STUDIUL PROPAGARII UNDELOR SUPERFICIALE IN LICHIDE Scopul lucrării În această lucrare se va determina lungimea de undă a undelor superficiale în lichide, folosind fenomenul de interferenţă. Consideraţii teoretice Deşi aparent simplă, teoria propagării undelor superficiale necesită o tratare matematică destul de complicată. În funcţie de natura forţelor care tind să menţină oriontală suprafaţa apei, în lichide există două tipuri de unde superficiale: gravitaţionale şi capilare. În primul ca forţele care determină fenomenul propagatoriu sunt cele gravitaţionale, în cel de-al doilea ca - forţe de tensiune superficială. În cele ce urmeaă vom deduce ecuaţia de mişcare a particulelor de fluid în caul undelor de tip gravitaţional. Să presupunem că în regiunea A din Fig. 1 se introduce în apă un corp paralelipipedic (un vibrator) şi că acesta este făcut să Fig. 1 execute o mişcare oscilatorie cu frecvenţă suficient de ridicată. Deoarece lichidul (să considerăm în continuare că acesta este apa) este practic incompresibil, coborârea vibratorului în apă implică creşterea nivelului acesteia. Dacă perturbarea suprafeţei apei se face suficient de rapid, creşterea nivelului acesteia se face într-o primă secvenţă, doar în imediata vecinătate a vibratorului (datorită
inerţiei particulelor de apă). Dacă vibratorul execută mişcarea în sens contrar (iese din apă), se produce fenomenul invers. În felul acesta, regiunea din vecinătatea vibratorului va executa o mişcare oscilatorie, care, datorită forţelor elastice de legătură dintre moleculele lichidului, se va propaga spre regiunile mai îndepărate de ona A, sub forma unor unde de tip gravitaţional. Forma suprafeţelor de undă apare, în caul unui vibrator lung, ca a unei succesiuni de drepte paralele, aşa cum se observă în Fig. a. Dacă perturbaţia lichidului se face într-un singur punct, undele obţinute vor fi circulare (Fig. b). a) b) Fig. După cum este cunoscut, ecuaţia care descrie mişcarea unei mase elementare de fluid (ecuaţia fundamentală a hidrostaticii) are forma: v 1 1 + v + v v = p U (1) t ρ unde v este vitea instantanee a unui element de masă dm, p este presiunea statică (execitată asupra masei considerate, de către lichidul înconjurător), iar U = g este potenţialul gravitaţional ( este coordonata verticală). În caul de faţă se poate găsi o funcţie scalară, ψ, legată de viteă prin relaţia: v = ψ () Funcţia ψ astfel definită se numeşte potenţialul viteelor; mişcarea fluidului este denumită, în caul valabilităţii relaţiei () - curgerea potenţială. Vom presupune, de asemenea, că, în timpul curgerii nu se produc vârtejuri ( rot v = v = ). În aceste condiţii ecuaţia (1) devine: t 1 1 + = (3) ( ψ ) v ρ p U sau: ψ 1 p + v = + U t ρ Integrând ecuaţia (3') de-a lungul unei linii de curent, dr, vom găsi: d ψ 1 d p v dr U dr dr + = + t dr ρ (3')
sau: ψ 1 p + v = U + C1 (4) t ρ unde C 1 este constanta de integrare. Se ştie, în plus, că, deoarece apa este un mediu incompresibil, ecuaţia de continutate, scrisă sub formă locală (diferenţială) are forma: v = (5) Ecuaţiile (4) şi (5) descriu mişcarea unui element de masă, dm. Caracteristicile mişcării se pot pune în evidenţă în practică folosind o serie de corpuri care plutesc pe su-prafaţa apei (de exemplu particule fine de lemn - rumeguş). Aşa cum vom demonstra în continuare, aceste mici "corpuri de probă" nu se deplaseaă în sensul de înaintare al undei, cum s-ar putea crede la prima vedere, ci execută o mişcare oscilatorie; această mişcare se transmite din aproape, datorită forţelor de legătură dintre particulelor de fluid, regiunilor învecinate. Prin definiţie, o mişcare se numeşte ondulatorie dacă o anumită stare (de exemplu, o anumită valoare a elongaţiei) existentă la momentul t, în poiţia y (stare care se repetă în mod periodic) se va regăsi în poiţia y' = y + v t, la momentul t+ t. Aici v este vitea de propagare a faei undei, denumite, de aceea, viteă de faă. Să considerăm că v este vitea unui element de masă care conţine punctul P(, y', ) la momentul t =. Să presupunem că la timpul t o aceaşi valoare a viteei o va avea un element de masă având coordonatele (, y, ) (Fig. 3). O x Deci: v(, y,, ) P(,y,) y vt y v y f y v (, ',,) = ( ', ) ˆ unde ˆv este versorul viteei şi: v, y,, t = f y', vˆ v(, y,, t) Q(,y,) y Fig. 3 la momentul t = la momentul t = t Notând ξ = y - v t, vom putea scrie, în ceea ce priveşte funcţia scalară ψ: ψ = ψ ξ,
Ca urmare: ψ ψ ψ ψ =, = v y ξ t ξ (6) Cum vitea, în contextul discuţiei de faţă, nu depinde de x, nici funcţia scalară ψ din care vitea derivă nu trebuie să depindă de x. În coordonate carteiene, gradientul va avea, în aceste condiţii, expresia: ψ ψ v = ψ = yˆ + ˆ ξ Introducând reultatele din (6) în ecuaţia (4), găsim: ψ 1 ψ ψ p v + g C1 ξ ξ + = + ρ (7) Având în vedere şi ecuaţia (5), putem scrie: ψ ψ + = ξ (8) Deoarece presiunea exercitată asupra elementului de masă depinde de poiţia acestuia şi de timp, vom putea scrie: şi: p = p r t = p t (, ) ( ξ,, ) dp p p p p = + v = + v grad p = + p ξ (9) dt t r t t În ceea ce priveşte condiţiile la limită pentru ecuaţia (9), trebuie să ţinem seama că: A. La suprafaţa apei ( = h), elementele de masă sunt supuse numai presiunii atmosferice (care este constantă), deci: dp pentru h dt = = În aceste condiţii, ecuaţia (9) se poate scrie sub forma: d p p ψ p ψ p = + + = (1) dt t ξ y deoarece: p p = ξ y Ecuaţia (1) arată că variaţia temporală a presiunii, determinată de diverse caue, este compensată de schimbarea poiţiei elementului de masă, în aşa fel încât variaţia totală a presiunii se păstreaă nulă. B. La adâncimea h (unde = ) particulele de fluid se pot deplasa numai de-a lungul axei Oy (paralel cu peretele inferior al vasului). Ca urmare, aici vitea nu depinde de ; ca urmare, potenţialul viteei satisface condiţia:
ψ = = (11) Deoarece ψ = ψ(ξ, ), vom încerca, pentru ecuaţia (8), o soluţie de forma: ψ ξ, = ϕ γ ξ (1) Aici ϕ() trebuie ales astfel încât sâ fie respectată restricţia (11), adică: Cu ψ dat de (1), ecuaţia (8) devine: sau: De aici reultă că: ϕ ϕ = γ ξ Ecuaţiile (14) şi (15) admit soluţii de forma: γ( ξ) = (13) ϕ + = 1 ϕ 1 γ = = C ϕ γ ξ ξ ϕ Cϕ = γ + Cγ ( ξ) = ξ (14),(15) ϕ = ae λ' (16) Înlocuind ecuaţiile (16) în (14) găsim: ' λ 1, =± C şi γ ξ = be λ" (17) " λ 1, =± j C Vor exista, deci, pentru ecuaţia (14) două soluţii particulare: iar pentru ecuaţia (15) soluţiile particulare: C C ϕ 1 = a1e şi ϕ = ae (18) j C γ ( ξ ) = be ξ şi 1 1 γ ξ = (19) j C be ξ O soluţie generală a ecuaţiei (14) va fi o combinaţie liniară de ϕ 1 şi ϕ ; pentru ecuaţia (15) soluţia generală va fi o combinaţie liniară de γ 1 şi γ. Deci: }inând cont de (13), ecuaţia () se scrie: ϕ 1 a e a e C C = + () de unde: a C a C = a = a = as 1 1 C C cosh ϕ = a e + e = a C (1)
unde funcţiile cosinus hiperbolic şi sinus hiperbolic sunt definite prin relaţiile: cosh e ε e ε, sinh e ε e ε + ε = ε = jξ C jξ C be 1 be cu C γ ξ Având în vedere ecuaţiile lui Euler, găsim: sau: = + > () = ( + ) cos + ( ) γ ξ b b Cξ j b b sin Cξs 1 1 unde noile constante A şi α sunt definite prin relaţiile: scrie: Acos( C ) γ ξ = ξ α (3) Acosα = b1 + b Asinϕ = j b b 1 Cu expresiile lui ϕ() şi γ(ξ) date de (1) şi (3), funcţia scalară ψ dată de (1) se va (, ) aacosh C cos( C ) ψ ξ = ξ α = = Bcosh C C y vt α Cunoscând expresia lui ψ, găsim componentele viteei unei particule de fluid: ψ vy = = B Ccosh y C sin ( y vt ) C α ψ v = = B Csinh C cos ( y vt) C α Notând cu λ intervalul minim al periodicităţii spaţiale (lungimea de undă) şi cu T intervalul minim al periodicităţii temporale: π π π λ = s şi v C = v ; λ = vt C T λ expresiile (5) şi (6) devin, dacă considerăm, pentru simplitate, α = : πb π π vy = cosh sin ( y vt) λ λ λ (7) πb π π v = sinh cos ( y vt) λ λ λ (8) Constatăm, deci, că vitea unei particule variaă periodic în timp şi spaţiu. Mişcarea este, deci, ondulatorie. Ecuaţiile (7) şi (8) permit găsirea ecuaţiei traiectoriei descrise de o particulă de lichid. Având în vedere că un element de masă dm execută o mişcare oscilatorie în jurul unui punct fix (de coordonate y şi ), putem scrie: dy πb πo π vy = = cosh sin ( y vt) s dt λ λ λ (9) (4) (5) (6)
d πb π π dt λ λ λ v = = sinh cos y vt s Integrând ecuaţiile (9) şi (3) vom găsi: B π π v λ λ B π sinh o π = cos ( y vt) s v λ + λ y = cosh cos y vt + y Eliminând timpul în ecuaţiile (31) şi (3), găsim ecuaţia traiectoriei descrisă de elementul de masă: y y B + = π π v cosh sinh λ λ Aşadar, în decursul vibraţiilor, particulele de fluid descriu traiectorii eliptice (Fig. 4). (3) (31) (3) (33) Fig. 4 Propagarea undelor superficiale va fi însoţită de fenomenele specifice undelor: reflexia, refracţia, interferenţa, difracţia.
Descrierea dispoitivului experimental Schema constructivă a dispoitivului experimental utiliat în lucrarea de faţă este preentată în Fig. 5. Într-un vas cu pereţii transparenţi se introduce apă. Mişcarea ondulatorie este determinată în acest ca de mişcarea oscilatorie obţinută folosind un vibrator cu frecvenţa de 5 H care poate avea diverse forme: lamă (pentru producerea undelor plane), cilindru (pentru producerea undelor circulare), dublu-cilindru (pentru a observa, de exemplu, fenomenul de interferenţă a undelor circulare), etc. O L Raa de lumina E D V apa L 1 DF B Fig.5 Lichidul din vas este străbătut de un fascicul intermitent de lumină, provenit de la becul B (după trecerea prin discul rotitor cu fante DF). Fasciculul transmis prin apă este proiectat, folosind lentila L pe tavan sau (folosind o oglindă, O) pe ecranul E. Lentila L 1, denumită condensor, serveşte la iluminarea uniformă a obiectului (în caul nostru, vasul cu apă). Deoarece la trecerea luminii prin apă au loc atât fenomene de reflexie, cât şi de absorbţie, fasciculele care vor trece prin porţiuni mai adânci sau mai puţin adânci vor da pe ecran o imagine formată din regiuni mai intens sau mai puţin intens iluminate; imaginea este în mod univoc corelată cu relieful de la suprafaţa apei. Imaginea de pe ecran poate fi făcută staţionară în timp folosind iluminarea stroboscopică: dacă frecvenţa impulsurilor luminoase ce străbat apa este egală cu frecvenţa de oscilaţie, suprafaţa apei va apărea "îngheţată", iar tabloul de pe ecranul E este, de asemenea, staţionar. Explicaţia este că, în caul egalităţii celor două frecvenţe, porţiuni diferite de pe suprafaţa apei vor fi surprinse la aceeaşi elongaţie la fiecare impuls luminos, dând astfel senaţia de repaus. In Fig. 6 sunt repreentate două fotografii ale suprafeţei apei, în condiţiile interferenţei undelor superficiale produse de un vibrator cu doi cilindri. Aceştia constituie două surse S 1 şi S, aflate la distanţa a (Fig. 7a, b).
Fig. 6 Undele circulare vor da fenomenul de interferenţă în toată ona din vecinătatea surselor S 1 şi S, după cum se vede în Fig. 6. Să considerăm un punct P, aflat la distanţa r 1, de sursa S 1 şi r de S (Fig. 7a). Dacă lichidul din vecinătatea fiecărei surse oscileaă după legea j t = = = e ω (34) 1 P S 1 r 1 x m m 1 S 1 M 3 M a r d m m -1 M 1 M M -1 S m - m -3 S M - M -3 (a) (b) Fig. 7 punctul P va executa o mişcare oscilatorie determinată de compunerea oscilaţiilor determinate de fiecare sursă: = e 1P = e P ( ω t kr) j ( ω t kr ) Mişcarea punctului P va fi descrisă, deci, de ecuaţia: P ( ωt ) j j 1 ( ω ) ( ω ) P = 1P + P = e + e = Ae j t kr1 j t kr (35)
unde amplitudinea oscilaţiei reultante, A, este dată, după cum se cunoaşte, de relaţia: k A= + + cosk( r r) = cos r r 1 1 π A= cos r r1 (36) iar δ: sin kr1 + sin kr δ = arctg coskr + coskr Punctele pentru care: 1 1 (37) r r = nλ n (38) vor corespunde unor maxime de oscilaţie, iar acelea unde λ r r1 = ( n+ 1) (39) vor corespunde unui minim de oscilaţie. Locul geometric al punctelor de maxim, descris de ecuaţia (38) este constituit dintr-o familie de arce de hiperbole, notate M, M1, M,... M 1, M,... în Fig. 7b. Aceste arce de hiperbolă vor fi intercalate cu arcele de hiperbolă ce corespund condiţiei de minim, descrise de ecuaţia (39). Ele au fost notate m, m1, m,... m 1, m,... Toate aceste arce de hiperbolă au focarele în S 1 şi S. Zonele de minim de interferenţă le va corespunde pe ecranul E o serie de one "difue", în sensul că nu există nici maxime şi nici minime luminoase. Zonelor de maxim de interferenţă (maximelor M k ) le vor corespunde one "ebrate" intens, fapt corelat, aşa cum s-a menţionat, cu modul stroboscopic de iluminare: unele one sunt suprinse întotdeauna pe o "creastă" altele într-o "vale" (aici există "creste" şi "văi", spre deosebire de onele de minim, unde suprafaţa apei este în repaus şi, ca urmare apare "difuă" în proiecţie). Conform Fig. 7a avem: a r1 = d + x de unde reultă: a r = d + x+ xa r r = 1 r + r 1 Folosindu-ne de condiţia de minim (pe ecranul E minimele sunt mai precis identificabile, în comparaţie cu maximele) vom avea, ţinând cont de ecuaţia (39): a λ x = ( n+ 1) r + r 1
Considerând că: r 1 + r d (ecuaţie valabilă la distanţe d suficient de mari) vom avea: xa λ = ( n + 1) d Minimul următor, situat la distanţa x de precedentul, va satisface condiţia: ( x+ ) x a λ λ = ( n 1) 1 ( n 1) λ d + + = + + Reultă, prin urmare: d x =, a λ adică a λ = x (4) d Vom folosi ecuaţia (4) pentru determinarea lungimii undelor superficiale în caul apei. Modul de lucru Pentru a determina lungimea de undă, λ, a undelor superficiale vom proceda astfel: Vom turna apă în vasul cu pereţi transparenţi, destinat acestui scop până când cele două vârfuri ale vibratorului sunt în contact cu lichidul. " Vom alimenta cu energie electrică dispoitivul de proiecţie. # Vom măsura, cu şublerul, distanţa a dintre axele cilindrilor vibratorului dublu. $Vom măsura distanţa x dintre două minime succesive, plasate pe o dreaptă paralelă cu S 1 S şi la distanţa d de aceasta. Având în vedere că: d' = β d şi x' = β x unde β este mărirea transversală a lentilei de proiecţie L, avem: d ' λ = a (4') x ' % Trecem datele în Tabelul 1 şi calculăm pe λ. & Reluăm experimentul, alegând perechi de puncte în alte one ale ecranului. Observaţie. După efectuarea experimentelor de interferenţă încercaţi evidenţierea fenomenelor de reflexie şi difracţie. Tabelul 1 Determinarea lungimii de undă în caul undelor superficiale Nr. det. a (mm) x' (cm) d' (cm) λ (mm) 1.....
' Notă După efectuarea experimentelor de interferenţă încercaţi evidenţierea fenomenelor de reflexie şi difracţie.pentru observarea reflexiei folosiţi vibratorul plan şi un obstacol transparent (o placă de sticlă, montată vertical în cuvă). Observaţi efectul interferenţei dintre undele incidente şi cele reflectate. Pentru observarea difracţiei observaţi forma suprafeţelor de undă în spatele plăcii de sticlă, în ona marginii obstacolului. Întrebări 1) Care este rolul buretelui spongios de la periferia vasului cu apă? ) Cum trebuie procedat pentru a viualia fenomenul de refracţie?