Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ το συμβολίζουμε κι την εστική πόστση ΕΈ με γ M Άρ έν σημείο Μ του επιπέδου είνι σημείο της έλλειψης, ν κι μόνο ν ( ME) ( ME) E (Ε Ε)=γ (ΜΕ )(ΜΕ)= Ε Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξον χ χ κι κέντρο την ρχή Ο Η Εξίσωση έλλειψης με εστίες τ σημεί Ε (-γ,0), Ε(γ,0) του άξον είνι:, όπου β γ Έχει μεγάλο άξον τον Ά κι μικρό άξον τον Β Β E( γ,0) B O M (, ) E(γ,0) Προφνώς είνι (Ά)= κι (Β Β)=β B Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξον κι κέντρο την ρχή Ο Η Eξίσωση έλλειψης με εστίες τ σημεί Ε (0,-γ), Ε(0,γ) του άξον είνι: β, όπου β= γ Έχει μεγάλο άξον τον Ά κι μικρό άξον τον Β Β B O E( 0, γ) Β Προφνώς είνι (Ά)= κι (Β Β)=β E( 0, γ) 5
Μθημτικά Β Κτ/νσης Ιδιότητες Έλλειψης Έστω μι έλλειψη : C, β όπου H πρπάνω έλλειψη έχει τους άξονες κι άξονες συμμετρίς κι την ρχή των ξόνων B M 3 M O A κέντρο συμμετρίς Το σημείο Ο λέγετι κέντρο της έλλειψης Τ σημεί A A κι A, A, B, B λέγοντι κορυφές της έλλειψης, ενώ τ ευθύγρμμ τμήμτ B B, τ οποί έχουν μήκη μικρός άξονς ντιστοίχως ( A A) κι ( B B) β, λέγοντι μεγάλος άξονς κι Το ευθύγρμμο τμήμ που ορίζουν δύο οποιδήποτε συμμετρικά ως προς Ο σημεί M κι M 4 της έλλειψης λέγετι διάμετρος της έλλειψης ποδεικνύετι ότι: 4 β ( M M ) Τέλος, πό την εξίσωση της έλλειψης, έχουμε: κι β β Εκκεντρότητ της έλλειψης λέγετι ο λόγος ε=γ/< κι ισχύει: Ότν το ε τείνει στο μηδέν, τότε η έλλειψη τείνει ν γίνει κύκλος M 4 B M Όσο το ε μεγλώνει (τείνει στη μονάδ) τόσο ποιο επιμήκης γίνετι η έλλειψη κι τείνει ν γίνει ευθύγρμμο τμήμ Οι ελλείψεις που έχουν την ίδι εκκεντρότητ, άρ ίδιο λόγο, λέγοντι όμοιες Εφπτομένη Έλλειψης Έστω μι έλλειψη C με εξίσωση Η εφπτομένη της έλλειψης C στο σημείο της ε M(, ) M(, ) ποδεικνύετι ότι έχει εξίσωση: Ο Aνκλστική ιδιότητ έλλειψης: Η κάθετη στην εφπτομένη μις έλλειψης στο M ε σημείο επφής Μ διχοτομεί τη γωνί όπου E, E οι εστίες της έλλειψης E M E, E E 5
Μθημτικά Β Κτ/νσης Εφρμογές Έστω ο κύκλος a, a 0 κι έν σημείο του M, του οποίου η ορθή προβολή στον άξον είνι το σημείο Β M (, ) M(,) Πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ M M ορίζουμε έν ( M M ) σημείο Μ, τέτοιο, ώστε ν ισχύει ( M M ) β, 0 βa ν το M κινείτι στον κύκλο, τότε το Μ κινείτι στην Ο Β M έλλειψη β a Δίνοντι η έλλειψη C : β κι ο κύκλος C : ν M, ) είνι έν σημείο της ( C κι M (, ) το σημείο του C με, τότε η εφπτομένη της έλλειψης C στο σημείο M κι η εφπτομένη του κύκλου C στο σημείο M τέμνοντι πάνω στον άξον ε ε Ο M M C C M 53
Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ-ΛΘΟΣ Όσο η εκκεντρότητ μις έλλειψης πλησιάζει προς το 0, τόσο η έλλειψη τείνει ν γίνει κύκλος Σ Λ Η εξίσωση β = πριστάνει έλλειψη μόνο ν > β 3 Η εστική πόστση μις έλλειψης είνι το μισό του μεγάλου άξον Η εκκεντρότητ υτής της έλλειψης είνι Σ Λ 4 Δύο ελλείψεις που έχουν τις ίδιες εστίες, είνι όμοιες Σ Λ Σ Λ 5 Η εκκεντρότητ της έλλειψης 4 = 4 είνι ε = 6 Οι ελλείψεις 9 4 = κι 36 6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛ/ΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 3 3 = είνι όμοιες Σ Σ Λ Λ ν Ε, Ε οι εστίες μις έλλειψης με μεγάλο άξον μήκους κι τυχόν σημείο της έλλειψης, τότε (Ε ) - (Ε) = Β (Ε ) (Ε) = Γ (Ε ) = (Ε) Δ (Ε ) (Ε) = Ε (Ε ) - (Ε) = --- Η πόστση του κέντρου της έλλειψης 6 7 Β 0 Γ 5 5 9 4 = πό τη μι εστί της είνι Δ 5 Ε 3 4 --- 3 Η έλλειψη = έχει μι εστί στο σημείο 3 (, 3) Β (0, ) Γ ( 3, 0) Δ (-, 0) Ε (0, -) --- 4 Η εξίσωση β = β,β 0 πριστάνει πάντ μί έλλειψη Β πριστάνει πάντ ένν κύκλο Γ πριστάνει δύο τεμνόμενες ευθείες Δ πριστάνει μί έλλειψη, ν β Ε πριστάνει μί έλλειψη, ν = β --- 5 Η έλλειψη 4 = Β 4 3 = είνι όμοι με την = Γ = Δ = Ε 5 6 9 6 4 = 54
Μθημτικά Β Κτ/νσης ΣΚΗΣΕΙΣ ΝΠΤΥΞΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Ν βρεθούν τ στοιχεί (μήκη ξόνων, εστίες, εκκεντρότητ) των ελλείψεων κι ν γίνουν οι γρφικές πρστάσεις: i) 4 =00, ii) 5 9 =5, iii) =, iv) 4 = 6 Ν βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστική πόστση 6, διέρχετι πό το 7 σημείο Μ( 3, ) κι έχει κέντρο το Ο κι εστίες στον άξον χ'χ 3 Ν βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει κέντρο το Ο κι εστίες στον άξον χ'χ, ν διέρχετι πό το σημείο Μ(,) κι ο μικρός της άξονς είνι το /3 του μεγάλου 4 Ν βρείτε τ σημεί της έλλειψης = που πέχουν πό τον μικρό άξον 9 5 μονάδ κι ν ποδείξετε ότι τ σημεί υτά είνι κορυφές ορθογωνίου 5 Ν βρείτε τις εξισώσεις των εφπτόμενων της έλλειψης 4 =, οι οποίες διέρχοντι πό το σημείο M, -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 Ν βρείτε τις εξισώσεις των εφπτόμενων της έλλειψης =, οι οποίες 5 4 είνι κάθετες στην ευθεί (δ): χ-ψ3=0 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτόμενης της έλλειψης =, η οποί 6 9 σχημτίζει με τους θετικούς ημιάξονες Ο κι Ο τρίγωνο εμβδού τμ 8 Ν βρεθούν οι εφπτόμενες της έλλειψης 9 6 = 44 που είνι: ) πράλληλες προς την ευθεί (δ): = 0 β) κάθετες στην ευθεί (δ) 9 Ν βρείτε τις εξισώσεις των εφπτόμενων της έλλειψης 3 5 =5, οι οποίες έχουν θετικό συντελεστή διεύθυνσης κι πέχουν πό το κέντρο της έλλειψης μονάδες 55
Μθημτικά Β Κτ/νσης 0 Ο κύκλος με κέντρο το Ο (0, 0) κι κτίν β διέρχετι πό τις εστίες της έλλειψης β = με > β Ν βρεθεί η εκκεντρότητ της έλλειψης Δίνετι η έλλειψη C: κ β β = έχει την ίδι εκκεντρότητ με τη C = Ν ποδείξετε ότι κι η έλλειψη με εξίσωση - Ν βρεθεί η μορφή της εξίσωσης της έλλειψης με εκκεντρότητ ε = 3 Δίνετι η έλλειψη β = ) Ν δείξετε ότι το τετράπλευρο Ε ΒΕΒ είνι ρόμβος (Ε, Ε οι εστίες, Β, Β τ άκρ του μικρού άξον) β) Ν βρεθεί το εμβδόν του ρόμβου 4 Έστω κύκλος με εξίσωση = ν θέσουμε = κι = c, ν ποδείξετε ότι το σημείο (, ) νήκει σε έλλειψη 5 Δίνετι ο κύκλος = 4 κι η έλλειψη = 6 ) Ν δείξετε ότι το σημείο (, - 3 ) είνι κοινό τους σημείο κι στη συνέχει ν βρείτε όλ τ κοινά σημεί β) Ν δείξετε ότι τ κοινά τους σημεί είνι κορυφές ορθογωνίου πρλληλογράμμου γ) Ν βρεθούν τ σημεί Μ ( 0, 0 ) ώστε 0 0 = 4 κι (Ε Μ) (ΕΜ) = 6 (Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης) 6 Δίνοντι τ σημεί (-4,0) κι Β(4,0) Ν βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(χ,ψ) του επιπέδου γι τ οποί ισχύει: λ Μ λ ΒΜ = -9 Ν σχεδιστεί η γρμμή που θ προκύψει 7 Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ( 5ημφ, 4συνφ) κθώς το φ μετβάλλετι στο σύνολο Ν σχεδιστεί η γρμμή που θ προκύψει 56