ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγµατικής συνάρτησης Συντοµογραφία συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις. Ορισµός Έστω Α υποσύνολο του R (αυτό το R ας το πούµε R ) Συνάρτηση :Α R λέγεται µια διαδικασία (κανόνας), µε την οποία κάθε στοιχείο Α αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο y R (αυτό το R ας το πούµε R ). Σε αυτή την περίπτωση, το y συµβολίζεται και ( ), δηλαδή είναι y = ( ) Η ισότητα y = ( ) λέγεται τύπος της συνάρτησης Παρατήρηση Σε κάθε συνάρτηση λειτουργούν δύο σύνολα R. To R από το οποίο παίρνει τιµές το και το R από το οποίο παίρνει τιµές το y.. Πεδίο ορισµού Στη συνάρτηση :Α R, το Α R λέγεται πεδίο ορισµού και συνήθως συµβολίζεται D. 3. Η µεταβλητή Τα στοιχεία του R, άρα και τα στοιχεία του πεδίου ορισµού συµβολίζονται, συνήθως, µε τη µεταβλητή. (ανεξάρτητη µεταβλητή). 4. Η µεταβλητή y Τα στοιχεία του R συµβολίζονται, συνήθως, µε τη µεταβλητή y (εξαρτηµένη µεταβλητή)
5. Το σύνολο τιµών Είναι το σύνολο εκείνων των y R, τα οποία λειτουργούν στη συνάρτηση. Συµβολίζεται (Α), όπου Α το πεδίο ορισµού Μαθηµατικός ορισµός του συνόλου τιµών: y όπου y = για κάποιο D { ( D ) = ( ) } 6. Για να είναι γνωστή µια συνάρτηση Πρέπει να γνωρίζουµε το πεδίο ορισµού της και τον τύπο της y = ( ) Όταν το πεδίο ορισµού της δεν δίνεται, πρέπει να το βρίσκουµε. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Βελοδιάγραµµα είτε την παραπάνω θεωρία σχηµατικά R A R (A) y = () = ( ) ( ). Άµεσες συνέπειες του ορισµού i) Για κάθε, µε = ( ) = ( ), Α µε ( ) ( ) ii) Για κάθε Απαγορεύεται στη συνάρτηση. Α. Όχι αντίστροφα.. Όχι αντίστροφα. 3. Μια παρατήρηση Σε κάθε συνάρτηση, η µεταβολή του αναγκάζει σε µεταβολή ή όχι του y.
3 4. Εύρεση του πεδίου ορισµού Όταν το πεδίο ορισµού δε δίνεται, πρέπει να το βρίσκουµε πριν από οποιαδήποτε άλλη ενέργεια, ακόµη κι αν δε µας το ζητάνε. Για να βρούµε το πεδίο ορισµού D : i) Παρανοµαστές 0 ii) Υπόριζα µη αρνητικά iii) Στην ln g( ) υποχρεώνουµε g( ) > 0 iv) Στην εφ g( ) υποχρεώνουµε ( ) v) Σε κάθε άλλη περίπτωση είναι D = R π g kπ +, k Z ΑΣΚΗΣΕΙΣ. i) Η ισότητα y =, R ορίζει συνάρτηση; ικαιολογήστε την απάντησή σας. ii) Η ισότητα y = ικαιολογήστε την απάντησή σας. Απάντηση i) Ναι, ορίζει συνάρτηση, διότι καθένα y R, στο ii) Η ισότητα. y = + +, R ορίζει συνάρτηση; + + γράφεται y = ( + ) y = + ή y = ( + ) R το αντιστοιχίζει σε ένα µόνο Όχι, δεν ορίζει συνάρτηση, διότι καθένα R το αντιστοιχίζει σε δύο y R, στα +, ( + ) ες τον ορισµό της συνάρτησης. Κάποιος απάντησε ( ) = ( 5) 5 Τι βαθµό του δίνεις µε άριστα το 0; 5 0 5. Άρα D = R { 5 } Καλύτερα να µην τον βαθµολογήσουµε. ( ) =. Άρα D = R. Πριν από οποιαδήποτε ενέργεια πρέπει να βρίσκουµε το πεδίο ορισµού
4 3. Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) Πρέπει > 0 και ln( ) 0 και > 0 > () = ( ) ln e e 0 ln( ) 0 ln( ) ln () 0 e 0 e e e 0 (3) Συναλήθευση των (), (), (3) : Άρα D = [, + ) 4. Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) = Πρέπει > 0 () και ln 0 και ln ln ln ln ln 0 ln ln lne e () ln ln 0 Θέτουµε ln = w. Τότε w w 0 w( w) 0 µε w 0 w w 0 µε w w w 0 µε w (3) Ρίζες του τριωνύµου : 0, Το τριώνυµο ετερόσηµο του α = (3) 0 w µε w 0 w < 0 ln ln ln lne e (4) Συναλήθευση των (), (), (3) : < e. Άρα D = [, e). 0
5 5. Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) 5 0 = ln Πρέπει 5 0 0 και ln( ) 0 και >0 5 0 0 5 0 () ln( ) 0 ln( ) ln( ) lne e e + () >0 > (3) ( ) Συναλήθευση των (), (), (3) οπότε D = (, e + ) ( + e, + ) 6. Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) = ( ln + + ) Πρέπει + + > 0 Για το τυχαίο R είναι + > + > = Άρα D = R + > + + > 0
6 7. Έστω z C και η συνάρτηση ( ) = z z +. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z ώστε η να έχει πεδίο ορισµού το R. Πρέπει z + z 0 για κάθε R 0 z 4 ( z ) 0 z 4 + 4 5 z 4 z 4 5 z z 0 5 = 5 5 Άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι ο κυκλικός δίσκος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 5 5 8. Αν z C και η συνάρτηση ( ) = R, να βρείτε τον z. Πρέπει + 3 z + + 3 z + z έχει πεδίο ορισµού το z 0 για κάθε R 0 9 z 8 z 0 z 0 z = 0 z = 0
7 9. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση, που να έχει πεδίο ορισµού το R και να ισχύει ( ) 4+ 3 = 5+ 6 για κάθε R. Θέτουµε κατάλληλες τιµές στο, ώστε να φθάσουµε σε άτοπο. Εδώ τις ρίζες και 3 του τριωνύµου. Για ( ) ( ) = 4 + 3 = 5 + 6 0 = () Γτα ( ) ( ) = + = + =. () 3 3 4 3 3 5 3 6 0 Από τις (), () έχουµε =. άτοπο Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση 0. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση, που να έχει πεδίο ορισµού το R και να ισχύει ( ) 4+ 5 = για κάθε R. Υπόδειξη. Εργαζόµαστε όπως στην άσκηση 9.. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση, που να έχει πεδίο ορισµού το R και να ισχύει ( ) + ( 3 ) = + 5 για κάθε R. Υπόδειξη Θέτουµε όπου το και όπου το 3.. Για τη συνάρτηση : R R δίνεται ότι ( + ) = 3 + για κάθε R. Να βρείτε τον τύπο της. Όπου + θέτουµε u, δηλαδή + = u, οπότε = u. Η υπόθεση ( + ) = 3 + γίνεται ( u) = 3( u) + ( u ) = 3( u + u ) + ( u ) = 3 6u + 3 u + ( u ) = 3 u 6u + 5 Άρα ( ) = 3 6 + 5
8 3. Για τη συνάρτηση : R R δίνεται ότι ( ) = + 3 για κάθε R. Να βρείτε τον τύπο της. Υπόδειξη Ακολούθησε την άσκηση 4. Να βρείτε συνάρτηση : R R, για την οποία ισχύει ( ) 3( ) = 5 για κάθε R. Στην υπόθεση ( ) 3( ) = 5 () όπου θέτουµε ( ) 3( ) = 5 3 ( ) + ( ) = 5 () Λύνουµε το σύστηµα των (), () µε αγνώστους ( ), ( ) D = D () = D( ) = 3 3 Άρα ( ) = = 4 9 = 5 5 3 = 0 5 3 = 5 5 5 5 = 0 +5 3 = 5 5 3 5 D D = 5 5 = + 5 5. Αν για τη συνάρτηση : να βρείτε τον τύπο της. Υπόδειξη. Όπου θέτουµε 3 = * R R ισχύει ( ) και ακολουθούµε την άσκηση 4. για κάθε * R,
9 6. Να βρεθεί ο τύπος συνάρτησης : R R, αν ισχύει ( ) ( ) = e + e για κάθε R. Στη συνέχεια αποδείξτε ότι η είναι άρτια. Υπόδειξη. Ακολουθούµε την άσκηση 4 και βρίσκουµε ( ) = 3 5 ( e + e ), ( ) = 3 5 ( e + e ) Άρα, για κάθε R είναι και R και ( ) = ( ) Εποµένως η συνάρτηση είναι άρτια.. 7. Για τους z, w C και τη συνάρτηση δίνεται ότι ( ) ( ) ( ) z + w 3 = 3 + για κάθε R. Αν η C διέρχεται από τα σηµεία Α(0,5) και Β(, 5), να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του z και της εικόνας του w. Για = 0 δηλαδή =, η υπόθεση ( ) ( ) ( ) Όπου θέτουµε την τετµηµένη του Α z 0 + w = 3 + = 3 5= 5 z ( 0 ) + w ( ) = 5 αλλά ( 0 ) = 5 και ( ) = 5, οπότε 5 z 5 w = 5 3 z w = 3 () Για = δηλαδή = 3, η υπόθεση z ( ) + w ( ) 0 = 3( 3 ) + = 3. 0 = 30 Όπου θέτουµε την τετµηµένη του Β z ( ) + w ( 0 ) = 30 5 z + 5 w = 30 z +3 w = 6 () Λύνουµε το σύστηµα των (), () και βρίσκουµε z = 5 8, w = 8 Άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι ο κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 5 και της εικόνας του w µε ακτίνα 8 8.
0 8. Έστω συνάρτηση : R R ώστε + y ( ) + ( y) ( + y) για κάθε, y R. Να δείξετε ότι i) η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) η είναι περιττή. i) Για = y = 0, η υπόθεση δίνει 0 + 0 ( 0 ) + ( 0 ) ( 0 0) Όπου θέτουµε την τετµηµένη του Ο Άρα η 0 ( 0 ) ( 0 ) C διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) Στην υπόθεση, όπου y θέτουµε, οπότε + ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 ( ) + ( ) ( 0 ) 0 0 ( ) + ( ) + 0 ( 0 ) και ( 0 ) ( 0 ) 0 ( 0 ) και ( 0 ) ( 0) 0 0 ( 0 ) και ( 0) 0 ( 0 ) = 0 ( ) + ( ) = 0 ( ) = ( ), άρα περιττή. Αφού πρόκειται για περιττή, χρησιµοποιούµε και
9. ln e Για συνάρτηση :( 0,+ ) R δίνεται ότι ( ) για κάθε ( 0, ) +. Να αποδείξετε ότι το σηµείο Α(, ) ανήκει στη C και να βρείτε τον τύπο της. e Για = e, η υπόθεση δίνει ln e ( e) e e ( ) ( ) ( ) () ln e 0 ( ) e 0 Για =, η υπόθεση δίνει ( ) ( ) ( ) () Από τις (), () ( ) =, άρα το σηµείο Α(,) ανήκει στη Στην υπόθεση, όπου θέτουµε u, εποµένως = eu. e Οπότε ( u ) ln(eu) ( eu) ηµιουργούµε και από ( u ) lne + lnu ( u ) + lnu ( ) + ln (3) Από την υπόθεση έχουµε ln ( ) ( ) ln + (4) Από τις (3), (4) ( ) = ln + το ( ) Παίζουµε µε τιµές του, που υποψιαζόµαστε ότι µας εξυπηρετούν δεύτερη πηγή C.
0. Αν για τη συνάρτηση y = + y για κάθε * : R R ισχύει ( ) ( ) ( ) *, y R, να αποδείξετε ότι i) ( ) = 0 i) = ii) ( ) ν iii) ( ) ( ) = ν, όπου ν N Για = y =, η υπόθεση δίνει ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) = 0 ii) Στην υπόθεση, όπου y θέτουµε : ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) 0 = ( ) + ( ) ( ) iii) Για ν = προφανώς ισχύει : ( ) = ( ) k Έστω ότι ισχύει για ν = k : ( ) = k ( ) = ( ) k + Θα αποδείξουµε ότι ισχύει για ν = k + δηλαδή ότι ( ) = (k + )( ) k + k Είναι ( ) = ( ) k = ( ) + ( ) = k ( ) + ( ) = (k + )( )