MODELAREA MATEMATICĂ A SISTEMELOR CONTINUE OBIECTIVE Aaliza sistemelor de ordiul doi folosid modele matematice Calculul polilor şi zerourilor fucţiei de trasfer Reducerea schemelor bloc 41 Itroducere Aaliza şi siteza sistemelor de cotrol se bazează pe modelele matematice ale sistemelor fizice complexe, care se obţi pe baza legilor fizice ale proceselor şi sut, î geeral, ecuaţii difereţiale eliiare Pe de altă parte, multe sisteme fizice au proprietatea de liiaritate î jurul aitor pucte de fucţioare, astfel că este posibilă o aproximare liiară a sistemelor fizice Dezvoltarea î serie Taylor este u exemplu petru acest caz, utilizâdu-se la liiarizarea proceselor Aproximarea liiară a sistemelor fizice este descrisă de o ecuaţie difereţială liiară cu coeficieţi costaţi Trasformata Laplace este u mod potrivit de a calcula soluţia uei ecuaţii difereţiale şi poate fi folosită petru a obţie descrierea itrare-ieşire a sistemelor liiare, ivariate î timp, sub forma fucţiei de trasfer Matlab-ul poate fi utilizat petru studiul sistemelor liiare ivariate î timp descrise pri fucţia de trasfer sau sub forma itrare-stare-ieşire 4 Sistem mecaic resort-masă-amortizare şi sistem electric RLC Sistemul mecaic resort-masă-amortizare este prezetat î figura 41 Deplasarea masei, otată y (t), este descrisă de ecuaţia difereţială (41): M y ( t) + By ( t) + ky( t) f ( t) (41) Soluţia y (t) a ecuaţiei difereţiale (41) descrie deplasarea masei î fucţie de timp Fucţia de itrare (forţa, î acest exemplu) este reprezetată de f (t) Determiarea modelului matematic al acestui sistem mecaic se bazează pe utilizarea uui resort şi amortizare ideale, care aproximează elemetele reale Modelul sistemului mecaic resort-masă-amortizare, dat de ecuaţia (41) este aproximaţia liiară şi ivariată î timp a procesului fizic; el este valabil ai î regimurile ude forţa resortului este o fucţie liiară de deplasare a masei şi ude 9
forţa de frecare (amortizarea) este o fucţie liiară de viteză Modelul matematic dat de (41) reprezită u vehicul care absoarbe eergie Fig 41 Sistem mecaic resort-masă amortizat Şi alte procese fizice sut descrise de modelele matematice cotiue (aalogice) de tipul (41) U exemplu de sistem electric tipic este circuitul RLC, redat î figura 4 Î acest caz, modelul matematic este aalogic, ude viteza y (t) şi tesiuea u (t) sut variabile aalogice Această oţiue de sistem aalogic este importată î modelarea sistemelor Aaliza sistemelor descrise de modelul (41) este importată u ai î cazul sistemelor mecaice şi electrice, dar şi a celor termice şi hidraulice Fig 4 Circuitul RLC Reveid la primul exemplu, răspusul eforţat ( f (t) 0 ) y (t) al sistemului mecaic (figura 41) este dat de: ζ ω e y( t) y(0) 1 ζ t si( ω 1 ζ t + ϕ), (4) ude ϕ arccos(ζ), iar deplasarea iiţială este y (0) Răspusul trazitoriu (4) este subamortizat dacă ζ < 1, supraamortizat dacă ζ > 1 şi amortizat critic dacă ζ 1 Se poate utiliza Matlab-ul petru a vizualiza răspusul eforţat (trazitoriu) dat de (4) cu codiţia iiţială y (0) Î cazul î care se doreşte o simulare a fucţioării uui sistem cu reacţie, atuci se pot varia itrările şi codiţiile iiţiale ale sistemului, putâdu-se calcula î Matlab soluţiile erice şi apoi soluţia grafică 4 Fucţii de trasfer Fucţia de trasfer reprezită o descriere itrare-ieşire a sistemelor şi se obţie aplicâd trasformata Laplace î codiţii iiţiale ule ecuaţiei difereţiale (41) 40
Î cazul sistemelor liiare cotiue î timp, fucţia de trasfer G ( este dată de u raport de două polioame de variabilă complexă s, adică G ( este de forma: b0s U( s m + b + a m-1 1s -1 1s + + b + + a m-1-1 s + b s + a m (4) ude m Rădăciile poliomului de la ărătorul fucţiei G ( se esc zerourile sistemului, iar rădăciile poliomului de la itorul fucţiei G ( se esc polii sistemului Î Matlab, petru crearea uei fucţii de trasfer, se foloseşte fucţia tf care are următoarea sitaxă: systf(,), ude, - reprezită ărătorul, respectiv itorul fucţiei de trasfer, rezultâd astfel u sistem cotiuu; dacă se specifică şi perioada de eşatioare atuci va rezulta u sistem discret Ecuaţia obţiută pri egalarea cu zero a itorului lui G ( se eşte ecuaţia caracteristică a sistemului: -1 s + a1s + + a-1s + a 0 (44) Răspusul trazitoriu al sistemului este determiat de repartiţia (localizarea) î plaul s al polilor şi zerourilor Se poate utiliza programul Matlab petru aaliza sistemelor descrise de fucţii de trasfer Deoarece fucţia de trasfer este u raport de două polioame, Matlab-ul poate fi folosit petru rezolvarea polioamelor Polioamele sut reprezetate de vectori liie coţiâd coeficieţii poliomului î ordiea descrescătoare puterilor variabilei Î exemplul 41 este prezetat modul de calcul al rădăciilor petru poliomul: p ( s + s + 4 (45) Exemplul 41 >> p[1 0 4]; >> rroots(p) r -55 01777 + 1077i 01777-1077i Dacă p este u vector liie ce coţie coeficieţii lui p ( î ordie descrescătoare puterilor, atuci rroots(p) este u vector coloaă ce admite rădăciile poliomului p ( Ivers, dacă r este u vector coloaă ce coţie rădăciile uui poliom, atuci ppoly(r) este u vector liie ce îglobează coeficieţii poliomului î ordiea descrescătoare puterilor variabilei Petru a îmulţi două polioame se utilizează fucţia cov, iar petru a evalua valoarea polioamelor petru o valoare dată a variabilei, se utilizează fucţia polyval Î exemplul 4 este exemplificată utilizarea fucţiilor cov şi polyval petru calcularea valorii poliomului h ( (s + s +1)( s + 4) î puctul s 5 41
Reprezetarea grafică petru localizarea pol-zero î plaul complex se face folosid fucţia pzmap, astfel: pzmap(,) Î operatorul pol-zero, zerourile sut otate cu o şi polii cu x Exemplul 4 Utilizarea fucţiilor cov şi polyval petru a multiplica şi evalua polioamele (s + s +1) ( s + 4) >> h1[ 1]; >> h[1 4]; >> hcov(h1,h) h 14 9 4 >> vpolyval(h,-5) v -66 44 Modelele diagramei bloc Presupuem că avem modelele matematice î forma fucţiilor de trasfer petru istalaţia tehologică (proce G ( şi petru regulator G R ( Putem avea şi alte compoete ale sistemului, ca sezori şi reţele de corecţie Ne propuem să coectăm aceste elemete petru a obţie u sistem de cotrol Se vor utiliza fucţiile Matlab petru trasformarea digramelor bloc descrise î cursul de Teoria Sistemelor Procesul cotrolat este arătat î figura 441 U sistem de cotrol î buclă deschisă poate fi obţiut pri coectarea î serie a procesului cu regulatorul, aşa cum se poate observa î figura 44 Fig 441 Sistem deschis Fig 44 Sistem de cotrol deschis Se poate utiliza Matlab-ul petru calculul fucţiei de trasfer vede î exemplul 4 441 Coexiuea serie aşa cum se U( Se poate utiliza fucţia series petru a lega î cascadă două fucţii de trasfer G ( ) şi G ( ), ca î figura 44 1 s s Fig 44 Fucţia series G ( U( 1 G 1( 1 G ( [,]series(1,1,,) 4
Exemplul 4 Fie procesul (istalaţia tehologică) dat de fucţia de trasfer G (, cu 1 G ( şi fie regulatorul, reprezetat de fucţia de trasfer G R (, cu 500 s s +1 G R ( Fucţia de trasfer G ( s + R este calculată utilizâd fucţia series şi este exemplificată î figura 444 Fucţia de trasfer echivaletă care rezultă este: s + 1 G R ( 500 s + 1000 s Fig 444 Aplicaţie a fucţiei series r[1 1]; r[1 ]; [0 0 1]; [500 0 0]; [s,s]series(r,r,,) 44 Coexiuea paralel Diagrama bloc se obţie şi petru legarea î paralel folosid fucţia parallel, descrisă î figura 445 Fig 445 Fucţia paralel G ( U( 1 G 1( 1 G ( [,]parallel(1,1,,) 44 Coexiuea cu reacţie Itroducerea uui semal de reacţie va geera u sistem î buclă îchisă (cu reacţie) uitară, aşa cum se vede î figura 446 Semalul E ( este semalul de eroare, iar R ( este semalul de referiţă (de itrare) Î acest sistem de cotrol, regulatorul este pe calea directă şi fucţia de trasfer a sistemului îchis este: ( ) ( ) 0 ( GR s G s G Există două fucţii care pot utiliza procesul de reducere a 1± G ( R 4
diagramei bloc petru calculul fucţiei de trasfer a sistemului îchis moobuclă şi multibuclă şi ae fucţiile cloop şi feedback Fig 446 Sistem de cotrol cu reacţie uitară, fucţia cloop G 0 ( R( 1 G R ( 1 +1 - reacţie pozitivă -1 - reacţie egativă [,]cloop(1,1,sig) Fucţia cloop calculează fucţia de trasfer a sistemului îchis î care apare şi cofiguraţia sistemului cu reacţie uitară Fucţia feedback este arătată î figura 447 î care apare şi cofiguraţia sistemului care iclude partea de reacţie G ( ) s Fig 447 Sistem de cotrol cu reacţie, fucţia feedback G 0 ( R( 1 G 1(, 1 G ( +1 - reacţie pozitivă -1 - reacţie egativă [,]feedback(1,1,,, sig) Petru ambele fucţii, cloop şi feedback, dacă semul itrării sig este omis, atuci reacţia egativă este presupusă că există Î exemplul 44 este prezetat modul de utilizare al fucţiei cloop, iar î exemplul 45, este arătat modul de utilizare al fucţiei feedback Exemplul 44 Fucţia cloop Fie procesul G ( şi regulatorul G R ( di exemplul 4 (figura 448) Se aplică fucţia cloop utilizâd î primul râd fucţia series petru calculul lui GR (, urmată de fucţia cloop petru bucla îchisă Fucţia de trasfer a sistemului îchis este: GR ( s +1 G0( 1+ G ( 500s +1000s + s +1 R 44
Fig 448 Aplicaţie a fucţiei cloop r[1 1]; r[1 ]; [0 0 1]; [500 0 0]; [s,s]series(r,r,,); [,]cloop(s,s,-1) Exemplul 45 Fucţia feedback Fie îcă odată procesul şi regulatorul G R ( di exemplul 4 Se calculează fucţia de trasfer a sistemului îchis cu regulatorul pe calea de reacţie, utilizâd fucţia feedback (figura 449) Fucţia de trasfer a sistemului îchis este: s + G0( 1+ G ( ) ( ) R s G s 500s +1000s + s +1 Secveţa de comadă: r[1 1]; r[1 ]; [0 0 1]; [500 0 0]; [f,f]feedback(r,r,,,-1) Fig 449 Aplicaţie a fucţiei feedback Fucţiile Matlab series, cloop şi feedback pot fi utilizate şi petru diagramele multibuclă 45 Exerciţii propuse Exerciţiul 451 Să se reprezite răspusul eforţat al sistemului mecaic (t[0:0001:7], iar relaţia matematică este prezetată î relaţia 1), petru: rad Cazul supraamortizat: y( 0) 0,15m ω ; ζ1 s rad 1 Cazul subamortizat: y( 0) 0,15m ; ω ; ζ s 45
Exerciţiul 45 Cosiderâd fucţiile de trasfer: 6s +1 ( s + 1)( s + ) G ( şi H(, s + s + s +1 ( s + i )( s - i )( s + ) să se calculeze şi reprezite polii şi zerourile fucţiilor de trasfer G ( şi H (, precum şi rezultatul împărţirii lui G ( la H ( (ărul de poli este mai mare sau cel mult egal cu ărul de zerouri) Exerciţiul 45 Să se deseeze diagrama bloc şi să se determie fucţia de trasfer petru circuitul RC (rezistor şi cosator) cu schema prezetată î figură: ude: u i (t) reprezită mărimea de itrare a sistemului, iar u c (t) mărimea de ieşire Codiţiile iiţiale sut ule Exerciţiul 454 Să se realizeze programul petru reducerea multibuclă Rezultatul obţiut cu programul scris î Matlab este: 5 ( s + 4s + 6s + 6s + 5s + G 0 6 5 4 1s + 05s +1066s + 517s + 18s + 196s + 71 Sistemul multibuclă este dat î figura de mai jos şi se doreşte calcularea fucţiei de trasfer echivaletă: G ( Î cadrul sistemului dat, există următoarele fucţii R( de trasfer: 1 1 ( 1 G ; G ) s +10 ( s ; s +1 s +1 +1 G ( ; 4 s + 4s + 4 ( s G ; s + 6 H 1( s ) ; +1 ( s H şi H ( 1 s + Petru rezolvarea acestui exemplu trebuie parcurse următoarele etape: 4 Etapa 1: Itroducerea fucţiilor de trasfer ale blocurilor compoete î Matlab Etapa : Se deplasează blocul G 4( s ) î iteriorul buclei cu H 1 ( s ) pe reacţie Etapa : Se elimiă bucla G G ( H ( ) ( 4 s 46
Etapa 4: Se elimiă bucla cu H 1( / G4( pe reacţie Etapa 5: Se elimiă bucla rămasă şi se calculează G ( Sistem cu mai multe bucle de reacţie Dacă se calculează polii şi zerourile lui G (, se costată că se poate da factor comu (s +1) la ărător şi la itor, deci fucţia de trasfer se simplifică Această simplificare se poate face cu ajutorul fucţiei mireal: [1,1]mireal(,) Exerciţiul 455 Să se deseeze diagrama bloc şi să se determie fucţia de trasfer petru circuitul RLC cu schema prezetată î figură: ude u i (t) reprezită mărimea de itrare a sistemului, iar u c (t) mărimea de ieşire; codiţiile iiţiale sut ule Exerciţiul 456 Să se deseeze diagrama bloc şi să se determie fucţia de trasfer petru circuitul cu schema prezetată î figură: ude u i (t) reprezită mărimea de itrare a sistemului, iar u c (t) mărimea de ieşire; codiţiile iiţiale sut ule 47