Kalkulus 1 Sistem Bilangan Real Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa Statistika angkatan 2016 2 Himpunan mahasiswa asal Sumatra Unsur-unsur dalam himpunan dinamakan anggota (elemen) Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, dinotasikan dengan atau {}
Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a S dan dibaca a elemen S. Jika a bukan merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a / S dan dibaca a bukan elemen S.
Sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara, yaitu 1 dengan mendaftar seluruh anggotanya, contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2 dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut, contoh: A = {x x bilangan bulat positif kurang dari 10}.
1. Sifat 1: komutatif (i) a + b = b + a (ii) a b = b a 2. Sifat 2: asosiatif (i) a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c (ii) a (b c) = (a b) c = a b c 3. Sifat 3: distributif a (b + c) = (a b) + (a c)
4. Sifat 4 (i) a b = a 1 b (ii) a b + c d = (a d)+(b c) b d, b 0, d 0 (iii) a c b d = a c b d, b 0, d 0 5. Sifat 5 (i) a ( b) = ( a) b = (a b) (ii) ( a) ( b) = a b (iii) ( a) = a
6. Sifat 6 (i) 0 = 0, untuk setiap bilangan a 0 (ii) a 0 tak terdefinisikan (iii) a a = 1 untuk setiap bilangan a 0 7. Sifat 7: hukum kanselasi (i) Jika a c = b c dan c 0 maka a = b (ii) Jika b, c 0 maka a c b c = a b 8. Sifat 8: sifat pembagi nol Jika a b = 0 maka a = 0 atau b = 0
Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi himpunan bagian tak kosong yang saling asing: 1 Himpunan semua bilangan real positif 2 Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota 3 Himpunan semua bilangan real negatif
Untuk sebarang bilangan real a, b dan c: 1 Jika a b maka a + c b + c untuk setiap bilangan real c. 2 Jika a b dan b c maka a c. 3 i. Jika a b dan c > 0 maka a c b c. ii. Jika a b dan c < 0 maka a c b c. 4 i. Jika a > 0 maka 1 a > 0. ii. Jika 0 < a b maka 1 b 1 a. 5 Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu: a < b, a = 0, atau a > b 6 Jika a, b 0 maka: a b a 2 b 2 a b.
Sistem Bilangan Real Setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Garis lurus tersebut adalah Real.
Sistem Bilangan Real (inequality): pernyataan matematis yang memuat satu peubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >,, ). Peubah (variable): lambang (simbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan.
1 2x 7 x + 1 2 2x 1 x+3 > 1 3 x 2 + y 2 9 4 x 2 x 12 < 0
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x 5 < 5x + 7. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan x 2 5x + 6 > 0. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan x 3 2x 2 x + 1 1. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x+8 x 2 x + 1.
Sistem Bilangan Real
Contoh 1 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x 2 x 2 > 0.
Contoh 1 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x 2 x 2 > 0. Solusi: Dalam bentuk selang: 3x 2 x 2 > 0 (3x + 2)(x 1) > 0
Contoh 2 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan (x + 1)(x 1) 2 (x 3) 0
Contoh 2 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan (x + 1)(x 1) 2 (x 3) 0 Solusi:
(Absolute Value) Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi Nilai mutlak x R, ditulis dengan notasi x, didefinisikan sebagai: x = x 2 Definisi di atas dapat juga dinyatakan sebagai: { x, x 0 x = x, x < 0
1. Sifat 1 Jika x, y R maka: (i) x 0 x = 0 x = 0 (ii) x y = x y x y = x y (iii) x y x + y x + y (Ketaksamaan segitiga) x y x y x + y 2. Sifat 2 Jika a 0, maka x = a x = a atau x = a.
3. Sifat 3 Jika a 0 maka: (i) x a a x a (ii) x a x a atau x a
Contoh 3 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan x 4 < 2 dan tunjukkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan real.
Contoh 3 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan x 4 < 2 dan tunjukkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan real. Solusi: x 4 < 2 2 < x 4 < 2 2 < x < 6
Contoh 4 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x 5 1 dan tunjukkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan real.
Contoh 4 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x 5 1 dan tunjukkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan real. Solusi: 3x 5 1 atau 3x 5 1 3x 4 atau 3x 6 x 4 3 atau x 2 Himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari dua interval (, 4 3] [2, ).
Contoh 5 Sistem Bilangan Real Sebuah gelas kimia berukuran 1 2 liter (500 cm3 ) mempunyai jari-jari dalam 4 cm. Seberapa akurat kita harus mengukur ketinggian air h dalam gelas kimia untuk memastikan bahwa kita mempunyai 1 2 liter air dengan kesalahan (error) kurang dari 1%, yaitu kesalahannya kurang dari 5 cm 3.
Volume air V di dalam gelas diberikan oleh formula V = πr 2 h = 16πh. Kita ingin V 500 < 5, atau ekivalen dengan 16πh 500 < 5, maka 16πh 500 < 5 ( 16π h 500 ) < 5 16π 16π h 500 16π < 5 h 500 16π < 5 16π h 9.947 < 0.09947 0.1 Jadi, kita harus mengukur keakuratan ketinggian air sampai dengan kurang lebih 0.1 cm atau 1 mm.
Contoh 6 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x + 1 < 2 x 6.
Contoh 6 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x + 1 < 2 x 6. Solusi: 3x + 1 < 2 x 6 3x + 1 < 2x 12 (3x + 1) 2 < (2x 12) 2 9x 2 + 6x + 1 < 4x 2 48x + 144 5x 2 + 54x 143 < 0 (x + 13)(5x 11) < 0 Himpunan penyelesaiannya adalah (, 13), ( 13, 11 ) ( 5, dan 11 5, ).
Jika binomial (a + b) dengan a dan b variabel real yang tidak nol dipangkatkan n dengan n bilangan asli, maka akan diperoleh bentuk (a + b) n yang dapat dijabarkan dengan rumus Binomial Newton. (a + b) n = = n ( n k k=0 ( n 0 ) a n + ) a n k b k ( ) n a n 1 b 1 + 1 ( ) n a n 2 b 2 +... + 2 ( ) n b n n
Contoh 7 1 Tentukan koefisien dari x 3 y 2 pada (2x + y) 5. 2 Tentukan koefisien dari x 2 y pada ( 2 x + 3y) 3
Penyelesaian: 1 Koefisien dari x 3 y 2 dari (2x + y) 5 adalah ( ) 5 (2x) 3 y 2 = 5! 2 2!3! 8x3 y 2 = 80x 3 y 2 2 Koefisien dari x 2 y pada ( 2 x + 3y) 3 adalah ( ) 3 (2x 1 ) 2 (3y) = 3! 1 1!2! 4x 2 3y = 36x 2 y
Induksi matematika merupakan suatu teknik pembuktian matematika yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli.
Prinsip Misalkan P (n) adalah pernyataan mengenai bilangan bulat positif. Kita akan membuktikan bahwa P (n) benar untuk semua n bilangan bulat positif. Langkah-langkah untuk membuktikan pernyataan tersebut adalah dengan menunjukkan bahwa: 1 P (1) benar 2 Asumsikan bahwa P (n) benar untuk suatu bilangan asli n dan tunjukkan bahwa P (n + 1) juga benar.
Contoh 8 Buktikan bahwa: 1 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
Penyelesaian: P (1) = 1 2 = 1(1+1)(2 1+1) 6 benar Asumsikan P (n) benar, akan ditunjukkan bahwa P (n + 1) = 1 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 + (n + 1) 2 = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 benar
P (n + 1) = 1 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 + (n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) = + (n + 1) 2 6 n(n + 1)(2n + 2) + 6(n + 1)2 = 6 (n + 1)[n(2n + 1) + 6(n + 1)] = 6 = (n + 1)(2n2 + 7n + 6) 6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) = 6 P (n) benar untuk semua n bilangan bulat positif.
1 3x 7 2 2x+1 2 2x+1 x 1 2 3 x 2 < x 3 4 x 4 > x 2 5 2x + 1 5 2x 6 Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n 2