Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică (periada principală T * = ), pară, mărginită. Funcţia arccsinus,, mărginită, bijectivă. arccs : [ ] [ ] Funcţia tangentă tg: \ + k; k este peridică (periada principală T * = ), impară, nemărginită. Funcţia arctangentă arctg :, este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia ctangentă \ k; k. este peridică (periada principală T * = ), impară, nemărginită. ctg: { } Funcţia arcctangentă arcctg :, mărginită, bijectivă. TEORIE PERIODICITATE ŞI PARITATE O funcţie f: se numeşte peridică dacă există T * astfel încât f ( x + T ) = f ( x ), x. Dacă printre numerele T> există un cel mai mic T * > atunci acesta se numeşte periada principală a funcţiei f. f x = f x, x. O funcţie f: se numeşte impară dacă O funcţie f: se numeşte pară dacă f ( x) f ( x) Valrile funcţiilr trignmetrice în primul cadran : x 6 sinx csx tgx ctgx 4 / / =, x.
Semnele functiilr trignmetrice şi mntnia pe cadrane: x I II III IV sinx + + csx + + tgx + + ctgx + + Identităţi fundamentale sin -x =csx cs -x =sinx tg -x =ctgx ctg -x =tgx sin x+cs x= tgx ctgx= sin arcsinx =x arcsin sinx =x cs arccsx =x arccs csx =x tg arctgx =x arctg tgx =x arcsinx+arccsx= arctgx+arcctgx= Reducerea la primul cadran II I III I IV I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ( ) ( ),, ( ) sin x= sin x, sin x= sin x, sin x= sin x cs x= cs x, cs x= cs x, cs x= cs -x tgx = tg x tgx = tg x tgx = tg x ctgx = ctg x ctgx = ctg x ctgx = ctg x Frmule paritate sin x = sin x cs ( x) = cs x tg x = tgx ctg x = ctgx Frmule peridicitate arcsin arccs x I II III IV sinx csx tgx ctgx ( x) ( x) = arcsinx = arccs x arctg x = arctgx arcctg x = arcctgx
( ) ( ) sin k + x = sin x cs k + x = cs x Frmule pentru sume şi diferenţe de unghiuri sin sin ( x + y) = sin x cs y + sin y cs x ( x y) = sin x cs y sin y cs x ( x + y) = cs x cs y sin x sin y ( x y) = cs x cs y + sin x sin y ( + ) = ( ), tg k x tgx ctg k + x = ctgx k tgx + tgy tg ( x + y) = tgx tgy tgx tgy tg ( x y) = + tgx tgy cs ctgx ctgy ctg ( x + y) = cs ctgy + ctgx ctgx ctgy + ctg ( x y) = ctgy ctgx Frmule pentru unghiuri duble sin x= sin x cs x cs x= cs x sin x= cs x = sin x tgx ctg x tgx = = tg x ctgx Frmule pentru unghiuri triple ctg x x x x x x x sin = sin 4sin cs = 4 cs cs tgx tg x ctg x ctgx tgx = = ctg x tg x ctgx Frmule pentru jumătăţi de unghiuri x cs x x + cs x sin =± cs =± x cs x sin x cs x x + cs x sin x + cs x tg =± = = ctg =± = = + cs x + cs x sin x cs x cs sin x Frmule pentru substituţia cu x t = tg
x x tg -tg t t x sin x = = csx = = unde t = tg x x + tg + t + tg + t x x tg -tg t t tgx = = ctgx= = x x -tg t tg t Frmule pentru trasfrmarea sumelr în prduse x+ y x y x y x+ y sin x+ sin y = sin cs sin x sin y = sin cs x+ y x y x+ y x y cs x+ cs y = cs cs cs x cs y = sin sin sin x+ cs x= sin x+ sin x = cs x 4 Frmule pentru trasfrmarea prduselr în sume sin x cs y = sin sin x+ y + x y cs x cs y = cs( x y) cs ( x y) + + sin x sin y = cs( x y) cs ( x+ y) Ecuatii trignmetrice fundamentale: sin x= x= + k sin x= x= k sin x= x= + k cs x= x= + k cs x= x= + k cs x= x= k [ ] k { } sin x= a, S = arcsin a+ k / k [ ] { } { / } { / } cs x= a, S = ± arccs a+ k / k tgx = a S = arctga + k k ctgx = a S = arcctga + k k 4
sin x = sin y x = y + k sau x + y = k + cs x = cs y x = y + k sau x + y = k tgx = tgy x = y + k ctgx = ctgy x = y + k Pentru ecuaţiile de tipul asin x+ bcs x= c înmulţim egalitatea cu a + b sin α ± β. numerele bţinute cu sin respectiv cs, transfrmând api în frmula EXERCIŢII FORMULE. Să se calculeze sin 5.. Să se calculeze sin + cs 8.. Să se calculeze sin + cs 5. 4. Să se calculeze sin 5 + cs 45. 5. Să se calculeze sin. 6. Să se calculeze sin7 sin. 7. Să se calculeze cs + cs + cs +... + cs8. 8. Să se calculeze sin 6 cs. 9. Să se calculeze sin( ) sin( 9 )... sin9 sin. Să se calculeze sin cs45 + sin 6.. Să se calculeze cs 8 + cs.. Să se calculeze 8 sin. Să se calculeze. sin +. sin5. cs45 tg + ctg 45. cs + cs + cs6 + cs7. sin x = şi x ( ;9 ). 5 sin 5 + cs. sin + cs 6. (sin x cs x) sin x cs 4. Să se calculeze 5. Să se calculeze 6. Să se calculeze cs x, ştiind că şi înlcuim 7. Să se calculeze 8. Să se calculeze 9. Să se demnstreze că expresia + x este cnstantă, pentru ricare ar fi numărul real x.. Să se arate că sin cs8 =.. Să se determine cs(8 x), ştiind că x ( ;9 ) şi cs x =.. Să se calculeze cs 6. Să se calculeze sin 5 + cs 45. 4. Să se arate că pentru x ( ;9 ) este adevărată egalitatea sin +. sin x cs(9 x) + cs (8 x) =. 5. Ştiind că sin8 cs8 = a, să se calculeze sin + cs a. 6. Să se calculeze sin5 + tg 45 cs 45. 5
4 5 cs x = 7. Să se calculeze sin(8 x) ştiind că sin x =. 8. Să se calculeze cs(8 x) ştiind că. 9. Să se calculeze sin 5.. Să se calculeze sin 5 + sin 65.. Să se calculeze lg( tg4 ) lg( tg4 )... lg( tg45 ).. Să se calculeze prdusul (cs cs9 ) (cs cs8 )... (cs9 cs ).. Să se calculeze 4. Să se calculeze 5. Ştiind că sin cs. cs sin. V α = să se calculeze cs α. V 9 6. Să se arate că sin + sin +... + sin 9 =. V9 7. Ştiind că ctgx =, să se calculeze ctgx. V 8. Fie α, astfel încât 5 csα =. Să se calculeze sinα. V5 9. Fie α, astfel încât sinα =. Să se calculeze sin α. V6 5 4. Să se arate că 4. Ştiind că ctg sin x = ctg tg =. V9, să se calculeze cs x. V 4. Să se calculeze sin 75 + sin5. V 4. Să se calculeze tg arctg. V 44. Ştiind că tgα =, să se calculeze sin 4α. V 45. Să se calculeze sin sin + + 6 4 6 4. V5 46. Fie α, astfel încât sinα =. Să se calculeze tgα. V6 47. Ştiind că α şi că sinα + csα =, să se calculeze sin α. V7 48. Ştiind că α, şi că sinα =, să se calculeze tgα. V8 5 49. Ştiind că α, şi că tgα + ctgα =, să se calculeze sin α. V9 5. Să se arate că sin 8 =. V 5. Să se arate că sin 6 <. V 6
5. Ştiind că x, şi că x sin x =, să se calculeze sin. V 5 5. Ştiind că x şi că tgx =, să se calculeze tg x +. V Se cnsideră triunghiul ascuţit B+ B= C+ C. sin arcsin + sin arccs unghic ABC în care are lc relaţia sin cs sin cs 54. Să se arate că numărul 55. Să se arate că 56. Să se arate că sin5 sin5 este natural. V7 6 4 6 4 sin a b sin a b sin a sin b, ab, =. V7 + =. V9 57. Să se demnstreze egalitatea ( + ) ( ) =. V4 58. Fie a şi b numere reale astfel încât sin a sin b cs a ( b). V4 59. Să se arate că sin5 sin 75 + 6 + =. V4 + = şi cs a 6. Ştiind că α, şi că sinα =, să se calculeze ctgα. V44 5 sin 75 sin5 =. V45 6. Să se arate că 6. Să se verifice egalitatea cs 75 cs5 6 + =. V47 6. Ştiind că x, şi că tgx =, să se calculeze sin x. V49 64. Să se calculeze tgα, ştiind că α, şi sinα = ctga = şi ctgb = 5 + csb=. Să se calculeze. V5 65. Să se calculeze tg ( a + b), ştiind că. V5 66. Să se calculeze tgx, ştiind că ctgx =. V55 67. Să se calculeze sin x, ştiind că ctgx = 6. V59 68. Fie ABC un triunghi cu tga =, tgb =. Să se determine măsura unghiului C. V64 69. Ştiind că tg α =, să se calculeze sinα. V65 7. Să se calculeze cs x, ştiind că tgx = 4. V66 4 7. Să se calculeze sin + sin + sin + sin. V67 csα = 7. Să se calculeze cs α, ştiind că 7. Să se calculeze sin. V68 74. Să se calculeze cs. V69 7. V67 7
75. Să se calculeze cs 75 cs5. V7 76. Să se calculeze sin 75 cs5. V7 77. Fie α, astfel încât cs α =. Să se calculeze csα. V7 78. Fie α, astfel încât cs α =. Să se calculeze sinα. V74 79. Fie α, astfel încât sinα =. Să se calculeze tg α. V76 5 8. Fie α, astfel încât sinα =. Să se calculeze tgα. V77 4 8. Fie ab,,, astfel încât a+ b=. Să se arate că tga tgb + tga + tgb =. V78 4 8. Fie x, astfel încât tg x = 6. Să se calculeze cs x. V79 8. Fie x, astfel încât 84. Fie ab,, astfel încât 85. Fie a, astfel încât sin x= + cs x. Să se calculeze sin x. V8 a b sin a sin b cs a b sin a =. Să se arate că sin a. V8 4 tg tg tg tg + =. Să se arate că + = ( ). V8 86. Să se arate că... 89 =. V8 87. Fie ab,, astfel încât a b=. Să se arate că are lc relaţia cs a csb. V84 88. Fie ab,, astfel încât a+ b=. Să se arate că sin a sin b=. V85 cs + cs +... + cs79. V86 arctgx + arctgy =. Să se arate că x y x, 4 şi sin x =. V88 5 ab, astfel încât a+ b=. Să se arate că sin a sin b sin ( a b) =. V89 sin 4 sin4 = cs. V9 α, csα =. Să se calculeze sin α. V9 89. Să se calculeze suma 9. Numerele reale x şi y verifică egalitatea 9. Să se calculeze tgx, ştiind că 9. Fie, 9. Să se arate că 94. Fie astfel încât 95. Fie α, astfel încât sinα + csα =. Să se calculeze tgα. V94 96. Să se arate că sin x+ sin x+ sin 5x= ( + cs x) sin x. V95 97. Ştiind că a, şi că sin a =, să se calculeze tga. V98 5 98. Să se determine cel mai mare element al mulţimii { cs,cs,cs }. V99 99. Fie a cu =. V88 tga = 5. Să se calculeze sin a. V 8
. Ştiind că x, şi sin x =, calculaţi cs x. Bac ECUAŢII. Să se rezlve în mulţimea (, ) ecuaţia sin x= sin x. V6. Să se rezlve în mulţimea [ ), ecuaţia sin x =. V7 tg x tgx. Să se rezlve în mulţimea [, ) ecuaţia 4. Să se rezlve în mulţimea [ ) 5. Să se rezlve în mulţimea [ ) 6. Să se rezlve în intervalul [,] 7. Să se rezlve în intervalul [,] 8. Să se rezlve în mulţimea [ ), ecuaţia =. V cs x = x x. V, ecuaţia sin + cs =. V5 ecuaţia ecuaţia arcsin arcsin x arccs arcsin x x x + =. V6 + =. V8, ecuaţia sin + cs =. V 9. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia sin x= + cs x. V. Să se determine numărul sluţiilr ecuaţiei sin x= sin x din intervalul [, ). V4. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia sin x+ cs( x) =. V8. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia arctgx + arcctg =. V4. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia arcsin x =. V44 x x x + = 4. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia cs + sin =. V48, ecuaţia sin. V6 5. Să se rezlve în mulţimea [ ) 6. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia cs x+ = cs x. V6 7. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia sin x = sin x+ 4 4. V6 8. Să se rezlve în (, ) ecuaţia tg x + = tg x. V64 9. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia sin x+ cs x=. V65, ecuaţia sin x cs x=. V66. Să se rezlve în mulţimea [ ]. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia x arctg arctg arctg arctgx + =. V68. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia + =. V76. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia. V8 4. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia sin x+ = cs x 6. V86 9
5. Să se rezlve în intervalul (,5 ) ecuaţia sin x + = 6 tgα α. V9 6. Să se determine α (, ) astfel ca = sin. V9 7. Să se rezlve în mulţimea numerelr reale ecuaţia sin x= cs x. V97 8. Fie mulţimea A =,,,, 6. Care este prbabilitatea ca, alegând un element din mulţimea A, acesta să fie sluţie a ecuaţiei sin x+ cs x=? Bac