Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ4: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόπωρο 5 Λύσεις Τελικών Εξετάσεων Θέμα (α) Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό δ(t ) (/) δ(f /), τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourer e jπf t (t) X(f f ) και (t t ) e jπft X(f), και την ιδιότητα της κρουστικής συνάρτησης f()δ( ) f( )δ( ), παίρνουμε ( ) δ(t ) e jπt/ δ(t ) δ(f ), δ(t ) e jπf δ(f ) ( ) δ(f ). Από τους παραπάνω μετασχηματισμούς και την ιδιότητα της συνέλιξης, προκύπτει ( ) (t ) (t) ( ) δ(t ) (t (+ )) (t) δ(t (+ )) X( +/ )δ(f +/ ), ( ) X( )δ(f ). Από τους παραπάνω μετασχηματισμούς και την ιδιότητα () X(f)df, προκύπτει ( ) () X( +/ ), ((+ )) ( ) X( ). (α) Δεύτερη λύση: Από τη σχέση ( ) (t ) + (t ) (t ) και τον τύπο του Posson με περίοδο και, προκύπτει Από τη σχέση ( ) (t ) (t (+ )) + X( )δ(f ) X( + + )δ(f ). (t ) και τον τύπο του Posson με περίοδο και /, προκύπτει X( )δ(f ) (t ) (t (+ )) X( )δ(f ) X( )δ(f ) ( ) X( )δ(f ).
ΗΥ4: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων (β) Χρησιμοποιώντας τη σχέση sn π(t ) ( ) snπt και τους τύπους του Posson για το μετασχηματισμό snc(t) Π(f), παίρνουμε sn πt π (t ) ( ) snπt π (t ) ( ) snc(t ) snc(t ) Π()δ(f ) δ(f), Π(+ )δ(f ) δ(f ) + δ(f+ ), αφού Π(± ). Από τις παραπάνω σχέσεις, χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς δ(f) και δ(f ) + δ(f+ ), παίρνουμε sn πt ( ) π (t ), sn πt Παραγωγίζοντας τις παραπάνω σχέσεις ως προς πt, παίρνουμε sn πt ( ) π (t ), sn πt π (t ). π (t ). Σημείωση: Η σειρά ( ) /π(t ) συγκλίνει, αφού είναι εναλλάσσουσα με όρους που τείνουν στο. Η σειρά /π(t ) δεν συγκλίνει με τη συνήθη έννοια, αφού η σειρά / δεν συγκλίνει, αλλά συγκλίνει κατά Cauch, με όριο lm N N N π (t ) πt + lm N N t π (t ) πt + t π (t ). Από τους τύπους του Posson για το μετασχηματισμό /πt j sgn(f), προκύπτει ( ) π (t ) j sgn(+ )δ(f ) j (δ(f ) ) δ(f++ ), π (t ) ( ) j sgn()δ(f ) j δ(f ) δ(f+). Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό sn πf t j(δ(f f ) δ(f+f )), παίρνουμε snπt sn((+)πt), sn πt sn(πt). Παραγωγίζοντας τις παραπάνω σχέσεις ως προς πt, παίρνουμε sn πt (+) cos((+)πt), sn πt 4 cos(πt). Σημείωση: Οι παραπάνω σειρές Fourer δεν συγκλίνουν με τη συνήθη έννοια, αφού οι όροι τους δεν τείνουν στο, αλλά συγκλίνουν σαν γενικευμένες συναρτήσεις, αφού N sn((+)πt) sn πt N sn(πt) sn πt N cos(πt) cos((+)πt) cos(n πt), N cos(( )πt) cos((+)πt) cos((n +)πt), και cos(ωt) για ω.
Λύσεις Τελικών Εξετάσεων 3 Θέμα (α) Το σήμα (t) ( t) έχει μετασχηματισμό Fourer Y (f) X (f). Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης, παίρνουμε r (t) (t t )(t )dt X(f)Y (f) X(f). Από το μετασχηματισμό ( t) X ( s ), με a < Re{s} < a +, και την ιδιότητα της συνέλιξης, προκύπτει ο μετασχηματισμός Laplace (με ελάχιστη περιοχή σύγκλισης) r (t) X(s)X ( s ), a < Re{s} < a όπου a mn{a, a + }. (β) Από τη σχέση r (t) X(f) και την ιδιότητα (t/) X(f), προκύπτει (t) X(f) X(f) r (t) δ(t/) δ(t/ ) Π(t/) snc(f) snc (f) Λ(t/) snc(t/) Π(f) Π(f) snc(t/) e t/ U(t) +jπf +(πf) e t / e π(t/) e π(f) e π(f ) e π(t/ ) Στον παραπάνω πίνακα, η αυτοσυσχέτιση του σήματος e t/ U(t) προκύπτει από τη σχέση /(+(πf) ) Re {/(+jπf)} και την ιδιότητα (t)+ ( t) Re{X(f)}. (γ) Η συνάρτηση X(f) είναι πραγματική, επομένως r ( t) r(t). Από τον τύπο του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourer, προκύπτει r (t) X(f) e jπft df X(f) e jπft df X(f) df r (). Η συνέλιξη (t) (t) έχει μετασχηματισμό Fourer X(f) Y (f), επομένως r (t) X(f)Y (f) X(f) Y (f) r (t) r (t). Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση, με την αλλαγή μεταβλητής t t+t, παίρνουμε r (t t)(t) (t )dt dt r ( t)r (t)dt r (). Θέτοντας στην παραπάνω ανισότητα (t) I δ(t t ), παίρνουμε I I r (t t)δ(t t )δ(t t )dt dt I (δ) Ολοκληρώνοντας ως προς t τα δύο μέλη της σχέσης παίρνουμε r (t t ). (t t )e jθ (t) (t t ) + (t) Re{(t) (t t )e jθ }, I d (θ) r () Re{r (t )e jθ } (r () r (t ) ). Η ανισότητα γίνεται ισότητα όταν r (t )e jθ r (t ), ή ισοδύναμα θ r (t ). Σημείωση: Από την παραπάνω ανισότητα, προκύπτει ότι r (t ) r ().
4 ΗΥ4: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Θέμα 3 Πρβλ.,. Kalath, Lnear Sstems, Prentce-Hall, 98, Eample.4-4. (α) Για το σύστημα L s, είναι Dv A v + b, c v, Dv A v + b, c v. Για το σύστημα L f, είναι Dv A v + b + b, c v, Dv A v + b, c v. Οι εξισώσεις κατάστασης των L s και L f, σε μορφή μερισμένων πινάκων, είναι L s : Dv Dv A b b c A c v v, L f : Dv Dv A b c b b c A c Οι εξισώσεις κατάστασης των δυαδικών συστημάτων, είναι Dv A L s : c b v Dv A c Dv A c v, L f : b c Dv c b A b b Τα διαγράμματα ροής σήματος των δυαδικών συστημάτων, προκύπτουν αντιστρέφοντας τις φορές όλων των ακμών, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα v v v v.. L L L L (β) Για ένα σύστημα κατάστασης {A, b, c}, για ευκολία θέτουμε F si A. Χρησιμοποιώντας τους τύπους αντιστροφής πινάκων, η συνάρτηση μεταφοράς του L s, είναι H s c F b c F c F b c F b H H και η συνάρτηση μεταφοράς του L f, είναι H f c b c F F b c F F F b c b (F c b c F b c F b c )......... c (F b c F b c ) b c (I F b c F b c ) F b c F b c F b c F b H H H. b b
Λύσεις Τελικών Εξετάσεων 5 (γ) Για ένα σύστημα κατάστασης {A, b, c}, και για ευκολία θέτουμε b F b, c cf, ό- που F si A, και παριστάνουμε με p cf b, q F τον αριθμητή και παρονομαστή, αντίστοιχα, την συνάρτησης μεταφοράς του. Το σύστημα L s είναι ελέγξιμο ανν (αν και μόνο αν) για κάθε s είναι F b F F b q b c F F b c F b b. p b Αν τα συστήματα L, L είναι ελέγξιμα, τότε για κάθε s είναι b, b, και η παραπάνω συνθήκη γίνεται q, p, δηλ., τα πολυώνυμα p, q δεν έχουν κοινή ρίζα. Αν το L δεν είναι ελέγξιμο, τότε υπάρχει s ώστε b και p c b. Αν το L δεν είναι ελέγξιμο, τότε υπάρχει s ώστε b, επομένως b ή F q. Όμοια, το σύστημα L s είναι παρατηρήσιμο ανν για κάθε s είναι F c c b c F F b c F, c F F p c, q c, ή ισοδύναμα, ανν τα συστήματα L, L είναι παρατηρήσιμα και τα πολυώνυμα q, p δεν έχουν κοινή ρίζα. Η συνθήκη παρατηρησιμότητας προκύπτει από τη συνθήκη ελεγξιμότητας, ως εξής: το σύστημα L s, που φαίνεται στο ερώτημα (α), είναι ελέγξιμο ανν τα L, L είναι ελέγξιμα και τα p, q δεν έχουν κοινή ρίζα, όπου p, q είναι ο αριθμητής και παρονομαστής, αντίστοιχα, της συνάρτησης μεταφοράς του {A, b, c}. Όμως τα L και L έχουν την ίδια συνάρτηση μεταφοράς και το L είναι ελέγξιμο ανν το L είναι παρατηρήσιμο, επομένως, το L s είναι παρατηρήσιμο ανν τα L, L είναι παρατηρήσιμα και τα p, q δεν έχουν κοινή ρίζα. (δ) Το σύστημα L f είναι ελέγξιμο ανν για κάθε s είναι F b c b F F b q b c F F b c F b b, p b (όπου στην πρώτη ισότητα χρησιμοποιήθηκε η σχέση (F +b c F b c ) b F b ), ή ισοδύναμα, ανν τα L, L είναι ελέγξιμα και τα πολυώνυμα p, q δεν έχουν κοινή ρίζα, και παρατηρήσιμο ανν για κάθε s είναι c F b c c b c F F F, c F b c F q c, p c. ή ισοδύναμα, ανν τα L, L είναι παρατηρήσιμα και τα πολυώνυμα p, q δεν έχουν κοινή ρίζα (όχι ίδια με συνθήκη για να είναι το L s παρατηρήσιμο). Η συνθήκη παρατηρησιμότητας προκύπτει από τη συνθήκη ελεγξιμότητας και το ερώτημα (α), ως εξής: το L f είναι ελέγξιμο ανν τα L, L είναι ελέγξιμα και τα p, q δεν έχουν κοινή ρίζα. Σημείωση: Από παραπάνω προκύπτει ότι τα σύνθετα συστήματα L L (δηλ., το L ακολουθούμενο από το L ) και L L δεν είναι πάντα ισοδύναμα ως προς την ελεγξιμότητα και παρατηρησιμότητα, αν και είναι ισοδύναμα ως προς τη συνάρτηση μεταφοράς, ενώ το σύστημα ανάδρασης L f είναι ισοδύναμο με το L L ως προς την ελεγξιμότητα και με το L L ως προς την παρατηρησιμότητα.