punkti Q( ; ) Neljas on paralleelne y-teljega ja läbib punkti R(6; ) Kolmas sirge lõikab esimest sirget punktis ja teist punktis Neljas sirge lõikab esimest sirget punktis D ja teist punktis C a) Tehke joonis ja koostage antud sirgete võrrandid b) Leidke nelinurga CD tippude koordinaadid c) rvutage nelinurga CD külgede täpsed pikkused, pindala V: y 0,5x ; y x 7; x 6; ( 4;), ( ; ), C(6;), D(6;6); 5 ü,4 5 ü,5 5 ü,5 ü; S 45ü 0) Riigieksam 004 (5 p) ntud on sirged y = x, y = 4x ja y = x + 6 d) rvutage nende sirgete lõikepunktide koordinaadid e) Joonestage antud sirged ühes ja samas teljestikus f) Leidke antud sirgete lõikepunkte läbiva parabooli y = ax + bx + c võrrand g) rvutage eelmises punktis saadud parabooli haripunkti koordinaadid V: (0;0), (;), C( ;8), y x x, H(; ) ) Riigieksam 005 (5 p) Kolmnurk C on määratud tipuga (;) ja vektoritega = (;) ning C =( 5;0) a) rvutage tippude ja C koordinaadid ning joonestage kolmnurk C b) rvutage külje C pikkus c) Koostage punkte ja C läbiva sirge võrrand ning leidke selle sirge ja x-telje lõikepunkti koordinaadid d) Koostage kolmnurga C ümberringjoone võrrand V: (4;4), C( ;4), ü, y x,(;0); x,5 y,5 6, 5
) Riigieksam 006 (5 p) Võrdhaarse kolmnurga haarad asetsevad sirgetel x + y = 0 ja x + y = 0 luse keskpunkt on K( 0,6; 5,4) Tehke joonis ja leidke a) kolmnurga haarade lõikepunkti koordinaadid; b) võrrand sirgele, millel asetseb kolmnurga alus; c) kolmnurga kõrguse täpne pikkus V: L(,4;,4), y x 6; ü ) Riigieksam 007 (5 p) Võrdhaarse trapetsi CD alused on paralleelsed y-teljega ja x- telg on trapetsi sümmeetriateljeks ntud on tipp (,5; -5,5) ning vektor D (,;,4) Tehke joonis ja leidke ) trapetsi pindala; ) trapetsi alusnurk; ) selle sirge võrrand sirgele, millel paikneb haar D; 4) haarade pikenduste lõikepunkt 4 V: 5 7,5ü; arctan 5 8 ;x 4y 6,5 0: L8 ; 0 6 4) Riigieksam 008 (0 p) Punktist ( ; ) on joonestatud vektor = (6; ) Läbi punkti D( ; 5) on joonestatud sirge DC, mis on paralleelne sirgega Punktide,, C ja D järjestikusel ühendamisel saadakse täisnurkne trapets, mille täisnurk on tipu juures Tehke joonis Kirjutage sirgete DC ja C võrrandid rvutage punkti C koordinaadid 4 rvutage trapetsi kõrgus V: y x 4; y x 6; C(6; ); h 0 ü 5) Riigieksam 009 (5 p) Ristküliku CD üheks tipuks on punkt (4; ), tipp asub x- teljel ja küljega paralleelne külg CD asub sirgel x y + 7 = 0 a) rvutage ristküliku CD tippude, C ja D koordinaadid ning joonestage ristkülik CDkoordinaattasandile b) Koostage sirge võrrand, millel asub ristküliku diagonaal C c) rvutage ristküliku CD ümbermõõdu täpne väärtus d) Koostage ristküliku CD ümberringjoone võrrand V: (;0), C( ;4), D(0;7); x 7y 5 0;4 ü, x 0,5 y,5, 5 6) Riigieksam 00 (5 p) Funktsiooni f ( x) x 4x graafik lõikab y-telge punktis ja x-telge punktides D ( x ;0) ning C ( x ;0), kus x x Sirge s läbib punkte ja D ning sirge t läbib punkte ja C Sirge u on paralleelne sirgega y x Sirged s ja u lõikuvad punktis ning sirged t ja u lõikuvad punktis C a) Koosta sirgete s, t, ja u võrrandid ning arvuta punkti koordinaadid; b) Joonista funktsiooni f (x) graafik ja sirged s, t ja u; c) Näita, et C on täisnurkne ja arvuta C 5 V: y x, y x, y x ; (,5;,5);arcsin 6 4 5 7) Riigieksam 0 (5 p) Joonte f(x) = x 5 ja g(x) = x + lõikepunkt on rombi CD tipp Diagonaali vektor on C 4; 4 Tipp asub y-teljel a) rvuta rombi tippude koordinaadid ja koosta sirge võrrand, millel asub diagonaal D b) rvuta rombi pindala c) Joonesta funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud ja romb CD 4
V: ( ;), (0; ), C(; ), D(;);8 üh s 8) Riigieksam 0 (5 p) Sirge s on määratud punktiga (0;0) ja sihivektoriga ; Sirge t läbib punkti (4;) ja on risti sirgega s a) Koosta sirgete s ja t võrrandid b) Märgi koordinaatteljestikku punktid ja ning joonesta sirged s ja t c) Sirgel s asub punkt C nii, et kolmnurga C pindala on 5 Leia arvutamise teel punkti C koordinaadid, kui punkt C asub koordinaatteljestiku IV veerandis d) Koosta ringjoone, mille diameeter on, võrrand V: s : y x; t : y 0,5x; C(; 6);( x ) ( y ) 5 9) Riigieksam 0 (5 p) Sirge t läbib punkti (;-7) ja on paralleelne sirgega s: x-y =6 Sirge u läbib punkti, on paralleelne x-teljega ja lõikub sirgega s punktis D Sirge f läbib punkti K(7;-7), on risti sirgega s ning lõikub sirgetega t ja s vastavalt punktides ja C a) Leidke sirgete t, u ja f võrrandid b) Märkige koordinaatteljestikku kõik ülesande tekstis nimetatud punktid ja sirged c) rvutage tekkinud nelinurga CD tippude C ja D koordinaadid d) Leidke ringjoone võrrand, mille keskpunkt asub lõigu CD keskpunktis ja millele sirge t on puutujaks V: y 0,5x 8; y 7; y x 7; D( 8; 7), C(4; ); x y 4 0 0) Riigieksam 04 (5 p) Ruumis on antud vektorid a = ( ; 5; 4) ja b = (; 5; ) rvutage vektori c a b koordinaadid ning nurk vektorite a ja b vahel V:54 8' ) Riigieksam 05 (5 p) Joonestage koordinaatteljestikku sirged y x ja x = 6 Viirutage kujund, mis on piiratud antud sirgete ja mõlema koordinaatteljega rvutage viirutatud kujundi pindala V:5 ü ) Riigieksam 04 (0p) V: (;0), (0;4), C(0;4); y x 4; y 4; x 5 y 4 5 ) Riigieksam 05 (0p) V:9 48'; y x 4x 9 5
4) Riigieksam 05 (0p) V: x y 0; C 0 ü; y x 8 5) Riigieksam 05 (0p) V: y x ; y x 5 6) Riigieksam 06 (0p) Võrdhaarse kolmnurga C üks tipp on punktis (4; ), teine tipp C asub sirgel y = 7 ja kolmnurga aluse määrab vektor (4;8) rvutage punkti koordinaadid Koostage sirge võrrand Ringjoone diameeter on kolmnurga C alus Koostage selle ringjoone võrrand 4 rvutage punkti C koordinaadid V: (8;5), y=x-, (x-6) +(y-) =0, C(-6;7) 6