EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III. Să se afle umerele aturale petru care fiecare di umerele 7 9 5 este umăr prim. IV. Fie M mulţimea umerelor aturale petru care fracţia 7 04 se poate simplifica. Să se găsească suma primelor 00 de elemete ale mulţimii M. Vasile Şerdea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a VI-a I. Să se determie toate umerele aturale care u pot fi scrise ca sumă de două umere compuse. II. O mulţime A este formată di cici elemete umere îtregi. Determiaţi mulţimea A ştiid că dacă aduăm i toate modurile posibile câte trei elemete di mulţime obţiem următoarele zece sume: 5 6 8 4 5 6 4. Vasile Şerdea III. Î paralelogramul ABCD care are ( AB) ( AC) bisectoarea [CR (R AB ) a ughiului ACB formează cu BC u ughi cu măsura de 8 o. Ştiid că îalţimea AM (M BC ) a paralelogramului este de 5 cm calculaţi: a) Măsurile ughiurilor triughiului Δ ADC b) Lugimea bisectoarei [CR. Vasile Şerdea IV. Se cosideră 004 pucte î pla. Să se arate că eistă o dreaptă cu proprietatea că î semiplaele determiate de ea se află câte 00 pucte.
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a VII-a I. Să se arate că umărul 44...4 88...8 este pătrat perfect. 004 00 II. Fie 0 y z astfel îcât yyzz=. Să se demostreze iegalitatea y z z III.. Determiaţi umerele aturale petru care reprezită partea îtreagă a umărului a. Maria Tetiva Mircea Lascu 5... = ude [a] Mariaa Ursu IV. Fie [AB] diametrul uui cerc de cetru O. Pe segmetul [OB] se cosideră puctul fi P. Pri P se duce o coardă variabilă [MN]. a) Să se determie poziţia coardei astfel îcât aria patrulaterului AMBN este maimă. b) Să se afle raportul ariilor patrulaterelor cu proprietatea de la puctul a) dacă OP = OB 4 respectiv OP = OB.
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a VIII-a ( ) N I. Arătaţi că umarul A = 7 R Q II. Di şirul căror sumă este. 4 ( ). Ioa Groza să se determie grupul de termei cosecutivi a III. Fie a b c d > 0 astfel îcât a b c d = 6. Să se demostreze iegalitatea: a c c a b d d b 89 4 Mircea LascuMaria Tetiva IV. Fie cubul ABCDA B C D avâd lugimea muchiei a. Pe semidreptele [CD [CB [CC se cosideră puctele X Y respectiv Z astfel îcât CX= a CY = ay CZ=az ude z y ( 0 a). Plaul determiat de puctele X Y şi Z împarte cubul î două corpuri. Să se demostreze că volumele celor două corpuri sut egale dacă şi umai dacă are loc relaţia: y z a a a y a z z ( a )( a y)( a ) = Daiel Văcăreţu
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a IX-a I. Se cosideră umerele reale pozitive a b c astfel îcât a ab 8 şi abc 80. Să se 7 arate că abc. 0 II. Fie f : R R f m [0.) ) = m [] 0 R \ [0] ( Gheorghe Loboţ Determiaţi m R * m R * R R îcât să eiste umerele reale a b c cu proprietatea III iegalitatea af() bf(-) cf(-) = f() R. Octavia Agratii Să se determie cel mai mic umăr atural cu proprietatea că petru orice real are loc 00. IV Liviu Igat Mircea Lascu Fie ABCD u patrulater îscris îtr-u cerc de cetru O. Notăm H A H B H C respectiv H D ortocetrele triughiurilor BCD CDA DAB respectiv ABC şi cu G A G B G C respectiv G D cetrele de greutate ale aceloraşi triughiuri. Fie I A I B I C respectiv I D simetricele puctelor G A G B G C respectiv G D faţă de H A H B H C H D şi J A J B J C J D simetricele puctelor H A H B H C respectiv H D faţă de G A G B G C G D. Să se demostreze că dreptele AI A BI B CI C DI D sut cocurete îtr-u puct X şi dreptele AJ A BJ B CJ C DJ D sut cocurete îtr-u puct Y şi puctele O X Y sut coliiare. Daiel Văcăreţu
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a X-a I. Fie f : R C cu proprietatea că ( ) tt R( )cc C are loc iegalitatea f ( 0)( c c ) f ( t t ) cc f ( t t ) cc 0 Demostraţi f ( t) = f ( t) şi f(t) f( 0 ) ( )t R Octavia Agratii II. Să se arate că şirul ( ) defiit pri = = 5 şi = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 5 4 = ( ) are toate elemetele umere aturale pătrate perfecte. Dorel Duca k III. Fie P u poliom de gradul 004. Dacă P ( k) = petru k = 0...004 calculaţi k P(005). Dori Adrica IV. Fie ABCD u patrulater îscris îtr-u cerc P u puct pe cerc şi G cetrul de greutate al patrulaterului. Să se demostreze că epresia PA PB PC PD 4PG este costată. Daiel Văcăreţu
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a XI-a I. a) Fie u umăr atural fiat. Demostraţi: dacă ( ) y atuci: y y b) Arătaţi că : ( ). Dori Adrica ( ) II. Fie A Μ C cu. Să se arate că esigulară S astfel îcât A = S S (dacă ( a ij ) A A = I dacă şi umai dacă eistă o matrice A = atuci ( ) A = ). a ij Să se calculeze lim. III. Fie ( 0] si = arcsi( si ) 0. 0 y IV. Fie ( ) şi ( ) două şiruri de umere reale cu proprietatea că Titu Adreescu y 9 = arctg 0 ( ). Să se arate că şirul ( ) este coverget dacă şi umai dacă şirul ( y ) este coverget. Dorel Duca
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a XII-a I. Să se calculeze: lim / 0 d. II. Să se arate că petru orice fucţie cotiuă f [ ] R Dori Adrica : eistă cel puţi u puct π 5π c astfel îcât: 4 4 ( si ) f ( cosc) cosc f ( si c) = 0 c. III. Fie A u iel ecomutativ astfel îcât = petru orice di A. Dorel Duca Să se arate că: y ( ) y A = y : ( ) R lim g( ) = 0 IV. a) Fie g 0 o fucţie cotiuă astfel îcât.. Demostraţi lime b) Arătaţi că dacă f [ 0 ) R cotiuă astfel îcât eistă: 0 t e g () t dt = 0. : este o fucţie de două ori derivabilă cu derivata a doua atuci eistă lim f ( ) şi are loc f ( ) = l ' '' ( f ( ) f ( ) f ( ) ) = l lim lim. Dori Adrica