ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ. β) Θα λέμε ότι η f είναι κοίλη ή στρέφει τα κοίλα κάτω στο Δ, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ. α) Αν f () > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ. β) Αν f () < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο Δ. Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) αλλά όχι απαραίτητα στο σημείο (α, β). a) Αν η f είναι κυρτή στο (α, ) και κοίλη στο (, β) ή αντιστρόφως και β) Αν ορίζεται εφαπτομένη της C f, στο Α(, f( )), τότε το Α(, f( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. Όταν το Α(, f( )) είναι σημείο καμπής της C f, τότε θα λέμε ότι η f παρουσιάζει καμπή στο και το θα το λέμε θέση σημείου καμπής. Θεώρημα Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και το Α(, f( )) είναι σημείο καμπής της C f, τότε f ( )0. Παρατηρήσεις a) Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω απ' τη C f. - -
β) Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη στο διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται πάνω απ' τη C f. γ) Η εφαπτομένη της C f στα σημεία καμπής διαπερνά τη C f. δ) Είναι δυνατόν να έχουμε f ( ο ) 0 χωρίς να παρουσιάζει η f καμπή στο. Πράγματι για την f() είναι f () και f () και παρατηρούμε ότι f (0) 0, αλλά και f () 0 για κάθε. Επομένως η f στρέφει τα κοίλα άνω στο και στο ο 0 δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ η Για να βρούμε την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της C f εργαζόμαστε ως εξής:. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.. Υπολογίζουμε την παράγωγο f και τη δεύτερη παράγωγο f.. Λύνουμε την εξίσωση f () 0.. Λύνουμε την ανίσωση f () > 0 (Με τη βοήθειά της βρίσκουμε το πρόσημο της f ). 5. Φτιάχνουμε τον πίνακα προσήμου της f και απ' αυτόν βρίσκουμε την κυρτότητα της C f. Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σε διάστημα Δ είναι: τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δεύτερη παράγωγος της f είναι μηδέν. Αν είναι μια πιθανή θέση σημείου καμπής, τότε το Α(, f( )) είναι σημείο καμπής, όταν η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του, και ορίζεται εφαπτομένη της C f στο Α(, f( )). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν σημεία καμπής και να μελετηθούν ως προς την κυρτότητα οι συναρτήσεις: 8 α) f() β) f() + 8ln - -
γ) f() e. 8 α) Για κάθε έχουμε f () ( ) ( )( )( 8). ( ) ( ) Επίσης f () ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) f () 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). ( ) 0 0 ή ή -. Το πρόσημο της f, η κυρτότητα της f και τα σημεία καμπής της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: X - - 0 + - - + + + - + + + - - - - + f - + - + f Σ.Κ. Σ.Κ. Σ.Κ. Η f είναι κοίλη στα διαστήματα (-, - ], [0, ] και κυρτή στα διαστήματα [-, 0], [, + ). Η f έχει τρία σημεία καμπής, τα Α(-, f(- )), B(0, f(0)), Γ(, f( )). β) Για κάθε (0,) έχουμε f () ( + 8ln) + 8. Επίσης f () ( + 8 ) - 8. 8 f () 0-0. 8 f () > 0 - > 0 > >. - -
0 + f - + f Σ.Κ. Η f είναι κοίλη στ διάστημα (0, ] και κυρτή στο διάστημα [, + ). Το Α(, + 8ln) είναι σημείο καμπής της C f. γ) Για κάθε έχουμε f () ( e ) e ( ) - e. f () (- f () 0 f () > 0 e ) (- ) e + (- ) e ( ) e + ( )e ( )e 0 -. > 0 > -. e ( )e. - - 0 + f - + + f Σ.Κ. Η f είναι κοίλη στο διάστημα (-, - ] και κυρτή στα διαστήματα [-, 0), (0, + ). Το Α(-, e- ) είναι σημείο καμπής της C f. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση 6, αν 0 f() είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιοριστούν τα 5, aν 0 σημεία καμπής της C f. - -
Η f είναι συνεχής στα διαστήματα (-, 0), (0, + ) ως πολυωνυμική σε καθένα από αυτά. Θα εξετάσουμε αν η f είναι συνεχής στο 0. lim f() lim( 6 ) 0 lim f() 0 Επειδή 0 0 lim( 5 ) 0 lim f() και f(0). lim f() 0 f(0), η f είναι συνεχής στο 0 και σ' όλο το. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-, 0) με f () + και στο (0, + ) με f () -0. Θα εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. f() f() 6 lim lim lim( 6) 0 0 0 0 f() f() lim 0 Επειδή 0 f (0) 0. Άρα f () lim 0 f() f() lim 5 0 +, αν < 0-0, αν 0 f() f() lim. lim( 5) 0 0. 0, η f είνaι παραγωγίσιμη στο 0 με Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (-, 0) με f () 6 + και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0, + ) με f () 6-0. Θα εξετάσουμε αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0. f() f() 0 lim lim lim( ) 0 0 0 f() f() 0 lim lim lim( 0) -0. 0 0 0 f() f() f() f() Επειδή lim lim, η f δεν είνaι δύο φορές 0 0 παραγωγίσιμη στο 0. 6 +, αν < 0 Άρα f () 6-0, αν > 0 Το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου, τα διαστήματα κυρτότητας και τα σημεία καμπής της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: - 5 -
- - 0 5 + f - + - + f 8-8 Σ. Κ. Σ. Κ. Σ. Κ. Η f είναι κοίλη στα διαστήματα (-, -], [0, 5] και κυρτή στα διαστήματα [-, 0], [5, + ). Τα σημεία Α(-, 8), Β(0, ), Γ(5, -8) είναι σημεία καμπής της C f. Ειδικά το Β(0, ) είναι σημείο καμπής αφού εκατέρωθεν του 0 η f αλλάζει πρόσημο και ορίζεται η εφαπτομένη της C f στο Β αφού f (0) 0. ΜΕΘΟΔΟΣ η Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω απ' τη C f. Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη στο διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται πάνω απ' τη C f. Εκμεταλλευόμενοι τις δύο παραπάνω παρατηρήσεις μπορούμε να αποδείξουμε ανισώσεις όπως είναι η ανίσωση του παρακάτω παραδείγματος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f() e,. α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή. β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(, f()). γ) Να αποδειχθεί ότι e 0, για κάθε. α) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f () e e και f () ( e ) e +. e e ( + ) > 0. Αφού f () > 0 για κάθε, η f είναι κυρτή στο. β) Είναι f() e και f () e. Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της Α(, f()) είναι: - 6 -
ε: y - f() f ()( - ) y - e e( - ) y e - e. γ) Αφού η f είναι κυρτή στο, η γραφική της παράσταση θα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της (ε) για κάθε. Άρα για κάθε έχουμε: f() e - e e e - e e e e( - ) e - e 0. ΜΕΘΟΔΟΣ η Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη δεν έχει σημεία καμπής, έχουμε τις παρακάτω επιλογές: αποδεικνύουμε ότι η f είναι κυρτή ή κοίλη στο πεδίο ορισμού της. υποθέτουμε ότι η f παρουσιάζει καμπή για κάποιο σημείο και καταλήγουμε σε άτοπο. αποδεικνύουμε ότι η f () 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θεωρούμε τη συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει f () + f() + για κάθε. Να δείξετε ότι η C f δεν έχει σημεία καμπής. Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για κάθε ισχύει: [f () + f() + ] () 6f()f () + f() + f () + 6 [6f()f () + f() + f () + 6] () 6f ()f () + 6f()f () + f () + f () + f () + 6 0 f () [6f() + ] + 6[f ()] + f () + 6 0 (). Έστω ότι η f παρουσιάζει για σημείο καμπής. Τότε θα ισχύει ότι f ( ο ) 0. Η σχέση () για δίνει: f ( ) [6f( )+ ] + 6[f ( )] + f ( ) + 6 0 6[f ( )] + f ( ) + 6 0. Η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη γιατί είναι δευτέρου βαθμού ως προς f ( ) και έχει αρνητική διακρίνουσα. Άρα καταλήγουμε σε άτοπο κι επομένως η C f δεν έχει σημεία καμπής. - 7 -
ΜΕΘΟΔΟΣ η Αν μια συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη, παρουσιάζει σημείο καμπής σε εσωτερικό σημείο διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε ισχύει ότι f ( ) 0. Σε ασκήσεις που ζητάμε τις τιμές κάποιων παραμέτρων, ώστε η f να παρουσιάζει καμπή στο, θα πρέπει να γίνεται επαλήθευση, γιατί δε φτάνει η προϋπόθεση f ( ) 0. Είναι απαραίτητη και η αλλαγή προσήμου της f εκατέρωθεν του. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να βρείτε τις τιμές των α, β, ώστε η συνάρτηση f() α + β + να έχει σημείο καμπής το Μ(, ). Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f () (α + β + ) a + β και f () (a + β) 6a + β. f() 0 6a β 0 Για να είναι το Μ(, ) σημείο καμπής της C f θα πρέπει ή f() α β ή α - και β. Πράγματι για α - και β είναι f () -6 + 6 6( - ). f () 0. f () > 0 <. - + f + - f Σ.Κ. Αφού η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του, στο σημείο Μ(, ) η C f παρουσιάζει σημείο καμπής κι επομένως οι τιμές α -, β είναι δεκτές. - 8 -
Άλλα παραδείγματα Β ομάδας. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να αποδείξετε ότι τα πιθανά σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με f() ημ ανήκουν στην καμπύλη y. Η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο με: f () ημ + συν και f () συν + συν - ημ συν - ημ. Τα πιθανά σημεία στα οποία η f παρουσιάζει καμπή είναι ρίζες της f, δηλαδή ρίζες της εξίσωσης συν ημ. Έστω Μ(, f( ο )) πιθανό σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f, οπότε έχουμε: συν ο ημ (). Αρκεί να αποδείξουμε ότι: f ( ) ημ ( + ) ημ ( + )ημ (είναι 0 λόγω της ()) ημ + ημ (λόγω της ()) συν ο + ημ που ισχύει. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Να βρεθεί το πλήθος των σημείων καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() a - + (a - ) - +, για τις διάφορες τιμές του α. a Για κάθε : f () - 6 + (a - ) - α - 6 + (a - ) - και f () 9a - + (a - ). α) Αν α 0, τότε f () - -. f () 0-6. f () > 0 < - 6. - 9 -
- - 6 + f + - f Σ.Κ. Άρα η C f έχει ένα σημείο καμπής, το Α(- 6, f(- 6 )). β) Αν α 0, τότε η f είναι τριώνυμο με διακρίνουσα Δ (-) -. 9α. (α - ) - 7α + 7α 7(-α + α + ). Αν Δ > 0 - < α <, τότε η f μηδενίζεται σε δύο σημεία εκατέρωθεν των οποίων αλλάζει πρόσημο. Σ' αυτήν την περίπτωση η C f έχει δύο σημεία καμπής. Αν Δ < 0 α < - ή α >, τότε η f δε μηδενίζεται κι επομένως η C f δεν έχει σημεία καμπής. Αν Δ 0 α - ή α, τότε η f μηδενίζεται σ' ένα σημείο ρ εκατέρωθεν του οποίου διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο κι η C f δεν έχει σημεία καμπής. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Αν f() + ( + α - )e, α, να αποδείξετε ότι η C f έχει σημείο καμπής για κάθε α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος αυτών είναι μία καμπύλη η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Για κάθε είναι f () + e + ( + α- )e + ( + α)e και f () e + ( + α)e ( + α + )e. f () 0 ( + α + )e 0 -a -. f () > 0 ( + α + )e > 0 > -a -. Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. - -α - + f - + f Σ.Κ. Επομένως η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστημα (-, -α - ] και προς τα άνω στο διάστημα [-α -, + ). - 0 -
Το σημείο Μ (-α -, f(-α - )) είναι προφανώς σημείο καμπής της C f για κάθε α. Το Μ έχει τετμημένη -α - και τεταγμένη y -α - - e -α-, οπότε y - e,. Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των σημείων καμπής της C f είναι η καμπύλη y - e, η οποία είναι κοίλη γιατί y - e και y -e < 0 για κάθε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Έστω Ρ ένας πραγματικός αριθμός με 0 Ρ. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() - P P + α + β στρέφει τα κοίλα άνω στο για κάθε α, β. 6 8 Για κάθε : f () - P P + α, και f () - Ρ + P. Η f () είναι τριώνυμο με διακρίνουσα Δ (-Ρ) - P Ρ - Ρ. Το πρόσημο της Δ για τις διάφορες τιμές του Ρ φαίνεται απ' τον παρακάτω πίνακα: - 0 + + - + α) Αν Ρ 0, Ρ τότε Δ < 0. Άρα f () > 0 για κάθε και για κάθε α, β. Δηλαδή η f στρέφει τα κοίλα άνω στο για κάθε a, β. β) Αν Ρ 0 ή Ρ τότε η f είναι θετική στο εκτός από ένα σημείο στο οποίο μηδενίζεται. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο και η f σύμφωνα με τον ορισμό, στρέφει τα κοίλα άνω στο για κάθε α, β. - -
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ά ομάδα. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιοριστούν (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων. α) f() - 6 + + β) f() - 6 + γ) f() - + 5 δ) f() ε) f() στ) f() ζ) f() η) f() θ) f() lη - ι) f() ln + ια) f() e ιβ) f() σφ, (0, π) ιγ) f() e - - ιδ) f() ημ - συν, [0, π] ιε) f() (ln - ) ιστ) f() ln ιζ) f() ln.. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιοριστούν τα σημεία καμπής (αν υπάρχουν) των γραφικών τους παραστάσεων. α) f() 6, 8 6, β) f() 6, 0, 0 γ) f() 6, - 6 δ) f() 8, 6, 0 ημ, π 0 ε) f() στ) f(). συν, 0 π 9, 0 5. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() έχει τρία σημεία καμπής, εκ των οποίων τα δύο είναι συμμετρικά ως προς το τρίτο.. Αν β, γ και a(0,), να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() - α + α + β + γ είναι κυρτή σ' όλο το. - -
5. Για τις διάφορες τιμές του α να υπολογιστεί το πλήθος των σημείων καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() - a + (α + ) + + α. 6. Θεωρούμε της συνάρτηση f() α + α - 6 + (α - ) + α όπου α. Να βρεθεί το α ώστε η C f να έχει: α) ένα σημείο καμπής β) δύο σημεία καμπής γ) κανένα σημείο καμπής. 7. Δίνεται η συνάρτηση f() + a a a + + α + 5α άπου α. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής. 8. Δίνεται η συνάρτηση f() - + 6α + 5α - 6a - 6α +. Να αποδειχθεί ότι η C f έχει πάντα ένα σημείο καμπής που βρίσκεται στην παραβολή y +, για κάθε α. Β ομάδα. Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι f ()[(f'()) + 5] - 6 + + για κάθε. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής και η f στρέφει τα κοίλα άνω στο.. Έστω μια συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι [f ()] 5 + f () - - e για κάθε. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής και η f είναι κοίλη στο.. Δίνεται η συνάρτηση f() -. Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα κι ένα σημείο καμπής. Αν, είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων και θέση σημείου καμπής, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(, f( )), Β(, f( )) είναι συμμετρικά ως προς το Γ(, f( )).. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() - α + β όπου α, β. α) Να βρεθεί το α ώστε στο σημείο ο η f να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. β) Για τη θετική τιμή του α, που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(, f( )), Β(, f( )), Γ(, f( )) είναι συνευθειακά, όπου, θέσεις - -
τοπικών ακροτάτων της f και θέση σημείου καμπής της C f. 5. Να αποδειχθεί ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας κυρτής συνάρτησης f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε οποιοδήποτε σημείο της Α(, f( )) δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη C f εκτός απ' το Α. 6. Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο. Αν η συνάρτηση g() e + f() είναι κοίλη στο, να αποδειχθεί ότι και η συνάρτηση f είναι κοίλη στο. 7. Να βρεθούν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η γραφική παράσταση a της συνάρτησης f() να έχει σημείο καμπής το Μ (, β ). 8. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() e + είναι κυρτή στο. Στη συνέχεια να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α(0, ) και να αποδειχθεί ότι e + + για κάθε. 9. a) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() ln - είναι κοίλη στο (0, + ). β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(, -). γ) Να αποδειχθεί ότι ln - + 0 για κάθε (0, + ). 0. α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() ln - π + ημ(π) είναι κοίλη στο (0, + ). β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο σημείο Α(, -π ). γ) Να αποδειχθεί ότι ln - π + ημ(π) ( - π - π) + π + π -, για κάθε (0, + ).. Δίνεται η συνάρτηση f() + α + β + γ, όπου α, β, γ. Να βρεθούν τα α, β ώστε τα σημεία, - να είναι θέσεις σημείων καμπής. Ποια είναι η τιμή του γ ώστε τα σημεία καμπής να βρίσκονται στον άξονα ';. Δίνεται η συνάρτηση f(). Να αποδειχθεί ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα ενώ η C f παρουσιάζει τρία σημεία καμπής τα οποία είναι συνευθειακά.. Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση f ου βαθμού ώστε να παρουσιάζει ακρότατο στο, το O(0, 0) να είναι σημείο καμπής της C f, και η εφαπτομένη της C f στο σημείο να είναι παράλληλη στην ευθεία ε: y 9 + 0.. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() + 6a - 5α, a. - -
α) Να αποδειχθεί ότι η C f παρουσιάζει ένα σημείο καμπής για κάθε a. β) Να βρεθεί το α ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο καμπής της να είναι κάθετη στην ευθεία - y + 0. 5. Θεωρούμε μια συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι [f()] + f() + + 5 για κάθε. Να αποδειχθεί ότι η C f δεν έχει σημεία καμπής. 6. Δίνεται η συνάρτηση f() a 5 + β + γ + δ + ε + ζ, α, β, γ, δ, ε, ζ, η οποία έχει τρία διαφορετικά σημεία καμπής. Να αποδείξετε ότι ισχύει β > 5αγ. 7. Δίνεται η συνάρτηση f: (0, + ) η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (0, + ). Αν για κάθε > 0 ισχύει: f(). [f ()] + f () 5, να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει σημεία καμπής. 8. Αν η συνάρτηση f: είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο και ισχύει: f (0) 0 και f () () > 0 για κάθε, να δείξετε ότι η f είναι κοίλη στο (-, 0] και κυρτή στο [0, + ). 9. Έστω οι συναρτήσεις f, g:. Αν για κάθε ισχύει f () > 0 και g () > 0, g () > 0 για κάθε f( ), να δείξετε ότι η συνάρτηση gf είναι κυρτή στο. 0. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και στο (α, β) είναι f ( ) 0. α) Αν η f είναι κυρτή στο [α, β], να αποδειχθεί ότι το f( ) είναι ελάχιστο. β) Αν η f είναι κοίλη στο [α, β], να αποδειχθεί ότι το f( ) είναι μέγιστο.. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ, με κ< λ και η συνάρτηση f() ( - κ) 5 ( - λ),. α) Να δειχθεί ότι για κάθε με κ και λ είναι: f() f() 5 + κ β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g() ln f() είναι κοίλη στο διάστημα (κ, λ). λ.. Δίνεται η συνάρτηση f() - + - + 6 ln. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη καθώς και τα σημεία καμπής της C f, αν υπάρχουν.. Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο και α < β, να αποδειχθεί ότι f() - f(a) f (β)( - a) για κάθε. - 5 -
. Αν η συνάρτηση f: ικανοποιεί τη σχέση f() + e f() + - - e για κάθε, να αποδείξετε ότι α) η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής, β) η f έχει ακριβώς ένα σημείο που είναι θέση τοπικού ακροτάτου. 5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() (-, 0) και (0, + ). e είναι κυρτή στα διαστήματα 6. α) Έστω f παραγωγίσιμη και κυρτή συνάρτηση, ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ. Να αποδειχθεί ότι f(a) + f(β) f a β για κάθε α, βδ. β) Έστω g δύο φορές παραγωγίσιμη στο με g() > 0 και g ()g() > [g ()] για κάθε. Να αποδειχθεί ότι για κάθε, ισχύει g f()f(). - 6 -