. JELMAAN FOURIER DAN PENGGUNAANNYA. Pengenalan Unuk isyara berkala, siri Fourier digunakan unuk mendapakan spekrum frekuensi dalam benuk spekrum garisan. Unuk isyara ak berkala, garisan-garisan spekrum akan ergabung unuk membenuk suau lengkuk yang bererusan Jelmaan Fourier dapa memecahkan suau isyara ak berkala v() kepada komponen-komponen frekuensi kompleks (ampliud dan fasa) unuk menghasilkan spekrum frekuensi isyara ersebu.
f() F n T T 3T 4T 5T f f f() F n T f f f() Single pulse (T menuju infinii) F(ω) f Rajah.
paksi-y bukan lagi volan (ampliud) eapi adalah keumpaan volan (Vol/Hz). Dengan lain perkaaan, jika suau volan yang diwakilkan sebagai fungsi masa v(), jelmaan Fourier akan menghasilkan pengagihan spekral (specral disribuion) sebagai fungsi frekuensi V (ω ) aau V(f). ) (ω V dikenali sebagai Jelmaan Fourier bagi v() dan diulis sebagai F[v()]. v() dikenali sebagai Jelmaan Fourier songsang unuk V (ω ) dan diulis juga sebagai F - [ V (ω )]. Ringkasnya; Jelmaan Fourier v() V (ω ) Jelmaan Fourier songsang 3
Persamaan jelmaan Fourier aau jelmaan hadapan yang menghasilkan V (ω) dari v() adalah: V( -jω ω ) v() e d (.) - Persamaan jelmaan Fourier songsang aau jelmaan songsang yang menghasilkan v() dari V (ω ) adalah: aau v() v() π - - V( ω) e V(f) e - jω (.) jπf dω df V(ω) adalah sau nombor kompleks (.3) 4
Conoh. Dapakan jelmaan Fourier unuk isyara beriku dan lakarkan spekrum frekuensinya. v() Arec(/a) A 5 -a/ a/ Rajah. Penyelesaian Dari persamaan jelmaan Fourier; V( ω ) - - jω - jω v() e a / - jω d a/ -a/ A e - jω e A [ - jωa/ jωa/ ] A e - e a / - jω d
6 di mana A ω e jωa/ - jωa/ - e j ωa sin ( ωa/) sinc ωa/ Spekrum frekuensinya seperi Rajah.3 A ωa ωa sin Aa sinc ω V(f) Aa keumpaan spekral Aa sinc (ωa/) -3/a -/a -/a /a /a 3/a f Rajah.3
7. Sifa Simeri Gelombang Tak Berkala Simeri genap : v() v(-) Simeri ganjil : v() - v(-) Rajah. menunjukkan denyu simeri genap dan simeri ganjil. v() v() τ τ τ τ (a) Simeri genap (b) Simeri ganjil Rajah.4
Apakah kesan sifa simeri ini jika dimasukkan ke dalam jelmaan Fourier? V( ω ) v() cosω d (.) V( ω ) - j v() sin ω d (.3) Conoh. Rajah.5 adalah denyu v() bersimeri genap. Dapakan jelmaan Fourier bagi denyu ersebu. v() A 8 -a/ a/ Rajah.5
Penyelesaian V( ω ) v() cosω d τ/ sin ω A cosω d A ω A ωa ωa sin Aa sinc ω Conoh.3 Rajah.6 adalah denyu v() bersimeri ganjil. Dapakan jelmaan Fourier bagi denyu ersebu. v() A a/ 9 -a/ a/ -A Rajah.6
Penyelesaian V( ω ) - j v() sin ω d τ/ cosω - j A sin ω d - j A - ω ja ωa cos - ω ja ωa - - cos ω Teapi V(ω) bukan dalam benuk fungsi sinc dan sukar hendak melakarkan spekrum frekuensi. ja ωa Maka; V(ω) - - - sin ω 4 a/ - j4a ω sin ω 4 a - jaωa ωa sinc 4 4
Conoh.4 Dapakan jelmaan Fourier bagi isyara-isyara beriku, dan lakarkan spekrum ampliud dan spekrum fasa. f() f() - - - (a) (b) Rajah.7
Penyelesaian a) Unuk simeri genap; F( ω) f() cosω d sin πf cos π f d πf sin πf sinc πf πf Spekrum keseluruhan isyara ersebu seperi dalam Rajah.8.
3 F(ω) sinc πf - -.5 - -.5.5.5 f Rajah.8 Spekrum ampliud dan fasa diunjukkan dalam Rajah.9.
4 Ampliud sinc πf - -.5 - -.5.5.5 π Fasa, φ f - -.5 - -.5.5.5 f π Rajah.9
5 b) Unuk simeri ganjil; F( ω ) - j f() sin ω d - j - sin πf d j sin πf d cos πf j - - [ cos πf - ] πf j πf j j [ ] [ ] - cos πf sin πf πf πf jπf sinc πf - Bhgn khayal F( ω) Noa φ an Bhgn sahih F( ω) π/ apabila f posiif -π/ apabila f negaif
6 Spekrum ampliud dan fasanya diunjukkan dalam Rajah.. Ampliud jπf sinc πf - - f
7 Fasa φ π/ - - f -π/ Rajah.
Jelmaan Fourier bagi fungsi dela 8 f() Aδ() Aδ( - τ o ) A F(ω) A Ae -jωτo πaδ(ω) Ae jωo πaδ(ω - ω o )
9.3 Tiorem/Sifa Jelmaan Fourier. Kelinaran aau Tindihan (Lineariy or Superposiion) Jika V (ω) F [v ()] dan V (ω) F [v ()] maka; Av () + Bv () AV (ω) + BV (ω) Pembukian: Liha noa Jika v() Jelmaan Fourier V(ω). Kedualan (Dualiy) maka, V() Jelmaan Fourier πv(-ω)
3. Simeri V( ω ) A( ω) + j B( ω) V( ω) e jθ ( ω) dengan v() sahih. A(ω) - fungsi genap dan B(ω) - fungsi ganjil 4. Skala Masa v( a) JELMAAN FOURIER a ω V a dengan a >
Conoh v() V o V(ω ) V o τ sinc (ωτ/) V o τ -τ/ τ/ -3/τ -/τ -/τ /τ /τ 3/τ f v() V'(ω) V o V o τ/ τ/4 τ/4-4/τ -/τ /τ 4/τ f V'(ω) V o τ/ sinc (ωτ/4) Rajah.
5. Anjakan Masa Jika kedudukan denyu dianjakkan ke kanan sebanyak τ, maka jelmaan Fourier unuk isyara ersebu adalah; v( -τ ) JELMAAN FOURIER Conoh.5 Dapakan jelmaan Fourier isyara beriku; V( ω) e -jωτ v() V o τ-/ τ τ+/ Rajah C5.
3 Penyelesaian v () V o -/ / Rajah C5. Daripada Rajah C5., jelmaan Fourier unuk isyara ersebu adalah; V (ω) V o sinc (ω/) Jelmaan Fourier unuk isyara denyu ini apabila eranjak sebanyak τ ialah; ω V( ω) o -jωτ -jωτ [ V ( ω) ] e V sinc e
4 Conoh.6 Dapakan jelmaan Fourier unuk isyara denyu beriku; v() -τ τ - Rajah C6.
5 Penyelesaian v () v () τ -τ - Rajah C6. Rajah C6.3 Jelmaan Fourier bagi denyu dalam rajah C6. (eranjak - τ/) ialah; V ωτ jωτ/ ( ω) τ sinc e Jelmaan Fourier bagi denyu dalam rajah C6.3 (eranjak + τ/) ialah; V ωτ -jωτ/ ( ω) -τ sinc e
6 Oleh iu jelmaan Fourier bagi bagi isyara v() ialah; V(ω) V (ω) + V (ω) τ sinc (ωτ/) [ e jωτ/ - e -jωτ/ ] 6. Anjakan Frekuensi (Pemodulaan/Modulaion) v() e j o ω JELMAAN FOURIER V( ω -ω o ) Conoh.7 Suau isyara penghanaran erdiri daripada isyara ermodula denyu iaiu v() v () cos ω c. Dapakan jelmaan Fourier isyara ersebu.
7 Penyelesaian V( ω ) - v() e -jω d -jω [ v() cosωc] e d - - jω -j e c ω + e c -jω v() e d jω -jω -jω -jω - - [ ] [ ] v () e c e d + v () e c e d [ V ( ω -ω ) + V ( ω + ) ] c ωc
8 7. Pengkerbedaan Jika, Conoh.8 v() n JF d v() JF n V( ω), maka (jω) V( ω) n d Dapakan jelmaan Fourier unuk isyara idak berkala beriku. A v() dv()/d Aδ() -A Rajah C8. Rajah C8.
Penyelesaian Jika rangkap di aas dikerbedakan sekali, hasil kerbedaan seperi yang diunjukkan dalam Rajah C8.. Jika dikerbedakan dua kali, hasilnya seperi yang diunjukkan dalam Rajah C8.3. d v()/d Ajωδ() Aδ(-) 9 -A Rajah C8.3
Maka daripada Rajah C8.3, jelmaan Fourier bagi isyara Rajah C8. boleh diperolehi dengan menggunakan sifa pengkerbedaan. (jω) V(ω) -A e -jω() + A e -jω() + A jω -A + A e -jω + A jω A (jω + e -jω - ) A [ -jω ] V( ω ) jω + e - (jω) jω ( -jω ) A + - e ω aau dari Rajah C8., jelmaan Fourier bagi isyara v() boleh didapai erus dalam sebuan fungsi sinc seperi beriku; 3
3 (jω) V( ω) A - ω A sinc e -jω/ A - sinc ω e -jω / V ( ω) A ω j sinc e ω -jω/ -
3 Laihan Dapakan jelmaan Fourier bagi isyara-isyara denyu beriku; a) f() A Jawapan -τ τ τ τ Rajah L F( ω) Aτ sinc ωτ [ cosωτ +]
33 b) f() A -A/.5 -.5 - Rajah L Jawapan 3 - sinc 4 3 sinc 3 3A ) F( ω ω ω
34 Conoh.9 Dengan menggunakan jadual, dapakan jelmaan Fourier isyara-isyara beriku; a) f() (cos 4) u() - c) f() e di mana; - < < b) f() (e - cos 4) u() d -3 d) f() e u() d Penyelesaian a) f() (cos 4) u() Dar ijadual, F [ kosω. u( ) ] [ δ ( ω ω ) + δ ( ω + ω ] π ) π Maka, F [ kos4. u( ) ] [ δ ( ω 4) + δ ( ω + 4) ] + 4 jω ω + ω jω ω
b) f() (e - cos 4) u() A + [ ] Dari jadual pasangan JF, F Ae a u() a jω - dan dari jadual sifa JF, [ f ( ) cosω ] [ F ( ω + ω ) + F( ω )] F [ ] maka, F u() + + j( ω + 4) + j( 4) kos4.e - ω ω 35 c) - f() e di mana; - < < F( ω ) () () + ω 4 + ω d -3 d) f() e u() d
36 Kaakan, f () e -3 u() F ( ω) 3 + jω d Dikeahui f() f ( ), maka; d F( ω) jω 3 + jω + 3/(jω) - j(3/ ω)