Προτεινόµενες Ασκήσεις στ Στοιχεί δύο Ακροδεκτών πό το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργρη Πρόβληµ. Σ' έν πηνίο µε υτεπγωγή =5H το ρεύµ έχει τη µορφή του Σχ.. Σχεδιάστε την τάση στ άκρ του πηνίου, κθώς η ύξηση του ρεύµτος γίνετι ολοέν κι τ-χύτερη (=,,,,,,s). Η νλυτική έκφρση του ρεύµτος είνι οτν & < οτν & < < () = οτν & < + ( ) οτν & + οτν & > + Θ διπιστώσετε ότι στ άκρ του πηνίου θ εµφνιστούν δύο πλµοί τάσης µε ύψος κι διάρκει που είνι συνάρτηση του. Τι θ συµβεί, ότν ; (A) + (s) Σχήµ Η τάση στ άκρ του πηνίου δίνετι πό τη σχέση
v (V) 5/ -5/ + (s) οτν & < 5 οτν & < < d v() = = οτν & < d 5 οτν & + οτν & > + Σχήµ Όπως φίνετι κι στο Σχ., η τάση είνι ένς πλµός, που εµφνίζετι κτά τη µετ-βολή του ρεύµτος. Το πρόσηµο του πλµού είνι υτό της κλίσης του ρεύµτος. Ο πλµός έχει στθερό εµβδό 5 As, ενώ το ύψος του είνι ντιστρόφως νάλογο της τιµής του. Ότν το, το πλάτος του πλµού τείνει στο άπειρο, λλά το εµβδό του εξκολουθεί ν είνι στθε-ρό κι ίσο µε 5 As. Πρόβληµ. Η υτεπγωγή ενός χρονικά µετβλλόµενου πηνίου µετβάλλετι, όπως φίνετι στο Σχ. 3. Αν το πηνίο διρρέετι πό το στθερό ρεύµ ()=I o, ν βρεθεί η τάση στ' άκρ του πηνίου κι η ενέργει που ποθηκεύετι σ' υτό. () o o Σχήµ 3 Επειδή το ρεύµ του πηνίου είνι στθερό, µπορούµε ν υποθέσουµε ότι το πηνίο συνδέετι µε µι πηγή ρεύµτος, όπως φίνετι στο Σχ. 4(). Κθώς µειώνετι η υτεπγωγή του πηνίου, µέρος της ενέργεις, που είνι ποθηκευµένη στο πηνίο, επιστρέφει στην πηγή. Η υτεπγωγή του πηνίου δίνετι πό τη σχέση
Η τάση του πηνίου είνι o < () = o o < < o o > o dφ d d d v( ) = = = ( ) + ( ) () d d d d () Επειδή το ρεύµ του πηνίου είνι στθερό, η Εξ.(3) γίνετι < d oi v() = I o o = < < o d o > o (3) H ενέργει που ρχικά είνι ποθηκευµένη στο πηνίο είνι w ( ) Η τρέχουσ τιµή της ποθηκευµένης ενέργεις προκύπτει = oi (4) o o I o < o oio w() = w() + v(τ)(τ)dτ = oio Io dτ = oi o( ) < < o, o o > o (5) Από την Εξ.(5) προκύπτει ότι τη χρονική στιγµή = o / η ενέργει του πηνίου µηδενίζετι κι στη συνέχει γίνετι ρνητική. Αυτό σηµίνει ότι πό εκείνη τη χρονική στιγµή το πηνίο πρέχει ε- νέργει στην πηγή, η οποί δεν ήτν ρχικά ποθηκευµένη σε υτό. Συνολικά η ενέργει που θ πρσχεθεί στην πηγή είνι w( o )= oi (6) o Από που προέρχετι υτή η επιπλέον ενέργει; Στο σηµείο υτό είµστε πλέον υποχρεωµένοι ν υποθέσουµε ότι υπάρχει µι εξωτερική πηγή, η οποί πρέχει την επιπλέον ενέργει. Η πηγή υτή είνι ο µηχνισµός που µετβάλλει την υτεπγωγή του πηνίου. Γι ν µειωθεί η υτεπγωγή πρέπει ν πρσχεθεί εξωτερικά έργο, το οποίο τελικά διοχετεύετι στην πηγή.
I o + v () v() - o I o / o o w() o I o / - o I o / o () (β) (γ) Σχήµ 4 Πρόβληµ 3. Μι χρονικά µετάβλητη πηγή ρεύµτος οδηγεί τ τρί στοιχεί R (Ω), (Η), C (F) του κυκλώµτος του Σχ. 5(β). Υπολογίστε κι σχεδιάστε την τάση που νπτύσσετι στ άκρ κάθε στοιχείου κι την τάση που νπτύσσετι στ άκρ της πηγής ρεύµτος. Εξετάζοντς τ ποτελέσµτ πό κθρά µθηµτική σκοπιά, θ διπιστώσετε ότι τ ηλεκτρικά στοιχεί είνι σε θέση ν εκτελέσουν µθηµτικές πράξεις. Αυτό το συµπέρσµ οδηγεί σε µι άλλη θεώρηση: το ηλεκτρικό κύκλωµ είνι έν σύνολο πολλπλσιστών, ολοκληρωτών κι διφοριστών που µπορούν ν επεξεργστούν µθηµτικά τη διέγερσή τους. (A) R C 5 s (s) () Σχήµ 5 (β) s R C + v R + + v C + v v s Η τάση που νπτύσσετι στ άκρ της πηγής ρεύµτος είνι vs = vr + vc + v () vr = Rs = 5 V () Σχήµ 5(γ) vc = dτ= 5, V C s (3) κι v d s = = (4) d
Αντικθιστώντς τις Εξ.()-(4) στην Εξ.() προκύπτει vs = 5+ 5, V (5) Πρόβληµ 4. Στο κύκλωµ του Σχ. 6(β) εφρµόζετι ο τρπεζοειδής πλµός τάσης του Σχ. 6(). Ν βρεθούν τ ρεύµτ των κλάδων του κυκλώµτος v s (V) + v s Ω H F - (s) () (β) Σχήµ 6 Η τάση της πηγής δίνετι πό τη σχέση / < < < < v s() = ( )/ < < < () Το ρεύµ που διρρέει την ντίστση έχει γενικά την ίδι µορφή µε την τάση που εφρµόζετι στ άκρ της vs ( ) R ( ) = () R Στη συγκεκριµένη περίπτωση, επειδή R = Ω της, το ρεύµ είνι κριβώς ίδιο µε την τάση. / < < < < R() = ( )/ < < < (3) Το ρεύµ που διρρέει το πηνίο είνι το ολοκλήρωµ της τάσης που εφρµόζετι στ άκρ του
() = () + v (τ)dτ (4) Αν, γι λόγους πλότητς, θεωρήσουµε ()=, το ρεύµ του πηνίου προκύπτει Ακόµη, έχουµε Επίσης, Τέλος, τ (5) () = dτ=, < < ( )= (6) () = () + dτ=, < < (7) ( ) = 3 (8) τ (9) () = ( ) + dτ= +, < < ( ) = () + d =, > ( ) = () τ () (A) / C - R - (s) -/ Σχήµ 6(γ) Συγκεντρώνοντς τ πρπάνω ποτελέσµτ, έχουµε γι το ρεύµ του πηνίου
< < / / < < () = / + / / < < > () Το ρεύµ που διρρέει τον πυκνωτή είνι η πράγωγος ως προς τον χρόνο της τάσης που ε- φρµόζετι στ άκρ του dvc C( )= (3) d οπότε προκύπτει / < < < < C() = (4) / < < < Η γρφική πράστση των τριών ρευµάτων δίνετι στο Σχ. 6(γ).