Automatsko upravljanje 2016/2017

Automatsko upravljanje 2016/2017 Prof.dr.sc. Nedjeljko Perić, Prof.dr.sc. Zoran Vukić Prof.dr.sc. Mato Baotić, Izv.prof.dr.sc. Nikola Mišković Zavod za automatiku i računalno inženjerstvo Fakultet elektrotehnike i računarstva Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 1 / 82

Uvod Sažetak Predavanja 04 Blok, sumator i linija sa strelicom osnovni su elementi blokovskog dijagrama Blokovski dijagram, kao i GTS (Masonov teorem), pomažu nam da lakše odredimo prijenosnu funkciju zatvorenog kruga složene strukture Blokovski dijagram prikazuje samo prolaz informacije kroz sustav Prolaz energije i/ili materije kroz sustav ne prikazuje se blokovskim dijagramom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 2 / 82

Uvod Cilj Spoznati važnost matematičkih modela procesa u upravljanju sustavima Spoznati analogije izmed _ u matematičkih modela raznorodnih procesa Naučiti pristupe i načine prikaza matematičkih modela procesa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 3 / 82

Svrha matematičkog modela (1) Matematički modeli su matematički objekti koji se koriste za opis raznorodnih procesa (sustava) čija se stanja vremenom mijenjaju Primjeri matematičkih modela: modeli tehničkih sustava modeli za financijska i ekonomska predvid _ anja modeli za medicinske dijagnoze... Glavna svrha modeliranja u automatici je: analiza sustava upravljanja sinteza sustava upravljanja Za uspješno projektiranje sustava upravljanja (regulatora) te njegovu analizu i sintezu neophodno je dobro poznavanje vladanja procesa kao dinamičkih sustava (naglašenija svrha u ovome kolegiju) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 4 / 82

Svrha matematičkog modela (2) Vladanje procesa matematički se opisuje matematičkim modelom: stacioniranim - opisuje vladanje sustava u stacionarnom (ustaljenom, uravnoteženom) stanju dinamičkim - opisuje vladanje sustava pri prijelazu iz jednog stanja u drugo stanje, tj. pri prijelazu iz jedne radne točke u drugu; brzina prijelaza ovisi o karakteristikama sustava (broju i veličini skladišta energije) i o pobudnom signalu koji djeluje na ulaz procesa Matematički modeli procesa (čest je sinonim: proces ˆ= sustav) mogu imati i širu primjenu, primjerice: obuka operatera za vod _ enje složenih postrojenja (nuklearnih elektrana, brodova, letjelica) za što se koriste trenažeri zasnovani na matematičkim modelima procesa u postrojenjima nadzor i dijagnostika postrojenja i procesa (monitoring); monitoring je često sastavni dio suvremenih rješenja sustava automatizacije složenih postrojenja i procesa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 5 / 82

Svrha matematičkog modela (3) Nadalje, matematički modeli sustava mogu poslužiti i za: simulaciju hipotetskih situacija u koje bi stvarni sustav bilo opasno dovesti ("eksperimentiranje" na matematičkom modelu, umjesto na stvarnom sustavu); matematički model je "surogat stvarnog sustava" predikciju (predvid _ anje) budućih stanja sustava (primjerice sustava iz ekonomske sfere) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 6 / 82

Dva pristupa promatranju sustava Vladanje sustava može se promatrati kroz dva pristupa: pristup kojim se promatra unutarnje djelovanje sustava pristup kojim se promatra sustav izvana Matematički modeli zasnovani na prvom pristupu nazivaju se unutarnjim modelima, modelima stanja ili modelima bijele kutije (engl. white box) u ovu kategoriju spadaju modeli prikazani pomoću diferencijalnih jednadžbi i modeli prikazani u prostoru stanja, dakle modeli u vremenskom području ovi modeli predstavljaju nasljed _ e iz mehanike, povezano s Johannesom Keplerom i Isaacom Newtonom Matematički modeli zasnovani na drugom pristupu nazivaju se vanjskim modelima, ulaznoizlaznim modelima ili modelima crne kutije (engl. black box) u ovu kategoriju spadaju modeli prikazani pomoću prijenosnih funkcija i modeli prikazani pomoću frekvencijskih karakteristika, dakle modeli u području kompleksne varijable odnosno u frekvencijskom području ovi modeli predstavljaju nasljed _ e iz elektrotehnike Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 7 / 82

Složenost matematičkog modela Složenost matematičkog modela procesa ovisi o svrsi matematičkog modela Matematički modeli koje se koristi u svrhu sinteze i analize sustava upravljanja u pravilu su jednostavnije strukture (opisuju dominantna stanja sustava, a pri tome se zanemaruju nedominantna stanja sustava - govorimo o nemodeliranoj dinamici sustava) Dakle, iz praktičnih razloga koriste se jednostavniji (reducirani) modeli procesa u svrhe analize i sinteze sustava upravljanja Modeli koje se koristi u svrhu simulacijskih istraživanja samih procesa u pravilu su složenije strukture Takod _ er su složeniji modeli koje se koristi u svrhu monitoringa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 8 / 82

Točnost matematičkog modela Pogreška matematičkog modela može se definirati na razne načine Ovdje je definirana kao odstupanje e izlaza matematičkog modela y M od izlaza stvarnog sustava y z u P + + y + e - M y M Slika 5.1: Odstupanje matematičkog modela e = y Mu (5-1) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 9 / 82

Neodred _ enost matematičkog modela (1) Usko povezano s točnošću modela definira se i neodred _ enost (engl. uncertainty) matematičkog modela: neodred _ enost matematičkog modela sustava predstavlja bilo koje njegovo odstupanje od stvarnog sustava Neodred _ enosti mogu biti: spoznajne neodred _ enosti (engl. epistemic uncertainty) - posljedica su nepotpunog poznavanja zakonitosti koje vrijede za sustav; dubljom analizom sustava ove se neodred _ enosti mogu smanjiti prirodne neodred _ enosti - posljedica su inherentne promjenjivosti sustava, a posebno su izražene u slučajevima gdje je čovjek dio sustava, kao i u slučajevima modeliranja prirodnih (stohastičkih) pojava; ove se neodred _ enosti u principu ne mogu smanjiti Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 10 / 82

Neodred _ enost matematičkog modela (2) Sa stajališta automatskog upravljanja pod pojmom neodred _ enosti najčešće se podrazumijeva modelska neodred _ enost, tj. neodred _ enost koja predstavlja razliku izmed _ u realnog sustava i njegova matematičkog modela Kod modelske neodred _ enosti razlikujemo: strukturnu neodred _ enost koja se odnosi na neodgovarajuću strukturu matematičkog modela sustava, a može biti uzrokovana: nepotpunim poznavanjem sustava (spoznajna neodred _ enost) pojednostavljenjem modela što može obuhvaćati: korištenje usredotočenih parametara umjesto raspodijeljenih, zanemarivanje visokofrekvencijskih modova sustava, linearizaciju nelinearnih sustava i slično parametarsku neodred _ enost koja se odnosi na nemogućnost točnog odred _ ivanja parametara sustava odgovarajuće strukture, a to može biti posljedica: nedovoljno informativnog skupa podataka na temelju kojeg se obavlja identifikacija sustava inherentne promjenjivosti parametara sustava Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 11 / 82

Struktura matematičkog modela Matematički modeli mogu se klasificirati prema strukturi na sljedeći način: parametarski modeli (modeli sa strukturom) neparametarski modeli (modeli bez strukture) Parametarski modeli predstavljaju se jednadžbama, koje eksplicitno sadrže parametre (npr. diferencijalne jednadžbe n-tog reda, prijenosne funkcije n-tog reda, gdje je n strukturni parametar modela kojim je odred _ en red sustava) Neparametarski modeli prikazuju ovisnost ulazne i izlazne veličine procesa u obliku tablica vrijednosti ili krivulja (npr. težinske funkcije, prijelazne funkcije u tabličnom ili grafičkom obliku, frekvencijske karakteristike); neparametarski modeli sadrže parametre implicitno Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 12 / 82

Opći zahtjevi postavljeni na matematičke modele procesa Odgovarajuća složenost odred _ ena namjenom modela (opisuje bitna dinamička svojstva koja su relevantna za namjenu modela) Štedljivost (engl. parsimony) model treba biti štedljiv u parametrima (minimalni, ali zadovoljavajući broj parametara modela) Fleksibilnost model treba biti fleskibilan, tj. primjenljiv za opis vladanja sustava u svim radnim režimima Dobra numerička svojstva model treba biti prikladan za računalne simulacije (memorijska i računska složenost) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 13 / 82

Kako doći do matematičkog modela? Potrebno je odrediti strukturu i parametre matematičkog modela Do matematičkog modela procesa može se doći teoretskom i eksperimentalnom analizom procesa Teoretska analiza procesa zasniva se na detaljnom poznavanju fizikalnih (i drugih) zakonitosti procesa iz čega slijedi prikaz sustava u obliku matematičkih jednadžbi (ovaj se pristup zasniva na sustavskoj dinamici) Eksperimentalna analiza zasniva se na mjerenju ulazno-izlaznih veličina procesa te obradbi tih veličina zasnovanoj na algoritmima identifikacije iz čega slijede struktura i parametri matematičkog modela procesa (ovaj se pristup zasniva na identifikaciji procesa) Načelni pristup postavljanju matematičkog modela procesa zasnovan na teoretskoj analizi: 1. korak proučiti proces, tj. spoznati fizikalne (i kemijske) zakonitosti djelovanja u procesu (npr. tijekove materije, tijekove energije) 2. korak fizikalne (i kemijske) zakonitosti izraziti pomoću matematičkih jednadžbi (diferencijalnih, algebarskih, logičkih) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 14 / 82

Temeljne jednadžbe procesa (1) Fizikalne (i kemijske) zakonitosti u procesu zasnivaju se na općem principu konzervacije (održanja ravnoteže) kao temeljnom principu opstojnosti, koji se matematički može izraziti jednadžbom: [AKUMULACIJA] = [ULAZ] [IZLAZ] +[UNUTARNJI PROIZVOD] (5-2) odnosno jednadžbom: [ ] PROMJENA = AKUMULACIJE [ PROMJENA ULAZA [ + ] [ PROMJENA IZLAZA PROMJENA UNUTARNJEG PROIZVODA ] ] (5-3) Jednadžba (5-2), odnosno (5-3), zasniva se na općem principu konzervacije i naziva se općom temeljnom jednadžbom procesa Primjena principa konzervacije može se odnositi na konzervaciju mase, energije ili gibanja Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 15 / 82

Temeljne jednadžbe procesa (2) Jednadžbe (5-2) i (5-3) mogu se odnositi na ukupni sustav ili na mali segment sustava pa u tome smislu imamo modele s: makroskopskom ravnotežom mikroskopskom ravnotežom Modeli s makroskopskom ravnotežom opisuju proces kao proces s koncentriranim parametrima - opis pomoću običnih diferencijalnih jednadžbi (ODE) Modeli s mikroskopskom ravnotežom opisuju proces kao proces s raspodijeljenim parametrima - opis pomoću parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (PDE) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 16 / 82

Temeljne jednadžbe procesa (3) Iz opće temeljne jednadžbe slijede jednadžbe održavanja ravnoteže za razne fizikalne veličine Jednadžba ravnoteže ukupne mase (bilanca ukupne mase): [ ] Promjena akumulacije = mase u procesu [ ] [ ] (5-4) Dotok mase Odtok mase = u proces iz procesa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 17 / 82

Temeljne jednadžbe procesa (4) Jednadžba ravnoteže komponenata mase (bilanca komponenata) Promjena akumulacije molova j te = komponente u procesu = + Dotok molova j te komponente u proces Tvorba molova j te komponente uslijed kemijske reakcije Odtok molova j te komponente iz procesa + Nestajanje molova j te komponente uslijed kemijske reakcije (5-5) Mol je množina uzorka koji sadrži onoliko elementarnih jedinki koliko ima atoma u 0,012 kg ugljika 12 (C 12 ) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 18 / 82

Temeljne jednadžbe procesa (5) Jednadžba ravnoteže ukupne energije (bilanca energije): [ ] Promjena akumulacije = energije u procesu = [ Dotok energije u proces [ Promjena generirane + energije u procesu ] [ Odtok energije iz procesa ] + ] [ Promjena rada kojeg proizvodi proces Jednadžba održanja količine gibanja (bilanca gibanja): d(mv i ) dt = ] (5-6) N F ji (5-7) m - masa [kg] v i - brzina u i-tom smjeru [m/s] F ji - j-ta komponenta sile koja djeluje u i-tom smjeru [N] Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 19 / 82 j=1

Temeljne jednadžbe procesa (6) Rotacija krutog tijela oko nepomične osi: ] J - moment inercije [kgm 2 d(jω i ) dt = N M ji (5-8) ω i - kutna brzina u i-tom smjeru [rad/s] M ji - j-ta komponenta momenta koja djeluje u i-tom smjeru [Nm] j=1 Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 20 / 82

Temeljne jednadžbe procesa (7) U jednadžbama ravnoteže pojavljuju se tzv. konstitutivne jednadžbe koje se zasnivaju na fizikalnim (kemijskim) zakonima i na temelju kojih se dogad _ aju promjene u procesu, npr.: jednadžbe kemijskih kinetičkih odnosa jednadžbe ekvilibrija (kemijski i fazni ekvilibrij) jednadžbe stanja jednadžbe transporta... Jednadžbe ravnoteže omogućuju jedinstveno sagledavanje dinamike procesa kao znanosti o vremenskim promjenama stanja Jedinstvenost se ogleda u analognim oblicima matematičkih modela raznorodnih procesa Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 21 / 82

Primjer 5.1: Analogija izmed _ u električne i vodovodne mreže Električna mreža (sastoji se od aktivnih i pasivnih elemenata) Aktivni elementi izvori električne energije: naponski i strujni izvori Pasivni elementi troše ili pohranjuju električnu energiju: otpornici, prigušnice, kondenzatori Vodovodna mreža (sastoji se od aktivnih i pasivnih elemenata) Aktivni elementi izvori energije: izvori tlaka (potencijala) i izvori protoka, kao što su kompresori i crpke Pasivni elementi troše ili pohranjuju mehaničku energiju: cijevi, masa vode u cijevima, spremnici Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 22 / 82

Modeliranje komponenata SAU (1) Pri modeliranju sustava automatskog upravljanja treba na odgovarajući način modelirati i dinamičko vladanje izvršnog člana (aktuatora) te dinamičko vladanje mjernog člana Izvršni član Proces Mjerni član Slika 5.2: Prošireni model procesa Često se dinamičko vladanje i izvršnog i mjernog člana može opisati matematičkim modelom prvog reda Isto tako, nije rijedak slučaj da se njihova dinamička vladanja mogu zanemariti (u tome je slučaju njihovo vladanje opisano proporcionalnim članom) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 23 / 82

Modeliranje komponenata SAU (2) Signal mjernog člana često je onečišćen superponiranim smetnjama - šumom posljedica fizikalne/kemijske zakonitosti na kojoj se zasniva mjerni član, ili nastaje utjecajem okoline na mjerni član Šum superponiran mjernom signalu (signalu povratne veze) prenosi se na regulator s posljedicom da će i upravljački signal regulatora biti "zašumljen", tj. imat će izraženu varijancu (dodatno naprezanje aktuatora i loše vladanje sustava) Zbog toga je mjerni signal (signal povratne veze) nužno filtrirati Modeliranje mjernog šuma u SAU zasniva se na statističkim postupcima (model mjernog šuma zasniva se na generiranju slučajnih brojeva) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 24 / 82

Modeliranje pomoću diferencijalnih jednadžbi (1) Linearni sustavi s koncentriranim parametrima modeliraju se pomoću običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi Sustavi s raspodijeljenim parametrima modeliraju se pomoću parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (koje mogu biti linearne ili nelinearne, ovisno o tome je li sustav linearan ili nelinearan) Fizikalni zakoni su polazište pri postavljanju matematičkog modela procesa (dinamičkog modela procesa) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 25 / 82

Modeliranje pomoću diferencijalnih jednadžbi (2) Za električke sustave su od posebne važnosti: za sustave s koncentriranim parametrima: Kirchhoffovi zakoni Ohmov zakon Zakon indukcije... za polja kao i sustave s prostorno raspodijeljenim parametrima: Maxwellove jednadžbe Za mehaničke sustave su od posebne važnosti: Newtonovi zakoni zakoni ravnoteža sila i momenata zakoni održanja količine gibanja i energije Za termodinamičke sustave su od posebne važnosti: zakoni očuvanja unutarnje energije ili entalpije zakoni vod _ enja topline i prijenosa topline (često povezani sa zakonima termodinamike i dinamike plinova) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 26 / 82

Primjer 5.2: Električki sustav (1) i 1 L A i 3 Slika 5.3: RLC krug u u Petlja 1 i 2 R Petlja 2 u i C Promatrani fizikalni sustav posjeduje dva neovisna energetska spremnika: L i C Za petlju 1: u u (t) = L di 1 dt + Ri 2 + 1 t i 2 (τ)dτ + u c (0) (5-9) C 0 Za petlju 2: u i (t) = Ri 2 + 1 C t 0 i 2 (τ)dτ + u c (0) (5-10) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 27 / 82

Primjer 5.2: Električki sustav (2) i 1 L A i 3 Slika 5.3: RLC krug u u Petlja 1 i 2 R Petlja 2 u i C Za čvor A: Iz jednadžbi (5-9), (5-10) i (5-11) slijedi: i 1 i 2 i 3 = 0; i 3 = 0 i 1 = i 2 = i (5-11) T 2 2 d 2 u i dt + T du i 2 1 dt + u du u i = T 1 + u u (5-12) dt gdje je T 1 = RC i T 2 = LC Za rješenje ove diferencijalne jednadžbe 2. reda, u i (t), mora biti poznato: u u (t), u C (0) i i 1 (0) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 28 / 82

Primjer 5.3: Mehanički sustav (prigušeni mehanički oscilator) (1) v 1, v 2 i v u su brzine u označenim točkama na slici Prema Newtonovu zakonu je: F i su vanjske sile U promatranom slučaju je: m dv 2 dt m dv dt = F i (5-13) = d(v 1 v 2 ) (5-14) Slika 5.4: Prigušeni mehanički oscilator u 1 2 Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 29 / 82

Primjer 5.3: Mehanički sustav (prigušeni mehanički oscilator) (2) Iz ravnoteže sila u točki P slijedi (sila prigušenja = sila opruge): t d(v 1 v 2 ) = c [v u (τ) v 1 (τ)] dτ (5-15) 0 Iz jednadžbi (5-14) i (5-15) slijedi (usporedba s diferencijalnom jednadžbom (5-12) - imaju jednake matematičke strukture): T 2 2 gdje je d 2 v 1 dt + T dv 1 dv u 2 1 + v 1 = T 1 + v u (5-16) dt dt T 1 = m d i T 2 = m c Slika 5.4: Prigušeni mehanički oscilator u 1 2 Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 30 / 82

Analogije Matematički modeli Analogije u primjerima 5.2 i 5.3: sila i struja Fˆ=i brzina i napon vˆ=u Koriste se i druge analogije, kao: sila i napon Fˆ=u brzina i struja vˆ=i Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 31 / 82

Primjeri mehaničkih sustava Primjer 5.4: Gibanje mase uz djelovanje trenja Jednadžba ravnoteže sila F = ma (5-17) x x Gibanje mase m Sila trenja -bx m u Narinuta sila 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 Slika 5.5: Gibanje mase uz djelovanje trenja u bẋ = mẍ ẍ + b mẋ = u m v + b m v = u m (5-18) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 32 / 82

Primjeri mehaničkih sustava Primjer 5.5: Dvomaseni sustav - ovjes automobila (1) { 1 2 2 m 1 - masa kotača m 2 - masa četvrtine automobila 1 1 c 1 - konstanta elastičnosti amortizera 2 2 1 d - konstanta prigušenja amortizera Slika 5.6: Ovjes automobila c 2 - konstanta elastičnosti kotača Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 33 / 82

Primjeri mehaničkih sustava Primjer 5.5: Dvomaseni sustav - ovjes automobila (2) 2 c 1 (y x) d(ẏ ẋ) = m 2 ÿ (5-19) d(ẏ ẋ)+c 1 (y x) c 2 (x r) = m 1 ẍ (5-20) c (y-x) 1 d(y-x) ɺ ɺ ÿ + d m 2 (ẏ ẋ)+ c 1 m 2 (y x) = 0 (5-21) 1 c (x-r) 2 ẍ + d m 1 (ẋ ẏ)+ c 1 m 1 (x y)+ c 2 m 1 = c 2 m 1 r (5-22) Napomena: x i y su pomaci masa iz ravnotežnog položaja za r = 0 Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 34 / 82

Primjer 5.6: Njihalo Matematički modeli Primjeri mehaničkih sustava 00000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000 M c l θ mg Slika 5.7: Njihalo M c vanjski moment M c mgl sinθ = ml 2 θ (5-23) θ + g l sinθ = M c ml 2 (5-24) Nelinearni matematički model Za θ malog iznosa nelinearni model se aproksimira linearnim modelom: sinθ = θ θ + g θ = M c (5-25) l ml 2 g ω n = (5-26) l Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 35 / 82

Primjer 5.7: Vjetroagregat (1) Primjeri mehaničkih sustava Lopatice i toranj vjetroagregata nisu apsolutno kruti Vjetar brzine v vj sila potiska F p na rotor njihanje tornja (pomaci vrha tornja x t ) Zakretanje lopatica oko njihove uzdužne osi takod _ er uzrokuje njihanje tornja x t v vj Generator F p Slika 5.8: Spoj lopatica na gondolu Slika 5.9: Pojednostavljena nadomjesna shema vjetroagregata Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 36 / 82

Primjer 5.7: Vjetroagregat (2) Primjeri mehaničkih sustava Snaga vjetra: gdje je: ρ z - gustoća zraka [kg/m 3 ] R - polumjer rotora turbine [m] Snaga vjetroagregata: P vj = 1 2 ρ zr 2 π v 3 vj (5-27) P vja = 1 2 ρ zr 2 π C P v 3 vj (5-28) gdje je: C P = f 1 (v vj,ω,β) - koeficijent snage (engl. power performance coefficient) ω - brzina vrtnje turbine [rad/s] β - kut zakreta lopatice [ ] Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 37 / 82

Primjeri mehaničkih sustava Primjer 5.7: Vjetroagregat (3) Zakretni moment rotora: M t = 1 2 ρ zr 3 πc Q (v vj ẋ t ) 2 (5-29) gdje je: C Q = f 2 (v vj,ω,β) - koeficijent momenta (engl. torque coefficient) v vj C Q = C P ωr = C P λ (5-30) λ - engl. tip speed ratio zbog njihanja tornja nastaje relativna brzina tornja prema vjetru (v vj ẋ t ) Dinamika rotora: J t ω = M t M g M l (5-31) gdje je: J t - moment inercije turbine M g - elektromagnetski moment generatora M l - moment trenja u ležajevima Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 38 / 82

Primjer 5.7: Vjetroagregat (4) Primjeri mehaničkih sustava Nadomjesna dinamika tornja: gdje je: M - modalna masa D - modalno prigušenje C - modalna elastičnost Sila potiska rotora: Mẍ t + Dẋ t + Cx t = F P (5-32) F P = 1 2 ρ zr 2 πc T (v vj ẋ t ) 2 (5-33) gdje je: C T = f 3 (v vj,ω,β) - koeficijent potiska (engl. thrust coefficient) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 39 / 82

Primjer 5.7: Vjetroagregat (5) Primjeri mehaničkih sustava Matematički model vjetroagregata predstavlja podlogu za upravljanje brzinom vrtnje i snagom generatora vjetroagregata i vjetroelektrane Zahtjevi na upravljanje brzinom vrtnje generatora: Maksimizacija iskorištenja energije vjetra za vrijeme slabih vjetrova (tipično za v vj < 10 m/s) Ograničenje brzine vrtnje i snage generatora za vrijeme jakih vjetrova (tipično za 10 m/s < v vj < 25 m/s) P el [kw] [ ] β 1200 1000 800 600 400 200 0 90 ~ 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 v vj [m/s] Slika 5.10: Statičke karakteristike vjetroagregata ~ Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 40 / 82

Primjer 5.7: Vjetroagregat (6) Primjeri mehaničkih sustava Zahtjevi na upravljanje brzinom i snagom generatora Promjena elektromagnetskog momenta generatora pomoću frekvencijskog pretvarača Zakretanje lopatica oko njihove uzdužne osi (engl. pitching) Zahtjevi na upravljanje vjetroelektranom Upravljanje radnom i jalovom snagom vjetroelektrane sukladno potrebama EES-a Daljinsko upravljanje i nadzor nad pojedinim vjetroagregatom u vjetroelektrani Cjelovito upravljanje vjetroagregatom (vjetroelektranom) treba osigurati: prilagodbu napona i frekvencije zahtjevima električne mreže zakretanje gondole vjetroagregata okomito na vjetar praćenje iznosa procesnih veličina i atmosferskih prilika detekciju kvarova komponenata sustava sigurno zaustavljanje vjetroagregata u slučaju kvara ili nepovoljnih vremenskih uvjeta pravodobnu dojavu kvarnih stanja udaljenim kontrolnim mjestima Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 41 / 82

Primjeri električnih sustava Primjer 5.8: Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom (1) U a i a R a Φ u L a i u L u E Armaturni krug R u U u Ω Uzbudni krug 000000000000000000000 000 000 000 000 000 000 J 000 000 000 000 000 000 000000000000000000000 Mehanički dio motora Slika 5.11: Nadomjesna shema istosmjernog motora s nezavisnom uzbudom M m M t b 0 Varijable motora: U u, U a - napon uzbudnog i armaturnog kruga i u, i a - struja uzbudnog i armaturnog kruga Φ u - magnetski tok uzbudnog kruga E - protuelektromotorna sila M m - razvijeni moment motora Ω - brzina vrtnje M f - moment trenja M t - moment tereta Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 42 / 82

Primjeri električnih sustava Primjer 5.8: Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom (2) U a i a R a Φ u L a i u L u E Armaturni krug R u U u Ω Uzbudni krug 00000000000000000000 000 00 000 00 000 00 J 000 00 000 00 000 00 00000000000000000000 00000000000000000000 Mehanički dio motora Slika 5.11: Nadomjesna shema istosmjernog motora s nezavisnom uzbudom M m M t b 0 Parametri motora: R a, L a - otpor i induktivitet namota armaturnog kruga R u, L u - otpor i induktivitet namota uzbudnog kruga J - moment inercije rotirajućih masa b 0 - koeficijent trenja u ležaju Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 43 / 82

Primjeri električnih sustava Primjer 5.8: Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom (3) i u R u Armaturni krug: i a Φ u L u U u Uzbudni krug b 0 U a = R a i a + L a di a dt + E (5-35) E = KΩ (5-36) U a R a L a E M m Ω 00000000000000000000 00 00 M 00 00 t 00 00 J 00 00 00 00 00 00 00000000000000000000 (K - konstrukcijska konstanta motora) Razvijeni moment: Armaturni krug Uzbudni krug: U u = R u i u + L u di u dt U daljnjem razmatranju pretpostavit ćemo U u = konst. Φ u = konst. Mehanički dio motora (5-34) M m = Ki a (5-37) Jednadžba ravnoteže momenata: J dω dt M m = M t + M f + J dω dt - dinamički moment (5-38) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 44 / 82

Primjeri električnih sustava Primjer 5.8: Istosmjerni motor s nezavisnom uzbudom (4) Uz pretpostavku da je M f M t, iz (5-34) - (5-38) slijedi: gdje je: T a = La R a T m = JRa K 2 K a = 1 R a T a T m Ω+Tm Ω+Ω = U a K M t K a K 2 T a K a K 2 Ṁ t (5-39) - armaturna vremenska konstanta - elektromehanička vremenska konstanta Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 45 / 82

Primjeri električnih sustava Primjer 5.9: Automobil - Elektronička zaklopka (1) Prednosti korištenja elektroničke zaklopke (engl. electronic throttle) nad mehaničkom izvedbom zaklopke: mogućnost smanjenja potrošnje goriva mogućnost smanjenja emisije polutanata mogućnost bržeg upravljanja momentom motora poboljšava vozljivost vozila Dvopoložajni ventili Ispuh Klip cilindra Ubrizgavač goriva Svjećica Upravljanje svjećicama Pumpa za gorivo Senzor zakreta zaklopke Zaklopka Tijelo elektroničke zaklopke Senzor protoka zraka Senzor Elektromotor tlaka zraka Regulator + pojačalo Upravljanje motorom Zračni filtar Senzor položaja papučice gasa Papučica gasa Senzori motora Slika 5.12: Dio sustava upravljanja motorom s unutarnjim izgaranjem Dotok zraka Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 46 / 82

Primjeri električnih sustava Primjer 5.9: Automobil - Elektronička zaklopka (2) Zaklopka Reduktor Elektromotor Slika 5.13: Tijelo elektroničke zaklopke Slika 5.14: Sustav upravljanja elektroničkom zaklopkom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 47 / 82

Primjeri električnih sustava Primjer 5.9: Automobil - Elektronička zaklopka (3) Matematički model elektroničke zaklopke: di a L a dt + R ai a = K ch u Kω (5-40) M m = Ki a (5-41) J dω dt = M m M s M t M f (5-42) dm f dt dθ dt = K lω (5-43) = f f (M f,ω) (5-44) M s = M s (θ) (5-45) ω Ka 1+ T s a 1 s θ LH θ Slika 5.15: Nelinearni model elektroničke zaklopke Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 48 / 82

Primjeri električnih sustava Primjer 5.10: Fotonaponski pretvornici (1) Prednja elektroda (-) Sunčeva svjetlost Antirefleksivni sloj + N-tip silicij (P+) - + P-tip silicij (B+) - Stražnja elektroda (+) Slika 5.16: Fotoelektrični članak Pretvaraju energiju Sunca u električnu energiju Svjetlosna energija pobud _ uje elektrone u N sloju silicija Slobodni elektroni skupljaju se na prednjoj elektrodi Koncentracija elektrona ostvaruje električni napon Zatvaranje strujnog kruga - električna energija Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 49 / 82

Primjeri električnih sustava Primjer 5.10: Fotonaponski pretvornici (2) Dozračenost 6 5 G=1000 W/m 2 4 G=800 W/m 2 R S struja [A] 3 2 G=600 W/m 2 G=400 W/m 2 I pv 1 I D I sh 0 0 5 10 15 20 25 napon [V] 90 D R sh U pv R t snaga [W] 80 70 60 50 40 Povećanje G 30 20 10 Slika 5.17: Nadomjesni model fotonaponskog pretvornika 0 0 5 10 15 20 25 napon [V] Slika 5.18: Statičke karakteristike fotonaponskog pretvornika Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 50 / 82

Primjer 5.11: Gorivni članak (1) Primjeri električnih sustava Ballard-Mark 1030 P = 1.32 kw hlad _ en tekućinom Ballard-Mark 1020 ACS P = 1.26 kw hlad _ en zrakom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 51 / 82

Primjer 5.11: Gorivni članak (2) Primjeri električnih sustava Svrha Upotreba vodika u proizvodnji električne i toplinske energije Djelovanje Spajanje vodika i kisika u vodu uz oslobad _ anje električne i toplinske energije Svojstva Ekološki čisti izvor energije Upotreba Slika 5.19: Struktura gorivnog članka Pogon vozila Skladištenje električne energije dobivene iz obnovljivih izvora energije (sunce, vjetar) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 52 / 82

Primjer 5.11: Gorivni članak (3) Primjeri električnih sustava Spajanje atoma vodika i kisika u molekulu vode Oslobad _ anje elektrona Generiranje električnog napona Slika 5.20: PEM (Proton Exchange Membrane) gorivni članak Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 53 / 82

Primjer 5.11: Gorivni članak (4) Primjeri električnih sustava Spajanje više gorivnih članaka u složaj (engl. Fuel cell stack) Povećanje napona Slika 5.21: Složaj gorivnih članaka Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 54 / 82

Primjeri električnih sustava Primjer 5.11: Gorivni članak (5) Napon U ovisi o: tlaku i dotoku vodika i kisika struji I tereta Struja I tereta ovisi o: naponu teretu unutarnjem otporu članka H 2 O 2 P, q Gorivni članak U I Teret Slika 5.22: Med _ udjelovanja veličina u gorivnom članku Dotok ulaznih plinova ovisi o: ulaznim tlakovima plinova struji gorivnog članka Tlak ulaznih plinova ovisi o: tlakovima izvora plinova dotocima plinova Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 55 / 82

Primjer 5.11: Gorivni članak (6) Primjeri električnih sustava Blokovska shema gorivnog članka struja protok H 2 Model gorivnog članka referenca tlaka Izvor vodika tlak H 2 vlažnost H 2 temperatura Model anodnog masenog portoka protoka struja tlak na anodi referenca tlaka Kompresor tlak zraka Model vlažnosti membrane Naponski model napon DC/AC referenca vlažnosti Ovlaživač vlažnost zraka temperatura Model katodnog masenog portoka protoka tlak na katodi Termički model napon struja f trošila ulazni toplinski tok struja izlazni toplinski tok protok zraka referenca temperature Toplinski izmjenjivač temp. Slika 5.23: Blokovska shema gorivnog članaka Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 56 / 82

Toplinski procesi Matematički modeli Toplinski procesi Osnovni toplinski procesi su: miješanje hladnog i toplog fluida izmjena topline izmed _ u susjednih tijela nastajanje topline izgaranjem, u kemijskim reakcijama ili razgradnjom atoma izlaganje radijaciji izravna indukcija topline u materijalima s molekularnim ili atomskim gibanjem Fizikalna načela Pretvorba energije: mehanička } električna toplinska kemijska Rasprostiranje topline: vod _ enje (kondukcija) prijenos (konvekcija) zračenje (radijacija) Iznos promjene temperature tijela proporcionalan je ukupnoj energiji dovedenoj na tijelo ili odvedenoj od tijela Temperatura izaziva rasprostiranje topline Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 57 / 82

Fizikalna načela (1) Matematički modeli Toplinski procesi Vod _ enje (Kondukcija) Prema Fourierovu zakonu: H = KA T (5-46) x gdje je: H - toplinska energija u jedinici vremena (toplinski tok) [ W = J ; ] kj s h T - temperaturni gradijent duž osi x [ ] K x m ] A - površina kroz koju se prenosi toplina [m 2 K = λ - toplinska vodljivost [ ] W mk Za rasprostiranje topline od fluida na kruto tijelo i obratno relacija (5-46) može se nadomjestiti relacijom: H = h A T (5-47) gdje je: h - provodljivost (općenito je h funkcija relativne brzine izmjene topline izmed _ [ ] u medija) W m 2 K T - temperaturna razlika izmed _ u medija koji izmjenjuju toplinu (tanki sloj) [K] Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 58 / 82

Fizikalna načela (2) Matematički modeli Toplinski procesi Prijenos (Konvekcija) gdje je: [ Q - volumni protok ] m 3 s H = ρc P TQ (5-48) T - apsolutna temperatura [K] [ C P - specifična toplina = masena količina topline ρ - gustoća [ ] kg m 3 J kgk Zračenje (Radijacija) Rasprostiranje topline zračenjem može se odrediti prema Stefan-Boltzmannovu zakonu koji za idealno crno tijelo glasi: gdje je: [ σ - Stefan-Boltzmannova konstanta H = σat 4 (5-49) ] W m 2 K 4 Toplinsko zračenje nastaje kada atomi ili molekule tijela, pobud _ eni termičkim gibanjem, emitiraju elektromagnetske valove Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 59 / 82 ]

Fizikalna načela (3) Matematički modeli Toplinski procesi Pohranjena toplina u jedinici vremena H = ρc P V dt dt (= H CV + H CD + H R ) (5-50) gdje je: V - konstantni volumen tijela Brzina promjene (porasta) temperature tijela proporcionalna je ukupnoj toplini koja se dodaje tijelu konvekcijom H CV, kondukcijom H CD i radijacijom H R Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 60 / 82

Fizikalna načela (4) Matematički modeli Toplinski procesi Električne analogije toplinskih krugova (pojava): Toplinski otpor otpor odred _ en koeficijentom tankog sloja (koeficijent filma) H = h A T = ha(t 1 T 2 ) R = T H = 1 ha otpor odred _ en toplinskom vodljivošću Toplinski kapacitet Iz jednadžbe (5-50) slijedi: H = KA T x ˆ= λa T x = λa T 1 T 2 x T = 1 ρc P V R = x λa (5-51) (5-52) Hdt C = ρc P V (5-53) 0 Toplinski induktivitet ne postoji toplinski induktivitet koji bi odgovarao induktivitetu u električnim krugovima ili tromosti u mehaničkim krugovima Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 61 / 82

Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.12: Savršeno miješanje tekućina (1) Pretpostavke: Savršeno miješanje (T = T 0 ) Spremnik dobro izoliran (nema rasipanja topline kroz stjenku) T je prosječna temperatura u spremniku, zbog savršenog miješanja Mogu se postaviti i druge pretpostavke! T 1, Q 1, H 1 T 2, Q 2, H 2 T=T 0 T 0, Q 0, H 0 Slika 5.24: Savršeno miješanje tekućina Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 62 / 82

Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.12: Savršeno miješanje tekućina (2) Toplinska energija u jedinici vremena H 1 dovedena dotokom tekućine Q 1 : H 1 = ρ 1 C P1 T 1 Q 1 (5-54) Toplinska energija u jedinici vremena H 2 dovedena dotokom tekućine Q 2 : H 2 = ρ 2 C P2 T 2 Q 2 (5-55) Toplinska energija u jedinici vremena H 0 odvedena odtokom tekućine Q 0 : H 0 = ρ 0 C P0 T 0 Q 0 (5-56) Pretpostavljamo: (npr. regulacijom razine) Q 0 = Q 1 + Q 2 (5-57) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 63 / 82

Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.12: Savršeno miješanje tekućina (3) Jednadžba ravnoteže topline Akumulirana toplina u jedinici vremena: ρ 0 C P0 V dt 0 dt = i H i = H 1 + H 2 H 0 = = ρ 1 C P1 T 1 Q 1 +ρ 2 C P2 T 2 Q 2 ρ 0 C P0 T 0 Q 0 \ : ρ 0 C P0 Q 0 (5-58) (Vidi opći princip konzervacije energije) V Q 0 dt 0 dt + T 0 = ρ 1C P1 ρ 0 C P0 T 1 Q 1 Q 0 + ρ 2C P2 ρ 0 C P0 T 2 Q 2 Q 0 (5-59) τ dt 0 dt + T 0 = Kρ 1 C P1 T 1 Q 1 + Kρ 2 C P2 T 2 Q 2 (5-60) gdje je: [ ] 1 K K = ρ 0 C P0 Q 0 - koeficijent pojačanja (toplinski otpor) W τ = V Q 0 - vremenska konstanta [s] Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 64 / 82

Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.13: Toplinski model energetskog transformatora (1) Za monitoring transformatora ključne veličine su unutarnje temperature: Temperatura namota Vršna temperatura ulja za hlad _ enje Ove dvije veličine dominantno utječu na životni vijek izolacijskog sustava (starenje izolacijskog sustava) transformatora Postoji više metoda za odred _ ivanje unutarnjih temperatura transformatora: Metode zasnovane na toplinskim modelima Metode zasnovane na naprednim pristupima (umjetne neuronske mreže, neizrazita logika, genetički algoritmi; to su soft computing metode) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 65 / 82

Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.13: Toplinski model energetskog transformatora (2) Toplinski model ulje - okolišni zrak Toplinski model prikazan je kao analogni električni krug Željezo Namoti q in q oil θ oil Strujanje zraka q out θ amb Temperatura temperatura okoline q in θ oil oil q out Fe gubitci Cu gubitci q Fe q Cu q oil Coil Toplinski kapacitet R oil Toplinski otpor θ amb Slika 5.25: Toplinski model ulje - okolišni zrak Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 66 / 82

Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.13: Toplinski model energetskog transformatora (3) Odgovarajuća diferencijalna jednadžba koja opisuje toplinski model ulje - okolišni zrak glasi: q Fe + q Cu = C oil dθ oil dt + 1 R oilr (θ oil θ amb ) (5-61) gdje su: q Fe - toplinski tok odred _ en gubitcima u željezu q Cu - toplinski tok odred _ en gubitcima u bakru C oil - toplinski kapacitet ulja θ oil - temperatura ulja R oilr - toplinski otpor ulja za nazivne uvjete θ amb - temperatura okoline Primijetimo da su gubitci u željezu i bakru prikazani kao strujni (toplinski) izvori, a okolina kao temperaturni izvor Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 67 / 82

Primjeri toplinskih sustava Primjer 5.13: Toplinski model energetskog transformatora (4) Jednadžba (5-61) može se zapisati u uobičajenom obliku: τ oil dθ oil dt +θ oil = R oilr (q Fe + q Cu )+θ amb (5-62) gdje je: τ oil = R oilr C - toplinska vremenska konstanta Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 68 / 82

Procesi gibanja i skladištenja fluida Procesi gibanja i skladištenja fluida (1) Fizikalna podloga Gibanje fluida posljedica je djelovanja sile (potiska) Primjerice, istjecanje fluida iz spremnika posljedica je tlaka u fluidu koji nastaje zbog djelovanja gravitacijske sile, a gibanje fluida u cjevovodima posljedica je tlaka koji se pojavljuje uslijed sila potiska koje razvijaju crpke ili kompresori Sustavi cjevovoda kroz koje se giba fluid obično su integrirani sa sustavima spremnika fluida Količina uskladištene tvari (fluida) u spremniku funkcija je dotoka i odtoka Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 69 / 82

Procesi gibanja i skladištenja fluida (2) Procesi gibanja i skladištenja fluida Temeljna jednadžba ravnoteže masa u ovome slučaju glasi: ṁ u ṁ i = d [V(t)ρ(t)] (5-63) dt ili q u q i = d m(t) (5-64) dt gdje je: ṁ = dm dt - maseni protok fluida [kg/s] V - volumen uskladištenog fluida [ m 3] ρ - gustoća fluida [ kg/m 3] q u - ulazna količina fluida (dotok) [kg/s] q i - izlazna količina fluida (odtok) [kg/s] m - uskladištena masa fluida [kg] Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 70 / 82

Procesi gibanja i skladištenja fluida (3) Procesi gibanja i skladištenja fluida Količina uskladištenog fluida u vremenu t dobije se integriranjem jednadžbe (5-64): m(t) = t 0 [q u q i ] dτ + m(0) (5-65) Uskladištenje ima integralni karakter (simulira se blokom integracije) Uskladištena masa fluida u spremniku s konstantnim presjekom može se izračunati prema izrazu gdje je: A - površina presjeka spremnika [ m 2] h - visina fluida [m] Uvrštenjem (5-66) u (5-65) dobije se: h(t) = 1 Aρ m = A ρ h (5-66) t 0 [q u q i ] dτ + h(0) (5-67) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 71 / 82

Primjeri sustava fluida Primjer 5.14: Odvod _ enje tekućine iz spremnika ispumpavanjem (1) Spremnik tekućine s odvod _ enjem tekućine pomoću crpke promjenljive brzine vrtnje q i = K c Ω c (5-68) Uvrštenjem izraza (5-68) u izraz (5-67) dobije se jednadžba ravnoteže masa za razmatranu konfiguraciju: Aρ dh dt = q u(t) K c Ω(t) (5-69) Q u h h ref + A=konst. - h m Mjerenje razine Crpka Ω c Regulator razine tekućine u spremniku Slika 5.26: Spremnik tekućine s crpkom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 72 / 82 Q i

Primjeri sustava fluida Primjer 5.14: Odvod _ enje tekućine iz spremnika ispumpavanjem (2) Električna analogija Razina odgovara naponu Dotok odgovara struji Kapacitet je C = Aρ Q u Q i strujni izvor dh Aρ dt h Slika 5.27: Električna analogna shema spremnika tekućine s crpkom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 73 / 82

Primjeri sustava fluida Primjer 5.15: Odvod _ enje tekućine iz spremnika istjecanjem kroz regulacijski ventil (1) Spremnik tekućine s istjecanjem kroz regulacijski ventil Odtok tekućine iz spremnika Q i ovisi o: razini vode u spremniku h otvoru regulacijskog ventila x v Jednadžba ravnoteže masa: Q u Q i = Aρ dh dt (5-70) Q u (P 0) h (P 1) A=konst. Mjerenje razine h m x v h ref + - Regulator Q i Pozicioner ventila (P 2) Slika 5.28: Spremnik tekućine s ventilom Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 74 / 82

Primjeri sustava fluida Primjer 5.15: Odvod _ enje tekućine iz spremnika istjecanjem kroz regulacijski ventil (2) Bernoullijeva jednadžba za stacionarno strujanje nestlačivog idealnog fluida: P +ρgh+ 1 2 ρv2 = konst. (5-71) gdje je: P - statički tlak [Pa] ρgh - tlak uvjetovan visinskom razlikom pojedinih dijelova fluida [Pa] 1 2 ρv2 - dinamički (brzinski) tlak [Pa] Protok kroz regulacijski ventil odred _ en je nelinearnim izrazom (slijedi iz Bernoullijeve jednadžbe i Torricellijeva zakona: v = 2gh): Q i = K v A v ρ 2gh = f(a v, h) (5-72) gdje je: K v - konstrukcijska konstanta ventila (bez dimenzije) A v - promjenljiva površina presjeka otvora ventila (uslijed djelovanja regulatora) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 75 / 82

Primjeri sustava fluida Primjer 5.15: Odvod _ enje tekućine iz spremnika istjecanjem kroz regulacijski ventil (3) Uvrštenjem izraza (5-72) u (5-70) dobije se nelinearna diferencijalna jednadžba: Aρ dh dt + K va v ρ 2g h = Q u (5-73) s dvije nelinearnosti (umnoškom i drugim korijenom) nelinearni matematički model Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 76 / 82

Primjeri sustava fluida Primjer 5.16: Spregnuti (interaktivni) spremnici tekućine (1) Q 1 Za prvi spremnik vrijedi: C 1 h 1 R 1 Q2 C 2 h 2 R 2 Q3 Q 1 Q 2 = C 1 dh 1 dt gdje su: (5-74) (ventil) (ventil) A 1=konst. A 2=konst. Slika 5.29: Spregnuti spremnici tekućine C 1 = ρa 1 (5-75) Q 2 = h 1 h 2 R 1 (5-76) Uvrštenjem (5-76) u (5-74) dobije se Q 1 h 1 h 2 dh 1 dh 1 (t) = C 1 T 1 + h 1 (t) = R 1 Q 1 (t)+h 2 (t) (5-77) R 1 dt dt gdje je T 1 = R 1 C 1 (napomena: općenito je R = f(h)) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 77 / 82

Primjeri sustava fluida Primjer 5.16: Spregnuti (interaktivni) spremnici tekućine (2) Q 1 Za drugi spremnik vrijedi: C 1 h 1 R 1 Q2 C 2 h 2 R 2 Q3 Q 2 Q 3 = C 2 dh 2 dt gdje su: (5-78) (ventil) (ventil) A 1=konst. A 2=konst. Slika 5.29: Spregnuti spremnici tekućine C 2 = ρa 2 (5-79) Q 3 = h 2 R 2 (5-80) Uvrštenjem (5-76) i (5-80) u (5-78) dobije se h 1 h 2 h 2 dh 2 = C R 1 R 2 2 dt gdje je T 2 = R 2 C 2 ( dh 2 (t) T 2 + 1+ R ) 2 h dt R 2 (t) = R 2 h 1 R 1 (t) (5-81) 1 Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 78 / 82

Primjeri sustava fluida Primjer 5.16: Spregnuti (interaktivni) spremnici tekućine (3) Električna analogija Slika 5.30: Električna analogna shema spregnutih spremnika tekućine Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 79 / 82

Primjeri sustava fluida Primjer 5.17: Modeliranje cijevi kroz koje protječu fluidi (1) Za procese gibanja i skladištenja fluida potrebno je imati odgovarajući matematički model cijevi kroz koje protječu fluidi Pretpostavimo da je u tu svrhu potrebno modelirati segment cijevi odred _ ene duljine l i odred _ enog promjera d koji je zaključen impedancijom Z T Pristup modeliranju segmenta cijevi može se zasnivati na modeliranju preko distribuiranih ili preko koncentriranih parametara x Q, P Z T x Zaključna impedancija Slika 5.31: Model segmenta cijevi Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 80 / 82

Primjeri sustava fluida Primjer 5.17: Modeliranje cijevi kroz koje protječu fluidi (2) Modeliranje segmenta cijevi preko koncentriranih parametara (zaključna impedancija odgovara kapacitetu posude) Q u ukupni otpor segmenta cijevi ukupni induktivitet segmenta cijevi P T dinamički tlak u posudi Crpka P u R L C T kapacitet posude Slika 5.32: Segment cijevi modeliran preko koncentriranih parametara LC T d 2 P T (t) dt 2 + RC T dp T (t) dt + P T (t) = P u (t) (5-82) Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 81 / 82

Zaključak Zaključak Matematički modeli procesa osnova su za sintezu i analizu sustava automatskog upravljanja Matematički modeli procesa mogu se dobiti pomoću sustavske analize procesa ili identifikacijom procesa Matematički modeli procesa dobiveni sustavskom analizom temelje se na općem principu konzervacije (održanja ravnoteže) mase, energije i gibanja Pri postavljanju i razumijevanju matematičkih modela procesa utemeljenih na održanju ravnoteže od velike koristi mogu biti analogije raznorodnih procesa s elektrotehničkim procesima Složenost matematičkog modela procesa (točnost) ovisi o svrsi modela Matematički modeli procesa za svrhe upravljanja trebaju opisati dominantno dinamičko vladanje procesa koje je relevantno za kvalitetu sustava upravljanja; ovi modeli spadaju u kategoriju manje složenih modela Automatsko upravljanje :: Predavanje 05 Matematičko modeliranje procesa c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 82 / 82