Sissejuhatus Enamuse füüsika ülesannete lahendamine taandub tegelikult suhteliselt äikese hulga ideede rakendamisele (öeldu kehtib ka teiste aldkondade, näiteks matemaatika kohta). Seega on aja õppida selgeks need ideed; iga konkreetse ülesande puhul tuleks lihtsalt prooida erineate ideede tulusust. Kogemuste kasades selgub, et tegelikult annaad ülesanded ise harilikult ihjeid, milliseid ideid on aja rakendada. llpool on püütud älja tuua põhilised kinemaatika ülesannetes kohataad lahendusideed. Iga idee juures on ka üks õi mitu illustreeriat ülesannet, mis tuleks lugejal endal lahendada; kontrolli mõttes on toodud ära ka õiged astused. Kui ülesanne tundub oleat raske, tuleks eel kord lugeda läbi lähikonnas esitatud ideed muid keerulisi teadmisi ei tohiks aja minna. Võimalust mööda ülesannete juures ära toodud nende originaalallikas. Kinemaatika Esimene idee: tuleb alida sobiaim taustsüsteem. Selleks on aja aadelda protsessi järgemööda kõikides lootustandates taustsüsteemides, s.o. niisugustes kus näiteks mingid kehad on paigal, osa kiiruse projektsioone on nullid õi liikumine on sümmeetriline Niisiis on head taustsüsteemid on sellised, kus mõni kiirus õi kiiruse komponent (õi kiirendus õi kiirenduse komponent) läheb nulliks õi kaks kiirust on üksteisega õrdsed. Kui soblik süsteem on leitud, õib minna tagasi laboratoorsesse süsteemi ning teisendada nüüd juba teada olead kiirused-kiirendused astaalt kiiruste (kiirenduste) liitmise reeglile. Ülesanne 1 (NSVL ol. 198, 8. klass) Kahest rõngast raadiusega r on üks paigal ja teine liigub kiirusega esimese suunas. Leida rõngaste ülemise lõikepunkti liikumise kiirus sõltuuses keskpunktide ahelisest kaugusest d! Vastus: u= / 1 ( d/ r) a Selle ülesande lahendamisel kulub ära eel teine idee: kiiruse õi kiirenduse kohta saab kätte kõik mis aja kui on teada tema mingi komponent ja ektori suund. Matemaatikud ütlead selle kohta, et täisnurkne kolmnurk on määratud tema ühe nurga ja ühe küljega. Näiteks kui on teada, et kiirus on horisondi suhtes nurga all ja tema horisontaalkomponent on w, siis kiiruse moodul on w/sin Seda ideed saab kasutada ka järgmises ülesandes: /deg Ülesanne (Kant F868) Selleks, et uurida tuule kiiruse jaotumist kõrguste järgi, kasutatakse selliseid õhupalle, mille kerkimise kiirus on kogu aeg kostantne. Sellise palli jälgimisel saadi kõraltoodud graafikul kujutatud kerkimisnurga sõltuus ajast. Pall lasti õhku L = 1 km kaugusel 6 4 aatluspostist ja pall paistis tõusat otse üles. Teades, et maapinnal oli tuule kiirus null, leidke palli kõrgus t= 7 min pärast tema starti ning tuule kiirus sellel kõrgusel. 4 Vastus: Kerkimise kiirus 4,85 m/s; h = m; tuule kiirus u =,8 m/s. 6 8 t/min Siinjuures paneme kõrataha eel kaks ideed. Kolmas idee: kui ülesandes on antud graafik, siis on äga sageli kasu tema mingist puutujast ja selle tõusu arutamisest; neljas idee: kui ülesandes
torkab silma mingi ebataaline kokkusattumus (antud juhul puutuja tõus küsitud ajahetkel on null), siis äga tõenäoliselt on seda asjaolu aja kasutada Ülesanne 3 (VIII Venemaa ol. 198, 8. kl. ) Jäik kamakas on surutud kahe plaadi ahele, millest üks liigub kiirusega 1 ja teine kiirusega. ntud hetkel on kiirused horisontaalsed ning kamaka ja plaatide puutepunktid kohakuti. Märkige skemaatilisel joonisel kõik need kamaka punktid, mille kiiruse moodul õrdub 1 õi -ga. Vastus (osaline): kaarejupid 1 See ülesanne baseerub täienisti ideel number iis: kõa keha liikumist on alati õimalik esitada kui pöörlemist ümber hetkelise pöörlemiskeskme. Seejuures on pöörlemiskeset õimalik rekonstrueerida kui on teada kahe punkti kiiruste sihid ning need sihid ei ole paralleelsed 1 r see on neist punktidest tõmmatud ristsirgete lõikumispunkt; on teada kahe punkti kiirused, kui need ektorid on paralleelsed ja o seejuures risti punkte ühendaa sirgega leiame punkte ühendaa sirge ja neist punktidest tõmmatud kiirusektori otspunkte ühendaa sirge lõikepunkti (t joonis). Kui pöörlemiskese on leitud, siis sualise punkti kiiruse saab leida kui ektori, mis on risti pöörlemiskeskmest tõmmatud ektoriga ja moodul on õrdeline kaugusega pöörlemiskeskmest (t. joonis). Idee Nr. 6. Kui toimub hõõrdumisega liikumine, siis harilikult on sobiaimaks taustsüsteemiks hõõret põhjustaa keskkonnaga seotud süsteem. Ülesanne 4 Mustale horisontaalsele tahlile, mis liigub ühtlase kiirusega, isatakse alge kriiditükk. lghetkel oli kriidi kiirus risti tahli liikumise suunaga. Millise kujuga jälje jätab kriit? Vastus on hästi lihtne. Järgmises ülesandes on aja rakendada lisaks eelmisele eel ka seitsmendat ideed: lühim tee punktist tasandini on risti tasandiga. Selle õib ümber formuleerida eidi üldisemal (kuid ähem konkreetsel) kujul: mõned miinimumid ja maksimumid on leitaad ka ilma tuletisi kasutamata ning tuletisteta lahendus õib osutuda hulga lihtsamaks. Veelgi kitsapiirilisem sõnastus (antud ülesande jaoks) kõlaks nii: kui kahest ektorist üks on konstantne ja teise suund ei muutu, siis nende ektorite summa moodul on minimaalne kui nad moodustaad täisnurkse kolmnurga. Ülesanne 5 (Kant F833, NSVL ol. 1983, 8.kl.) Transportööri lindi peale tõugatakse klots. Lint liigub kiirusega = 1 m/s; klotsi algkiirus u = m/s on risti lindi kiirusega. Milline on klotsi edaspidise liikumise käigus tema minimaalne kiirus maapinna suhtes? Hõõrdetegur on nii suur, et klots jääb kenasti lindi peale püsima. Vastus : / 5m/s Ülesanne 6 (Kant F858) Jalgpalluri löögi tulemusena hakkas pall lendama otse äraa suunas kiirusega =5 m/s, nurga = arccos.8 all horisondi suhtes. Külgtuule tõttu, mis puhus risti palli algkiirusega tugeusega u=1 m/s, kaldus pall äraa tasandini jõudmise hetkeks algsihist kõrale s= m õrra. Leidke aeg, mis kulus pallil äraa tasandini jõudmiseks, kui ära asus L=3 m
kaugusel. s Vastus: t = L u + cos =, 18 s Kuiõrd on tegemist suhteliselt keerulisema ülesandega, siis kommenteerime teda eel eidikene. L Esimesel hetkel õib tunduda, et mis seal ikka, t =, õhu hõõret me ju harilikult ei aresta. cos ga milleks on siis antud, et s=m? Paneme tähele, et ilma õhu hõõrdeta pall ju kõrale ei kalduks! Seega on asja ia palli pidurdumises ja aja rakendada ideed nr 7. Seejuures on ilmselt kõige hõlpsam aaldada nihe s kahe komponendi summana, millest üks on taustsüsteemi nihe ut ja teine leita lihtsa geomeetrilise konstruktsiooni abil. Saadud õrrandist aaldame edasi juba otsitaa aja t. Niisiis rakendame me peale kuuenda eel ideed nr 8: sageli on targem kirjutada õrrand (õi õrrandi süsteem), milles on otsita suurus tundmatuna sees, selle asemel et hakata seda suurust otse aaldama (ahel tuleb tuua sisse ka abitundmatuid, mis pärast elimineeritakse). Lisaks paneme tähele, et kuigi pall liigub ka ertikaalsihis, on ülesanne projekteerimise teel taandata aid horisontaalpinnas liikumisele. Viimase sooituse õib formuleerida ideena nr 9: kolmemõõtmelist liikumist on raske terikuna analüüsida, seepärast, kui ähegi õimalik, tuleks asi taandada kahele mõõtmele (tasandilisele projektsioonile, tasandiliste lõikepindade aatlemisele). Järgmine ülesanne illustreerib ideed nr 1: kui on tegemist elastse põrkega, siis on harilikult kasulik aadelda protsessi massikeskme süsteemis. Kui seejuures hõõre puudub, siis selles süsteemis kiirusektorid muudaad ainult oma suunda ( peegelduad põrketasandilt). Kui toimub hõõre, siis põrketasandiga risti ole kiiruse komponent muudab oma suuna astupidiseks; põrketasandis leba komponent muudab oma äärtust astaalt hõõrde tugeusele. Samas kulub ära hoiatus nr. 1: kiiruste aheline nurk sõltub taustsüsteemist, milles me sündmust aatleme. Ülesanne 7 (Ven.ol. 1983, 9.kl.) Tennise pall kukub kiirusega raske reketi peale ja põrkub sealt elastselt tagasi. Millise kiirusega r peab liikuma reket selleks, et pall liiguks täisnurga all oma esialgse trajektoori suhtes ning ei hakkaks pöörlema, kui ta ei teinud seda enne põrget? Millise nurga j moodustab seejuures kiirus r reketi tasandi normaalsihi suhtes, kui kiirusektori jaoks on see nurk? Vastus: r = / cos, j =18 -. Üks (ja kindel) meetod selle ülesande lahendamiseks on rakendada ideed nr. 11: kirjutada aaldised älja komponentide kujul. Seejuures on alati oluline, milline teljestik alida. mõnikord õib kõige kasulikumaks osutuda isegi selline koordinaatteljestik, mille teljed ei ole üksteise suhtes täisnurga all. ntud juhul on loomulik kasuta teljestikku, mille üks telg (olgu see x) on risti reketi tasapinnaga ning teine (y) paralleelne. Vastaalt hoiatusele nr loeme hoolikalt teksti ning paneme tähele, et seal on kaks tingimust: peale selle, et ektorid peaad olema risti, on eel nõue, et pall ei hakkaks pöörlema. Viimasest asjaolust ei tohiks olla keeruline järeldada, et =. Idee nr y ry 1 abil leiame, et x = - x + rx (massikeskme süsteemis ~ ~ x = x' ; toodud õrduse saame, kui läheme tagasi laboratoorsesse süsteemi). Edasi jääb üle ainult kirjutada älja 1. tähelepanek matemaatikast: kaks ektorit on risti, kui nende skalaarkorrutis on ning aaldada saadud õrrandist rx ; Pythagorese teoreemist leiame ektori mooduli. Lihtsa kujuga astus iitab sellele, et samale tulemusele saaks ehk jõuda ka kergemal teel. Kuid sageli on nii, et lühikest lahendust on raskem leida kui pikka. Vastaalt eelpooltood õrdustele r r r + ' = r ; selle täisnurkse ektorite kolmnurgaga õrdse kolmnurga r r r ' = r üks nurk on, sest tema hüpotenuus on risti reketi tasandiga ( y - = ). y Mõnikord on kasulik minna mitteinertsiaalsesse taustsüsteemi idee nr. 1. Seejuures kiirusi
liidetakse nii nagu ikka, kiirendustega aga on lood eidi keerulisemad. inult kulgealt ja kiirendusega liikuas taustsüsteemis on eidi lihtsam. Siis kehtib kiirenduste jaoks samasugune reegel nagu kiirustegi jaoks, a r '= a r + a r ( a r on taussüsteemi kiirendus). Üsna sageli lihtsustuad asjad oluliselt, kui minna abalt langeasse õi mingi kiirendusega liikua kehaga seotud taustsüsteemi. Selle tõestuseks olgu järgmine ülesanne (meenutage ideid 7-8!). Ülesanne 8 (Kant F878) Kaks siledat renni asuad ühes ja samas ertikaaltasandis ning moodustaad horisondiga nurga (t. joon.). Punktidest ja lastakse ühel ja samal hetkel lahti kaks kuulikest, mis hakkaad renne mööda alla libisema. Esimesel kuulikesel, mis startis punktist kulus maapinnale jõudmiseks aega t 1 -jagu; teisel kuulikesel oli laskumise aeg õrdne t -ga. Millisel ajahetkel oli kuulikeste aheline kaugus kõige äiksem? Vastus:t = ( t t )/ 1 Ülesanne 9 (Kant F843) : Ratas raadiusega R asub kõrgusel H maapinnast ja pöörleb nurkkiirusega Ω. Ratta küljest eraldub mingis punktis eetilk ja kukub maha punktis, mis asub otse ratta telje kohal (t. joonis). Leidke tilga kukkumise aeg ja punkti asukoht (s.o. nurk ). Vastus: t = gx ja = arccos[ R/ ( H x )], kus H ( ΩR) ( ΩR) 4 H( ΩR) x = H+ + +R g g g Selle ülesande lahendamiseks kulub lisaks eelmisele ära eel üks idee (13), mis on sedapuhku mittestandartne, s.o. teisi selliseid ülesandeid, kus seda saaks rakendada, peaaegu et ei olegi. Õigemini, selleks et ideed rakendada mujal, oleks aja ta formuleerida hästi üldisel kujul, umbes nii: kui muidu ülesannet ei oska lahendada, katsetage mõtteliste, abistaate osakeste sisse toomisega. Konkreetsemalt antud ülesande jaoks: kujutage, et samal hetkel antud piisaga eraldus igast pöörlea ratta punktist samuti piisake. On selge, et abalt langeas taustsüsteemis moodustab selline piiskade par igal ajahetkel ringjoone, kusjuures ei tohiks olla kuigi raske aaldada selle ringi raadiuse sõltuus ajast. See piisk, mis esimesena puudutab maapinda, ongi meid huita piisk. Puute tingimust kirjeldaast õrrandist (ringjoone alumise punkti kõrgus saab õrdseks nulliga) saame aaldada aja (idee nr 8). Idee nr 14: Kui on tegemist elastsete põrgetega (õi põrgetega ilma hõõrdumiseta) tasapinnalt, siis harilikult osutub, et liikumine tasapinnas ja sellega ristuas sihis on üksteisest sõltumatud. Sellisel juhul on tõhusaks meetodiks nende erisihiliste liikumiste eraldi aatlemine. Seejuures kui pind on kaldu, siis tuleb ka teljestik kaldu ning raskuskiirendus omab kumbagi telje sihis nullist erineat komponenti, s.o. mõlema telje sihis toimub kiirendusega liikumine Ülesanne 1 Elastne kuulike lastakse lahti kaldpinna kohal (kaldenurk ) kaugusel d kaldpinnast. Milline on esimese ja teise põrkepunkti aheline kaugus? Põrked toimuad ilma hõõrdeta. Vastus: 8d tana Ülesanne 11 (NSVLol. 1981, 8.kl.) Litter libiseb jäise kaldpinna peale, mille kaldenurk on. Kaldpinna sera ja litri algkiiruse R
= 1 m/s aheline nurk on β = 6. Litter jättis kaldpinnale sellise jälje, nagu toodud joonisel (seal on kujutatud aid osa trajektoorist). Leidke nurk eeldusel, et hõõrdumisega õib mitte arestada ja et kaldpinnale libisemine oli suju. Vastus: β = arcsin,5 = 3 Selle ülesande juures tuleb kasutada eel ideed nr 15: kui jõud on risti liikumissuunaga (pinna rõhumisjõud libisemisel mööda kõerat pinda, nööri pinge keha liikumisel jäigalt kinnitaud enimatu nööri otsas, magnetäljas laengule mõju jõud), siis kiiruse ektor ainult pöördub, tema moodul ei muutu. Ja samuti idee nr 16: otsige telgi, mille sihis jõud on null! β,5m,5m Ülesanne 1 (NSVLol. 1981, 8.kl.) Väike pall liigub kiirusega mööda siledat horisontaalpinda ja kukub punktis silindrilisse ertikaalsesse kaeu, mille sügaus on H ja raadius R ning hakkab seal absoluutselt elastselt põrkuma astu seina ja horisontaalset siledat põhja. Kiirusektori ja läbi punkti tõmmatud kaeu diameetri aheline nurk on. Milline R, H, ja aheline tingimus peaks olema rahuldatud, et pall saaks uuesti kaeust älja tulla? Palli pöörlemist mitte arestada. Vastus: n H / g = mrcos, kus n ja m on täisarud. R Idee nr 17: mõnikord on kasu isegi äga keerulist liikumist sooritaast taustsüsteemist, selle illustratsiooniks olgu järgne kilpkonna-lugu. Ülesanne 13 Kolm kilpkonna asuad alghetkel õrdkülgse kolmnurga tippudes 1m kaugusel üksteisest. Nad liiguad kontsantse kiirusega 1 cm/s sel moel, et esimene hoiab kogu aeg kurssi teise suunas, teine kolmanda suunas ja kolmas esimese suunas. Millise ajaahemiku pärast nad kohtuad? Vastus: 6,7 sekundi pärast Siin on kaks lahendusarianti: esiteks, õib minna koos konnadega pöörleasse taustsüsteemi. Teiseks (idee 18), ahel on targem arutada mitte füüsilisi kiirusi, aid mingite ahemaade, kahe pikkuse suhte ms. muutumise kiirust. Projekteerigem igal ajahetkel kahe kilpkonna kiirused neid ühendaa telje peale sel iisil saab leida kahe konna ahelise kauguse ähenemise kiiruse. Ülesanne 14 Sipelgas liigub mööda kummpaela kiirusega 1 cm/s. Kummpaela üks ots (see kus sipelgas startis) on kinnitatud seina külge, teist tõmmatakse kiirusega 1 m/s. Kas ja millal jõuab sipelgas paela teise otsa kui kummpaela algpikkus oli 1m? Vastus: (e 1-1) sekundi pärast dx Märkus: see ülesanne nõuab lihtsa integraali õtmist, a ax b C ax + b = 1 ln( + ) + Idee nr 19: Sageli on kasu graafikute aluste pindalade arutamisest. Nii näiteks on teepikkus
-t-graafiku (kiirus-aeg) alune pindala, kiirus a-t alune jne. Veidi keerulisem näide: teepikkus on ka sellise graafiku alune pindala, kus ertikaalteljele on kantud kiiruse ja kiirenduse suhe, horisontaalteljele d aga kiirus. Tõesti, a = d ds dt = d ds dt = ds, seega s = ds = a d. (Mõnikord pole graafikute joonistamine küll hädatarilik, kuid aitab protsessi isuaalselt ette kujutada. Selline isualiseerimine tuleb alati asjale kasuks, kergendab lahenduse leidmist ja ähendab eksimise õimalust.) Ülesanne 15 (m/s) Osake stardib koordinaatide alguspunktist; tema kiiruse sõltuus ajast on toodud graafikul. Milline on tema maksimaalne 6 4 eemaldumus -punktist? Vastus: 18,75 m t (s) 5 1 15 Idee nr : kui süsteemi osad on ühen - datud fikseeritud pikkusega sidemetega, siis on kiiruste ja kiirenduste arutamiseks üks õimalus selline, et kirjutada see seos älja koordinaatide kujul ning õtta saadud aal disest tuletis aja järgi. Lahendame näiteks ühe lihtsa ülesande. Varras toetub ühe oma otsaga astu põrandat ning teisega astu ertikaalset seina. Milline on arada alumise otsa kiirus u sel hetkel, kui tema ülemine ots libiseb allapoole kiirusega ning nurk põranda ja arda ahel? Lahendus: Olgu ülemise otsa koordinaat y ning alumise oma x. Sellisel juhul on arda pikkus l =x +y. Varda pikkus on konstantne, seega tema tuletis on null. Võtame oma aaldisest tuletise aja järgi, kasutades seejuures matemaatikast teada oleat liitfunktsioonidest tuletise õtmise reeglit: = x x& + y y& = xu+ y. Siinjuures punkt sümboli kohal tähistab tuletist aja järgi. Siit saame aaldada u = -y/x = -tan. Ülesanne 16 (Kant F868, X Venemaa ol., 1. klass) Rõngad O ja O libisead abalt mööda ertikaalselt kinnitatud ardaid ja. (t. joonis). Venimatu niit on seotud rõnga O külge ja tõmmatud läbi rõnga O. Niidi teine ots on kinnitatud punktis. Sel hetkel kui OO =, liigub rõngas O allapoole kiirusega. Leidke rõnga O kiirus sel samal hetkel! Vastus: u = (1 - cos -1 ) Idee nr 1: nende kinemaatika ülesannete puhul, kus on ette antud kiirused eri keskkondades ning küsitakse kõige kiiremat teed punktist punkti, aitab sageli geomeetrilise optika jaoks formuleeritud Fermat printsiip. Nimelt, kui meil on mingi konfiguratsioon erinea murdumisnäitajaga kehadest, ja kui alguskiir, mis lähtub punktist läbib punkti, siis just piki algus kiire tegelikku teed jõuab algus kõige kiiremini s punktist punkti (meenutame, et kui kesk konna murdumisnäitaja on n, siis alguse leimise s 1 s kiirus on c/n). Seega joonise peal aeg mööda teed s 1 ja s on pikem, kui mööda s. Siinjuures tuleb täpsustada, et silmas on peetud lokaalset miinimumi, s.o. leiku teed õib arieerida ainult optimaalse tee ahetus ümbruses. Vastasel korral oleks lihtne konstrueerida kontranäide äikese n 1 n peeglitüki abil: peegeldudes lei alguskiir kulutab ilmselt hulga rohkem aega kui mistahes eidi
ähem nurgelist teed pidi minnes kuluks. Kui algus õib leida ühest punktist teise mitut erineat teed pidi (läbi läätse mingist punktist selle punkti optilise kujutiseni), siis piki kõiki neid teid on aeg üks ja see sama. Vaatleme illustratsiooni mõttes sellist situatsiooni, kus punkt asub kõa pinnase peal (meie liikumiskiirus 1 ) ja punkt keset liia (kiirus ); peale selle, olgu nende kahe piirkonna eraldusjoon sirge. Sellisel juhul rahuldab kiireim tee nende punktide ahel murdumisseadust: 1 / = sin 1 / sin. Ülesanne 17 M Poiss elab lahe MOP kaldalõigul OP (t. joon.) Lahe kaks kallast moodustaad nurga a. Poisi maja asub punktis, mille kaugus kaldast on h ja lahesopist O h + l. Poiss püüab kala kaldal OM. Millisel kaugusel x punktist O peaks asuma kalapüügikoht, et kodust sinna jõudmiseks kuluks õimalikult ähe aega ja kui pikk on see aeg? Poiss O liigub kuial maal kiirusega ja paadis kiirusega u. h cosβ lsin Vastus: x=cos ( l- h tanβ ) ja t = +, kus β = arcsin ( sin /u) u l P h Siinjuures kulub ära äike täiendus iimase idee juurde: kui küsitakse kiireimat teed mingi tasandini (kui on 3-mõõtmeline ülesanne) õi jooneni (-mõõtmelisel juhul), siis õib selle tasandi õi joone asendada tema ristsihis hästi kaugel (lõpmatuses) asua punktiga. Sellest on ka üsna lihtne aru saada, miks see nii on: sellisest hästi-hästi kaugel asuast punktist kulub tasandi (joone) igasse punkti jõudmiseks täpselt ühepalju aega. Kui me nüüd tõlgime eelpooltoodu geomeetrilise optika keelde, siis see tähendab, et tasandile (joonele) langeb normaali sihis paraleelsete kiirte kimp. Ülesanne 18 Jões, mille oolukiirus on w asub punktis (kaugus kaldast on a) poiss. Piki kallast jookseb ta kiirusega ja ujub kiirusega u, kusjuures u<w. Poiss tahab jõuda jõe kaldal ülesoolu asuasse punkti C minimalse ajaga. Millisel kaugusel x punktiga kohakuti asuast punktist peaks eest älja ronima? Vastus: x =-a(tan w/ucos), kus = arcsin [u /(w+)]. C w u a x Selle ülesande juures meenutage ideed nr 1 ja hoiatust nr 1. Lisada tuleb eel hoiatus nr. 3: Fermat printsiip on rakendata üksnes siis, kui liikumise kiirused on kõikides suundades ühesugused ning lähte- ja sihtpunktid on paigal. Siiski õib printsiipi rakendada sel juhul, kui kiirused mingis ruumiosas sõltuad küll liikumise suunast, kuid liikumise suund selles ruumiosas on muudest kaalutlustest teada. Ja mõnikord õnnestub liikua sihtpunktiga ülesanne asendada ekialentse ülesandega (trajektoori kuju mõttes mingis kitsamas ruumiosas), kus sihtpunkt on paigal. Idee nr : suur osa kii-iske ülesandeid on taandataad nn. ballistilise laskeulatuse probleemile. Enne selle idee rakendamist on meil aga aja käsitledas toda probleemi ennast. Ülesanne nr 19 Milline on see ruumiosa, kuhu saab lasta kahuriga, mis asub koordinaatide alguspunktis ja mis annab kuulile algkiiruse? Laskesuuna õib alida astaalt ajadusele. gx Vastus: pöördparaboloid, mille lõige x-z tasandiga on parabool z. g See ülesanne kuulub taolist sorti ülesannete klassi, mis tunduad küll lihtsad, kuid mille lahendus, kui seda jõuga tegema hakata, õib üsna pikakas kätte minna ning seetõttu iga sisse tulla õi astus
hoopistükis saamata jääda. Niisiis hoiatus nr 4: kui alemid lähead tüütult pikaks, on paras aeg alemite kirjutamisesse paus teha ning mõelda, ega pole mõnda teist teed astuseni jõudmiseks. Kui on, siis tasub eelmine töö pooleli jätta ning prooida, ehk on teine lahendustee lühem. Ning antud ülesande juurde konkreetne sooitus, ehk teisisõnu idee nr 3: kui nõutakse sellise piirkonna leidmist, kus eksisteerib teatud lahend, siis selle piirkonna eraldusjoon on sageli leita niisuguse joonena, kus mingi diskriminant läheb nulli. Niisiis, koostage õrrand sellise nurga tangensi leidmiseks, mille all tuleks tulistada, et tabada märki punktis koordinaatidega (x,z). Selgub, et tan jaoks on tegemist ruutõrrandiga ning seega saab ülesandes nr. 16 küsitud piirkonna eraldusjoone õrrandi panna kujul D=, kus D on ruutõrrandi diskriminant. Kasulik mnemotehniline õte iimase astuse meelde jätmiseks: parabooli tipp asub seal, kuhu jõuab kiirusega otse üles lastud kuul; parabooli kuju on selline, nagu otse horisontaalsuunas lastud kuuli trajektooril. Ülesanne b Millise minimaalse algkiiruse peab andma kiile, et isata üle iilkatuse? Viilkatuse laius on b, ühe otsa kõrgus on a, teise kõrgus c. Vastus: min = g( a + b+ c) a c Selle ülesande lahendus koosneb kahest etapist. Esiteks on aja aru saada, et minimaalse kiiruse korral puudatab kii mõlemat katuse sera. Selle tõestuseks on aja rakendada matemaatikast pärit ideed nr 4: miinimumi (maksimumi) leidmiseks tuleb arieerida abu parameetreid (antud juhul iskepunkti ja -nurka) hästi äikeste (formaalselt lõpmatult äikeste) juurdekasude õrra ning aadata, mis juhtub minimiseeritaa suurusega. Kui ta kasab kõikide lubataate ariatsioonide puhul, siis ongi tegemist miinimumiga. Edasi tuleb mängu idee dünaamikast, idee nr. 5: abalangemise puhul kehtib energia jääuse seadus. Konkreetsemalt antud juhu jaoks: keha kiiruse moodul antud punktis on määratud tema kiiruse mooduliga mingis teises punktis ning nende punktide kõrguste ahega. Nüüd jääb üle ainult rakendada ideed nr. Ülesanne 1 Silindrile on mähitud niit, mille teine ots on kinnitatud seina külge. Silinder asub horisontaalsel alusel, mida tõmmatakse horisontaalsuunalise kiirusega (silindri telje suhtes risti). Leidke silndri telje kiirus sõltuuses niidi ja ertikaalsihi ahelisest nurgast a. Silinder eereb alusel ilma libisemiseta Vastus: = / (1 + sin) See ülesanne kuulub omaette ülesannete klassi, kus nöör on mässitud õllile ja õll eereb mingit pinda mööda.. Sellisel juhul tuleb rakendada ideed nr 6: on aja älja kirjutada seos nööri õllilt maha kerimise kiiruse ja õlli edasiliikumise kiiruse ahel. Konks on nimelt selles, et mahakerimise kiiruse saab alati aaldada ka õlli pöörlemise kiiruse abil (ΩR, kus Ω on õlli nurkkiirus [eeldusel, et älja keritud nööri siht ei pöörle; astasel juhul tuleb õtta nende nurkkiiruste ahe]). Koostatud õrrandisüsteemist saab harilikult leida, mis aja. Esimese õrrandi älja kirjutamiseks õib kasutada ideed nr 7: joonistage älja süsteemi (antud juhul õll koos nööriga) kaks hästi lähedast (lõpmatult lähedast) asendit ja aadake, milline on uuritaa suuruse (antud juhul nööri pikkuse) muut. Seejuures ärge unustage, et süsteemi muutus oli lõpmatult äike ja tehke arutustes astaaid lähendusi (näiteks nööri kaks järjestikust asendit õib lugeda üksteisega paralleelseteks).
Ülesanne Šarniirne konstruktsioon koosneb kahest lülist pikkusega l. Tema üks ots on kinnitatud seina külge, teine aga liigub kaugusel 3l seinast konstantse ertikaalse kiirusega. Leida šarniirse ühenduspunkti kiirendus sel hetkel, kui a) seinapoolne lüli on horisontaalne b) ühenduspunkti kiirus on null. Vastus: mõlemal juhul a = / 3l l 3l l Siin kulub ära kaks ideed. Idee nr 8: kuiõrd kõa keha liikumisel tema sualise kahe punkti aheline kaugus ei muutu, siis kummagi punkti kiiruste projektsioonid neid punkte ühendaale sirgele on õrdsed. Idee nr 9: kui kõa keha pöörleb ümber fikseeritud pöörlemistelje, siis tema sualise punkti kiirendus koosneb kahest komponendist: pöörlemistelje poole suunatud kesktõmbe kiirendusest ω r= /r ja sellega risti oleast komponendist εr. Siinjuures ω tähistab keha nurkkiirust, ε nurkkiirendust ja r kaugust pöörlemisteljest. Hoiatus nr 5: siin ei ole jutt mitte hetkelisest pöörlemisteljest, aid telg peab olema tõesti paigal (täpsemini, hetkelise pöörlemistelje asukoha kiirendus peab olema null). Idee nr 3: mõnikord on abi sellest, kui tuua lisaks ruumikoordinaatidele sisse ka ajatelg ja tasandilise liikumise puhul aadelda 3-mõõtmelisi graafikuid seda isegi siis kui ülesande tekstis otseselt ajalisest sõltuusest juttu ei ole. Ülesanne 3 (Kant F88) Punktidest, ja C, mis asuad ühel ja samal sirgel nii et asub ja C ahel, hakkaad konstantsete (kuid erineate) kiirustega liikuma kolm keha a, b ja c. On teada, et i) kui keha c puuduks, siis a ja b põrkuksid omaahel ja ii) kui keha b puuduks, siis a ja c põrkuksid omaahel ning see toimuks enne kui juhtumil i). Kas b ja c põrkuksid omaahel kui puuduks keha a? Vastus: jah Selle ülesande juures on abi eel ka stereomeetrilistest teadmistest, näiteks, et 3 punkti lebaad alati mingil tasandil, ning et sirge ja üks punkt määraad samuti tasandi. Seega õib esialgselt kolmemõõtmelisena paistnud liikumine osutuda kahe-mõõtmeliseks. Kokkuõte Siin aadeldud lahendusideedest osa on uniersaalsemad (nr. 1,, 3, 5, 8, 11, 1, 16, 19, 4, 7), osa ähem uniersaalsed. Igatahes tasuks nad kõik meelde jätta. Ja edaspidi uute ülesannete lahendamisel tuleks peale lahenduse leidmist teha enese jaoks kokkuõte, milles seisnes idee. Lõpetuseks olgu eel mõned ülesanded, mis baseeruad eelpooltoodud ideedel. Ülesanne 4 (Kant F718, Ven.ol. 1981, 8.kl.) Kiilul tipunurgaga lebab kuulike, mis on seotud enimatu niidi külge, mille teine ots on kinnitatud ertikaalse seina külge punktis (t. joonis). Milline on kuul trajektoor? Milline on ta kiirendus kui kiilu kiirendus on a? Vastus: a =a sin / a Ülesanne 5 Koer ajab taga rebast, kes jookseb ühtlaselt ja sirgjooneliselt kiirusega 1. Koera kiiruse moodul on küll konstantne ja õrdne -ga, kuid tema ektor on suunatud alati rebase peale. Sel hetkel kui koera ja rebase kiirusektorid olid üksteisega risti, oli kahe looma aheline kaugus l. Milline oli koera kiirendus sel samal hetkel?
Vastus: a = 1 /l r Ülesanne 6 (NSVLol. 198, 8.kl.) Siledat lauda mööda liigub kiiresti pöörle koonuse kujuline urr (kõrgus h, raadius r). Milline peaks olema ta kulgliikumise kiirus, et ta ei lööks ennast astu laua sera ära kui ta üle laua ääre jõuab? Vastus: r g/ H (N! ajalik on tõestus, miks külje astu löömine ei ole ohtlik). h Ülesanne 7 Lõhkeainest on almistatud ühtlane nöör, mida mööda põlemine leib kiirusega. Lööklaine kiirus õhus on c, kusjures <c. Millist joont mööda oleks aja paigutada nöör, et lööklaine jõuaks etteantud punkti kõigist nööri punktidest üheaegselt? Vastus: mööda logaritmilist spiraali (milliste parameetritega?) 3 Ülesanne 8 (NSVLol. 198, 9.kl.) Šarniirne konstruktsioon koosneb rombidest, mille küljed on astaalt l, l ja 3l (t. joonis). Punkt 3 liigub konstantse horisontaalse kiirusega. Leidke punktide 1, ja kiirused sel hetkel, kui konstruktsiooni kõik nurgad on täisnurgad. Lisa küsimus (olümpiaadil puudus): leidke punkti kiirendus. Vastus: / 6, /, 5 / 6, / 36R 1 1 3 Ülesanne 9 Kahest sadamast ( ja ) mille aheline kaugus on l, äljuad samaegselt kaks kaatrit kiirustega astaalt 1 ja. Nende kiiruste ja -d ning -d ühendaa sirge ahelised nurgasd on astaalt ja β. Milline on kahe kaatri aheline minimaalne kaugus? Vastus: l sinφ, kus tanφ = ( 1 sinβ - sin) /( cosβ + 1 cos). 1 β Ülesanne 3 Raske ketas raadiusega R eereb allapoole rullides lahti kahte nööri, mis on kinnitatud lakke. Ketta liikumise käigus on nöörid kogu aeg ühtlase pinge all. Milline oli sel hetkel ketta keskpunkti kiirus, kui tema pöörlemise nurkkiirus oli w ja nurk niidi sihtide ahel? Vastus: ωr/ cos( / ) ω Ülesanne 31 Kaks lauda on asetatud üksteise suhtes täisnurga alla, nende puutejoon on horisontaalne, kuid nad ise on iltu ning üks neist () moodustab horisontaaltasandiga nurga. Elastne kuul lastakse lahti punktis, mille kaugus tasandist on a ning tasandist b. Leida, kui mitu põrget teeb kuul keskmiselt astu seina iga põrke kohta astu seina? Põrked lugeda absoluutselt elastseteks. b a Vastus: atan / b
Ülesanne 3 (Kant F734) Nöör on kinnitatud ühte otsa pidi silindri külgpinnale maapinna ahetus läheduses. Silinder ise on kinnitatud siledale libedale horisontaalpinnale nii, et ta telg on ertikaalne. Nöör on mähitud k korda ümber silndri. Nööri aba otsa külge on seotud klots, millele antakse horisontaalsuunaline kiirus, mis on suunatud piki silndri teljelt tõmmatud raadius-ektorit. Millise aja pärast on nöör silindrile teistpidi tagasi mähitud? Vastus: π kr(k+1)/ r Ülesanne 33 Rasket kasti eetakse kahe traktori abil, ühe kiirus neist on 1, teise kiirus ; kiiruste aheline nurk on. Milline on kasti kiirus, kui eeldada, et köied on paralleelsed kiirusektoritega? Vastus: + cos / sin 1 1 1