Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40% TS1 + 20% TS2 + 40%LSA TS1, TS2 - teste scrise Activitate laborator/seminar (LSA): lucrare (30%) proiect (50%) activitatea în timpul seminarului (20%) Referat (opţional): 2 puncte (se adaugă la nota finală) Condiţii minimale: LSA 5, TS1+TS2 7 Nota finală: minim 5.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 3/45 Reţele Petri Reţele Petri: o metodă formală (matematică) folosită pentru modelarea şi verificarea sistemelor (concurente/distribuite)

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 3/45 Reţele Petri Reţele Petri: o metodă formală (matematică) folosită pentru modelarea şi verificarea sistemelor (concurente/distribuite) Noţiunea de sistem: A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole (Webster Dictionary) A combination of components that act together to perform a function not possible with any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms)

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 3/45 Reţele Petri Reţele Petri: o metodă formală (matematică) folosită pentru modelarea şi verificarea sistemelor (concurente/distribuite) Noţiunea de sistem: A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole (Webster Dictionary) A combination of components that act together to perform a function not possible with any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms) Sistemele: alcătuite din componente care interacţionează îndeplinesc o anumită funcţionalitate evenimente şi stări concurenţă, comunicare, sincronizare

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 4/45 Reţele Petri Exemple de sisteme: sisteme automatizate de producţie sisteme de control al traficului aerian sisteme de monitorizare şi control în industrie reţele de comunicare sisteme software distribuite etc...

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 5/45 Modelarea şi verificarea sistemelor Verificarea sistemelor reale: are drept scop verificarea unor proprietăţi dezirabile, înca din stadiul de proiectare Un model surprinde caracteristici esenţiale ale sistemului Modele (formale) pentru verificarea sistemelor: automate/sisteme tranziţionale algebre de procese logici temporale reţele Petri etc...

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală expresivitate (concurenţă, nedeterminism, comunicare,sincronizare)

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală expresivitate (concurenţă, nedeterminism, comunicare,sincronizare) existenţa metodelor de analiză a proprietăţilor

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală expresivitate (concurenţă, nedeterminism, comunicare,sincronizare) existenţa metodelor de analiză a proprietăţilor numeroase unelte software pentru editarea/verificarea proprietăţilor reţelelor Petri

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 7/45 Reţele Petri Domenii de aplicabilitate: Protocoale de comunicare, reţele Sisteme software si hardware Algoritmi distribuiţi Protocoale de securitate Biologie, Chimie, Medicină Economie (fluxuri de lucru) etc..

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 8/45 Retele de tip P/T Definiţie Regula de producere a tranziţiilor (comportament) Proprietăţi

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 9/45 Retele de tip P/T - Definiţie Definiţie 1 O reţea Petri este un 4-uplu N = (P,T,F,W) astfel încât : 1. P mulţime de locaţii, T mulţime de tranziţii, P T = ; 2. F (P T) (T P) relaţia de flux; 3. W : (P T) (T P) N ponderea arcelor (W(x,y) = 0 ddacă (x,y) F ). P = {p 1,p 2,p 3 } T = {t 1,t 2,t 3 } F = {(p 1,t 1 ),(t 1,p 2 ),(t 1,p 3 ), (p 3,t 3 ),(t 3,p 1 ),(p 2,t 2 )} p1 t1 p2 2 W(p 1,t 1 ) = 1, W(t 1,p 2 ) = 1, W(t 1,p 3 ) = 1, W(p 3,t 3 ) = 1, W(t 3,p 1 ) = 1,W(p 2,t 2 ) = 2 t3 p3 t2

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 10/45 Reţele de tip P/T Dacă x P T, atunci: - Premulţimea lui x: x = {y (y,x) F}; - Postmulţimea lui x: x = {y (x,y) F}. p1 t1 p2 2 t3 p3 t2 - t 1 = {p 1 }, t 2 = {p 2 }, t 3 = {p 3 } - t 1 = {p 2,p 3 },t 2 =,t 3 = {p 1 } - p 1 = {t 3 }, p 2 = {t 1 }, p 3 = {t 1 } - p 1 = {t 1 },p 2 = {t 2 },p 3 = {t 3 }

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 11/45 Reţele de tip P/T Definiţie 2 O reţea este pură dacă, pentru orice x P T, x x =. 2 p1 t1 p2 t2 Definiţie 3 O reţea este fără elemente izolate, dacă, pentru orice x P T, x x

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 12/45 Marcare a unei reţele de tip P/T Definiţie 4 (Marcare, reţele marcate) Fie N = (P,T,F,W) o reţea P/T. O marcare a lui N este o funcţie M : P N. Fie N = (P,T,F,W) o reţea P/T şi M 0 : P N. Atunci (N,M 0 ) se numeşte reţea Petri marcată. p1 t1 p2 2 t3 p3 t2 M = (1,0,0) Distribuţia punctelor în locaţiile unei reţele = marcarea reţelei (starea sistemului modelat)

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 13/45 Reţele Petri Tranziţii: reprezintă acţiuni sau evenimente din sistemul modelat Punctele din locaţii: pot modela resurse/valori booleene Locaţiile input: conţin resurse (reprezentate de punctele din locaţie) care vor fi folosite de către acţiune, precondiţii pentru producerea unui eveniment Ponderea unui arc input: câte resurse de un anumit tip sunt necesare producerii acţiunii Ponderea unui arc output: numărul de resurse de un anumit tip rezultate prin producerea acţiunii

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 14/45 Exemplu Model producator consumator: Producatorul (P) poate produce câte un produs (într-un buffer) Un consumator (C) preia câte două produse din buffer Stări producător: producător activ (pregătit să producă), producător în repaus. Evenimente: P produce un produs, C consumă produse, P redevine activ

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 14/45 Exemplu Model producator consumator: Producatorul (P) poate produce câte un produs (într-un buffer) Un consumator (C) preia câte două produse din buffer Stări producător: producător activ (pregătit să producă), producător în repaus. Evenimente: P produce un produs, C consumă produse, P redevine activ producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 15/45 Regula de producere a tranziţiilor Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri, M o marcare a lui N şi t T o tranziţie a lui N.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 15/45 Regula de producere a tranziţiilor Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri, M o marcare a lui N şi t T o tranziţie a lui N. Tranziţia t este posibilă la marcarea M (M[t N ) dacă W(p,t) M(p), pentru orice p t.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 15/45 Regula de producere a tranziţiilor Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri, M o marcare a lui N şi t T o tranziţie a lui N. Tranziţia t este posibilă la marcarea M (M[t N ) dacă W(p,t) M(p), pentru orice p t. Dacă t este posibilă la marcarea M, atunci t se poate produce, rezultând o nouă marcare M (M[t N M ), unde M (p) = M(p) W(p,t)+W(t,p), pentru toţi p P.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 16/45 Exemplu o tanziţie este posibilă dacă locaţiile input conţin suficiente puncte: 2 t1 p3 2 t3 p5 p1 3 2 p2 t2 p4

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 16/45 Exemplu o tanziţie este posibilă dacă locaţiile input conţin suficiente puncte: 2 t1 p3 2 t3 p5 p1 3 2 p2 t2 p4 Producerea unei tranziţii modifică marcarea reţelei

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator:

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 19/45 Secvenţe de apariţie a tranziţiilor Regula de producere a tranziţiilor se poate extinde la secvenţe de tranziţii: Definiţie 5 (secvenţe de apariţie) Fie σ = t 1 t 2...t k T şi M o marcare. σ se numeşte secvenţă finită de apariţie, posibilă la M, dacă există marcările M 1,M 2,...,M k astfel încât: Se mai notează: M[σ M k. M[t 1 M 1 [t 2 M 2...M k 1 [t k M k Secvenţa vidă de tranziţii, notată cu ǫ, este secvenţă de apariţie posibilă la orice marcare M a reţelei, şi are loc: M[ǫ M. O secvenţă infinită de tranziţii σ = t 1,t 2,... este secvenţă infinită de apariţie, posibilă la marcarea M, dacă: M[t 1 M 2 [t 2 M 3...

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 20/45 Notaţii Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. Se definesc următoarele funcţii: t : P N, t (p) = W(p,t), p P t + : P N, t + (p) = W(t,p), p P t : P Z, t(p) = W(t,p) W(p,t) Dacă σ T este o secvenţă de tranziţii, se defineşte σ : P Z: Dacă σ = ǫ, atunci σ este funcţia identic 0. Dacă σ = t 1,...,t n, atunci σ = n i=1 t i.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 21/45 Secvenţe de apariţie p1 2 3 p2 t1 p3 t 1 (p 1) = 2,t 1 (p 2) = 1,t 1 (p 3) = 0 t + 1 (p 1) = 1,t + 1 (p 2) = 3,t + 1 (p 3) = 1 t 1 (p 1 ) = 1, t 1 (p 2 ) = 2, t 1 (p 3 ) = 1

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 21/45 Secvenţe de apariţie p1 2 3 p2 t1 p3 t 1 (p 1) = 2,t 1 (p 2) = 1,t 1 (p 3) = 0 t + 1 (p 1) = 1,t + 1 (p 2) = 3,t + 1 (p 3) = 1 t 1 (p 1 ) = 1, t 1 (p 2 ) = 2, t 1 (p 3 ) = 1 Propoziţie 1 Fie t o tranziţie, σ T şi M,M marcări. Dacă M[t M, atunci M = M + t. Dacă M[σ M, atunci M = M + σ

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M. Marcarea M este accesibilă în γ, dacă M este accesibilă din marcarea iniţială M 0.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M. Marcarea M este accesibilă în γ, dacă M este accesibilă din marcarea iniţială M 0. Mulţimea marcărilor accesibile dintr-o marcare M, în γ, se notează [M γ ([M când este clar despre ce reţea este vorba).

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M. Marcarea M este accesibilă în γ, dacă M este accesibilă din marcarea iniţială M 0. Mulţimea marcărilor accesibile dintr-o marcare M, în γ, se notează [M γ ([M când este clar despre ce reţea este vorba). [M 0 γ se numeşte mulţimea marcărilor accesibile în reţeaua γ.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 23/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 2 Fie M o marcare şi σ o secvenţă finită de apariţie, astfel încât M[σ M. Dacă σ este o secvenţă de apariţie (finită sau infinită) posibilă la marcarea M, atunci σσ este secvenţă de apariţie posibilă la M.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 23/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 2 Fie M o marcare şi σ o secvenţă finită de apariţie, astfel încât M[σ M. Dacă σ este o secvenţă de apariţie (finită sau infinită) posibilă la marcarea M, atunci σσ este secvenţă de apariţie posibilă la M. Propoziţie 3 O secvenţă infinită de apariţie σ este posibilă la o marcare M ddacă orice prefix finit al lui σ este posibil la M.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 23/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 2 Fie M o marcare şi σ o secvenţă finită de apariţie, astfel încât M[σ M. Dacă σ este o secvenţă de apariţie (finită sau infinită) posibilă la marcarea M, atunci σσ este secvenţă de apariţie posibilă la M. Propoziţie 3 O secvenţă infinită de apariţie σ este posibilă la o marcare M ddacă orice prefix finit al lui σ este posibil la M. Propoziţie 4 Fie M şi M marcări, σ o secvenţă de apariţie posibilă atât la M cât şi la M, astfel încât: M[σ M şi M[σ M. Atunci M (p) M(p) = M (p) M(p), pentru orice locaţie p P.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 24/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 5 Fie M, M şi L marcări, σ T o secvenţă de tranziţii, posibilă la M. Dacă σ finită şi M[σ M, atunci (M +L)[σ (M +L). Dacă σ infinită şi M[σ, atunci (M +L)[σ Demonstraţie: σ finită: inducţie după σ = n. σ infinită: se arată că orice prefix finit al lui σ este posibil la M +L. M = (2,1,1,0)[t 1 t 2 (1,0,1,2) = M (3,2,2,0)[t 1 t 2?

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 25/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Definiţie 7 Fie M şi M două marcări. M M ddacă M (p) M(p), p P. M > M ddacă M M şi p P : M(p) > M (p). Propoziţie 6 Fie M şi M două marcări astfel încât M M. Atunci orice secvenţă de apariţie posibilă la marcarea M este posibilă şi la marcarea M. M M = L marcare astfel încât M = M +L σ infinită: M[σ = M = (M +L)[σ σ finită: M[σ M şi M = (M +L)[σ (M +L)

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 26/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Lema 1 Fie N o reţea oarecare, U,V T astfel încât V U =. Dacă σ (U V) astfel încât M[σ M, atunci M[σ U σ V M. t1 p t2 t 1 V şi t 2 U. t 1 t 2 = M[t 1 t 2 M, atunci: M[t 2 t 1 M V U

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 26/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Lema 1 Fie N o reţea oarecare, U,V T astfel încât V U =. Dacă σ (U V) astfel încât M[σ M, atunci M[σ U σ V M. Demonstraţie: Fie N o reţea oarecare, t 1,t 2 T astfel încât t 1 V şi t 2 U. Deci t 1 t 2 =. Se arată că: M[t 1 M 2 [t 2 M = M[t 2 M 2 [t 1 M M[t 2 (adică p t 2 : W(p,t 2 ) M(p)). Fie M[t 2 M 2. Se arată că M 2 [t 1. Se arată că M[t 2 M 2 [t 1 M.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0)

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire)

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n)

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n) Reţeaua marcată γ este mărginită dacă orice locaţie p P este mărginită.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n) Reţeaua marcată γ este mărginită dacă orice locaţie p P este mărginită. Reţeaua N este structural mărginită, dacă există o marcare M astfel încât (N,M) este mărginită.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 t2 p2

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 reţeaua este mărginită: M(p) 1, p P t2 p2

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 reţeaua este mărginită: M(p) 1, p P t2 p2 p1 t2 t1 p2 p3

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 reţeaua este mărginită: M(p) 1, p P t2 p2 p1 reţeaua este nemărginită: t2 t1 p2 p 2 poate conţine o infinitate de puncte! p3

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită. (= ) Fie n astfel încât ( M [M 0 )( p P)(M(p) n). Numărul maxim de marcări este (n+1) P. ( =) Se consideră n = max{m(p) M [M 0, p P}.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită. (= ) Fie n astfel încât ( M [M 0 )( p P)(M(p) n). Numărul maxim de marcări este (n+1) P. ( =) Se consideră n = max{m(p) M [M 0, p P}. Propoziţie 8 Dacă γ = (N,M 0 ) este mărginită, nu există două marcări M 1,M 2 [M 0 astfel încât M 1 [ M 2 şi M 2 > M 1.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită. (= ) Fie n astfel încât ( M [M 0 )( p P)(M(p) n). Numărul maxim de marcări este (n+1) P. ( =) Se consideră n = max{m(p) M [M 0, p P}. Propoziţie 8 Dacă γ = (N,M 0 ) este mărginită, nu există două marcări M 1,M 2 [M 0 astfel încât M 1 [ M 2 şi M 2 > M 1. Dacă M 1 [σ M 2 şi M 2 > M 1 = M 2 [σ M 3 (prop. 6) şi M 3 > M 2 (prop. 4). Deci M 3 [σ M 4, M 4 > M 3, etc.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 31/45 Proprietăţi: pseudo-viabilitate Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 9 (pseudo-viabilitate) O tranziţie t T este pseudo-viabilă din marcarea M, dacă există o marcare M [M astfel încât M [t. O tranziţie t T este pseudo-viabilă dacă este pseudo-vaibilă din M 0 (există o marcare accesibilă M [M 0 astfel încât M[t ). O tranziţie care nu este pseudo-viabilă se numeşte moartă. Reţeaua marcată γ este pseudo-viabilă dacă toate tranziţiile sale sunt pseudo-viabile.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 32/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 32/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4 t 1 este tranziţie moartă t 2 pseudo-viabilă t 3 este tranziţie moartă

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 33/45 Proprietăţi: blocaje Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 10 (blocaje) O marcare M a reţelei marcate γ este moartă dacă nu există o tranziţie t T astfel încât M[t. Reţeaua γ este fără blocaje, dacă nu există marcări accesibile moarte.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 34/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 34/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4 Marcarea (0,0,0,1,0) este moartă, deci reţeaua are blocaje.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 35/45 Proprietăţi: viabilitate Definiţie 11 (viabilitate) Fie N = (P,T,F,W) o reţea de tip P/T şi γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. O tranziţie t T este viabilă dacă M [M 0, t este pseudo-viabilă din M ( M [M astfel încât M [t ). Reţeaua marcată γ este viabilă dacă orice tranziţie t T este viabilă. reţeaua N este structural viabilă dacă există o marcare M astfel încât (N,M) este viabilă.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 36/45 Exemple p1 t1 p2 2 2 t3 p3 t2 Reţea pseudo-viabilă, viabilă si fără blocaje.

Exemple Reţele Petri şi Aplicaţii p. 37/45

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 37/45 Exemple t 1,t 2,t 3 : nu sunt viabile t 4,t 5 : viabile reţeaua este pseudo-viabilă

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 38/45 Reversibilitate Definiţie 12 Reţeaua marcată γ este reversibilă dacă marcarea sa iniţială este accesibilă din orice marcare M [M 0.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 38/45 Reversibilitate Definiţie 12 Reţeaua marcată γ este reversibilă dacă marcarea sa iniţială este accesibilă din orice marcare M [M 0. p1 t1 p2 2 2 t3 p3 t2

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje. Propoziţie 11 Dacă o reţea fără locaţii izolate este viabilă, atunci orice locaţie poate fi marcată, din orice marcare accesibilă.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje. Propoziţie 11 Dacă o reţea fără locaţii izolate este viabilă, atunci orice locaţie poate fi marcată, din orice marcare accesibilă. Propoziţie 12 O reţea marcată reversibilă este viabilă ddacă este pseudo-viabilă.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje. Propoziţie 11 Dacă o reţea fără locaţii izolate este viabilă, atunci orice locaţie poate fi marcată, din orice marcare accesibilă. Propoziţie 12 O reţea marcată reversibilă este viabilă ddacă este pseudo-viabilă. Propoziţie 13 O reţea marcată reversibilă este fără blocaje.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă?

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă? p3 p1 t1 p2 t2 p4

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă? p3 p1 t1 p2 t2 p4 Reţea pesudo-viabilă (toate tranziţiile pseudo-viabile). Reţeaua are blocaje (marcarea (0, 0, 1, 1) este moartă). Reţeaua nu este viabilă!

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 41/45 Exemple Reţea viabilă, care nu este reversibilă: p1 t1 t2 p3 t3 p4 p2 (1,0,0,0)[t 2 (0,1,1,0)[t 1 (1,0,1,0)[t 3 (1,0,0,1). Marcarea iniţială (1,0,0,0) nu este accesibilă din (1,0,0,1).

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate?

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 t2 p2

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2 p1 t2 t1 p2 p3

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2 p1 t2 t1 p2 Retea nemărginită, este viabilă p3

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5 Reţea nemărginită (locaţia p 4 ), neviabilă (M = (0,0,0,2,1) şi t 1 )

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă.

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă. Demonstraţie: Se arată că pentru orice (x,y) F, există un drum de la y la x. Caz 1: x P,y T. Fie V = {t T există drum de la y la t} (y V ) U = {t T nu există drum de la y la t} V U =. x y U V

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă. Demonstraţie: Se arată că pentru orice (x,y) F, există un drum de la y la x. Caz 1: x P,y T. Fie V = {t T există drum de la y la t} (y V ) U = {t T nu există drum de la y la t} V U =. x t y U V

Reţele Petri şi Aplicaţii p. 45/45 Exemple Reţeaua nu este tare conexă nu este viabilă sau mărginită: t1 p1 t2 p2 t3 Reciproca teoremei nu este adevărată: reţeaua este tare conexă, dar nu este viabilă. t2 p1 p2 2 t3