( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x) ή, η οποί ληθεύει γι ορισµένες τιµές της µετλητής x στο σύνολο Α Ορισµός Μερική λύση µις νίσωσης λέγετι κάθε τιµή της µετλητής x η οποί την επληθεύει Λύση µις νίσωσης λέγετι το σύνολο που περιέχει όλες τις µερικές λύσεις της νίσωσης Ορισµός ύο νισώσεις λέγοντι ισοδύνµες ν κι µόνο ν έχουν τις ίδιες κριώς λύσεις Αν κι οι δύο νισώσεις δεν έχουν ρίζες, τότε λέγοντι επίσης ισοδύνµες f x g x p x > q x είνι ισοδύνµες, τότε γράφουµε: Αν οι νισώσεις ( ) > ( ) κι ( ) ( ) Θεώρηµ 1 Η νίσωση f( x) g( x) f( x) + φ( x) > g( x) + φ( x), όπου ( ) f( x) > g( x) p( x) > q( x) > είνι ισοδύνµη µε την νίσωση φ x είνι ένς πργµτικός ριθµός ή µι πράστση του x η οποί έχει το ίδιο σύνολο νφοράς Α µε την νίσωση f x > g x ( ) ( ) Πόρισµ 1 Αν σε µι νίσωση µετφέρουµε ένν όρο πό το έν µέλος στο άλλο λλάζοντς το πρόσηµο του πίρνουµε ισοδύνµη νίσωση, δηλδή f x + φ x > g x f x > g x φ x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Θεώρηµ Η νίσωση f( x) > g( x) είνι ισοδύνµη µε την νίσωση f( x) φ( x) > g( x) φ( x) όπου φ(x) είνι µι πράστση του x η οποί έχει το ίδιο σύνολο νφοράς Α µε την νίσωση f( x) > g( x) κι ( ) φ x > 0 γι κάθε x A Πόρισµ Αν πολλπλσιάσουµε ή διιρέσουµε τ µέλη µις νισότητς µε ένν θετικό ριθµό, τότε πίρνουµε ισοδύνµη νισότητ µε την ίδι φορά Θεώρηµ 3 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 1

Η νίσωση f( x) > g( x) είνι ισοδύνµη µε την νίσωση f( x) φ( x) < g( x) φ( x) όπου φ(x) είνι µι πράστση του x η οποί έχει το ίδιο σύνολο νφοράς Α µε την νίσωση f( x) > g( x) κι ( ) φ x < 0 γι κάθε x A Πόρισµ 3 Αν πολλπλσιάσουµε ή διιρέσουµε τ µέλη µις νισότητς µε ένν ρνητικό ριθµό, τότε πίρνουµε ισοδύνµη νισότητ µε ντίθετη φορά Πόρισµ 4 Η νίσωση f( x) > g( x) είνι ισοδύνµη µε την νίσωση ν ν f ( x) g ( x) κι f( x) 0, g( x) 0 γι κάθε x A νίσωσης f( x) > g( x) Σχόλιο Αν ο ν είνι περιττός τότε η συνθήκη f( x) 0, ( ) προηγούµενο πόρισµ µπορεί ν πρληφθεί I ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ > ν, όπου Α είνι το σύνολο νφοράς της g x 0 γι κάθε x Aστο * ν N Ανίσωση πρώτου θµού µε ένν άγνωστο λέγετι µί νίσωση που περιέχει τον άγνωστο (µετλητή) υτό στην πρώτη δύνµη κι δεν περιέχει άλλους γνώστους Πολλές νισώσεις µε ένν άγνωστο µετά πό πράξεις πίρνουν µορφή x+ > 0 ή x+ < 0, όπου, είνι γνωστοί ριθµοί Η νίσωση : x+>0 Έχουµε x+ > 0 x> ικρίνουµε περιπτώσεις: Αν > 0, τότε: x> ( Η λύση της νίσωσης πρίσττι γεωµετρικά µε το διπλνό σχήµ ) x> + Αν < 0, τότε: x> ( Η λύση της νίσωσης πρίσττι γεωµετρικά µε το διπλνό σχήµ ) x< + Αν = 0, τότε η νίσωση γίνετι 0 x>, οπότε (i) Αληθεύει γι κάθε x R ότν 0> > 0 κι (ii) Είνι δύντη ότν 0 0 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

Σχόλιο Όµοι λύνετι η νίσωση x+ < 0, όπως κι οι νισώσεις x+ 0, x+ 0 Πρµετρικές νισώσεις Λέγοντι οι νισώσεις οι οποίες εκτός πό τον άγνωστο περιέχουν έν κόµη γράµµ συνήθως ή ή κ ή λ, το οποίο πριστάνει οποιονδήποτε πργµτικό ριθµό κι λέγετι πράµετρος Γι ν λύσουµε µί πρµετρική νίσωση γι τις διάφορες τιµές της πρµέτρου την µετσχηµτίζουµε στη µορφή x> ή x< κι δικρίνουµε περιπτώσεις όπως πρπάνω II ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Λέγοντι οι νισώσεις που περιέχουν τον άγνωστο στην πόλυτη τιµή µις πράστσης Γι την λύση των νισώσεων µε πόλυτ είνι χρήσιµες οι πρκάτω ιδιότητες : 1 Αν θ> 0 τότε ισχύει : x < θ θ< x< θ Αν θ> 0 τότε ισχύει : x θ θ x θ Αν θ> 0 τότε ισχύει : x > θ ( x> θ ή x< θ) Αν θ> 0 τότε ισχύει : x θ ( x θ ή x θ) III ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΟΥΣΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ( ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ) Συνληθεύουσες νισώσεις ή σύστηµ νισώσεων µε ένν άγνωστο ονοµάζουµε δύο ή περισσότερες νισώσεις µε ένν άγνωστο, ότν πρέπει ν ρούµε τις τιµές του γνώστου οι οποίες επληθεύουν συγχρόνως όλες τις νισώσεις Είνι φνερό ότι η λύση ενός συστήµτος νισοτήτων είνι η τοµή των λύσεων των νισοτήτων που περιέχει Εποµένως γι ν λύσουµε έν σύστηµ νισοτήτων, λύνουµε ξεχωριστά κάθε νίσωση που περιέχει κι πίρνουµε την τοµή των λύσεων υτών των νισοτήτων ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε κθεµί πό τις πρκάτω ερωτήσεις ν σηµειώσετε τη σωστή πάντηση Ανισώσεις µε πόλυτ θµού 1 Ποις πό τις πρκάτω νισότητες η λύση πριστάνετι πό το σχήµ: 1 5 + ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 3

Α x < 3 Β x 3 Γ x 4 < 3 x 4 3 Ε x 3 Το σύνολο λύσεων της νίσωσης x 1< x+ 3είνι: Α,4 3 Β ( 6,+ ) Γ ( 4,+ ) (,4) Ε ( 0,6 ) 3 Το σύνολο λύσεων της νίσωσης x 3x> 5 είνι: Α ( 5, 1) Β ( 1, + ) Γ (, 1) ( 1,5) Ε ( 1,5 ) 4 Το σύνολο λύσεων της νίσωσης x 4 > x+ + είνι: Α ( 0,+ ) Β (,) Γ (,0) (, + ) Ε (,) 5 Το άθροισµ όλων των κερίων που επληθεύουν τις νισώσεις 5 x+ 7 13 είνι: Α 35 Β 5 Γ 1 9 Ε 9 6 Το µήκος του διστήµτος των λύσεων της νίσωσης Α 10 Β 11 Γ 1 13 Ε 14 7 Το σύνολο λύσεων της νίσωσης x 5 < 1είνι: 1 είνι : x 5 3 Α ( 4, ) Β ( 4,8) Γ ( 6,8 ) (,6) Ε ( 4, ) ( 6,8) 8 Αν x 4 4 < 3, τότε το πλήθος όλων των κερίων τιµών που µπορεί ν πάρει ο x είνι Α 8 Β 9 Γ 10 11 Ε 1 9 Οι λύσεις της νίσωσης x 3 0 είνι: x 3 Α 3 x 3 Β 3< x< 3 Γ 3< x 3 3 x< 3 Ε x Λύση νισώσεων θµού 1 Ν λύσετε τις νισώσεις ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 13 1 8 6 (i) ( x+ 5) ( 3x ) > ( x 3) ( x+ 4) (ii) 4 x ( 4x 3) Ν ρείτε όλες τις θετικές κέριες λύσεις των νισώσεων: (i) ( x 3)( x 3) ( x 1) + (ii) ( )( ) ( ) x 1 x + x+ 1 x x 1 4 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 4

3 Ν λύσετε τις νισώσεις x 7 11 (i) 5( x+ 3) > ( x ) (ii) 8 5 7 3x 7 3x x x+ x + + 3 3 6 4 Ν λύσετε τις νισώσεις (i) 7x + 5 3x 9 > 8 (ii) 3x 1 1 3x + 1 6 3 4 5 Ν λύσετε τις νισώσεις x 5x+ 3 4 x 5 x x 1 (iii) + 6 1 3 9 1 3x x+ 3 (iv) 3 x+ 1 x > 5x 4 5 6 Γι ποιες τιµές του R η εξίσωση ( ) ( ) 7 16 πργµτικές άνισες, (, + ) 7 Ν λύσετε την εξίσωση ( ) x + 1 x+ 1= 0 έχει ρίζες 4 x 1 µ x µ µ 0 ρίζ της εξίσωσης, ν ρείτε τον µ R, ώστε ν ισχύει x = µ, x = µ 1, µ > 1 1 8 Ν λύσετε την εξίσωση ( ) + + = Αν x είνι η µικρότερη 9x 3 x 1 0 x µ µ < + + + + = Αν x 1είνι η µεγλύτερη + ρίζ της εξίσωσης, ν ρείτε τον R, ώστε ν ισχύει x1< 3 Ανισώσεις µε πόλυτ 9 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x+ 5 7 (ii) 3 x 6 (iii) 4x+ 1 7 (iv) 3 x 5 10 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x+ 1> (ii) x 4> 1 (iii) x+ 3 > 4 (iv) 5 4x > 3 11 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x+ 6 3 (ii) x 4 (iii) 3x+ 1 8 (iv) 5 x 5 1 Ν λύσετε τις νισώσεις: 5 (i) 3x (ii) 3x 1 5 (iii) 3x > x+ 8 (iv) 4 3x > 7 13 Ν λύσετε τις νισώσεις: ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 5

(i) x x (ii) x > x (iii) x x (iv) x > x 14 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x > x (ii) x x (iii) x < x 15 Ν λύσετε τις νισώσεις (i) x + 1 x + 3 x > (ii) x 3 x 3 1 3 x 3 + + 5 6 3 6 4 6 16 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x + 1 x + 1 8 x+ 1 (ii) 1 x 3 1 x + 5 3 1 x 1 3 6 9 6 17 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x+ 3 7 4 (ii) x+ 1 5 > 18 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) 3 x + 1 4+ x > 1 (ii) 3 x + 4 x 1> 5 4 3 19 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x x+ 4 (ii) x+ + x 3 > 5 0 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x+ 1+ 6x > 9 (ii) 5 10 x+ x 1 1 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x 1+ x 1< x (ii) x 1+ x > 3+ x Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x 1+ x + x 3 x+ 1 (ii) x + x 1+ x > 9 3 Ν λύσετε τις νισώσεις: (i) x 1+ x < 3 (ii) x 3+ 1 Συστήµτ νισώσεων (συνληθεύουσες νισώσεις) 4 Ν ρείτε τις τιµές του x γι τις οποίες συνληθεύουν οι νισώσεις: ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6

(i) x> x 8 x 3 x 1 x x 4 < 3 x+ 1 x 1 < 4 3 (ii) 3x 7 x 5 + < + 4 8 4 5 Ν ρείτε τις τιµές του x γι τις οποίες συνληθεύουν οι νισώσεις: x 1 1 3x 4 x 5x 4 x x+ 1 3x + > + 1 + < + + 1 3 4 8 1 6 3 4 (i) (ii) x + 3 x 3x 1 17x 11 7x 5 3 + + x> + + 3 4 5 0 4 6 Ν ρείτε τις κέριες λύσεις των συστηµάτων: 9 3x 7 x 5 4x+ 5< 5x+ + + 4 8 4 (i) (ii) 3x 88 x 1 x 1 1 > 5x + < 7 4 3 7 Ν λύσετε τ συστήµτ νισώσεων : (i) 3< 3 x 7 (ii) 7< 3 x < 11 8 ίνετι η πράστση: A= ( x 1 ) ( 1 ψ ) + ψ 4ψ+ 3 (i) Γι ποιες τιµές του ψ R η πράστση Α είνι ίση µε µηδέν νεξάρτητ πό τις τιµές του x R (ii) Αν ψ 3, ψ 1κι Α= 0, ν πλοποιήσετε το κλάσµ: x 1+ 3ψ + 9 Κ= x 1, x 1 (iii) Αν x 1+ 3ψ = 0ν ρείτε την τιµή της πράστσης A (iv) Αν ψ= 4ν λύσετε την νίσωση: Α> ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 7