ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Σειρές Fourier. Εστω το σήµα xt sin 5πt cosπt Βρείτε την περίοδο του σήµατος και υπολογίστε το ολοκλήρωµα : T x tdt Για να ϐρούµε την περίοδο, ϑα πρέπει να γράψουµε το xt ως άθροισµα ηµιτόνων ή/και συνηµιτόνων. Είναι : xt sin 5πt cosπt j ej5πt j e j5πt ejπt + e jπt 4j ejπt j j ej5πt e j5πt + 4j e jπt ejπt + e jπt 4 ejπt + 4 e jπt ejπt + e jπt 8 ej3πt 8 e jπt + 4 ejπt + 4 e jπt 8 e j3πt 8 ejπt 4 cosπt + cosπt 4 cos3πt 4 cosπ6t + cosπt 4 cosπ6t 4 cosπ6t + π + cosπt + cosπ6t + π 4 Ενας διαφορετικός τρόπος λύσης ϑα ήταν να χρησιµοποιήσουµε τις τριγωνοµετρικές ταυτότητες : sin θ cosθ και cosθ cosω cosθ + ω + cosθ ω Τότε ϑα είναι : cosπt cosπt cosπt cosπt cosπt cosπt + 4 cos3πt + π + cosπt + π 4 Προφανώς, η ϑεµελιώδης συχνότητα ϑα είναι : f ΜΚ 6,, 6. Άρα f sec. Τώρα, το Ϲητούµενο ολοκλήρωµα είναι δύσκολο να υπολογιστεί κατευθείαν στο πεδίο του χρόνου. Οµως η σχέση του Parseval µας λέει ότι : T x tdt X k A A k + k k
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις όπου X k οι συντελεστές του εκθετικού αναπτύγµατος και A k X k οι συντελεστές του τριγωνοµετρικού αναπτύγµατος. Επιλέξτε όποιο σας ϐολεύει. Άρα ϑα είναι : T x tdt + k Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε και µε τον τύπο X k 4 + 4 8 4 64 + 6 64 3 6 A + k A k 4 + 6 + 8 3 6 3 που είναι και το Ϲητούµενο.. Αναπτύξτε σε Σειρά Fourier το περιοδικό, µε περίοδο, σήµα : {, t < xt t T, t < Σας δίνεται ότι : te αt dt eαt α t α Θα αναπτύξουµε το σήµα κατά την εκθετική σειρά Fourier. Γνωρίζουµε ότι : X T xtdt και X k T xte jkωt dt Είναι χρήσιµο να ϑυµόµαστε ότι f, e ±jπk, και e jπk. Θα είναι λοιπόν : X T xtdt T T T dt + t + t T tdt T T + T T + t T T 3 T T 8 3 3 8 3 8 t dt tdt 3 6 8 3 4 X T xtdt 3 4 4
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις 3 Επίσης, X k T xte jkωt dt e jkωt dt + + T e jkωt dt T jπk e jπk + e jkωt jkω e jkω t jkω + T T T jπk e jπk + e jπk e jπk jkω jkω T e jπk T jkω jkω te jkωt dt te jkωt dt e jkω t t jkω jkω e jπk jkω jkω jπk e jπk + jπk e jπk jπk jπk T jkω jkω + e jπk jπk + e jπk T jkω jkω jπk e jπk + jπk e jπk jπk jπk π k + e jπk jπk + e jπk π k e jπk jπk + jπk + jπk π k e jπk jπk + e jπk π k jπk π k e jπk πk e j π π k e jπk. 5 Οπότε τελικά οι συντελεστές Fourier είναι οι : Μπορούµε να γράψουµε τώρα ότι : xt X + X 3 4 και X k πk e j π π k e jπk. k,k 3 4 + + k,k 3 4 + + k,k X k e jkω t 3 4 + πk e j π e jkω t πk ejkω t π Παρατηρούµε ότι e jπk k, άρα : + k,k k,k k,k πk e j π π k e jπk e jkω t π k e jπk e jkω t π k e jπk e jkω t. 6 Άρα ϑα είναι : xt 3 4 + + k,k 3 4 + + k,k e jπk πk ejkω t π πk ejkω t π {, k odd, k even k odd k π k ejkω t π k ejk ω t 7
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις 4 Αν ϑέλουµε να προχωρήσουµε ακόµα λίγο και να αναπτύξουµε το σήµα µας σε µονόπλευρη σειρά Fourier, και µε αντικατάσταση του ω πf, τότε ϑα έχουµε : xt 3 4 + + 3 4 + + k,k k 3 4 + + k πk ejkπf t π k π k ejk πf t πk coskπf t π + 4 π k cosk πf t k πk sinkπf t π k cosk πf t 8 k γιατί ξέρουµε ότι για τους συντελεστές του µονόπλευρου αναπτύγµατος σε σειρά Fourier ισχύει ότι : A k X k 3. Εστω ένα πραγµατικό, περιττό και περιοδικό σήµα xt, που αναπτύσσεται σε σειρά Fourier µε συντελεστές X k. είξτε ότι X k X k Το σήµα µας είναι περιττό, άρα ϑα ισχύει xt x t. Είναι : Θέτω u t du dt. Επίσης, u, u. Άρα ϑα είναι που είναι και το Ϲητούµενο. X k T xte jkωt dt T x te jkωt dt X k T xue jkωu du xue jπ kf u du X k 9 4. ίδονται τρια πραγµατικά, περιοδικά σήµατα µε µικρό αριθµό αρµονικών. Οι µη µηδενικοί συντελεστές για k > δίδονται ακολούθως : α x t :, X 5, X 3. ϐ x t :, X j, X j, X 3 j 4, X 4 j 8. Βρείτε τα x i t. Αφού τα σήµατα είναι πραγµατικά, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν συντελεστές X k και για k <, και για αυτούς ϑα ισχύει ότι X k X k. α Είναι x t X 3 e jπ 3 t + X e jπ t + X e jπ+ t + X3 e jπ+3 t X 3e jπ3 t + X e jπ t + X e jπ t + X3 e jπ3 t e jπ3 t + 5e jπ t + 5e jπ t + e jπ3 t e j6πt + 5e jπt + 5e jπt + e j6πt e j6πt + e j6πt + 5e jπt + e jπt 4 cos6πt + cosπt.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις 5 ϐ Είναι x t X 4 e jπ 4 t + X 3 e jπ 3 t + + X3 e jπ+3 t + X4 e jπ+4 t που είναι και τα Ϲητούµενα. X 4e jπ4 t + X 3 e jπ3 t + + X3 e jπ3 t + X4 e jπ4 t j 8 e jπ4 t j 4 e jπ3 t + j e jπ t + j ejπ t + j 4 ejπ3 t j 8 ejπ4 t j 8 e j4πt j 4 e j3πt + j e jπt je jπt + je jπt j ejπt + j 4 ej3πt j 8 ej4πt j 8 e j4πt e j4πt j 4 e j3πt e j3πt + j e jπt e jπt je jπt je jπt j 8 j sin4πt + j 4 j sin3πt j j sinπt + jj sinπt 4 sin4πt sin3πt + sinπt sinπt 5. Αναπτύξτε σε Σειρά Fourier το περιοδικό, µε περίοδο, σήµα : { e xt αt, t < T, t < Θα αναπτύξουµε το σήµα κατά την εκθετική σειρά Fourier. Γνωρίζουµε ότι : Θα είναι λοιπόν : X X T xtdt και X k T xte jkωt dt T xtdt T T α e αt α e α X T e αt dt xtdt e α α Επίσης, X k T T α + jkω α + jkω xte jkω t dt T e αt e jkω t dt T e α+jkωt dt α + jkω e α+jkω t e α+jkω e α +jπk α + jkω e α e jπk e αt jkω t dt e α e jπk 3 α + jπk
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις 6 Οµως ξέρουµε ότι : e jπk cos πk j sin πk k, γιατί για κάθε k ακέραιο, το cos πk είναι είτε για άρτια k, είτε - για περιττά k, ενώ το sin πk είναι µηδέν για κάθε k. Άρα µπορούµε να γράψουµε τελικά ότι : X k Οπότε τελικά οι συντελεστές Fourier είναι οι : Άρα το σήµα µας ϑα γράφεται ως : xt που είναι και το Ϲητούµενο. k X X k X k e jkω t k e α α + jπk e α και 4 α α + jπk k k e α k e α e jkω t α + jπk 5 6 6. Βρείτε την περίοδο του σήµατος : xt sin 5πt + φ + sin πt + φ Θα χρειαστεί να γράψουµε το σήµα µας ως άθροισµα απλών ηµιτόνων ή/και συνηµιτόνων, ώστε να µπορούµε να αποφανθούµε για την περιοδικότητά του. Είναι : xt sin 5πt + φ + sin πt + φ j ej5πt e jφ j e j5πt e jφ + j ejπt e jφ j e jπt e jφ 4 ejπt e jφ j j 4 e jπt e jφ 4 ej4πt e jφ j j 4 e j4πt e jφ 4 ejπt e jφ + e jπt e jφ 4 ej4πt e jφ + e j4πt e jφ + 4 cosπt + φ 4 cos4πt + φ cosπt + φ cos4πt + φ cosπ5t + φ cosπt + φ 7 Άρα η ϑεµελιώδης συχνότητα του σήµατος ϑα είναι f ΜΚ {5, }. Άρα f µπορούσαµε να πούµε ότι ΕΚΠ{ 5, } ΕΚΠ{.,.5} sec. sec. Αλλιώς, ϑα Σηµείωση : αʹ Αν µας Ϲητούσε να δείξουµε ότι το σήµα είναι περιοδικό, και µετά να υπολογίσουµε την περίοδό του, τότε ϑα έπρεπε για να είµαστε απόλυτα σωστοί να πούµε ότι : T T 5 5, που είναι λόγος ακεραίων αριθµών, άρα το σήµα είναι περιοδικό. Επειτα, ϑα υπολογίζαµε την περίοδο µε όποιον τρόπο ϑέλαµε. Ενα καλό αντιπαράδειγµα σχετικά µε αυτή τη σηµείωση, ϑα ήταν το xt + cosπt + φ cos4t φ
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις 7 Τότε, ϑα ήταν T T 5 π περιοδικό. π, το οποίο προφανώς ΕΝ είναι λόγος ακεραίων αριθµών, άρα το σήµα ΕΝ είναι ϐʹ Εννοείται πως µε τη διαδικασία που ακολουθήσαµε για να λύσουµε την άσκηση, µπορούµε αµέσως έστω, µε ελάχιστες πράξεις ακόµα : να απαντήσουµε σε ερωτήµατα σχεδίασης ϕάσµατος πλάτους και ϕάσης, όπως και ερωτήµατα σχετικά µε ϑεώρ. Parseval, κατανοµής ενέργειας κλπ. Ο,τι χρειαζόµαστε για να απαντήσουµε σε αυτά υπάρχει έτοιµο στη λύση παραπάνω! 7. Ενα περιοδικό σήµα xt A cosω t µε περίοδο 5 sec ϑέλουµε να καθυστερήσει κατά.5 sec. Πόση ϑα είναι η ϕάση µετατόπισής του ; Εστω t.5sec. Το καθυστερηµένο κατά t σήµα εκφράζεται ως : xt t A cosω t t A cosω t ω t A cosω t + φ Άρα φ ω t π t π.5.π 8 5 Προφανώς, αν ϑέλαµε να προηγείται κατά t.5sec, ϑα είχαµε φ.π, µε παρόµοιο συλλογισµό µε παραπάνω ϑα Ϲητούσαµε τότε το xt + t. 8. Εστω το σήµα Βρείτε την περίοδό του. xt + k β k cosk + πt + φ k Βλέπουµε ότι για k, k, k 3, παίρνουµε αντίστοιχα συχνότητες f, f 3, f 3 4. Προφανώς, όλες αυτές οι συχνότητες είναι πολλαπλάσια µιας ϑεµελιώδους, της f. Άρα η περίοδος είναι f. Προσέξτε, το γεγονός ότι δεν υπάρχει συνηµίτονο µε τέτοια συχνότητα στην παραπάνω αναπαράσταση, δε σηµαίνει κάτι για την περίοδο του σήµατος. 9. Αναπτύξτε σε σειρά Fourier το περιοδικό σήµα το οποίο έχει περίοδο. xt sinπf t 9 Είναι X T xtdt T π T π sin dt πt dt πt cos π cos π + π π.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις 8 Επίσης X k T xte jkωt dt T π T π cos πt πt cos e jkω t π + π + π jkω π jk π jk π jk π π + 4k T π + T 4k sin π + 4k X k e jπkf t dt + T π T cos πt sin e jkωt dt πt cos e jkω t dt πt e jkω t dt πt cos e jkωt dt T T πt e kkω sin t dt π πt sin e jkω t T + jk T π T πt sin e jkωt dt πt e jkω t dt jπk T πt sin e jkωt dt X k 4k X k π X k 4k π X k π 4k Άρα ϑα είναι, γράφοντας την κυκλική συχνότητα ω πf, xt π + π + π + 4 π k,k k π 4k ejkπf t 4 π 4k cosπkf t k 4k cosπkf t. είξτε ότι για πραγµατικά σήµατα ισχύει : Αρτιο σήµα Χ Αρτιο σήµα Αρτιο σήµα Περιττό σήµα Χ Περιττό σήµα Αρτιο σήµα Αρτιο σήµα Χ Περιττό σήµα Περιττό σήµα
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις 9 { Αν xt άρτιο xt x t Αν yt άρτιο yt y t που δηλώνει ότι το zt είναι άρτιο. { Αν xt περιττό xt x t Αν yt περιττό yt y t που δηλώνει ότι το zt είναι άρτιο. { Αν xt άρτιο xt x t Αν yt περιττό yt y t που δηλώνει ότι το zt είναι περιττό. } xtyt x ty t zt z t 3 } xtyt x ty t zt z t 4 } xtyt x ty t zt z t 5. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα π sin tdt χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα του Parseval. Το ϑεώρηµα του Parseval συνοψίζεται στην εξίσωση T x tdt X + k X k η οποία περιλαµβάνει και τη µονόπλευρη και τη δίπλευρη εκθετική αναπαράσταση της σειράς Fourier. Αναλύουµε το σήµα σε σειρά Fourier: e xt sin 5 jt e jt 5 e jt e jt 5 t j 3j 6 Χρησιµοποιώντας τον τύπο του Newton, η σχέση 6 γράφεται : a + b n a n + na n b + nn a n b + + nab n + b n 7! xt 3j ej5t 5e j4t e jt + e j3t e jt e jt e j3t + 5e jt e j4t e j5t 3j ej5t e j5t 5e j3t + 5e j3t + e jt e jt Οπότε σύµφωνα µε τα παραπάνω που είναι και το Ϲητούµενο. π dt sin 5 6 π dt t π 5 sin 5 6 t π 5 8. Η εκθετική σειρά Fourier ενός περιοδικού σήµατος δίδεται ως : xt + je j3t + je jt + 3 je jt + je j3t.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις Να ϐρεθεί : αʹ Αν το σήµα είναι πραγµατικό, ϕανταστικό, ή µιγαδικό. ϐʹ Το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης του σήµατος. γʹ Το µονόπλευρο ή τριγωνοµετρικό ανάπτυγµα σε σειρά Fourier. δʹ Το ολοκλήρωµα x tdt. αʹ Παρατηρούµε ότι οι αντίστοιχοι συντελεστές των εκθετικών είναι συζυγείς µεταξύ τους, δηλ. ισχύει X k X k. Αυτή η ιδιότητα ισχύει µόνο για πραγµατικά σήµατα, άρα το σήµα µας είναι πραγµατικό. ϐʹ Για να ϐρούµε εύκολα το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης, αρκεί να µετατρέψουµε τους συντελεστές X k σε µορφή µέτρο-ϕάση, δηλ. X k X k e jφ k. Είναι + j + e j tan 8e j tan 8e j π 4 j e j π j 8e j π 4 8e j π 4 j e j π Το ϕάσµα πλάτους ϕαίνεται στο σχήµα αʹ και το ϕάσµα ϕάσης στο σχήµα βʹ, συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας ω πf. Σχεδιάστε εσείς τα αντίστοιχα για τη συχνότητα f σε Hz! αʹ Φάσµα πλάτους ϐʹ Φάσµα ϕάσης Σχήµα : Φάσµα πλάτους και ϕάσης Άσκησης 4 γʹ Το µονόπλευρο ή τριγωνοµετρικό ανάπτυγµα δίνεται εύκολα ως xt + je j3t + je jt + 3 je jt + je j3t 8e j π 4 e j3t + e j π e jt + 3 + e j π e jt + 8e j π 4 e j3t 3 + 8 cos 3t π + 4 cos t π 4 δʹ Το ολοκλήρωµα ϑα υπολογιστεί από τη σχέση του Parseval: T x tdt 3 k 3 π33 66π X k π 3 + 8 + 8 + +
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις 3. ίνεται το παρακάτω περιοδικό σήµα xt: xt cos πt + π + cos π5t π sin π6t + π 3 8 5 αʹ Βρείτε την περίοδο,, του σήµατος και σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης. ϐʹ Υπολογίστε το yt t xτdτ γʹ Υπολογίστε την ισχύ του σήµατος yt αʹ Το σήµα έχει συχνότητες, 5, 6Hz, άρα ϑεµελιώδη συχνότητα f ΜΚ {, 5, 6} Hz. Οπότε η περίοδος ϑα είναι /. sec. Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις του Euler, το σήµα γράφεται ως : xt e jπt e jπ/3 + e jπt e jπ/3 + ejπ5t e jπ/8 + e jπ5t e jπ/8 j ejπ6t e jπ/5 + j e jπ6t e jπ/5 e jπt e jπ/3 + e jπt e jπ/3 + ejπ5t e jπ/8 + e jπ5t e jπ/8 + + ejπ/ e jπ6t e jπ/5 + e jπ/ e jπ6t e jπ/5 e jπt e jπ/3 + e jπt e jπ/3 + ejπ5t e jπ/8 + e jπ5t e jπ/8 + + ejπ6t e j9π/ + e jπ6t e j9π/ Το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης ϕαίνεται στο σχήµα. αʹ Φάσµα πλάτους ϐʹ Φάσµα ϕάσης Σχήµα : Φάσµα πλάτους και ϕάσης Άσκησης 3 ϐʹ Γνωρίζουµε ότι yt t X k xτdτ Y k jπkf
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις και άρα ϑα έχουµε yt jπ ejπt e jπ/3 + jπ e jπt e jπ/3 + jπ5 ejπ5t e jπ/8 + jπ5 e jπ5t e jπ/8 + jπ6 ejπ6t e j9π/ + jπ6 e jπ6t e j9π/ π ejπt e jπ/3 e jπ/ + π e jπt e jπ/3 e jπ/ + π5 ejπ5t e jπ/8 e jπ/ + π5 e jπ5t e jπ/8 e jπ/ + π6 ejπ6t e j9π/ e jπ/ + π6 e jπ6t e j9π/ e jπ/ π ejπt e j5π/6 + π e jπt e j5π/6 + π5 ejπ5t e j3π/8 + π5 e jπ5t e j3π/8 + π6 ejπ6t e j4π/ + π6 e jπ6t e j4π/ cosπt + 5π/6 + cosπ5t + 3π/8 + cosπ6t + 4π/ π π5 π6 γʹ Η συνολική ισχύς είναι το άθροισµα των επιµέρους ισχύων των ηµιτόνων, αφού αυτά έχουν διαφορετικές µεταξύ τους συχνότητες, άρα P y 3 k Pk π + π + π Στο ίδιο αποτέλεσµα ϑα καταλήγαµε αν αθροίζαµε τα τετράγωνα των µέτρων των εκθετικών συντελεστών Fourier, Y k, όπως υποδεικνύει το ϑεώρηµα του Parseval για την εκθετική σειρά Fourier. 4. Εστω το περιοδικό σήµα xt που ορίζεται σε µια περίοδο / t / ως : {, t tc xt, t c < t / µε tc < /. Αναπτύξτε το σε σειρά Fourier, για t c /4 και t c /. Θα αναπτύξουµε το περιοδικό σήµα σε σειρά Fourier χωρίς αντικατάσταση της t c, η οποία ϑα γίνει στο τέλος. Είναι : X T xtdt tc dt t tc t c + t c t c t c t c και X k T xte jπkft dt tc e jπkft dt t c e jπkf t tc jπkf t c e jπkf t c e jπkf t c jπk jπk j sinπkf t c sinπkf t c πk
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λυµένες Ασκήσεις 3 Για t c 4, έχουµε Για t c, έχουµε X /4 X k sinπkf /4 sinπk/ πk πk X / 5 X k sinπkf / sinπk/5 πk πk