Pengantar Proses Stokastik

Bab 3: Diskrit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Ilustrasi 1 Perilaku bunuh diri kini kian menjadi-jadi. Hesti (nama sebenarnya) adalah sebuah contoh. Dia pernah melakukan percobaan bunuh diri, namun gagal. Menurut pakar, kalau pada suatu waktu seseorang melakukan percobaan bunuh diri maka besar kemungkinan dia akan melakukannya lagi di masa mendatang. Jika seseorang belum pernah melakukan percobaan bunuh diri, di masa mendatang orang tersebut akan mungkin melakukan percobaan bunuh diri. Deskripsikan fenomena diatas sebagai model peluang (probability model).

Ilustrasi 2 Loyalitas konsumen terhadap suatu merek barang. Wilkie (1994) mendefinisikan brand loyalty as a favorable attitude toward and consistent purchase of a particular brand. Lyong (1998): brand loyalty is a function of a brands relative frequency of purchase in both time-independent and time-dependent situations. Seorang konsumen pembeli merek barang A diharapkan akan terus membeli barang A. Mungkinkah ini terjadi? Apakah model statistika yang dapat dengan tepat (atau mendekati tepat) merinci peluang terjadinya hal ini? Apakah model ini membantu dalam strategi pemasaran suatu barang?

Misalkan sebuah proses stokastik {X t } dengan t = 0, 1, 2,.... Nilai yang mungkin dari X t adalah hingga atau terhitung Memiliki peluang transisi atau peluang berpindahnya keadaan i (pada waktu t) ke keadaan j (pada waktu t + 1) adalah P ij yaitu P(X t+1 = j X t = i, X t 1 = i t 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ij Distribusi bersyarat X t+1 diberikan keadaan-keadaan lampau X 0, X 1,..., X t 1 dan keadaan sekarang X t, hanya bergantung pada keadaan sekarang (Sifat Markov) Maka proses stokastik demikian dikenal dengan nama Rantai Markov.

P ij adalah peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i P ij 0, i, j 0; P ij = 1, i = 0, 1,... j=0 Perhatikan P(X t+1 = j X t = i, X t 1 = i t 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P(X t+1 = j X t = i) = P ij disebut peluang transisi satu langkah.

Misalkan P menyatakan matriks peluang transisi satu langkah P ij, maka P 00 P 01 P 02... P 10 P 11 P 12... P =... P i0 P i1 P i2......

Atau dapat pula digambarkan sebagai berikut

Contoh 1 Jika hari ini hujan, peluang besok hujan adalah α. Jika hari ini tidak hujan, peluang besok hujan adalah β. Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah ( ) α 1 α P = β 1 β

Contoh 2 Dalam suatu hari, Gary bisa ceria (C), biasa saja (B), atau murung (M). Jika hari ini ceria, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.5, 0.4, 0.1. Jika dia merasa biasa saja hari ini, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.3, 0.4, 0.3. Jika dia merasa murung hari ini, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.2, 0.3, 0.5.

Misalkan keadaan 0 = C, keadaan 1 = B, dan keadaan 2 = M, maka matriks peluang transisinya adalah 0.5 0.4 0.1 P = 0.3 0.4 0.3 0.2 0.3 0.5

Contoh 3 Keadaan pada suatu hari: Jika dua hari terakhir hujan, peluang besok hujan 0.7 Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan, peluang besok hujan 0.5 Jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan, peluang besok hujan 0.4 Jika hari ini dan kemarin tidak hujan, peluang besok hujan 0.2

Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah 0.7 0 0.3 0 P = 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8

Contoh 4 Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui efek pemberian zat X untuk menangani penyebaran virus A pada tubuh manusia. Penelitian tersebut diujicobakan pada seekor mencit yang diberi suntikan virus A kemudian setelah 6 jam pertama mencit tersebut diberi suntikan zat X. Selanjutnya mencit tersebut akan diamati perubahan kondisinya setiap 6 jam selama 1 minggu. Berdasarkan pengamatan diperoleh data sebagai berikut:

Keterangan: S menyatakan kondisi sehat, L menyatakan kondisi lemas, dan P menyatakan kondisi pingsan.

Matriks peluang transisinya adalah 0.538 0.231 0.231 P = 0.625 0.25 0.125 0.167 0.5 0.333

Perhatikan matriks-matriks berikut: 0.7 0 0.3 0 0.5 0.4 0.1 P = 0.3 0.4 0.3, P = 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0.2 0.3 0.5 0 0.2 0 0.8

Matriks-matriks tersebut memiliki sifat-sifat berikut: Memiliki jumlah baris dan kolom sama, atau matriks bujursangkar Jumlah unsur-unsur di setiap baris adalah satu Tidak selalu memiliki jumlah unsur-unsur di setiap kolom sama dengan satu Nilai setiap unsurnya diantara nol dan satu Matriks dengan sifat-sifat tersebut dikatakan sebagai matriks stokastik.

Contoh 5 Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 mempunyai matriks peluang transisi 0.1 0.2 0.7 P = 0.9 0.1 0 0.1 0.8 0.1 dan P(X 0 = 0) = 0.3, P(X 0 = 1) = 0.4, P(X 0 = 2) = 0.3. Hitung P(X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2).

Penyelesaian: P(X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2) = P(X 2 = 2 X 1 = 1, X 0 = 0)P(X 1 = 1, X 0 = 0) = P(X 2 = 2 X 1 = 1, X 0 = 0)P(X 1 = 1 X 0 = 0)P(X 0 = 0) = P(X 2 = 2 X 1 = 1)P(X 1 = 1 X 0 = 0)P(X 0 = 0) = 0(0.2)(0.3) = 0

Contoh 6 Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 0.7 0.2 0.1 P = 0 0.6 0.4 0.5 0 0.5 Hitung P(X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) dan P(X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0).

Penyelesaian: a. P(X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) = P(X 3 = 1 X 2 = 1)P(X 2 = 1 X 1 = 0) = 0.6(0.2) = 0.12 b. P(X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0) = P(X 2 = 1 X 1 = 1)P(X 1 = 1 X 0 = 0) = 0.6(0.2) = 0.12

Contoh 7 Suatu matriks stokastik dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 Hitung E(X 2 X 1 = 2) 1 3 1 3 1 3 P = 1 1 1 2 4 4 1 0 0

Penyelesaian: 2 E(X 2 X 1 = 2) = x 2 P(X 2 = x 2 X 1 = 2) x 2 =0 = 0 + (1) P(X 2 = 1 X 1 = 2) + (2) P(X 2 = 2 X 1 = 2) = 0

n-langkah Pandang matriks stokastik satu-langkah: ( ) 0.3 0.7 P = 0.5 0.5 Selanjutnya, kita dapat menentukan matriks stokastik dua-langkah yaitu matriks yang didefinisikan pada ruang keadaan yang sama namun ruang waktu dua-langkah atau {t, t + 2}.

Ingat kembali matriks stokastik satu-langkah P ij = P(X t+1 = j X t = i) Kita dapat menentukan matriks stokastik dua-langkah yaitu Pij 2 = P(X t+2 = j X t = i) Dalam kasus ini ( P 2 P 2 = 00 P01 2 ) P10 2 P11 2

Kita bisa menggunakan law of total probability yaitu P00 2 = P(X t+2 = 0 X t = 0) = P(X t+2 = 0, X t+1 = 0 X t = 0) + P(X t+2 = 0, X t+1 = 1 X t = 0) = P(X t+2 = 0 X t+1 = 0, X t = 0)P(X t+1 = 0 X t = 0) + P(X t+2 = 0 X t+1 = 1, X t = 0)P(X t+1 = 1 X t = 0) = P(X t+2 = 0 X t+1 = 0)P(X t+1 = 0 X t = 0) + P(X t+2 = 0 X t+1 = 1)P(X t+1 = 1 X t = 0) = P 00 P 00 + P 10 P 01 = P 00 P 00 + P 01 P 10

Penyelesaian tersebut berlaku pula untuk P 2 01, P2 10 dan P2 11. Atau sama saja dengan mengalikan dua matriks P yaitu P 2 = P.P ( ) ( ) P00 P = 01 P00 P. 01 P 10 P 11 P 10 P 11 ( ) P00 P = 00 + P 01 P 10 P 00 P 01 + P 01 P 11 P 10 P 00 + P 11 P 10 P 10 P 01 + P 11 P 11

Jadi, untuk contoh di atas P 2 00 = P 00 P 00 + P 01 P 10 = 0.3(0.3) + 0.7(0.5) = 0.44 atau, matriks stokastik dua-langkahnya adalah ( ) ( ) P 2 0.3 0.7 0.3 0.7 =. 0.5 0.5 0.5 0.5 ( ) 0.44 0.56 = 0.4 0.6

Misalkan P n ij menyatakan peluang bahwa proses pada keadaan i akan berada pada keadaan j setelah n-transisi, P n ij = P (X t+n = j X t = i), n 0, i, j 0

Persamaan Chapman-Kolmogorov memberikan metode untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah, yaitu P n+m ij = k=0 P n ik Pm kj untuk semua n, m 0, semua i, j P n ik Pm kj menyatakan peluang bahwa proses bermula pada keadaan i akan berpindah ke keadaan j dalam n + m transisi melalui keadaan k pada transisi ke-n.

P n+m ij = P(X n+m = j X 0 = i) = P(X n+m = j, X n = k X 0 = i) = = k=0 P(X n+m = j X n = k, X 0 = i)p(x n = k X 0 = i) k=0 Pkj m Pn ik = k=0 k=0 P n ik Pm kj

Contoh 8 Misalkan pada Contoh 1 diketahui α = 0.7 dan β = 0.4, maka tentukan peluang bahwa akan hujan pada empat hari dari hari ini diberikan bahwa hari ini hujan!

[ ] [ ] [ ] 0.7 0.3 0.7 0.3 0.61 0.39 P 2 = = 0.4 0.6 0.4 0.6 0.52 0.48 [ ] [ ] [ ] 0.61 0.39 0.61 0.39 0.5749 0.4251 P 4 = = 0.52 0.48 0.52 0.48 0.5668 0.4332 Jadi, P00 4 = 0.5749

Contoh 9 Perhatikan Contoh 3, diberikan pada hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa pada hari Kamis akan hujan?

0.7 0 0.3 0 0.7 0 0.3 0 P 2 = 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 0 0.2 0 0.8 0.49 0.12 0.21 0.18 = 0.35 0.20 0.15 0.30 0.20 0.12 0.20 0.48 0.10 0.16 0.10 0.64 Senin Selasa Rabu Kamis 0 0 0 atau 1 0

Peluang bahwa Kamis hujan adalah: P 00.00 P 00.00 + P 00.01 P 01.10 = P 2 00.00 + P 2 00.10 = 0.49 + 0.12 = 0.61

Peluang transisi P n ij yang sudah kita hitung di atas merupakan peluang bersyarat. Jika kita ingin menghitung peluang transisi tak bersyaratnya yaitu P(X n = j), maka kita bisa menggunakan law of total probability yaitu P(X n = j) = = P(X n = j X 0 = i) P(X 0 = i) i=0 Pij n α i i=0 dengan α i = P(X 0 = i), i 0 adalah peluang tak bersyarat pada keadaan awal atau t = 0, dan α i = 1 i=0

Sebagai contoh, berdasarkan Contoh 8, jika α 0 = 0.4, α 1 = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa akan hujan empat hari setelah kita mempunyai data perubahan cuaca adalah P(X 4 = 0) = P(X 4 = 0 X 0 = 0)P(X 0 = 0) + P(X 4 = 0 X 0 = 1)P(X 0 = 1) = P 4 00 α 0 + P 4 10 α 1 = 0.4P 4 00 + 0.6P 4 10 = (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) = 0.57

Kebebasan dalam Misalkan P = ( 0.4 ) 0.6 0.4 0.6 Maka, P(X t = 0 X t 1 = 0) = P(X t = 0 X t 1 = 1) = 0.4 Kemudian, dengan law of total probability P(X t = 0) = P(X t = 0 X t 1 = 0)P(X t 1 = 0) + P(X t = 0 X t 1 = 1)P(X t 1 = 1) α = 0.4 α + 0.4 (1 α) Jadi, α = 0.4

Dengan kata lain P(X t = 0 X t 1 = 0) = 0.4 = P(X t = 0) Ini berarti bahwa peubah acak X t saling bebas.

Contoh-contoh Lain 1. Jika pada waktu t, Vanes mengajukan klaim asuransi, maka Vanes akan mengajukan klaim pada waktu t + 1 dengan peluang α; jika Vanes tidak mengajukan klaim asuransi saat ini maka di masa depan Vanes akan mengajukan klaim asuransi dengan peluang β. Matriks peluang transisinya adalah Keadaan: 0 : tidak mengajukan klaim 1 : mengajukan klaim ( ) 1 β β P = 1 α α

2. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES, maka peluang GAGAL pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang GAGAL adalah 0.4.

Keadaan-keadaan: 0 (SS) : kemarin S, sekarang S 1 (SG) : kemarin S, sekarang G 2 (GS) : kemarin G, sekarang S 3 (GG) : kemarin G, sekarang G 0.2 0.8 0 0 P = 0 0 0.6 0.4 0.6 0.4 0 0 0 0 0.6 0.4

3. Tim sepakbola IKS UII akan memainkan tujuh rangkaian pertandingan. Hasil setiap pertandingan saling bebas. Setiap pertandingan akan dimenangkan oleh tim A dengan peluang α dan oleh tim B dengan peluang 1 α. Misalkan keadaan suatu sistem direpresentasikan oleh pasangan (a, b) di mana a menyatakan banyak pertandingan yang dimenangkan oleh A dan b adalah banyak pertandingan yang dimenangkan B. Bentuklah untuk masalah tersebut. Catatan: a + b 7 dan rangkaian pertandingan akan berakhir jika a = 4 atau b = 4.

Kelas Keadaan Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Keadaan j dikatakan dapat diakses dari keadaan i jika P n ij > 0 untuk suatu n 0. i j Perhatikan bahwa hal ini mengakibatkan keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika, dimulai pada keadaan i, proses akan pernah masuk ke keadaan j. Dua keadaan i dan j yang dapat diakses satu sama lain dikatakan dapat berkomunikasi. i j

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Contoh: P = ( ) 0.7 0.3 1 0 Apakah keadaan 1 bisa berkomunikasi dengan dirinya sendiri? Solusi: Jadi, 1 1 P 11 = 0 P 2 11 = P 10 P 01 + P 11 P 11 = 1(0.3) + 0 = 0.3 > 0

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Jenis keadaan: 1 Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i untuk semua i 0 2 Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j, maka keadaan j berkomunikasi dengan keadaan i 3 Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomunikasi dengan keadaan k, maka keadaan i berkomunikasi dengan keadaan k. Dua keadaan yang saling berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas yang sama. dikatakan tidak dapat direduksi jika hanya terdapat satu kelas keadaan, yaitu jika semua keadaan saling berkomunikasi satu sama lain. Sebuah keadaan yang tidak bisa berpindah ke keadaan yang lain dikatakan sebagai keadaan absorbing.

Contoh 10 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Tentukan kelas keadaan dari dengan peluang transisi 0.7 0 0.3 0 P = 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi a. 0 1 P 01 = 0 P01 2 = P 00 P 01 + P 01 P 11 + P 02 P 21 = 0 + 0 + 0.3(0.4) = 0.12 > 0 0 1 P 10 = 0.5 > 0 0 1 Jadi, 0 1

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi b. 1 2 P 12 = 0.5 > 0 P 21 = 0.4 > 0 Jadi, 1 2 c. 2 3 Jadi, 2 3 P 23 = 0.6 > 0 P 32 = 0 P 2 32 = P 30 P 02 + P 31 P 12 + P 32 P 22 + P 33 P 32 = 0 + 0.2(0.5) + 0 + 0 = 0.1 > 0

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Karena 0 1, 1 2, dan 2 3, maka masing-masing keadaan saling berkomunikasi sehingga kelas keadaannya adalah {0, 1, 2, 3} dan tersebut tidak dapat direduksi.

Contoh 11 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Tentukan kelas keadaan dari matriks peluang transisi berikut 1 0 0 P = 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Solusi: Kelas keadaannya: {0} dan {1, 2}. Keadaan {0} bersifat absorbing.

Keadaan Recurrent dan Transient Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Untuk setiap keadaan i, misalkan f i peluang bahwa dimulai dari keadaan i proses akan pernah kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika f i = 1 dan dikatakan transient jika f i < 1. Jika keadaan i recurrent, maka proses akan terus kembali ke keadaan i dengan peluang satu. Dengan definisi Rantai Markov, proses akan dimulai lagi ketika kembali ke keadaan i, dan seterusnya, sehingga keadaan i akan dikunjungi lagi. Jika keadaan i recurrent maka dimulai dari keadaan i maka proses akan kembali ke keadaan i terus dan terus sebanyak tak hingga kali.

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Misalkan keadaan i transient. Setiap kali proses kembali ke keadaan i terdapat kemungkinan (peluang yang positif) sebesar 1 f i bahwa proses tidak pernah kembali ke keadaan i. Dengan demikian, dimulai dari keadaan i, peluang bahwa proses berada di i sebanyak tepat n periode/kali adalah (1 f i ), n 1. Jika keadaan i transient maka, dimulai dari keadaan i, banyak periode/kali bahwa proses akan berada di keadaan i adalah peubah acak geometri dengan parameter 1 f i f n 1 i

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Keadaan i recurrent jika dan hanya jika, dimulai dari keadaan i, maka banyak periode/kali yang diharapkan (expected number of time periods) bahwa proses akan berada di keadaan i adalah tak hingga.

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Misalkan I n = { 1, X n = i 0, X n i Misalkan I n menyatakan banyak periode/kali bahwa proses n=0 berada dalam keadaan i, dan [ ] E I n X 0 = i = n=0 = = E[I n X 0 = i] n=0 P(X n = i X 0 = i) n=0 n=0 P n ii

Proposisi Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Keadaan i adalah Recurrent jika Pii n = n=1 Transient jika Pii n < n=1

Contoh 12 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Misalkan yang terdiri atas keadaan-keadaan 0, 1, 2, 3 mempunyai matriks peluang transisi 0 0 1/2 1/2 P = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 Tentukan keadaan mana yang transient dan mana yang recurrent.

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Solusi: Semua keadaan saling berkomunikasi dan semua keadaan bersifat recurrent

Contoh 13 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Matriks peluang transisi 1/2 1/2 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 P = 0 0 1/2 1/2 0 0 0 1/2 1/2 0 1/4 1/4 0 0 1/2 Tentukan kelas keadaan dan sifat-sifatnya

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Solusi: tersebut terdiri atas tiga kelas yaitu {0, 1}, {2, 3}, dan {4}. Sifat-sifatnya: Kelas {0, 1} dan {2, 3} bersifat recurrent Kelas {4} bersifat transient

Limit Peluang Transisi Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Misalkan matriks peluang transisi pada adalah ( ) 0.5 0.5 P = 0.7 0.3 Maka matriks peluang transisi 4 dan 8 langkahnya adalah ( ) P 4 0.5840 0.4160 = 0.5824 0.4176 P 8 = ( 0.5833 ) 0.4167 0.5833 0.4167

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Perhatikan bahwa matriks P 8 hampir identik dengan matriks P 4. Selain itu, setiap baris dari P 8 memiliki unsur yang identik. Pada kenyataannya, sepertinya P n ij konvergen ke suatu nilai, untuk n, yang sama untuk semua i. Dengan kata lain, terdapat limit peluang bahwa proses akan berada di keadaan j setelah sekian langkah (transisi). Nilai limit ini saling bebas dengan nilai pada keadaan awal.

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Jika waktu kembali yang pertama dari keadaan i hanya dapat berupa kelipatan dari integer d > 1, keadaan tersebut disebut periodik. Keadaan yang memiliki periode 1 disebut aperiodik.

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Jika keadaan i recurrent, maka keadaan tersebut akan dikatakan positive recurrent jika, dimulai dari keadaan i, waktu harapan hingga proses kembali ke i adalah hingga. Pada yang memiliki keadaan hingga, semua keadaan recurrent adalah positive recurrent. Suatu keadaan yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik.

Teorema Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Untuk yang ergodik dan tidak dapat direduksi, lim n Pn ij ada dan saling bebas dari i. Misalkan π j = lim n Pn ij, j 0, maka π j adalah solusi nonnegatif tunggal dari dengan π j = 1. j=0 π j = π i Pij n, j 0, i=0

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Catatan: Perhatikan bahwa P(X n+1 = j) = = P(X n+1 = j X n = i) P(X n = i) i=0 P ij P(X n = i) i=0 Misalkan n dan asumsikan kita bisa menambahkan limit di dalam persamaan, maka π j = P ij π i i=0

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Limit peluang π j adalah peluang jangka panjang (long-run proportion of time) bahwa suatu proses akan berada di keadaan j. Jika tidak dapat direduksi, maka terdapat solusi untuk π j = lim n Pn ij, j 0,, dengan π j = 1, jika dan j hanya jika bersifat positive recurrent. Jika solusinya ada, maka solusi tersebut tunggal dan π j adalah proporsi jangka panjang bahwa berada dalam keadaan j. Jika aperiodik, maka π j adalah limit peluang bahwa rantai akan berada di keadaan j.

Contoh 14 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Jika hari ini hujan, peluang besok hujan adalah α. Jika hari ini tidak hujan, peluang besok hujan adalah β. Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah ( ) α 1 α P = β 1 β dan kita mempunyai persamaan-persamaan π 0 = απ 0 + βπ 1 π 1 = (1 α)π 0 + (1 β)π 1 π 0 + π 1 = 1

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Maka diperoleh peluang hujan dan tidak hujan dalam jangka panjang adalah β π 0 = 1 + β α dan π 1 = 1 α 1 + β α

Contoh 15 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Misalkan keadaan mood Gary disajikan dalam matriks peluang transisi 0.5 0.4 0.1 P = 0.3 0.4 0.3 0.2 0.3 0.5 Berapa peluang jangka panjang untuk masing-masing keadaan?

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Kita mempunyai persamaan: π 0 + π 1 + π 2 = 1 dan diperoleh solusinya yaitu π 0 = 0.5π 0 + 0.3π 1 + 0.2π 2 π 1 = 0.4π 0 + 0.4π 1 + 0.3π 2 π 2 = 0.1π 0 + 0.3π 1 + 0.5π 2 π 0 = 21 62, π 1 = 23 62, π 2 = 18 62

Contoh 16 Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Pandang suatu populasi yang besar dari sekumpulan individu, setiap individu memiliki sepasang gen tertentu, di mana gen setiap individu diklasifikasikan menjadi tipe A atau tipe a. Asumsikan bahwa proporsi individu yang pasangan gennya adalah AA, aa, atau Aa berturut-turut adalah p 0, q 0, dan r 0 (dengan p 0 + q 0 + r 0 = 1). Ketika dua individu dikawinkan, masing-masing berkontribusi satu dari gen mereka, terpilih secara acak, kepada keturunan yang dihasilkan. Asumsikan bahwa perkawinan terjadi secara acak, di mana setiap individu punya kesempatan yang sama untuk dikawinkan dengan individu yang lain, tentukan proporsi individu pada generasi selanjutnya yang gennya adalah AA, aa, atau Aa (sebut sebagai p, q, dan r).

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Untuk memulainya, perhatikan bahwa pemilihan secara acak sepasang orang tua dan kemudian pemilihan secara acak satu dari gen mereka sama saja dengan memilih secara acak sebuah gen dari total populasi gen. Maka sebuah gen akan terpilih secara acak merupakan tipe A dengan peluang P(A) = P(A AA)P(AA) + P(A aa)p(aa) + P(A Aa)P(Aa) = P(A AA)p 0 + P(A aa)q 0 + P(A Aa)r 0 = p 0 + 1 2 r 0 dan tipe a dengan peluang P(a) = q 0 + 1 2 r 0

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Maka, berdasarkan perkawinan acak, sebuah anggota yang terpilih secara acak dari generasi selanjutnya akan mempunyai tipe Tipe AA dengan peluang p = P(A)P(A) = ( p 0 + 1 ) 2 2 r 0 Tipe aa dengan peluang q = P(a)P(a) = ( q 0 + 1 ) 2 2 r 0 Tipe Aa dengan peluang r = 2P(A)P(a) = 2 ( p 0 + 1 ) ( 2 r 0 q 0 + 1 ) 2 r 0

Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi

3 3 1. Dyran adalah mahasiswa semester 6 di Statistika UII. Dia tinggal tidak jauh dari kampus, cukup berjalan kaki saja dari tempat kos ke kampus dan sebaliknya. Akhir-akhir ini hujan datang hampir setiap hari. Mau tidak mau, Dyran menggunakan payung dalam perjalanan kos-kampus atau kampus-kos. Jika hari hujan dan payung ada di tempat Dyran berada, maka Dyran akan menggunakan payung tersebut. Jika hari tidak hujan, Dyran selalu lupa untuk membawa payung. Misalkan θ adalah peluang hujan setiap kali Dyran akan menuju kampus atau kos. Jika Dyran memiliki 3 buah payung, bentuklah suatu rantai Markov dari proses di atas!

3 2. Tiga bola putih dan tiga bola hitam diletakkan ke dalam dua kotak sedemikian rupa sehingga masing-masing kotak terdiri atas tiga bola. Kita katakan bahwa sistem berada pada keadaan i, i = 0, 1, 2, 3, jika kotak pertama terdiri atas i bola putih. Pada masing-masing langkah, kita ambil sebuah bola dari masing-masing kotak dan meletakkan bola dari kotak kedua ke kotak pertama dan sebaliknya. Buatlah matriks peluang transisi dari kejadian tersebut!

3 3. Menurut George, Christ, dan John, tanah Australia diberkahi dengan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan hari bercuaca baik, maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan peluang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka besok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat perubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari yang dibentuk dari keadaan-keadaan di atas.

3 4. Sebuah {X n, n 0} dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 mempunyai matriks peluang transisi sebagai berikut: P = 1 1 1 2 3 6 1 2 0 3 3 1 1 2 0 2 Jika P(X 0 = 0) = P(X 0 = 1) = 1 4, tentukan E(X 2).

3 5. Seorang SPG berjuang untuk menjual suatu produk sebanyak i = 0, 1, 2 buah. Proses jumlah produk yang terjual {X n } membentuk dengan matriks peluang transisi sebagai berikut: 0 1/2 1/2 P = 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 a. Hitung P(X n = 0 X 0 = 0) untuk n = 0, 1, 2 b. Hitung P(X 3 = 1 X 1 = 0)

3 6. Tentukan kelas keadaan dan sifat-sifat dari matriks-matriks peluang transisi berikut a. 0.5 0.5 0 0 P = 0.5 0.5 0 0 0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 1 b. 0 1 0 0 P = 1/9 4/9 4/9 0 0 4/9 4/9 1/9 0 0 1 0

3 7. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES, maka peluang SUKSES pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang SUKSES adalah 0.5. Hitung peluang percobaan sukses untuk jangka panjang.

Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.