MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA
|
|
- Λεωνίδας Αναστασιάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA Profesor: Zorca Stamrovć Asstet: Mara Ivaovć Izbor predmet: 5 goda, smerov: R I (master) Semestar: zmsk, 010 Lteratura: kga Kombatora optmzaca, autor Dragoš Cvetkovć, Mraa Čagalovć, Vera Kovačevć-Vučć, Đorđe Dugoša, Sloboda Smć, Jovo Vuleta, zavač DOPIS, 1996 Uvod 1 ČAS Matematčko programrae kao oblast poče da se razva posle drugog svetskog rata mada su ek porsk radov obavle mogo rae Oblast matematčkog programraa se može podelt a learo, elearo, dskreto stohastčko programrae teoru gara Zaedčka osoba ovh oblast e da se traž tačka u ekom vektorskom prostoru koa zadovolava eka ogračea, a u koo data fukca (fukca cla) dostže ekstremu vredost Matematčko programrae sklučvo razmatra probleme u koačo dmezoalm prostorma dok su ekstremal problem u beskoačo dmezoalm prostorma predmet drugh dscpla (varaco raču, optmalo upravlae td) Learo programrae e arazvea ačešće prmevaa oblast matematčkog programraa (fukca cla ogračea su leare fukce) Nek od problema learog programraa su: Trasport problem, Problem dete (learo programrae), Problem optmalog rasporeda rade sage (dskreto programrae), Izbor borbeh sredstava, Problem pakovaa prozvoda, Dskret problem optmalog upravlaa, Problem plaraa prozvode (elearo programrae), Problem zbora proekata (dskreto programrae), Problem oročavaa ovca u bac (stohastčko programrae) Problem z voe stratege (problem Teore gara) Kombatora optmzaca e matematčka dscpla koa proučava probleme alažea ekstremh vredost fucke defsae a koačom skupu Kombatorom optmzacom se rešava problem sledećeg oblka: Dat e koača l prebrovo beskoača, dskreta skup S fukca f : S R Nać mmum fukce f a skupu S, to est rešt zadatak: m f (1) S ( ) Skup S se azva dopustv skup, a fukca f fukca cla Za tačku da e dopustvo rešee problema (1) 1 S se kaže
2 Potrebo e ać sva dopustva rešea * (l bar eko od h) takva da e f * = m f Takva rešea se azvau optmala rešea ( ) ( S ) Kako e f ( ) f ( ) ma = m ( problem maksmzace se svod a problem ) S S mmzace, pa e dovolo ać samo edo od ova dva problema U avećem brou slučaeva skup S e koača, pa se problem kombatore optmzace u lteratur često defše kao problem određvaa ekstreme vredost fukce a koačom dopustvom skupu Napozat prmer kombatore optmzace e Problem trgovačkog putka ko glas: Dat e skup od gradova koe trgovačk putk treba da poset tačo po edaput takvm redosledom da troškov puta budu mmal Skup S če sve permutace skupa {1,,} ma h! Za datu permutacu p =,, 1 fukca cla f(p) e zbr troškova putovaa zmeđu gradova 1, 3,, 1 Cl kombatore optmzace e formrae efkash algortama za rešavae složeh problema Ukolko za dat problem e posto efksaa egzakta metoda, prstupa se prblžom rešavau pomoću odgovaraućh heurstčkh metoda Navaže stace problema (1) su problem celobroog programraa optmzaco problem a grafovma U slučau celobroog programraa S e podskup skupa Z, gde e Z skup -dmezoalh vektora sa celobrom koordatama Posebo e začaa problem learog celobroog programraa: m c T, S = { Z A b } () S u kome e A celobroa matrca dmeza m, a c b celobro vektor odgovaraućh dmeza Ukolko se u () relaksra uslov celobroost doba se problem learog programraa: m c T, X = { R A b } (3) X Efkaso rešavae problema learog programraa e od velkog začaa za rešavae problema (), er se rešavae problema celobroog learog programraa često zasva a uzastopm relaksacama uslova celobroost Probleme kombatore optmzace a grafovma se mogu prkazat kao problem celobroog programraa
3 1 Grafov, podgrafov, matrce cdece susedstva Graf e uređe par (X,U) gde e X koača epraza skup (če elemete azvamo čvorovma) a U e skup dvoelemeth podskupova skupa X (elemet skupa U se azvau grae) Dgraf e uređe par (X,U) gde e X koača epraza skup a U e eda od uređeh parova elemeata skupa X (ov uređe parov se azvau oretsae grae) Ako e G=(X,U) korste se ozake X=X(G), U=U(G) Prmer: X = { A, B, C, D, E, F} U = a, b, c, d, e, f, g, h,,, k { } G raf (X,U) Dgraf (X,U) Graf dgraf se predstavlau geometrskom fgurom sastavleom od tačaka la koe spaau poede parove tačaka Tačke predstavlau čvorove grafova dok le predstavlau grae grafa l oretsae grae grafa U prvom slučau le su eoretsae dok se u drugom slučau le oretšu (obeležee su strelcom) Graf oblka {a, a} odoso (a, a) se azva petla (graa koa spaa čvor sa samm sobom) Graf sa s amo edm vrhom se azva trvalm grafom ače e etrvala Graf e edostava l prost ako ema petle koe dve grae e spaau st par čvorova Ako su u grafovma (dgrafovma) dopuštee všestruke grae (dva čvora spaa vše razlčth graa), uklučuuć všestruke petle oda govormo o multgrafovma l multdgrafovma Petla Multgraf Multdgraf Hpergraf (l skupov sstem) e uređe par (X, W) gde e X epraza skup a W famla podskupova skupa X 3
4 Za dva čvora grafa kažemo da su sused ako su spoe graom Dva suseda čvora azvamo kram tačkama grae koa h spaa Ako e eda čvor kraa tačka zvese grae kažemo da se ta gr aa stče u tom čvoru Kažemo da su čvor graa cdet l sused ako graa poče odoso završava se u tom čvoru Bro susedh čvorova za čvor se azva stepe čvora Stepe čvora se može defsat broem graa koe se stču u tom čvoru Dve grae mogu bt susede ako mau zaedčk čvor Ako u ekom dgrafu graa u spaa čvorove kaže se da graa zlaz z čvora ulaz u čvor a čvor završ čvor grae u Za svak čvor dgrafa defše se zlaz ulaz stepe oretsaa e od ka Takođe se kaže da e Ulaz stepe čvora e edak brou graa koe ulaze u ta čvor Izlaz stepe čvora e edak brou graa koe z ega zlaze Petla se smatra ulazom zlazom graom za odgovarauć čvor, počet Neka e dat graf (l dgraf) G=(X,U) Graf oblka H=(Y,T), gde su Y X T = U Y Y ( T e podskup skupa U sadrž sve oe parove z U ko su obrazova samo od elemeata skupa Y), se azva podgrafom grafa (podgrafom dgrafa) G, obrazovam (dukovam) skupom čvorova Y Delmčm l parcalm grafom grafa (dgrafa) G=(X,U) azva se svak graf oblka H=(X,T) pr čemu e T U Delmčm grafom podgrafa azva se delmč podgraf datog grafa (dgrafa) Podgraf grafa (X,U) Delmč podgraf grafa (X,U) Ako e Y X, H se azva pravm podgrafom grafa Delmčm grafom l parcalm grafom grafa (dgrafa) G=(X,U) azva se svak graf oblka H=(X,T) pr čemu e T U Delmčm grafom podgrafa azvamo delmč graf datog grafa (dgrafa) 4
5 Put duže k u dgrafu e svak z graa u1, u,, uk ko ma sledeće osobe: o Graa u 1 polaz z prozvolog čvora dgrafa o Graa u (=,,k) poče u oom čvoru u ko m se završava graa u 1 Alteratvo, put može da se defše kao z čvorova kroz koe prolaz Put može vše puta da prolaz stom graom l kroz st čvor Grae ekog grafa mogu da se seku u tačk koa e čvor tog grafa Elemetar put e put ko kroz svak čvor grafa prolaz samo edom Put ko se završava u stom čvoru u kom poče azva se kruž l zatvore put Kao graa, u putu može da se poav petla U grafu se svaka graa može shvatt kao dvostrao oresaa tako da put e samo defsa zom graa ego se za svaku grau koa ulaz u posmatra put mora azačt a oretaca Za grafove se put duže k defše kao azmeč z čvorova graa u oblka 1, u 1,, u,, k, uk, k + 1 pr čemu e za =1,,,k čvor počet a čvor + 1 kra za grau u Duža puta u grafu (l dgrafu) e edaka brou graa koe se alaze u putu Rastoae čvorova y se u grafu defše kao duža akraćeg puta ko povezue ta dva čvora Nz graa koe se adovezuu eda a drugu bez obzra hovu oretacu se azva laac Cklus e laac ko se završava u stom čvoru u kome poče Prmer: Laac: Cklus: afbc, acde, AafbcdA, AdheA, Ako cklus (l laac) prolaz kroz svak čvor avše edaput, tada se ta cklus (laac) azva elemetarm Graf e poveza ako se prozvola dva egova čvora mogu povezat putem Ako postoe čvorov ko se e mogu povezat putem, graf e epoveza Nepoveza graf se sasto z vše delova koe azvamo kompoete povezaost grafa l kraće kompoete Kompoeta grafa e u stvar podgraf obrazova od oh čvorova ko se mogu spot sa čvorom putem sa čvorom uklučuuć čvor Dgraf e ako poveza ako e svak par čvorova, u 5 spoe putem ko vod z Dgraf e edostrao poveza ako e svak euređe par čvorova, bar u edom smeru poveza Dgraf e slabo poveza ako e poveza (eoretsa graf) dobe samo od datog dgrafa zameom oresah graa odgovaraućm eoresam graama
6 Neka su d 1, d,, d stepe čvorova 1,,, u grafu bez petl ko ma m graa Sabraem svh stepea čvorova dobamo dvostruk bro graa obzrom da svaka graa m a dva čvora Važ relaca: d1 + d + + d = m Bro čvorova eparog stepea u koačom grafu (l multgrafu) bez petl e para Graf se azva regulara stepea r ako e d1 = d = = d = r Regulara graf stepea r ma m=r/ graa Koača, poveza, regulara graf stepea zove se kotura Kotura koa sadrž sve čvorove grafa azva se Hamltoova kotura Ako kotura ma čvorova, o se mogu ozačt sa 1,,, tako da e 1 suseda sa, sa 3,, 1 sa sa 1 Prmer koture slka že: Koača regulara graf stepea ma za kompoete povezaost koture Kod dgrafa mamo oretsau koturu Oretsaa kotura se doba kada se svaka ea graa oretše tako da zlaz l ulaz stepe svakog čvora bude edak 1 Graf e acklča kada e sadrž edu koturu Dgraf e acklča kada se zostavlaem oretace graa doba acklča graf Regular grafov sa čvorova stepea -1 se azv au poptu grafov Potpu graf sa čvorova ozačava se sa K 1 Potpu grafov mau m = ( 1) = spoe graom 6 graa, to est svak par čvorova e K-kompleta graf K e graf č se skup čvorova može podelt a k međusobo 1, k dsukth pods kupova ko sadrže redom 1,, k čvorova tako da su svaka dva čvora z razlčth podskupova povezaa graom a da eda graa e povezue čvorove z stog podskupa Za k= dobamo bkomplete grafove K m, Dvodel (bpart) graf se sasto z dve grupe čvorova pr čemu grae povezuu čvorove z razlčth grupa Bpart graf se često predstavla uređeom trokom (X,Y,U) gde su X Y grupe čvorova, a U skup graa
7 Graf (dgraf) može da bude predstavle edom kvadratom matrcom č e red edak brou čvorova grafa Elemet a a preseku -te vrste -te koloe ove matrce e edak brou graa koe zlaze z čvora ulaze u se zove matrca susedstva grafa obeležava se sa A čvor Ova matrca Ako dopustmo da dva čvora mogu da bt spoea avše edom graom ste oretace, elemet matrce A mogu bt samo 0 l 1 Elemet matrce susedstva multgrafa su prrod broev l ula Matrca susedstva A (eoretsaog) grafa e smetrča matrca, t A T = A Neka e G=(X,U) graf gde e X={ 1,,, } U={ u1, u,, u } Matrca cdece R čvorova graa grafa G e matrca R = [ r ] gde e m r 1 ako su č vor graa u cdet, = 0 u suproto m Matrca cdece u potpuost određue graf Prmer: ( ) R G a b c d e f g A = B C D ( ) A G A B C D A = B C D Graf G Matrce cdece Matrca susedstva Neka e uz ste ozake e G=(X,U) dgraf pr čemu e U skup oretsah graa Matrca cdece R čvorova graa dgrafa G e matrca S = [ s ] m gde e s 1 ako graa u zlaz z čvora, = -1 ako graa u ulaz u, 0 ako u su cdet Dva grafa su zomorfa ako posto uzaamo edozačo preslkavae skupa hovh čvorova (z edog a drug) koe odžava osobu susedost čvorova Graf ko e sadrž edu koturu kao delmč podgraf azva se šuma Ako e graf uz to poveza o se azva stablo l drvo Stablo u kome e eda čvor posebo ozače azva se koresko stablo Oseče kore e kore stabla Stablo 7
8 Svak čvor koreskog stabla poveza e edstvem elemetarm putem sa koreom k stabla Bro graa u ovom putu defše vo čvora Kore stabla k ma vo 0 a aveć vo mau čvorov ko su od korea audale Koresko stablo se prkazue kao dgraf, t stablo sa oretsam graama Pr tome se grae oretšu od čvorova maeg voa ka čvorovma većeg voa Ulaz stepe korea e 0 dok e ulaz stepe ostalh čvorova u koreskom stablu 1 Čvorov do koh vode grae polaze z čvora azvau se sov čvora pr čemu e čvor hov otac Čvor bez dece azva se lst Pr tome e kore čvor bez oca Lstov se takođe azvau termalm čvorovma dok se ostal čvorov azvau etermalm čvorovma Ako se u koreskom stablu svak otac ma tačo dva sa oda se to stablo azva baro stablo Ako su u barom stablu sv završ čvorov stog voa, oda se to stablo azva potpuo Potpuo baro stablo ma pored voa 0 oš k ovoa pa e bro čvorova u stablu edak k k+ 1 = = 1 (a svakom vou ma čvorova) Termalh čvorova ma + 1 k = dok etermalh ma k 1 1= Plaar grafov Plaar grafov su o grafov ko se mogu acrtat tako da m se grae e seku, odoso to su grafov ko se mogu predstavt tako da zaedčka tačka dve grae može bt samo čvor grafa ko predstavla zaedčku krau tačku th graa Ako e plaara graf predstavle a opsa ač u rav o del raav a vše koačh zatvoreh oblast edu beskoaču oblast (mreža puteva predstavla plaara graf) Komplemet grafa G, e graf sa stm skupom čvorova kao graf G pr čemu su dva razlčta čvora u G suseda ako samo ako su sused u G Graf bez petl se bo a ta ač tako što se svakom čvoru prdruž eka boa, t Svak čvor se bo edom boom Graf e pravlo oboe ako su svaka dva suseda čvora oboea razlčtm boama Ako graf može da se pravlo bo da se pr tom upotreb k l mae od k boa, graf e oda k-obov Hromatsk bro γ ( G ) grafa G e edak k ako e graf k-obov a e (k-1)-obov Ako e γ ( G ) =k kaže se da e graf G k-hromatsk Za k= graf se azva bhromatsk o e tada bpartt Ako graf G sadrž samo zolovae čvorove, bez graa, tada e γ ( G ) =1 (sve čvorove možemo obot stom boom) Nasuprot tome potpu graf sa čvorova ma γ ( G ) = 8
9 Maksmal potpu podgrafov azvau se klke grafa Za graf G se defše velča K(G) koa e edaka avećem brou čvorova ede klke Važ da e γ ( G) K( G) Težsk graf e graf kod koga svaka graa ma svou vredost (dodele o e ek bro) Drugm rečma, grafu (l dgrafu) G=(X,U) e prdružeo preslkavae ω :U R koe svako gra u U dodelue bro ω ( u) kao težu Fukcu ω azvamo težska fukca U već slučaeva teža predstavla eu dužu, propusu moć (l kapactet), ceu preosa td U opštem slučau težska fukca ω prdružue gra umesto realog broa prozvola matematčk obekat, pr Vektor Težsk graf (dgraf) G=(X,U) sa težskom fukcom ω, t uređe par (G, ω ) čes to se azva mreža Neka su u opštem slučau čvorov umersa sa 1,,, posmatramo potpu težsk graf G u koem e gra u zmeđu čvorova prdružea teža (duža) ω ( u) = d Od velče d se može formrat kvadrata matrca D = [ d ] Matrca D se azva težska matrca l matrca rastoaa Teža grafa se defše kao zbr teža graa od koh e ta graf obrazova 9
10 P retražvae grafova Pretražvae grafova može da se poče z ekog prozvolog čvora oblazak egovh susedh čvorova, pa zatm suseda hovh suseda tako redom dok e prosledmo sve čvorove edog grafa Uvek će se zat ko deo čvorova e pretraže za svak ared korak se određue ko će sledeć čvor bt prosleđe Pošto e ta zbor uglavom všezača mogu se uvest eka ogračea koma se regulše prortet zbora potecalh kaddata Postoe dve vrste pretražvaa grafova: Pretražvae u dubu Pretražvae u šru Za obe pretrage e karakterstčo da se oblaze sv čvorov grafa kao grae to svaka po edaput u oba smera Pretraga u dubu: Neka e X skup svh čvorova, a Y skup već prosleđeh čvorova Ozačmo sa y čvor ko e posled prosleđe Izbor aredog čvora za prosleđvae se vrš a sledeć ač: prvo se odred da l među eprosleđem čvorovma, tčvorovma skupa X/Y posto čvor suseda sa y, ako posto takav čvor, tada se među potecalm kaddatma bra blo ko od h (prosleđvae uapred) U suprotom, umesto čvora y se posmatra egov prethodk (čvor ko e pre ega prosleđe u skup Y z ega se drekto dolaz u čvor y) za ega se poavla st postupak kao I za čvor y (prosleđvae uazad) Ovm postupkom (ukolko e graf poveza) će sv čvorov grafa bt prosleđe U suprotom, kod epovezah grafova se st postupak može prmet a om podgrafovma ko su poveza Prlkom pretrage u dubu, kod povezah grafova, ako evdetramo sve grae grafa, tada te grae obrazuu razapuuće stablo Ovo stablo se azva stablom pretrage u dubu Prmer: Graf Stablo pretrage u dubu (po koracma A-B-C-D-E-D-F-D-C-G-C-B-A) 10
11 P retraga u šru: Poovo posmatramo skup svh čvorova X skup eprosleđeh čvorova Y Neka e skup Q skup svh eprosleđeh čvorova koma e prortet prosleđvaa rae određe Prosleđvae čvorova e sada komplkovae obzrom da se za zbor sledećeg kaddata mora kosultovat skup Q Skup Q tretramo kao red za čekae, z ovog skupa se prvo prosleđue čvor ko e aduže u redu Na početku pretrage e skup Y praza emu se prozvolo dodelue eda čvor (blo ko čvor z grafa) Sada se z skupa Q bra čvor ko e aduže u redu o se prosleđue skupu Y, pr čvor Skupu Q se a krau reda uose čvorov ko su sused sa a ko se već e alaze u skupu Q su rae prosleđe u Y Prmer: Graf Stablo pretrage u šru (po koracma A-B-C-D-E-F-G) 11
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραAritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Διαβάστε περισσότεραAKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE
AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE E Aksomatka teorje verovatoće Polaz se od osovh stavova, tzv. aksoma, a osovu kojh se sve ostale osobe mogu dokazat. Za posmatra prostor el. shoda aksomatzacja daje odgovore
Διαβάστε περισσότεραRAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA
RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραParcijalne molarne veličine
arcale molare velče 2.5.5. Hemsk potecal 2.5.6. 2.5.6.2. arcale molare velče. Ukolko e kolča supstace u sstemu promelva zbog razmee matere zmeđu sstema okole zbog reverzble hemske reakce l reverzble razmee
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραJAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA
Uverztet u Beogradu Elektrotehčk akultet Master rad JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA Metor: Dr. Brako Maleševć, doc. Studet: Boa Baac Br. deksa: 00/5 Beograd, septembar 0 Sadrža
Διαβάστε περισσότεραPolarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
Διαβάστε περισσότεραtransformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA PREDAVANJE
UNIVERZITET U NIŠU FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA - - 4. PREDAVANJE - Dr Darko Mhajlov, doc. 1. ČAS Sredšte (cetar) sstema paralelh sla; Težšte krutog tela;
Διαβάστε περισσότεραMetoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija 5. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković
Ekoometja 5 Ekoometja, Osove studje Pedavač: Aleksada Nojkovć Stuktua pedavaja Klasč dvostuk (všestuk) lea egeso model - metod ONK. Petpostavke všestukog KLM. Koelacja u všestukom KLM. Oča kogova. Dvostuk
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα10.1. Bit Error Rate Test
.. Bt Error Rat Tst.. Bt Error Rat Tst Zadata. Izračuat otrba broj rth formacoh bta u BER tstu za,, ogršo dttovaa bta a rjmu, tao da s u sstmu sa brzoom sgalzacj od Mbs mož tvrdt da j vrovatoća grš rosa
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMoguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραpismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke
Prakkm Maemaka III Prredo DJočć smen br : Raz Forero red nkc eroda dan ormom za < za < : Izračna ds gde e k araboe od shodša o očke M : Izračna koordnae ežsa homogenog ka ckode a sn a ; : Izračna I e [
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα, i= 0,1,2,... n, koje su poređane u rastućem redosledu zadate =, odnosno uređena tabela: i n x. R n (x)
Iterpolaca Zadata terpolace Nea su u tačama vredost ee uce,,,, Treba ać polom P,,,,,..., oe su poređae u rastućem redosledu zadate, odoso uređea tabela:,...... P a a a... a o aprosmra ucu P a tervalu [,
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραi b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n
4 Cel broev Sup prrodh broeva { 3K } Sup prrodh broeva ule 0 { 0} { 03K } Sup celh broeva { K 3 03 K} 4 Delvost u supu celh broeva Defca Nea su tao da e b a Svostva: Za \ { 0} Za b \ { 0} 3 Za b \ { 0}
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραGRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12
GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijski oblik kompleksnog broja
Trgnmetrjsk blk kmpleksng brja Da se pdsetm: Kmpleksn brj je blka je realn de, je magnarn de kmpleksng brja, - je magnarna jednca, ( Dva kmpleksna brja su jednaka ak je Za brj _ je knjugvan kmpleksan brj.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα1.1. Napisati relaciju kojom je moguće odrediti ukupan broj elektrona na nekoj orbiti: n
I ES EES - VAIJANA Zadatak bro... Nasat relacu koom e moguće odredt ukua bro elektroa a eko orbt: l 0 ( Z 0 l + ) [ + 3 + 5 + ( ) ].. Nasat relacu koa ovezue kocetrace elektroa šula kod čstog (trsc) oluvodča:.3.
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραF (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραNumeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina
77 8 Numerčo rešavae sstema elearh edača Zadata Čest problem u žeersm proračuma e alažee rešea eog sstema elearh edača:......... 8. odoso alažee vredost epozath... tao da bude zadovoleo uslova 8. l u vetorso
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραGrađevinski fakultet, Beograd
Građesk fakule Beogra Eksploaaa zaša pozeh oa Obašea ežbe VEŽBA Pree ežbe e raspor aere u porozo sre. raspora eača presala zako oržaa ase pree a supsau koa se rasporue. Oržae ase rasporoae supsae ože a
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET
TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 26. jun Katedra za Računarsku tehniku i informatiku
Elektrotehički fakultet uiverziteta u Beogradu 6. ju 008. Katedra za Račuarku tehiku i iformatiku Performae račuarkih itema Rešeja zadataka..videti predavaja.. Kretaje Verovatoća Opi 4 4 Kretaje u itom
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα1.1. Pregled najvažnijih izraza i pojmova
Teorja formacje, kapactet dskretog komukacjskog kaala, Markovljev lac Pregled ajvažjh zraza pojmova Dskreto bezmemorjsko zvoršte Izvoršte X X = {x,,x,,x } [p(x ) = [p(x) = [p(x ) p(x ) p(x ) X dskreta
Διαβάστε περισσότεραDa se podsetimo Algoritam optimizacije. Odrediti vrednosti parametara kola koje će garantovati da odziv F(x, p) ima željenu vrednost F * (x).
Aotam otmzac Da s odstmo Aotam otmzac Aotam otmzac Aotam otmzac : Oddt vdost aamtaa oa [,... ] o ć aatovat da odzv (x, ma žu vdost * (x. Mtod: až mmuma fuc š E(x,; (oma za vattatvu ocu odstuaa dobo od
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραOsnove. Uloga algoritama u računarstvu. Algoritmi. Algoritmi kao tehnika
dr Boba Stojaovć Osove Uloga algortama u račuarstvu Algortm Algortam je strogo defsaa kompjuterska procedura koja uzma vredost l skup vredost, kao ulaz prozvod eku vredost l skup vredost, kao zlaz. Drugm
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja
Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković
Ekonometrja 4 Ekonometrja, Osnovne studje Predavač: Aleksandra Nojkovć Struktura predavanja Nelnearne zavsnost Prmene u ekonomskoj analz Prmer nelnearne zavsnost Isptujemo zavsnost zmeđu potrošnje dohotka.
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ
Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα