4 Cel broev Sup prrodh broeva { 3K } Sup prrodh broeva ule 0 { 0} { 03K } Sup celh broeva { K 3 03 K} 4 Delvost u supu celh broeva Defca Nea su tao da e b a Svostva: Za \ { 0} Za b \ { 0} 3 Za b \ { 0} 4 Za \ { 0} 5 Za \ { 0} ab cel broev a 0 Kažemo da a del b pšemo a b ao posto a e a a a a b b a dau a ± b a c a b b c dau a c a b c a b c a b c b a dau a ( b ± c a dae a ( bc Teorem (o deleu o su zada a b oda postoe edstve q (vocet r 0 K b (ostata tav da e a bq r { } Zadata Podsetmo se: delvost e relaca parcalog uređaa a supu prrodh broeva Zadata Doažte da za svao bro 5 del bro 5 t da ( 5 5 Zadata 3 Doažte da e umoža blo oa tr uzastopa cela broa delv sa 6 Zadata 4 Doažte da za svao 7 ( 3 6 Zadata 5 Doažte da za svao Zadata 6 Doažte da za svao ( 6 3 3 3 6 3( 3 Zadata 7 Doažte da e za svao za svao 0 bro / 55
Zadata 8 Doažte da e suma ubova tr uzastopa prroda broa delva s 9 Zadata 9 Doažte da vred: a b c 3 3 3 3( a b c 3( a b c 4 Naveća zaedča mera ama zaedč všerat Euldov algortam Zaedč deltel (zaedča mera celh broeva da d a d b ab e sva cel bro d 0 taav Naveća zaedča mera celh broeva ab \ { 0} u ozac ( a b bro o del a b Nama zaedč všerat celh broeva ab \ { 0} V ( a b e ama prrod bro oeg dele a b ( a b M ( a b V ( a b V ( a b ( a b m{ a b} max{ a b} V ( a b M M M e aveć prrod u ozac Slčo se aveća zaedča mera ama zaedč všerat defrau za vše celh broeva razlčth od ule Za efetvo račuae aveće zaedče mere celh broeva orst se Euldov algortam Propozca Nea su a b q r tav da vred a bq r Vrede tvrde: a Sva zaedč deltel od a b uedo e zaedč deltel od b r M a b M b r b ( ( Teorem (Euldov algortam za račuae ( a b sled: a bq r 0 < r < b b r q r 0 < r < r r r q3 r3 0 < r 3 < r r r3 q4 r4 0 < r 4 < r3 r r q r r < r 0 < r r q oda e M ( a b r M Nea su a b Delmo ao (posled u zu ostataa o e razlčt od ule Prmer Odredte M ( 5895 M ( 476338 ( 00450 M 56
za ee s t (štovše Uočte oš da ( d a Posledca Iz Euldovog algortma vd se da e M ( a b sa tb moglo b se poazat da e M ( a b m{ sa tb > 0 : s t } d b d M ( a b Kažemo da su cel broev ab \ { 0} relatvo prost ao e ( a b Propozca o su c \ { 0} ab tav da su b M a relatvo prost ( ac b oda b c 43 Prost broev osov teorem artmete Prrod bro p > e prost (prm bro ao su mu ed prrod deltel p Prroda bro o e prost e slože bro a egov deltel azvau se fator K Preržmo zaoružmo preržmo sve všerate od zaoružmo ama preostal preržmo sve egove všerate zaoružmo ama preostal td Zaoruže broev su prost Eratosteovo sto e postupa za alažee prosth broeva u supu { } Zgodo: http://hrwpedaorg/w/eratosteovo_sto Lema Nea e a a > Nama deltel od a o e već od e prost bro Lema Za sva prost bro p sva prrod bro a e ( M p a l p a 57
Propozca o e p prost bro p ( ab oda p a l p b Posledca o e p prost bro p ( a a K a oda posto barem eda a taav da p a Teorem (Rastav a proste deltele osov teorem artmete Za sva prrod bro a > α α α posto edstve rastav a proste deltele a p p K p gde su p < p < K < p sv razlčt prost broev o dele a poreda po velč a α K Napomea Broev α azvau se ratost prosth broeva p u rastavu Posledca Nea su a α α α p p K p b p p K p β β β tao da su p p K p sv prost m m α β fator od a b zaedo (e alfe/bete mogu bt ula Stavmo { } m m m max{ α β } Tada e M ( a b p p M M M K p V ( a b p p K p M vred V ( a b ab M ( a b Nadale Posledca Prrodh deltela prrodog broa a p p K ma točo ( ( α ( α α K Teorem (Euld Sup svh prosth broeva e besoača (Posledca e da e sup svh prosth broeva prebrovo besoača α α α p Napomea o -t po redu prost bro ozačmo p može se poazat da e p ~ l t p lm te da e recproča suma svh prosth broeva besoača (Euler l Zadata Nea e p prost bro Odredte sva celobroa rešea edadžbe x xy p Zadata Odredte sve prrode broeve m tave da e bro ( ( m 5 m poteca broa Zadata 3 Doažte da e log racoala bro detalo obrazložte sva ora Zadata 4 Doažte: ao e p prost bro a broev p ab p a p b ( ( a b relatvo prost tada vred: p Zadata 5 Doažte: ao e p prost bro oda p za sve { K p } Zadata 6 Posto l prroda bro m taav da egova četvrta poteca pr deleu sa 4 dae vocet o e prost bro ostata? 58
Zadata 7 Doažte: ao e p prost bro p 5 tada e p delv sa Zadata 8 Odredte sve proste broeve p tave da su p p 7 prost broev Zadata 9 Odredte sve a tave da 3 a 4 a a u supu ma 4 deltela 44 Kogruece modulo Za cele broeve ab ažemo da su ogruet modulo ao mau st ostata pr deleu sa Evvaleto o su ogruet modulo a b Pšemo ( mod a b Svostva ogruece (mod : ao ( a a( mod a b( mod dae b a( mod 3 a b( mod b c( mod povlač a c( mod 4 o su a b ( mod a b ( mod oda e ( a a ( b b ( mod ( aa ( bb ( mod 5 o e a b( mod ao su l m te ( x oda e a b l( mod a b( mod m m a b ( mod p( a p( b( mod p polom s celobrom oefcetma Prmer Poažte da 9( mod0 3 46 Prmer Poažte da 9 ( a a a ( a a K a K 0 9 0 Teorem (Mal Fermatov teorem o e p prost bro oda za sva a vred a p ( mod p a Uputa Teorem doažte matematčom ducom orsteć Zadata 435 Deframo sada fucu ϕ : 0 tao da e svao ϕ bro broeva z K o su relatvo prost sa Fuca ϕ azva se Eulerova fuca supa { } 0 stavmo da e ( 59
Teorem Za Eulerovu fucu ϕ vred: ϕ ( o e \ { } č e rastav a proste fatore p p K oda e ( ϕ K p p p α α α p Teorem (Eulerov teorem o e a tao da e M ( a oda vred ϕ a ( ( mod Zadata Odredte posledu zameu broa 400 3 Zadata Bez upotrebe alulatora odredte poslede dve zamee broa Zadata 3 Odredte poslede tr zamee broa Zadata 4 Odredte šest posledh zame broa 3 3 004 57 99 99 Zadata 5 a Doažte da e umoža pet uzastoph prrodh broeva delv sa 0 b Koe sve ostate dae umoža pet uzastoph prrodh broeva pr deleu sa 7? 5555 Zadata 6 Doažte da e bro 5555 delv sa 7 Zadata 7 Doažte da bro 7 7 7 završava sa 43 Zadata 8 o e prrod bro a relatvo prost sa 3 poažte da bro 3 del bro a 0 p Zadata 9 Doažte tvrdu: ao e tvrde? prost bro oda e p prost bro Vred l obrat Zadata 0 Odredte ostata pr deleu broa 538 sa 3 3 5 5 Zadata Odredte ostata pr deleu broa 6 3 5 sa 73 Zadata Izračuate x ao e 003 x( mod9 Zadata 3 Izračuate x ao e 7 00 x( mod 9 Zadata 4 Izračuate x ao e 7 99 x( mod5 Zadata 5 Izračuate x ao e 9 0 x( mod7 004 004 Zadata 6 Doažte da e bro 9 7 delv sa 0 60
Zadata 7 Odredte ama x tao da stovremeo vred ( mod x 5( mod7 x Zadata 8 Odredte rter delvost sa 3 u baz 45 Dofatse edadžbe Defca Jedadžba oo tražmo celobroa rešea azva se dofatsom edadžbom Poveso azv se prvo orsto za polomale edadžbe č su oefcet cel broev al daas e prošre Razmotrt ćemo prvo rešavae leare dofatse edadžbe s dve varable Teorem Nea su zada M a b oda ao ( c a b c Dofatsa edadžba ax by c ma rešee oda samo Zadata Odredte sva celobroa rešea edadžbe 7 x 50y Ima l edadžba prrodh rešea? Zadata Odredte sva celobroa rešea edadžbe 5 x 0y 30 Ima l prrodh rešea? Zadata 3 Odredte sva celobroa rešea edadžbe 333 x 707 y Zadata 4 Odredte sva celobroa rešea edadžbe xy x y Zadata 5 Odredte sva celobroa rešea edadžbe 7 x 3y Zadata 6 Odredte sva prroda rešea edadžbe xy x y Zadata 7 Odredte sva prroda rešea edadžbe xy 0 3x y Zadata 8 Odredte sva prroda sva celobroa rešea edadžbe 3x y 30 Zadata 9 Odredte sva prroda rešea edadžbe x y z Zadata 0 Odredte sva celobroa rešea edadžbe 3 y 5 x Zadata Odredte sva prroda rešea edadžbe x! y! z! x x Zadata Odredte sva celobroa rešea edadžbe y 6
5 Uvod u ombatoru Teorem (Osova pravla prebroavaa Pravlo edaost (l bece Nea su B oač supov Tada e B ao samo ao posto beca f : B Pravlo zbroa (l sume Nea su K oač međusobo dsut supov Tada e hova ua oača sup K K 3 Pravlo umoša (l produta teorem o uzastopom prebroavau Nea su K oač supov Tada e hov Kartezev produt oača sup K K 4 Drchletov prcp o predmeta blo ao rasporedmo u uta oda će barem eda od h sadržat barem predmeta Poopće Drchletov prcp: o e m predmeta razmešteo u uta oda bar eda m uta sadrž bar predmeta Prsetmo se: a Bro svh podsupova -člaog supa e b Nea su B φ oača o su t supov oač sup B { f f B} B B : e Zadata Na olo ača se zmeđu 6 mušaraca 4 žee 5 dečaa 3 devočce može zabrat: a eda osoba b po eda mušarac eda žea eda deča eda devočca (8360 Zadata Na štadu e zložeo 0 razlčth vrsta razgledca Turst žel poslat svaome od svoa 4 pratela po edu od h Na olo ača e to moguće zvest? (0000 Zadata 3 Regstarsa tablca vozla sasto se od ozae mesta grba 3 l 4 broe te edog l dva slova abecede (bez slova č ć dž đ l š ž Ko e aveć bro automobla spltsh regstraca? (5566000 Zadata 4 Sva od pet momaa bra po edu od osam devoaa za ples Na olo ača to mogu apravt? (670 6
9 Zadata 5 Kolo ma prrodh broeva strogo mah od mlardu ( 0 o sadrže zameu u svom deadsom zapsu? (65795 Zadata 6 Kolo e eparh broeva zmeđu 000 0000 od oh sva ma razlčte zamee? (40 Zadata 7 Kolo će sumaada bt u zrazu ( ( x ( x x K ao raspsvaa? ( Zadata 8 Lstć sportse progoze ma redaa U sva reda treba upsat 0 l Na olo ača se može sput lstć? ( 3 Zadata 9 Loot a šfru ma 4 oluta sa po 0 bro Loot otvara samo točo uesea šfra Kolo šfr možemo zadat? (0000 Zadata 0 Kolo uupo ma razlčth (suvslh esuvslh reč od 6 slova oe možemo 6 ačt od 30 slova abecede? ( 30 Zadata Doažte da u grup od 3 lud posto bar dvoe o mau st astrološ za Zadata Pet razlčth par ruavca alaz se u ladc u mračo sob Izvlačmo asumce po edu ruavcu e vraćamo h u ladcu Kolo e amae zvlačea potrebo da bsmo bl sgur da mamo ompletra eda par? Zadata 3 Doažte: među 44 lud bar e četvoro rođeo u stom mesecu Zadata 4 Doažte: ao e u grup vežb PINM 35 lud a a raspolagau e 5 račuala bar za edm račualom će sedt bar tr studeta Zadata 5 Iz supa { 3 } K odabra e podsup S od elemeta Doažte: tada postoe x y S x y tao da e x delv sa y Zadata 6 Doažte da za sva prrod bro posto všerat od deadsog obla 000 0 Zadata 7 Doažte da posto poteca broa 3 oa u deadsom zapsu završava zameama 000 Zadata 8 Doažte da e sva racoal bro q p perodča decmal bro Zadata 9 Na sptu e blo 5 zadataa a položl su studet o su točo rešl barem zadata Isptu su prstupla 3 studeta a položlo h e 5% Doažte da među th 5 zadataa posto barem eda o e točo rešlo avše studeata Zadata 0 Doažte da posto poteca broa oa u deadsom zapsu poče sa 99999 63
5 Varace permutace ombace bez poavlaa Varaca bez poavlaa reda -člaog supa e uređea -tora razlčth elemeata tog supa Specalo varaca bez poavlaa reda -člaog supa azva se permutaca bez poavlaa -člaog supa U upotreb e poam permutace reda bez poavlaa! K a (! Bro varaca bez poavlaa reda -člaog supa e ( ( ( bro permutaca bez poavlaa -člaog supa e! Nea su zada oač supov { a a } B { b b } K a K b Svaa varaca bez poavlaa reda supa B odgovara edo ec f : B o e svaa permutaca odgovara edo bec supa f : B l bec supa u samog sebe Katad se zato pomom permutaca ozačava baš beca eog supa u samog sebe Prmer: a Napšte sve varace bez poavlaa reda supa { 345} b Napšte sve varace bez poavlaa reda 3 supa { 34} c Napšte sve permutace bez poavlaa supa { 34} d Na olo ača možemo presložt slova reč DISKRETN? e Kolo ma reč od tr (četr pet razlčth slova abecede? Zadata Četrdeset lud treba preć grač prelaz eda po eda Na olo e ača to moguće apravt: a ao e sveedo om će redosledom prelazt gracu ( 40! b ao e u grup desetero dece među oma ema braće/sestara a svao dete mora bt uz 0 svou mau (eposredo spred l eposredo za ( 30! 0 c ao svao dete mora bt za svoe mae (e užo eposredo za ( 40!/ Prmer: Na olo ača oo stola može sest lud (dva rasporeda smatramo edama ao h možemo dobt rotacom edog u drug? ( (! Zadata Šest mušaraca pet žea treba poredat u red a blaga tao da azmečo stoe mušarac žea mušarac žea Na olo ača e to moguće zvest? (86400 Kombaca bez poavlaa reda -člaog supa e -čla podsup tog supa Bro ombaca bez poavlaa reda -člaog supa e Napomea Odavde se može poazat oršteem bomog teorema da parttv sup -člaog supa ma elemeata 64
Prmer: a Napšte sve ombace bez poavlaa reda supa { 345} b Napšte sve ombace bez poavlaa reda 3 supa { 34} Zadata 3 a Od ošaraša eog tma u gr e 5 Kolo tavh petor ma uupo? (79 b Izbor ogomete reprezetace mora od ogometaša zabrat al za petorcu svoh favorta već e odlučo da će grat Na olo ača može složt momčad? (376 Zadata 4 Na šahovsom turru sva e grač odgrao sa svam od preostalh grača edu partu Uupo e odgrao 78 parta Kolo e šahsta sudelovalo a turru? (3 Zadata 5 Od 7 žea 4 mušarca treba zabrat delegacu tao da se oa sasto od: a petero lud to 3 žee mušarca (0 b blo olo lud al mora bt edao žea mušaraca (39 c petero lud od oh su bar dve žee (455 d petero lud s tm da eda od h bude već uapred određea žea (0 e šestero lud po troe oba spola s tm da u delegacu e mogu uć zaedo po eda uapred određe mušarac žea (95 Zadata 6 Na olo ača možemo odabrat 5 od 5 graće arte ao među ma mora bt barem eda tref? (0303 Zadata 7 U supu od 50 prozvoda e 40 spravh 0 espravh Na olo ača možemo formrat uzora od 5 prozvoda al tao da u emu budu 3 sprava esprava prozvoda? (444600 Zadata 8 Sluča pous ma dva elemetara shoda uspeh euspeh Poavlamo ga puta Na olo se ača može u pousa realzrat 0 uspeha? Set se: PINM - veroatost - boma razdoba Zadata 9 U celobroo oordato mrež araćm putem od toče O ( 00 do toče T ( p q ( p q azvamo oač z brdova te mreže s početom u shodštu raem u toč T pr čemu su dozvole samo pomac tpa ( 0 ( 0 (orac udeso prema gore Kolo ma tavh araćh puteva? Zadata 0 Kolo ma šestoslovh (e užo suvslh reč od reč BCDEF tao da slova F budu pre C da su sva slova u reč međusobo razlčta? (40 Zadata Sela up 3 rave sve 4 ooš od čovea o ma 6 rava 5 sva 8 ooš Na olo ača to može apravt? (4000 Zadata Na olo ača možemo 30 studeata podelt a 4 supe tao da u prve dve supe mamo po 5 studeata a u preostale dve supe po 0? Na olo ao troca uapred zabrah studeata morau bt u sto sup? (3988594768 3038588035440 Zadata 3 Osoba ma pratela Na olo ača može pozvat petoro h a večeru? Na olo uolo e dvoe eh pratela brač par eće ć edo bez drugoga? Na olo ao dvoe eh pratela e razgovarau eće doć supa? (46 0 378 65
53 Varace permutace ombace s poavlaem Varaca s poavlaem reda -člaog supa e uređea -tora elemeata tog supa Varaca s poavlaem reda -člaog supa ma Uoč: mogu bt blo av prrod broev Prmer Kolo se troslovh (četveroslovh stoslovh reč može ačt od 30 slova 3 4 00 abecede? ( 30 30 30 Prmer Bro elemeata parttvog supa pomoću D NE zašavaa među elemetma Prmer Bro svh barh reč dule 3 bta (edostrua preczost Zadata Test a premom sptu ma 40 ptaa s pouđem odgovorma B C D E 40 Na olo se razlčth ača može rešt ta test? ( 5 Promatramo ovaav problem: zadaa e reč dule sastavlea od razlčth slova { a a K a } u oo se slovo a poavlue puta slovo a poavlue puta slovo a poavlue puta Zama as olo ma aagrama (e užo suvslh reč oe se mogu dobt premetaem slova te reč Ov aagram poead se azvau permutacama s poavlaem reda Permutaca s poavlaem reda ma multom oefcet! K Ova bro azva se!! K! Napomea Slčo supu možemo defrat tzv oač multsup M { a a K a a a K a K a a K a } gde su K K tzv ratost elemeata a a K a Permutaca s poavlaem reda e zapravo obča permutaca multsupa M Prmer a Na olo ača možemo presložt slova reč BOBB? (6!/!/3! b Na olo ača možemo presložt slova reč MISSISSIPPI? (!/4!/4!/! c U olo permutaca slova reč JUPITER samoglasc dolaze abecedm redom? (7!/3! Zadata Kolo razlčth reč možemo apsat permutraem slova reč MTEMTIK? Zadata 3 Kolo osmerozameasth broeva možemo apsat pomoću broeva 33337? (8!/3!/4! Zadata 4 U žar se a sto polc alaze 3 sta reča eglesog detča reča fracusog 5 edah reča emačog eza Na olo se ača mogu rasporedt? (50 66
Teorem (Multom teorem Za sve x x K x za sve vred ( x x K x x x Kx K K K 0 Prmer Raspšte zraze za a ( x x K x b ( x x 4 x3 Prmer Ko e čla uz 9 a b c u razvou ( 3 a b c? Posledca K K K 0 Posledca ("Sa brucoša" o e p prost bro a p p p p ( x x x x x K x ( mod p K x x K x vred Posledca (Mal Fermatov teorem o e p prost bro a p ( mod p 5 7 Zadata 5 U razvou ( x x gde e 5 odredte oefcet uz Promatramo ovaav problem: zada e sup { a a } K a 7 x Odredmo bro euređeh - tor elemeata tog supa ( mogu bt blo av prrod broev t uređeh -tor u oma se elemet mogu poavlat al permutrae -tore detfcramo Ovava -tora azva se ombacom s poavlaem reda -člaog supa Prmer o e { a b} 4 ( a a a a ( a a a b ( a a b b ( a b b b ( b b b b tražee ombace s poavlaem reda 4 su četvore Prmer Za { a b c} tražee ombace s poavlaem reda su parov ( a ( a b ( a c ( b b ( b c ( c c a Napomea Kombaca s poavlaem reda -člaog supa e zapravo podmultsup oačog multsupa M Dozvolee ratost egovh elemeata su prrod broev zmeđu 0 ča e suma upravo Kombaca s poavlaem reda -člaog supa ma Svaa ombaca s poavlaem reda -člaog supa odgovara edom rešeu edadžbe x x K x gde su x x K x 0 67
68 Prmer Na olo ača možemo 0 edah bomboa podelt a šestero dece? Na olo ao svao dete mora dobt barem eda bombo? Na olo ao prvo drugo dete morau dobt barem po dva bomboa? (3003 6 46 Zadata 6 Uočte: Člaova e s dese strae u multomom teoremu upravo Zadata 7 Na olo ača možemo čooladca podelt među petero dece (pretpostavlamo da su čooladce edae? Na olo ača to možemo učt ao svao dete mora dobt bar dve čooladce? (805 Zadata 8 U autobusu se alaz 0 lud utobus stae a 5 staca ao čega se praza vraća u garažu Na olo ača lud mogu zać a tm stacama? (00 Zadata 9 Kolo rešea ( 3 0 z y x ma edadžba 6 z y x? Kolo ma rešea ( 3 z y x? Kolo ma rešea oa zadovolavau uvete y x? (806 Zadata 0 Na olo ača se može 0 edah uglca rasporedt u 7 uta tao da barem eda uta ostae praza? (03098 54 Formula ulučvaa slučvaa Deražma o su oač supov očto vred Slčo za oače supove 3 vred sledeća aaloga edaost 3 3 3 3 3 Teorem (FUI Sylvesterova formula o su U K a U e oača sup vrede edaost ( < < < K K K ( c c c U < < < K K K Zadata Doažte FUI matematčom ducom Prmer Kolo ma prrodh broeva od do 000 o su delv s 3 a su delv sa sa 5 sa 7? (5
Zadata U eom razredu od 30 učea 0 h vol matematu 4 fzu 3 emu 5 učea vol matematu fzu 7 fzu emu 4 matematu emu a 3 vole sva tr predmeta Kolo učea e vol eda od ta tr predmeta? (6 Zadata 3 U eom gradu a plaet XYZ žv 000 stvorea sa surlom 5000 sa repom 9000 bez ede dlae Četr tsuće h sa surlom ma rep 6000 s repom e dlaavo 5000 dlaavh ma surlu do e h 000 dlaavo repato surlasto o zamo da 7000 stvorea ema repa surle olo staova ma ta grad? (30000 Permutacu f (bez poavlaa -člaog supa za ou e f ( x x za sve x azvamo deražmaom (totalom zbrom Bro deražmaa ozačavamo sa D 0 D D D 9 td 3 4 D Očto e D! K!! 3!! π : π Tvrda Bro deražmaa -člaog supa e općeto ( (Upotrebmo Sylvesterovu formulu sa { ( }! Posledca Za vele D pa e postota deražmaa u brou svh permutaca otprle e eda 03678794 K e Prmer Učec edog razreda trebau sam pregledat svoe domaće zadaće z matemate to tao da od 30 učea t eda e dobe svou zadaću a pregled Na olo ača e podelu zadaćca moguće zvest? (Odgovor: D 30 Zadata 4 Nea su B oač supov tao da e sureca sa supa a sup B azovemo ( B Sur 0 ( B ( ( m m B o sup svh Sur doažte da e Zadata 5 Pustom hoda arava od devet deva Nao odmora u oaz astavlau put al tao da eda od deva e hoda za oe deve za oe e hodala pre oaze Na olo ača e to moguće ostvart? (4839 Zadata 6 U eom društvu pezoera prmetl su da ema člaa o e b bo ćelav l e b oso aočale U treucma doolce ustaovl su da e 3 čla ćelav da h 4 os aočale da h ma aočale stovremeo su ćelav Kolo člaova ma društvo pezoera? (43 69
6 Reurzve relace U ovom delu bavt ćemo se zovma realh broeva o poazuu staovtu pravlost da se člaov za s većm desma mogu zračuat oršteem određee formule od člaova za s mam desma t posto formula po oo se čla sledbe može zračuat z prethodh člaova za Ovava formula azva se reurzva formula reurzva relaca l edostavo reurza Reurze se orste u rešavau eh specfčh problema a česte su u programrau Prmer rtmetč z 3957333945 ovaav e z: za zada prv čla (3 sva duć čla za dobe se tao da prethod čla uvećamo za 5 Općeto ao su zada real broev a d za artmetč z vred reurzva formula a a d Prmer Slčo geometrs z dobemo tao da za zada prv čla duće člaove za račuamo možeem prethodh člaova stm "vocetom" q Dale za zadae reale broeve a q za artmetč z vred reurza a a q Geometrs z e pr 4863648 M ćemo se ogračt a promatrae reurzvh relaca obla a F( a a a gde e F ea oreta fuca realh varabl a > Očto će za potpuo reurzvo zadavae za bt potrebo pozavat "počete uvete" t prvh broeva (pr a a a a 0 a a l sl pomoću oh će se ase račuat vš člaov za Prmer Reurza za bro a permutaca - člaog supa očto e a a a aso e da e a Napomea Vala reć da se reurze mogu defrat za zove drugh obeata a e samo broeva pr za zove fuca matrca sudova td Od teresa e ać formulu za opć čla za t egovu zatvoreu (ereurzvu formu ao e to moguće Otpre zamo da e za artmetč z to a a ( d za geometrs z a aq a za z permutaca! a Zadata Nea e a bro ača a o se ea osoba može popet stubštem od stepeca ao može zaoračt po edu l dve stepece Odredte reurzvu relacu za a a a a a a ( Zadata Nea e a bro prrodh - zameasth broeva sastavleh od zame 34 tao da su susede zamee ( u oem redosledu Napšte reurzvu relacu za a ( a 3 a a a 4 a 4 70
6 Leare reurzve relace s ostatm oefcetma gde e > c c K c zada broev a f zadaa fuca azva se leara reurzva relaca reda s ostatm oefcetma oa e homogea ao e f 0 a ehomogea ao e f 0 Cl e da se odred opće rešee te reurze to u zatvoreom oblu ao esplcta fuca od Reurzva relaca obla a c a c a K c a f ( Prvo ćemo razmotrt rešavae homogeh learh reurzvh relaca reda s ostatm oefcetma a c a c a K c a Rešea pretpostavlamo u oblu za a x gde e x epozat bro m zapravo tražmo sve vredost x oe će dat rešea dae reurze Uvrštavamo dobvamo x c K x cx c x z čega sređvaem odmah sled x c x cx K c 0 Ovo e araterstča edadžba aše homogee reurzve relace oa ao zamo po Osovom teoremu algebre z Matemate ma općeto omplesh rešea x x K x Teorem Opće rešee homogee leare reurzve relace reda s ostatm oefcetma a c a ca K ca može se apsat u oblu a C r ( Cr ( K Cr ( gde su C C K C a r ( r ( r ( zov oe dobvamo pomoću rešea prpade araterstče edadžbe x c x c x K c 0 Svaom edostruom rešeu všestruom rešeu x araterstče edadžbe odgovara z x ratost m zov x x m x x a svaom Napomea Uvrštavaem početh uveta u opće rešee reurze tog reda dobe se sustav learh edadžb z oeg određuemo orete vredost ostat problema C C K C Zadata Odredte opće rešee reurzve relace a a 3a Odredte rešee za počete uvete a 0 a ( ( 3 a 4 Zadata Odredte opće rešee reurzve relace a 6 a 9a Odredte rešee za počete uvete a 3 a 7 ( a 3 ( 7
Zadata 3 Odredte opće rešee reurzve relace a a a Odredte rešee za π π 3cos 3 s počete uvete a a 0 ( a 3 3 3 Zadata 4 Odredte opće rešee reurzve relace a a a a3 Odredte rešee za počete uvete a 0 0 a a ( 5 ( 6 a 3 Problem rešavaa ehomogeh learh reurzvh relaca reda s ostatm oefcetma a c a ca K ca f ( ešto e tež Geeralo uolo zamo edo eo (partularo rešee r ( te opće rešee C r ( Cr ( K Cr ( prpade homogee leare reurzve relace reda s ostatm oefcetma a c a ca K ca oda e opće rešee te ehomogee reurze a r( C r ( Cr ( K Cr ( C C K C Ostae am ostrurat partularo rešee r( za pozatu fucu f ( ćemo se tablcom: f ( r( Cb C e ostata P s ( polom stupa s C s b C e ostata Uolo e fuca ( U tu svrhu poslužt b ao x b e rešee arat ed prp hom rr m b ao e x b rešee arat ed prp hom rr ratost m Q s ao x e rešee arat ed prp hom rr m Q s ( ( ao e x rešee arat ed prp hom rr ratost m ( s b ( b Q s ( e polom stupa s Q ao x b e rešee arat ed prp hom rr m Qs ao e b x rešee arat ed prp hom rr ratost m Q s ( e polom stupa s f zbro zraza razlčth obla partularo rešee tražmo ao zbro poedh partularh rešea ehomogeh edadžb Napomea Klasfaca termologa postupa rešavaa learh reurzvh relaca reda s ostatm oefcetma podsećau a oe learh dferecalh edadžb reda s ostatm oefcetma to e slučao Zadata 5 Odredte opć čla za ( počet uvet a ( a a zadaog reurzvom relacom a uz a 7
Zadata 6 Odredte opć čla za ( a 4a 4a uz počete uvete 0 a 0 zadaog reurzvom relacom a a ( ( a Zadata 7 Odredte opće rešee reurzve relace a 5a 4 5 ( a 5 C 5 3 4 Zadata 8 Odredte opće rešee reurzve relace a C 3 C 3 4 3 ( ( 3 3a a a 3 3 Zadata 9 Rešte reurzvu relacu a 5a a 0 uz počete uvete a 6 a ( a 4 0 0 Zadata 0 Odredte opće rešee reurzve relace ( a C C 5 3 8 a 3 4a 4a 5 Zadata Odredte opć čla za ( a 0 zadaog reurzvom relacom a a a a uz počete uvete a 0 a 0 a 3 ( 3 5 7 ( a 4 63 56 6 7 Zadata Rešte reurzvu relacu ( ( a ( ( a 0 a uz počet uvet a Zadata 3 Rešte reurzvu relacu a a 39a 45a3 5 uz počete uvete a 0 a 6 a 5 ( 7 8 5 0 3 3 a 5 4 4 6 6 Zadata 4 Nea e z ( a zada formulom a 3 4 Odredte edu learu reurzu ou zadovolava ta z (Npr a 3 8 l a 4a 3a a Zadata 5 Nea e z ( a zada formulom a 3( ( learu reurzu ou zadovolava ta z (Npr a a 0 Odredte edu Zadata 6 Za z 496536 odredte homogeu learu reurzvu relacu Odredte opć čla tog za ( a 3a 3a a 3 a 73
6 Reurzvo rešavae problema Zadata (Fboaccev broev Zečev se razmožavau tao da sva par zečeva svaa dva meseca dobe par mladh zeca zečcu Mlad zečev se po avršeu dva meseca žvota poču razmožavat stm tempom Pod pretpostavom da smo a početu mal eda par zečeva da su zečev besmrt odredte reurzu zatvoreu formulu za bro F parova zečeva ao mesec ( F F F uz počete uvete F F F 5 5 5 Zadata (Haos torev Fracus e matematčar Lucas 883 zabležo l zmslo ovu legedu: u drevom vetamsom hramu ma eda vela soba u sred oe su tr osača a ma 64 zlata oluta Oo osača se reću šutlv svećec Brahme sledeć staro proročastvo hov e posao da premeste sve olutove s prvog osača a treć al tao da u svaom potezu smu pomaut samo eda olut da već olut ada e može doć a ma olut Na da ad spue zadata aže proročastvo bt će ra sveta Odredte reurzvu relacu za bro poteza pr premeštau dsova s prvog a treć osač rešte e ( a a a a Zadata 3 Odlučl ste se bavt ozarstvom a pustom adrasom otou u tu svrhu početom prve gode abavl arca ozu o pretpostavmo da se prrodm prrastom populaca oza/araca a otou svae gode udvostručava da te gode prodate arća odredte reurzvu relacu za bro oza/araca u to god rešte e Rešte st problem za sluča da te gode prodate arća (U prvom slučau a a a a Zadata 4 Ozačmo sa vadratu matrcu tog reda obla 0 K 0 0 K 0 0 0 K 0 0 K K K K K K 0 0 0 K 0 0 0 K a sa d eu determatu Postavte reurzu za račuae d rešte e ( d d d d d 3 d 74
Zadata 5 Kolo razlčth porua možemo poslat u mroseud ao se porue sastoe od tru vrsta sgala pr čemu za odašlae prve vrste treba eda a za odašlae druge treće vrste po dve mroseude ao zmeđu sgala u poruc ema razmaa? Postavte reurzu rešte e a a 3 ( a a a ( a 3 Zadata 6 Reurzom rešte: a olo se ača pravouta površa dmeza može popločat oršteem pločca dmeza (pločca se može oretat? (Idetča rezultatu prethodog zadata Rešmo sada reurze oe smo postavl u prethodo cel: Zadata 7 Nea e a bro ača a o se ea osoba može popet stubštem od stepeca ao može zaoračt po edu l dve stepece Postavte reurzvu relacu za a uz počete uvete a a rešte e ( a a a ( 3 5 5 5 5 5 a 5 F ( 5 Zadata 8 Nea e a bro prrodh - zameasth broeva sastavleh od zame 34 tao da su susede zamee ( u oem redosledu Postavte reurzvu relacu za a uz počete uvete rešte e ( a 3 a a a 4 a 4 rešee e a ( 7 7( 3 7 4( 4 7 7( 3 7 7( 7 3 Rešt ćemo oš eolo zadataa svodeć eleare reurzve relace a leare Zadata 9 Rešte reurzvu relacu a uz počet uvet a ( a 5 a Zadata 0 Rešte reurzvu relacu ( a 4 ( ( a 3 Zadata Za sva čla a Za 0 4 a za ( a odredte opć čla za ( b Za prozvol { } 0 a uz počet uvet a a vred a a a 3a 3 a ( a 3 3 a 0 c \ 0 odredte lm a 75
7 Bare algebarse operace lgebarse struture Defca Nea e S epraza sup Bara algebarsa operaca l samo bara operaca a supu S e blo ava fuca o : S S S Kažemo da e sup S s obzrom a baru operacu o grupod l raće: ( S o e grupod Uobčaeo e delovae fuce o a x y S o x y zapsat pratče ao xo y umesto ( o u grupodu ( S o za sve x y z S vred da e ( x y o z xo ( yo z bara operaca o asocatva Grupod ( o o ažemo da e S ča e bara operaca o asocatva azvamo polugrupom o posto e S taav da e za sve x S x o e eo x x ažemo da e e eutral elemet za baru operacu o a S Polugrupu ( S o u oo posto eutral elemet azvamo moodom S o za sva elemet x S posto y S tao da e x o y yo x e o u moodu ( ažemo da e y verz elemet elemeta x a mood ( S o azvamo grupom Iverz elemet elemeta x S često se ozačava s x S o za sve x y S vred da e xo y yo x ažemo da e bara operaca o omutatva a za grupod ( S o da e omutatva l belov grupod Slčo u slučau da e ( S o polugrupa (mood grupa govormo o omutatvo l belovo polugrup (moodu grup o u grupodu ( Grupod mood grupe e su prmer tzv algebarsh strutura Općeto algebarsa strutura e sup "opremle" edom l vše algebarsh operaca oe zadovolavau ea svostva Još ee algebarse struture oe ovom prlom ećemo proučavat su prsteov pola algebre vetors prostor U astavu ćemo se prsett eh od broh barh operaca oe smo u dosadašem šolovau susrel Prmer Na supovma broeva defral smo bare operace zbraaa možea a supovma operacu oduzmaa a a supovma \ { 0} \ { 0} \ { 0} delea : Uočte da su pr ( ( \ { 0} : grupod ( belova polugrupa \ 0 belove grupe ( 0 ( belov mood a ( ( { } Prmer Na supu M m ( svh realh matrca tpa ( zbraaa matrca Uverte se da e M ( belova grupa ( m Prmer Na supu ( operacu možea matrca Uverte se da e ( ( trvalom slučau m promatramo baru operacu M svh realh vadrath matrca reda promatramo baru M mood al e belov (osm u 76
Prmer Ozačmo s GL ( sup svh regularh realh vadrath matrca reda a emu promotrmo baru operacu možea matrca Uverte se da e ( GL ( grupa al e belova (osm u trvalom slučau Prmer Nea e X epraza sup Uverte se da e ( X X o fuca mood Je l belov mood? gde o ozačava ompozcu Prmer Nea e X epraza sup ea e G sup svh beca supa X a samog sebe o G o grupa oa e belova čm e X 3 o ozačava ompozcu fuca uverte se da e ( Prmer Nea e X epraza sup X U sup X uvedmo algebarsu operacu defrauć za sve f g X ovu fucu f g : X tao da e za sve x X f g x f x g x X belova grupa ( ( ( ( Uverte se da e ( Prmer Nea e S prozvola sup a ( S P egov parttv sup Na supu P ( S deframo baru operacu prese baru operacu ua Uverte se da su ( P ( S ( P ( S belov mood Prmer Koača epraza sup azovmo alfabet a egove elemete smbolma Reč ad alfabetom e prozvola oača z smbola ("strg" z pr čemu dozvolavamo reč * dule 0 (prazu reč o sa ozačmo sup svh reč ad alfabetom deframo baru operacu o oateace ("leplea strgova" tao da ao su * a a K a b b K bm a aka o bbkbm aakabb Kbm Poažte da e ( o mood Je l belov? Propozca a Mood ( S o može sadržat samo eda eutral elemet b U grup ( S o sva elemet x S ma samo eda eutral elemet U slučau da e sup a ome se zadae bara operaca oača delovae te operace zgodo e pregledo prazat tablcom (tzv Cayleyeva tablca Prmer Nea e S { e a b c} Proverte da e ( S o belova grupa Bara operaca o a S zadaa e tablcom: o e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e x 77
Prmer Nea e Promotrmo relacu evvalece (mod a supu e / (mod { 0 K } Na / (mod deframo baru operacu x y / x y x y belova vocet sup [ ] [ ] [ ] tao da e za sve [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (mod grupa Sastavte Cayleyevu tablcu bare operace 5 Doažte da e ( / (mod Prmer Nea e Na supu / (mod deframo baru operacu tao da e za sve [ x] [ y] / ( mod [ x] [ y] [ x y] Doažte da e ( / ( mod belov mood Je l belova grupa? Sastavte Cayleyevu tablcu bare operace 5 Defca Nea e ( G o grupa o e H G ao da e ( o e ( H o podgrupa grupe ( G o o e ( o od ( G o H taođer grupa Tada ažemo da H belova grupa ažemo da e belova podgrupa Prmer o e ( G o grupa č e eutral elemet e oda e ({ }o podgrupa Jaso ( G o e taođer podgrupa od ( G o e eda ea belova Prmer Očto e ( belova podgrupa od ( ( e belova podgrupa od ( ( e belova podgrupa od ( Prmer Nea su epredh a supu ( b a a < Ozačmo sa ( a b a b Poažte da e ( ( ab a b b a C sup svh fuca f : a b C belova podgrupa belove grupe Propozca Nea e ( G o grupa H G Vred: ( H o e podgrupa grupe ( o ao vred da e x y H xo y H Defca Nea su ( G o ( H grupe Fucu f G H f ( xo y f ( x f ( y azvamo homomorfzmom grupa ( G o ( H G ao samo : tavu da e za sve x y G a za te grupe ažemo da su homomorfe Uolo e homomorfzam f uedo beca ažemo da e zomorfzam o H tada azvamo zomorfma grupa ( o G ( H grupe ( G ( Propozca 3 Zadae su grupe ( G o ( H o e pozato da e fuca f : G H homomorfzam grupa doažte da vred: a o e e G eutral elemet grupe G a e H eutral elemet grupe H oda e f ( e e b Za sva G [ ] x e ( x f ( x f Zadata Doažte Propozce 3 78