Που σκείι η δύνμη σήριξης; Θεωρούμε μι πρισμική ράβδο μήκους l η οποί θεωρείι ιδνικό σερεό σώμ. Υποθέουμε όι η ράβδος βρίσκει «υπό κθεσώς κπόνησης». Θεωρούμε μι νοηή ομή η οποί διιρεί ην ράβδο σε δύο μέρη () κι (β). Από ο ξίωμ δράσης νίδρσης, οι δυνάμεις που σκούνι νάμεσ σ σοιχειώδη μήμ ων () κι (β), που νισοιχούν β σε έν σοιχειώδες μήμ ης ομής, είνι νίθεες. () F β Οι δυνάμεις που σκούν σοιχειώδη μήμ ου (β) σ νίσοιχ μήμ ου () είνι κνεμημένες σε όλη ην ομή. F β Μπορούμε ν νικσήσουμε όλες υές ις δυνάμεις με μι β δύνμη F β με σημείο εφρμοής ο κένρο ης ομής κι μι ροπή ζεύους β. Ομοίως ορίζει η δύνμη F β κι η ροπή ζεύους β που σκεί ο () σο (β). Οι πρπάνω δυνάμεις κι ροπές εξρώνι μόνο πό ην πόσση ης ομής πό ο άκρο ης ράβδου. Υποθέουμε όι εκός πό ης εσωερικές δυνάμεις, σην ράβδο σκείι μι κνομή εξωερικών δυνάμεων q κι μι κνομή εξωερικών ροπών Q. Θεωρούμε έν σοιχειώδες μήμ ΑΒ ης ράβδου μεξύ ων θέσεων κι +d. ( + d) F( + d) (β) A B F() d +d Το μήμ υό δέχει πό ο μήμ ης ράβδου που είνι «δεξιά ου Β» δύνμη F( + d) κι ροπή ( + d). Από ο μήμ ης ράβδου που είνι ρισερά ου Α δέχει δύνμη F() κι ροπή (). Δέχει επίσης εξωερική δύνμη q()d κι εξωερική ροπή Q()d Θ μελεήσουμε ην ισορροπί ου σοιχειώδους μήμος. Οι δυνάμεις F() κι F( + d) που σκούνι σ Α κι Β ισοδυνμούν με μι δύνμη F( + d) F() δ = AB F( + d) = AB F() + F ()d, που σκείι σο Α κι μι ροπή ( ) Πρλείπονς πειροσά δευέρς άξης έχουμε όι: δ = AB F( + d) = AB F() = di F() Γι ν ισορροπεί ο σοιχειώδες μήμ πρέπει: Σ F = F( + d) F() + q()d = F() + q() = (1) Σ = ( + d) () + δ + Q()d = () + i F() + Q() = (1β) Ανλύονς ις (1) κι (1β) σε άξονες έχουμε: F () = q () () () 1
F () = q () (β) F () = q () () () = Q () (δ) () = F () Q () (ε) () = F () Q () (σ) Εφρμοή 1 = Θεωρούμε μι ομοενή ράβδο μήκους l, η οποί σηρίζει σε έν οριζόνιο ρπέζι. Τμήμ μήκους ης ράβδου προεξέχει πό ο ρπέζι κι ο υπόλοιπο μήκους β=l- κουμπά σε υό. Ν βρεθεί η δύνμη κι η ροπή που σκείι σε μι ομή ου προεξέχονος μήμος. Λύση Έσω μ η ρμμική πυκνόη ης ράβδου. Α) Γι ο προεξέχον μήμ ης ράβδου Γι << ισχύει όι : q () = q () =, q() = μ g, Q () = Q () = Q () =. Οι σχέσεις ()- (σ) ίνονι: F() = F() = F( ) = (3) F() = F() =μ g+ C1 Επειδή F( ) = C1 = F() = (3β) F() = F() = F( ) = (3) () = () = ( ) = (3δ) β () = () =( ) = (3ε) () = F () () = μ g + () = + + C μ Επειδή g ( ) = + + C C = Επομένως () = + (3σ) Εφρμόζονς ις σχέσεις (3β), (3σ) ι = έχουμε: F() = κι () =. Επομένως ο δεξί μήμ σκεί σο ρισερό μι δύνμη προς κάω ίση με ο βάρος ου προεξέχονος μήμος κι μι ροπή ίση με ην ροπή ου βάρους ου προεξέχονος μήμος ως προς ην άκρη ου ρπεζιού. Β) Γι ο μήμ ης ράβδου που πά σο ρπέζι. Σον κκόρυφο άξον, εκός πό ην κνομή φορίου, σκείι σην ράβδο κι μι κνομή δυνάμεων σήριξης n(). Εφρμόζουμε εκ νέου ις σχέσεις () Όπως κι πριν F() = F() =, () = () =
F () = q () F () = n() F () = n(s)ds + C 3 Ισχύει όι: F() = C3 =. Άρ F () = n(s)ds (4) Ισχύει όι: F( ) = β n(s)ds n(s)ds= (5) Από ην σχέση (σ) έχουμε όι: t () = F () () = μ g + n(s)ds + () =() + n(s)ds dt g +μ t μ g () = + n(s)ds dt g +μ Ισχύει όι t μ g μβ g ( ) = + n(s)ds dt g μ β= t t ( +β) n(s)ds dt = n(s)ds dt = (6) Θέουμε t f(t) = n(s)ds f (t) = n(t) Επομένως t n(s)ds dt = f (t)dt = t f (t)dt = [ tf (t)] tf (t)dt =f ( ) t n(t)dt t n(s)ds dt = n(s)ds t n(t)dt =β t n(t)dt Ανικθισώνς σην σχέση (6) έχουμε: tn(t)dt= Θέονς Ν= n(t)dt = κι tn(t)dt=ν = έχουμε: Επομένως ο σημείο εφρμοής ης δύνμης Ν είνι ο μέσον ης ράβδου. = + Εφρμοή Θεωρούμε μι ομοενή ράβδο μήκους l η οποί σηρίζει σε δύο ισοϋψή ρπέζι όπως σο σχήμ. Σο έν κουμπά ο ½ ης ράβδου κι σο άλλο ο ¼. l/ l/4 () (β) () Θεωρούμε έν σύσημ συνεμένων με ρχή ο ρισερό άκρο ης ράβδου. 3
Γι ο μήμ () ισχύει όι: F () = n () F () = F () + n (s)ds F () = n (s)ds (7) t () = F () () = μ g + n (s)ds () =() + n (s)ds dt t () = + n (s)ds dt Θέουμε t f(t) = n (s)ds f (t) = n (t) t [ ] n (s)ds dt = f (t)dt = t f (t)dt = tf (t) t n (t)dt = f () t n (t)dt t n (s)ds dt = n (s)ds t n (t)dt Άρ () = + n (s)ds t n (t)dt (8) Οι σχέσεις (8), (9) με =l/ ίνονι: / F( ) = n (s)ds / / ( ) = + n (s)ds tn (t)dt 8 Θέουμε Ν / = n (s)ds κι / tn (t)dt=ν F( ) = Ν ( ) = + Ν Ν ( ) = + Ν Ν 8 8. Οι σχέσεις (9) κι (1) ίνονι: (9) (1) Ας δούμε με έν σχήμ ην φυσική σημσί ων πρπάνω σχέσεων F1+ N = F1 = N ( ) + N + F1 = 4 N l/ l/4 F 1 () (β) () ( l/ (l/) Γι ο μήμ (β) ισχύει όι: F () = F () = F ( ) +( ) F () = Ν +( ) F() = Ν +μ g (11) 4
() = F () () =Ν () = ( ) +Ν( ) sds / () = + Ν Ν +Ν( ) μ g + 8 8 () = Ν +Ν μ g (1) Εφρμόζονς ις (11), (1) ι = ¾ l έχουμε: 3 3 F( ) = Ν + (13) 3 3 9 ( ) = Ν +Ν (14) 3 Γι ο μήμ () ισχύει όι: 3 3 F () = n () F () = F ( ) +( ) n (s)ds 3 /4 3 3 F() = Ν +μ g +( ) n (s)ds F () = Ν + n (s)ds 3 /4 3 /4 () = F () () =Ν μ g + n (s)ds 3 /4 t 3 3 () = ( ) +Ν( ) μ g sds n (s)ds dt + 3 /4 3 /4 3 /4 () = Ν +Ν μ g + n (s)ds sn (s)ds 3 /4 3 /4 Ανικθισώνς σις (15) κι (16) =l έχουμε: 3 /4 3 /4 F() = Ν + n(s)ds = Ν + n(s)ds (17) = ( ) = Ν +Ν μ g + n (s)ds sn (s)ds (18) Θέουμε N 3 /4 3 /4 = 3 /4 n (s)ds κι 3 /4 sn (s)ds =Ν Οι σχέσεις (17) κι (18) ίνονι: Ν +Ν = (19) = Ν +Ν μ g + Ν Ν Ν +Ν = () Επομένως έχουμε δύο εξισώσεις με (4) νώσους 3 Αν κάνουμε ην υπόθεση ου Διονύση Μηρόπουλου ( ) = ( ) = όε 4 3 9 + Ν Ν = κι Ν g 8 + Ν μ = 4 3 Από ις οποίες προκύπει όι: 5 3 3 Ν =, Ν =, 8 8 = 5, 1 = 6 5 (15) (16)
οι οποίες είνι σε πλήρη συμφωνί με ποελέσμ ου Διονύση Μηρόπουλου. Πρηρήσεις 1) Η πρπάνω περίπλοκη διδικσί δεν ήν πρίηη. Οι σχέσεις (19) () ήν νμενόμενες 3 Θέουμε F1 = F( ), F1 = F( ) 4 3 Το εονός όι ( ) = ( ) = σημίνει όι η ισορροπί ων μερών, β, ης ράβδου 4 εξσφλίζει μόνο πό ις εσωερικές δυνάμεις κι όχι πό ις εσωερικές ροπές. Επομένως ι ην ισορροπί ου μήμος () έχουμε: F1 + N = κι N + F1 = 4 ι ην ισορροπί ου μήμος (-β) έχουμε: 3 3 3 3 F + N = κι N + F = 4 4 Γι ην ισορροπί όλης ης ράβδου Ν +Ν = κι Ν +Ν = Λύνονς ο σύσημ βρίσκουμε N, Ν,,. ) Επνλμβάνουμε ίδι βήμ με υχί μήκη - β Βρίσκουμε +β ( ) = +β, β+ ( ) + ( β+) ( +β) ( +β) =, Ν =, Ν = β+ Πρηρούμε όι όν κι όε, l, Ν, Ν που είνι σωσά ποελέσμ. Αφού λοιπόν σην περίπωση που όλη η ράβδος «είνι σον έρ», η υπόθεση ( ) =( +β ) = είνι σωσή, πολύ περισσόερο είνι σωσή όν, είνι μη μηδενικά. E. Κορφιάης 6