UNIVERZA V LJUBLJANI FMF, oddelek za fiziko seminar Laser na proste elektrone

UNIVERZA V LJUBLJANI FMF, oddelek za fiziko seminar Laser na proste elektrone Bojan Žunkovič mentor: doc. dr. Matjaž Žitnik 7. maj 2007 Povzetek V preteklosti je bilo sinhrotronsko sevanje pri pospeševanju nabitih delcev moteč faktor, zaradi katerega so delci po nepotrebnem izgubljali energijo. Vendarle se je tako sevanje sčasoma uveljavilo kot nepogrešljiv in samostojen vir svetlobe. Razvoj teorije in tehnike je pripeljal do novih učinkovitih načinov generiranja svetlobe. Pojavili so se shranjevalni obroči, wigglerji in undulatorji. Logična posledica koherentne narave svetlobe v undulatorjih so laserji na proste elektrone. Princip delovanja temelji na interakciji med nabojem in sevanjem, vendar se mehanizem razlikuje od tistega pri nvadnih laserjih, ki temelji na stimulirani emisiji med nivojema v danem atomu, molekuli ali snovi. Ta poseben način sklopitve med snovjo in valovanjem v laserju na proste elektrone bo predstavljen v seminarju. Omogoča generiranje koherentne svetlobe z veliko intenziteto na širokem spektralnem območju, od mikrovalov do X-žarkov. Prav zato je njihova praktična vrednost zelo velika, tako kot tudi potenciali za uporabo na mnogih področjih. Kazalo 1 Uvod 2 2 Sevalno polje klasičnih nabitih delcev 2 3 Lastnosti sinhrotronskega sevanja 3 3.1 Porazdelitev sevalnega polja.............................. 3 3.2 Spektralne lastnosti sevalnega polja.......................... 5 4 Izvori sinhrotronskega sevanja 5 4.1 Undulator in wiggler.................................. 7 4.2 Enačbe gibanja za undulator............................. 7 4.2.1 Enačba undulatorja.............................. 8 4.3 Spekter undulatorja.................................. 9 4.4 Razlika med undulatorjem in dipolom........................ 9 1

1 UVOD 2 5 Laser na proste elektrone 9 6 Majhno ojačanje 10 6.1 Resonančni pogoj.................................... 10 6.2 Stimulirano sevanje................................... 11 6.3 Gibanje elektrona pri majhnem ojačanju....................... 11 6.4 Ojačevalni faktor.................................... 12 7 Veliko ojačanje 13 7.1 Počasi spreminjajoče polje............................... 14 7.2 Sklopljene enačbe prvega reda............................. 15 7.3 Vrste laserjev na proste elektrone........................... 15 8 Primerjava teorij in eksperimenti 18 8.1 Numerična integracija sklopljenih enačb....................... 18 8.2 Obstoječe naprave in načrti za prihodnost...................... 19 9 Zaključek 20 1 Uvod Že več kot pred sto leti je bilo znano, da pospešeni naboji sevajo. Leta 1897 je Larmor izračunal celotno moč, ki jo izseva nabiti nerelativistični delc, P = e 2 6πɛ 0 m 2 c 3 (dp dt )2. (1.1) Leta 1898 je Liénard posplošil Larmorjev rezultat za krožeč delec. Zgodnjim odkritjem je sledil premor, ki je trajal vse do leta 1940, ko je raziskovanje ponovno zaživelo z opazovanjem sevanja relativističnih delcev. Vendar je bilo le to bolj stranski učinek pospeševanja delcev do visokih energij, ki je bil glavni cilj raziskovanja. Sevanje krožečih relativističih delcev so prvič opazovali na sinhrotronu, zato se imenuje sinhrotronsko sevanje. Leta 1950 je Corson dokazal, da je moč sevanja sorazmerna s četrto potenco energije delca. Istega je leta Motz raziskal lastnosti undulatorja. To je vzpodbudilo razvoj shranjevalnih obročev, undulatorjev in wigglerjev. Vedno večja uporaba undulatorjev povzroči razvoj laserjev na proste elektrone. Klasično teorijo leteh razvijeta Colson (1977, 1978) in Pellegrini (1979). Osnovna lastnost takšnega laserja je, da elektron ni vezan, tako kot pri običajnih laserjih, kar omogoči večji razpon pri generiranju elektromagnetnega valovanja. Predlaganih je bilo več načinov izvedbe laserja na proste elektrone, s katerim poskušajo izboljšati njegove lastnosti. V nadaljevanju bom strnjeno predstavil princip delovanja laserjev na proste elektrone. Obravnavo bom začel z opisom sevanja pospešenega naboja v kalsičnem in relativističnem smislu. Nato bom opisal sevanje v sinhrotronih, shranjevalih obročih in undulatorjih, kar bo podlaga za teorijo laserja na proste elektrone. Opisal bom dva primera teorije za eno dimenzijo, in sicer za majhno in veliko ojačanje. 2 Sevalno polje klasičnih nabitih delcev Sevanje pospešenih nabojev opisuje klasična teorja elektromagnetnega polja. Osnovne enačbe v reprezentaciji z elektromagnetnima potencialoma so Riemman-Sommerfeldove enačbe, ki so

3 LASTNOSTI SINHROTRONSKEGA SEVANJA 3 ekvivalentne Maxwellovim enačbam za elektromagnetno polje. Rešitve teh enačb so retardirani in avansirani potenciali. Iz teh lahko z osnovnima zvezama B = A in E = ϕ da dt izračunamo električno in magnetno polje, ki se za gibajoč točkst delec v Lienard-Wiechertovi 1 obliki zapiše kot ( ( ) ) E(r, t) = e [ (R(t ) R(t )v(t ) c )(1 v2 (t ) ) R(t ) R(t ) R(t )v(t ) c 2 c v(t ) ] + (2.1) 4πɛ 0 (R(t ) R(t ) v(t ) c ) 3 c 2 (R(t ) R(t ) v(t ) c ) 2 ( ( ) ) [ e (v(t ) R(t ))(1 v2 (t ) ) R(t ) R(t ) R(t )v(t ) c B(r, t) = 2 c v(t ) ] 4πɛ 0 c 2 + (R(t ) R(t ) v(t ) c ) 3 cr(t )(R(t ) R(t ) v(t ) c ) 2 Tukaj je R = r r (t ), vpeljem tudi enotski vektor N(t ) = R(t ) R(t ), ki pove smer opazovanja polja glede na delec. Obe polji lahko razdelimo na hitrostni del polja, ki pada kot R 2, in sevalni del, ki pada kot R 1. Obravnaval bom samo sevalni del, ker nas bodo zanimala le polja pri velikih razdaljah R. Iz (2.1) takoj sledi, da je hitrostni del polja v lastnem sistemu enak nič. Sevalno polje je med drugim odvisno tudi od kota med pospeškom delca in njegovo hitrostjo. Ker bomo obravnavali delce v magnetnem polju, se lahko omejimo na primer, ko je pospešek pravokoten na hitrost delca. Takšnemu sevanju pravimo sinhrotronsko sevanje. 3 Lastnosti sinhrotronskega sevanja 3.1 Porazdelitev sevalnega polja Predpostavimo, da delec kroži v ravnini xz s kotno hitrostjo ω po krožnici z radijem a. Postavitev koordinatnega sistema za splošno pot delca prikazuje slika 3.1. Moč, ki jo oddaja delec v določeni Slika 3.1: Postavitev koordinatnega sistema. Elektroni se gibljejo po krogu z radijem a. Njihov tir opisuje vektor r (t). Vektor r je krajevni vektor opazovalca. 1 Več o teoriji elektromagnetnega polja lahko najdete v referencah [1] in [2].

3 LASTNOSTI SINHROTRONSKEGA SEVANJA 4 smeri izraža Poyntingov vektor P N(t ) = 1 ( ) E(r, t) B(r, t) N(t ɛ0 ) = E 2 (r, t). (3.1) µ 0 µ 0 Uporabil zvezo B(r, t) = N(t ) c E(r, t). Če zgornjo enačbo integriramo po celotnem prostorskem kotu in pomnožimo z 2πa v, dobimo izraz za izgubo energije v eni periodi E = e 2 E 4 3ɛ 0 (mc 2 ) 4 a. (3.2) Izsevana moč se tako hitro veča z energijo delca in enako hitro manjša njegovo z mirovno maso. Zato so elektroni najpomembnejši delci, ki se uporabljajo za generiranje sevanja. Porazdelitev sevalnega polja v obeh limitah prikazuje slika (3.2). V lastnem sistemu delca ima polje obliko ciklotronske limite. V sinhrotronski limiti (laboratorijski sistem relativističnega delca) se polje izseva predvsem naprej v kot θ m. Mejni kot porazdelitve sinhrotronskega sevanja θ m hitro ocenimo s pomočjo nerelativistične limite in Lorentzove transformacije. Recimo, da se foton izseva v smeri pravokotno na ravnino gibanja elektrona. Elektron naj se giblje v smeri z izsevani foton pa v smeri y. Četverec gibalne količine izsevanega fotona v laboratorijskem sistemu S izrazimo s četvercem gibalne količine v gibajočem sistemu S P µ = γ 0 0 βγ 0 1 0 0 0 0 1 0 βγ 0 0 γ E r/c 0 p 0 0 = γe r/c 0 p 0 γβe r/c. (3.3) Od tod lahko ob upoštevanju sinhrotronske limite β 1 izrazimo mejni kot sevanja tan θ m = p 0 γp 0 β θ m 1 γ. (3.4) Zadnji rezultat pove, da seva sinhrotronski elektron praktično v smeri tangente, saj se vrednosti za γ v pospeševalnikih gibljejo v mejah 2000 10000. Ta približek lahko uporabimo pri računanju izsevane moči v undulatorjih, tako da naredimo podobno kot pri optiki, Fresnelovo obosno aproksimacijo. Slika 3.2: Primerjava sevalnega polja v laboratorijskem sistemu in sitemu delca.

4 IZVORI SINHROTRONSKEGA SEVANJA 5 3.2 Spektralne lastnosti sevalnega polja Pogosto želimo, da ima izsevana svetloba čimbolj ostro določeno valovno dolžino. Zato je pomembno raziskati spektralne lastnosti polja. Nekaj lastnosti spektra lahko dobimo s preprostim razmislekom. Predstavljajmo si krožeče elektrone. Njihovo valovanje se širi v majhen kot θ m 1/γ. Opazovalec naj v ravnini kroženja spremlja dogajanje skozi zelo tanko režo. Vidi tisto sevanje, ki ga oddaja elektron, ko gre od točke, katere tangenta je za kot θ m nagnjena proti osi opazovalca, do točke, ki ima tangento nagnjeno za kot θ m proti osi. Dolžina pulza je torej razlika v časih, ki jih potrebujeta elektron in sevana svetloba za pot iz prve v drugo točko: t = 2aθ m cβ 2a sin θ m c 2a c (θ m β θ m + θ 3 m/3...). (3.5) Ko upoštevamo zvezi θ m 1/γ in γβ γ 1/2γ dobimo: t = 2a c ( 1 βγ 1 γ + 1 ). (3.6) 6γ3 Ta kratek elektromagnetni pulz ima za posledico širok sevalni spekter s tipično frekvenco 2 ω t 2π t = 3πcγ3 2a. (3.7) Natančnejši račun naredimo tako, da Fouriejevo transformiramo sevalno polje 3. Slika 3.3: Značilna oblika spektra sinhrotronskega sevanja elektrona, ki potuje skozi dipolni magnet. 4 Izvori sinhrotronskega sevanja Na začetku so sinhrotronsko sevanje dobili kot stranski produkt pri pospeševanju delcev. Takšna svetloba še ni imela želenih lastnosti (monokromatičnost, koherenca). Osnovna shema sinhrotona je prikazana na sliki 4.1. Zaradi odvisnosti radija in s tem tudi magnetnega polja od energije 2 Tipična frekvenca je povezanan s kritično (ω c = ω t /π). Ta se ujema s kritično energijo na sliki (3.3) 3 Razumljiva izpeljava je v literaturi. [2].

4 IZVORI SINHROTRONSKEGA SEVANJA 6 delcev, sihrotron le-teh ne pospešuje že od začetne energije, marveč potrebuje napravo (linearni pospeševalnik), ki jih predhodno pospeši do določene hitrosti. Magnetno polje v sinhrotronu se nato spreminja glede na energijo delcev, tako da je radij kroženja a konstanten. Energijo dodaja delcem električno polje v radiofrekvenčnih votlinah. Pri majhnih magnetnih poljih bi zunanje motnje zelo vplivale na pot delcev, kar bi povečalo izgube in zmanjšalo kakovost žarka. Poleg magnetov za ukrivljanje poti elektronov (dipolni magneti) so pomembne tudi naprave, ki poskrbijo, da je žarek elektronov dobro kolimiran (kvadrupolni magneti). Tedaj so izgube elektronov v sinhrotronu manjše in svetloba ima boljše spektralne lastnosti. Sčasoma so sinhrotrone Slika 4.1: Shematski prikaz shranjevalnega obroča.b.m (bending magnet): dipolni magnet, F.E (focusing element): optični element, RF (RF cavity): pospeševalni element. kot izvor sinhrotronskega sevanja zamenjali shranjevalni obroči (ang. storage ring), ki imajo popolnoma isto strukturo. Bistvena razlika je v tem, da delcev ne pospešujejo. To pomeni, da je energija delca, ki jo izgubi zaradi sevanja, ravno enaka dodani energiji. Posledica konstantne energije so tudi konstantna polja dipolnih magnetov. Rezultat tega je bolj stabilen žarek delcev, ki je lahko zato bolj kolimiran in ima daljši življenski čas. Zaradi dolge življenske dobe delcev v takšnih obročih, je zelo pomembna žarkovna optika, saj lahko tudi majhne napake po daljšem času povzročijo velike spremembe v poti žarka. Možnost shranjevanja žarka za daljše časovno obdobje ima posebno prednost. Prvotnemu žarku, ki kroži po obroču, lahko pod določenimi pogoji dodamo nov žarek in tako gostoto delcev podvojimo. Ta postopek je mogoče ponoviti večkrat in tako dobimo dobro kolimiran žarek z veliko gostoto. Vendar vbrizgavanja delcev zaradi nestabilnosti in povečanja odbojne sile med delci ni mogoče ponavljati v nedogled. Glavna slabost opisanih virov je, da sevajo v celoten kot zavoja v ravnini. Pri eksperimentih se ponavadi uporablja sevanje na majhnem območju valovnih dolžin, zato je uporaben delež tega sevanja v manjšini. Na srečo je že zelo dolgo poznana boljša rešitev. Kolimiran snop žarkov lahko dosežemo z linearnim zaporedjem kratkih alternirajočih dipolnih magnetov. Takšnim napravam pravimo undulatorji (lat. unda valovanje) in wigglerji. Le ti se ponavadi vstavijo

4 IZVORI SINHROTRONSKEGA SEVANJA 7 v linearni del obroča, tako da dipolni magneti za ukrivljanje žarka delcev prevzamejo drugotno vlogo prenašanja delcev od konca ponovno na začetek linearnih izvorov. 4.1 Undulator in wiggler 4.2 Enačbe gibanja za undulator Osnovno zgradbo undulatorja prikazuje slika 4.2. Alternirajoče zaporedje dipolnih magnetov povzroči periodično magnetno polje vzdolž osi žarka z valovno dolžino λ u. Razdaljo med magneti bom označil z g. Privzamemo lahko, da je g L, kjer je L = N u λ u dolžina undulatorja in N u število magnetov. V takšnem idealnem undulatorju se magnetno polje spreminja sinusno s Slika 4.2: Shema undulatorja. koordinato z B y = B 0 cos ( 2π λ u z) = B 0 cos (k u z). (4.1) Če predpostavimo, da sevalno polje ne vpliva na delce in zanemarimo interakcijo med delci v undulatorju, so delci med seboj neodvisni. Sevalno polje je v prvem približku odvisno od gibanja posameznega delca v polju undulatorja. Najprej je treba poiskati rešitev enačbe gibanja, V približku β z 1 velja dβ dt = dmγβ dt = e(e + β B). (4.2) eb 0 mγ β z cos (k u ct) 0 eb 0 mγ β x cos (k u ct). (4.3) Če upoštevamo še ohranitev energije ter β x 1, lahko zgornjo enačbo integriramo K γ sin (k uct) β = 0 1 1 K2 sin 2 (k γ 2 γ 2 u ct), K = eb 0 k u mc. (4.4)

4 IZVORI SINHROTRONSKEGA SEVANJA 8 Ker želimo ugotoviti, kakšna je trajektorija delcev v undulatorju, je treba zgornjo enačbo še enkrat integrirati, K k cos (k uγ uct) X = 0. (4.5) (1 1 K2 )ct + K2 2γ 2 4γ 2 k uγ sin (2k 2 u ct) Naklon trajektorije delca je podan z enačbo tan θ = v x v z = K γ sin (k uz) θ. (4.6) Opazimo lahko, da je pri K = 1 maksimalen naklon trajektorije enak naravnemu kotu sevanja θ m = 1/γ. Glede na to ločimo undulatorje in wigglerje: K 1 za undulator in K 1 za wiggler. S parametrom K so povezane nekatere lastnosti sevanja. 4.2.1 Enačba undulatorja Po preoblikovanju enačbe za hitrost v z (4.4) in razvoju do prvega člena dobimo Povprečna hitrost je potem v z c 1 1 2γ K2 2γ 2 sin2 (k u z) = 1 1 + K2 /2 2γ 2 K2 4γ 2 cos (2k uz). (4.7) ż c = 1 1 + K2 /2 2γ 2 = 1 1 2γ 2, γ = γ 1 + K 2 /2. (4.8) Delec, ki se giblje v undulatorju niha v smeri x s frekvenco Ω u = k u βc. Zaradi lorentzove transformacije je frekvenca v sistemu S, ki se giblje s hitrostjo β c v smeri z, ob upoštevnju β 1 enaka Ω u = γ γ Ω u = Ω u. (4.9) 1 + K2 2 Tak elektron v sistemu S seva kot dipolna antena monokromatsko svetlobo z isto frekvenco Ω u. Frekvenca ki jo opazujemo v laboratorijskem sistemu je premaknjena zaradi Dopplerjevega efekta Ω 1 = Ω u γ (1 β cos θ) = Ω u (1 β cos θ), (4.10) kjer je θ že prej definirani kot širjenja sevanja glede na smer z v laboratorijskem sistemu. Z valovnimi dolžinami se zgornja enačba napiše v naslednji obliki: λ 1 = λ u (1 β cos θ). (4.11) Zaradi relativističnih hitrosti in θ 1/γ lahko razvijemo cos θ 1 θ 2 /2 in β 1 1 K2 /2 2γ 2. Ob upoštevanju zadnjih aproksimacij je valovna dolžina sevalnega polja, ki jo generira nabit delecpri prehodu skozi undulator λ 1 = λ u K2 (1 + 2γ2 2 + γ2 θ 2 ). (4.12)

5 LASER NA PROSTE ELEKTRONE 9 Ker je valovna dolžina odvisna tudi od kota opazovanja, svetloba ni monokromatska. Če je kot θ 1 γ lahko v prvem približku privzamemo, da je izsevana svetloba monokromatska. Zgornja izpeljava velja le, če je K 1. 4.3 Spekter undulatorja Kot pri dipolnem magnetu, nas tudi pri undulatorju zanimajo spektralne lastnosti valovanja. Spektra se razlikujeta zaradi različnih trajektorij delcev v vsaki napravi. Sevanje v undulatorju je v bistvu spontano sevanje laserja na proste elektrone. Določili smo že valovno dolžino sevanja in njegovo porazdelitev po prostoru. Zanima nas še, kakšna je njegova spektralna gostota. Račun lahko naedimo neposredno v laboratorijskem sistemu 4, ali pa se poslužimo trika, tako da se najprej preselimo v sistem delca in nato rezultat pretransformiramo nazaj. Oba računa sta dokaj komplicirana, zato ju ne bom navajal. Pomembno je, da pot delca v undulatorju vpliva na spekter, ki postane veliko bolj ozek. Za majhne vrednosti K 1 je spekter sestavljen večinoma iz osnovne komponente. Sevano polje je koherentno. Za K > 1 zaznavno prispevajo k spektru vedno višji harmoniki. Pri K 1 k spektru prispeva zelo veliko harmonikov osnovne frekvence. Takšnemu undulatorju pravimo wiggler. Sevanje več ni koherentno. Polarizacijo izsevane svetlobe določa undulator: ta je linearna za sinusni in krožna za vijačni undulator. 4.4 Razlika med undulatorjem in dipolom Primerjajmo svetlobo iz undulatorja in sinhrotrona. Bistvene prednosti undulatorja so: svetloba je izsevana v ozkem spektralnem območju okoli ω L (monokromatska svetloba), kot sevanja je majhen 1/γ (dobro kolimirana svetloba), intenziteta sevane svetlobe je veliko večja. Tako je edina prednost dipolnega magneta bolj preprosta in poceni izdelava. Slika 4.3: Spekter undulatorja v lastnem in laboratorijskem sistemu za sevanje v smeri gibanja. 5 Laser na proste elektrone Osnovni princip delovanja je interakcija med ultrarelativističnimi prostimi elektroni in elektromagnetnim valovanjem, ki ni podobna tisti pri običajnih laserjih. Energija se prenaša pri preletu nabitega delca (ponavadi elektrona) skozi magnetno polje. Princip delovanja je dal napravi tudi ime (Free Electron Laser: FEL). Posebna lastnost tega laserja je široko območje delovanja, od 4 Celotna izpeljava je v literaturi [5].

6 MAJHNO OJAČANJE 10 mikrovalov do gama žarkov. Ponavadi razlikujemo med Comptonovim in Ramanovim laserjem. Pri prvem je interakcija med elektroni v žarku zanemarljiva, pri drugem pa ne. V okviru seminarja se bom omejil le na prvi tip. Shema delovanja laserja na proste elektrone je podobna shemi za undulator. Dodati je treba zgolj polje zunanjega laserja E L. Električno polje laserja E L in hitrost elektrona sta med seboj prevokotna. Zaradi tega prenos energije ni mogoč. Sprememba energije je mogoča le, če elektron periodično oscilira pravokotno na glavno smer gibanja. Tedaj ima elektron pravokotno komponento hitrosti v x in lahko neposredno izmenja energijo z elektromagnetnim poljem. Vendar je prenos energije mogoč le, če je faza med elektronom in poljem konstantna čez veliko period undulatorja. Teorija laserja na proste elektrone je dokaj zapletena, zato bom v okviru seminarja obravnaval le del 1-D FEL teorije. Osnovne predpostavke in prijemi te teorije so: zanemarimo dvisnost gostote elektronov in elektromagnetnih polj od smeri x, y (pravokotni smeri na os gibanja). Zanemarimo betatronske oscilacije. V enačbi [ 2 2 j ]E z 2 c 2 t 2 x (z, t) = µ x 0 zadnji člen zanemarimo. t + ρ ɛ 0 x je gostota naboja neodvisna od x, zato lahko Elektromagnetno valovanje obravnavamo kot ravni val (E = E 0 exp i[(k L s ω L t + ψ 0 )]). Glede na spreminjanje elektromagnetnega polja ločimo dva režima delovanja laserja: 1. Majhno ojačanje: E 0 konst; 2. Veliko ojačanje: E 0 konst in E x (0) = E 0 Ponavadi vpeljemo novi spremenljivki ϕ in ζ, definirani z enačbo θ = ϕ π/2 = 2πζ/λ l π/2. 6 Majhno ojačanje Pri majhnem ojačanju lahko predpostavimo, da je gibanje elektrona v undulatorju neodvisno od elektromagnetnega polja laserja. Zato je obravnava takšnega laserja nekoliko lažja. Obravnaval bom enodimenzionalni primer, ko kaže električni del polja v smeri x in je v x c ter E x konst = E 0. 6.1 Resonančni pogoj Za prenos energije med elektronom in poljem mora biti izpolnjen resonančni pogoj. Najprej zapišimo kako vpliva električni del polja na elektron W = e E L dz = e v Edt. (6.1) Zgornja enačba jasno pove že prej omenjeno, namreč da je za prenos energije pomembna le pravokotna komponenta hitrosti v x = ẋ = Kβc γ exp (ik u z). Predpostavimo, da je valovanje laserja linearno polarizirano, tako da je električno polje enako E L = (0, E x, 0). V tem primeru lahko elektromagnetno polje zapišemo kot ravni val E x = E 0 exp i[(k L z ω L t + ψ 0 )], (6.2)

6 MAJHNO OJAČANJE 11 kjer je k L = 2π/λ L (λ L je valovna dolžina svetlobe) in ω L = k L c. Zadnji člen ψ 0 označuje fazo med elektromagnetnim valom in elektronom. Ko vstavimo to v integral (6.1) dobimo W = ee 0Kβc γ exp {i[(k L k u )z ω L t + ψ 0 ]}dt exp (iψ(t))dt. (6.3) Če želimo imeti prenos energije mora biti faza konstantna s časom. To nas privede do enačbe dψ dt = (k L + k u )ż ω L = 0. (6.4) V zgornji enačbi je ż = v = β c. Zapišemo jo lahko z valovnima dolžinama λ L = λ u ( 1 1). (6.5) β Če upoštevamo še ultrarelativistični zvezi β 1 1 2γ 2 in β 1 1 2γ 2 (1 + K2 2 ) dobimo λ L = λ u K2 (1 + ). (6.6) 2γ2 2 Vidimo, da mora biti za prenos energije valovna dolžina laserja ravno enaka valovni dolžini valovanja, ki ga ta elektron izseva. Torej lahko simultano izsevano svetlobo undulatorja uporabimo kot zunanje polje s katerim so sklopljeni elektroni. 6.2 Stimulirano sevanje Z izbiro ustrezne faze lahko energijo elektronu dodamo ali odvzamemo. Če upoštevamo, da je celotna sprememba energije enaka W = W e + W m = 2 W e, je sprememba energije elektrona v eni periodi W = 2eKE 0λ γ sin ψ. (6.7) Ker je sprememba energije elektrona po drugi strani enaka tudi dw = dγmc 2, zapišemo s pomočjo enačbe (6.3) naslednjo relacijo dγ dz = k uk L K sin ψ, γ K L = eb L k u mc. (6.8) Iz zgornje enačbe neposredno sledi, da je sevanje odvisno od faze ψ. Z ustrezno izbiro faze lahko elektron na ta način pospešimo ali pa zavremo. Pomembno je tudi omeniti, da pride do spremembe energije elektrona le, če je prisotno elektromagnetno polje. To pomeni, da gre za proces sevanja, ki ga stimulira zunanje polje. 6.3 Gibanje elektrona pri majhnem ojačanju. Elektron je v resonanci z elektromagnetnim valom, ko ima resonančno energijo W r = γ r mc 2, kjer γ r definiramo z enačbo λ L = λ u 2γr 2 (1 + K 2 /2). (6.9)

6 MAJHNO OJAČANJE 12 Ob dovolj velikih laserskih poljih se del elektronov blizu resonančne energije ujame v elektromagnetno polje laserja. Takšnim elektronom se spreminjata tako faza ψ, kot tudi energija (γ). Priročno je definirati relativno odstopanje energije kot Odvod faze po času za γ γ r je η = γ γ r γ r, (6.10) ψ = (k L + k u )β c ω L k u c k Lc(1 + K 2 /2) 2γ 2 0 (6.11) Ob upoštevanju, da je zgornji odvod za delce z energijo γ r enak nič, iz enačbe (6.11) v prvem približku sledi prva enačba nihala dψ dt = 2k ucη (6.12) Drugo enačbo dobimo kar s časovnim odvodom relativnega odstopanja energije dη dt = k ukk L γr 2 sin ψ (6.13) Če definiramo še Ω = 2kuKK L dobimo ob kombinaciji prejšnjih dveh enačb enačbo matematičnega nihala s kotno hitrostjo γr 2 Ω ψ + Ω 2 sin ψ = 0. (6.14) Sistem se obnaša točno tako kot matematično nihalo. Za majhne odmike η faza harmonično niha. Pri večjih energijah postane gibanje neharmonično. Za zelo velike vrednosti γ pa dobimo kroženje v faznem prostoru. Fazne portrete za različne načine gibnja prikazuje slika (6.1). Slika 6.1: Značilne fazne trajektorije za različne energije delcev. 6.4 Ojačevalni faktor Do sedaj sem opisoval gibanje enega delca, vendar je kljub predpostavki neodvisnosti delcev potrebno upoštevati tudi prostorsko in energijsko razporeditev delcev. Žarek elektronov je sestavljen iz gruč velikih kakšen centimeter, kar je mnogo več, kot znaša karakteristična valovna dolžina undulatorja. Zato je fazni prostor znotraj gruče na intervalu [ π, π] približno

7 VELIKO OJAČANJE 13 Slika 6.2: Leva slika prikazuje elektronski žarek, ki ima energijo γ r in zato je ojačanje nič. Na desni sliki ima žarek večjo energijo kot γ r, zato je skupno ojačanje pozitivno. enakomerno zapolnjen. Če imajo elektroni ravno resonančno energijo, je celotna sprememba energije enaka nič ( γ = 0.) Zato se elektromagnetno valovanje v povprečju ne ojači. Če povečamo energijo elektronov v žarku bo celotna energija, ki se izseva z elektromagnetnim valovanjem v povprečju pozitivna. Ojačanje definiramo kot G = γ vhodni γ γ vhodni. (6.15) Omeniti velja še Madejev teorem, ki pravi, da je ojačanje pri neki energiji vhodnih elektronov enako negativnemu odvodu spektralne gostote spontane emisije undulatorja pri isti energiji. Do sedaj izpeljana teorija velja le ob predpostavki, da se polje zunanjega laserja bistveno ne spreminja. To pri velikih ojačanjih seveda ni res, zato potrebujemo za opis takšnega laserja boljšo teorijo. Slika 6.3: Madejev teorem za majhno ojačanje laserja na proste elektrone se dobro ujema z rezultati linerane teorije. 7 Veliko ojačanje Velika prednost tega načina delovanja laserja je, da elektroni sevajo koherentno. Torej ne sevajo več neodvisno. Zato jakost sevanja raste s kvadratom števila delcev: I N = Ndelci 2 I 1. Zgleda težavno, da bi tako vliko delcev spravili v prostor ene valovne dolžine λ L, ki je dosti manjša

7 VELIKO OJAČANJE 14 od začetne velikosti gruče. Ta težava se reši praktično sama od sebe. Elektroni, ki izgubljajo energijo, potujejo po sinusoidni trajektoriji z večjo amplitudo. Za elektrone z manjšo amlitudo velja ravno obratno. Zaradi tega se elektroni zbirajo v skupkih, ki so manjši od λ L. Slika 7.1: Zbiranje elektronov v tankih rezinah znotraj gruč (eng. Micro bunching)-numerična simulacija procesa. 7.1 Počasi spreminjajoče polje Pri tej aproksimaciji se amplituda znotraj ene valovne dolžine zelo malo spremeni, de x dz λ L E x (z) de x dz k d 2 E x L E x (z), dz 2 zanemarimo. (7.1) Od tod dobimo diferencialno enačbo za počasi spreminjajočo se amplitudo polja v smeri x Tok j x lahko določimo z enačbo Časovni odvod gostote toka je de x dz = iµ 0 2k L j x t exp [ ik L(z ct)]. (7.2) j x = j z v x /v z j z v x /c = j z K γ sin(k uz). (7.3) j z t = j z ψ ψ t = iω Lj 1 e iψ = iω L j 1 exp [ik L (z ct) + ik u z], (7.4) žkjer je j 1 gostota toka elektronov. Po uporabi zadnjih zvez je diferencialna enačba za E x de x dz = iµ 0cK 4γ j 1(1 exp (2ik u z)). (7.5) Drugi člen v oklepaju se čez več period undulatorja povpreči v nič. Zaradi neenakomerne gostote elektronov ρ 1 po osi z imamo tudi električno polje v tej smeri. Dobimo ga iz Maxwellove enačbe E = ρ/ɛ 0. Enačba se razpiše v Po integraciji dobimo de z dz = ρ 1(z) ɛ 0 exp i(k u + k L )z ω L t). (7.6) i E z = ɛ 0 (k L + k u ) ρ 1 iµ 0c 2 j 1. (7.7) ω L

7 VELIKO OJAČANJE 15 7.2 Sklopljene enačbe prvega reda Prva enačba nihala (6.12) velja tudi za veliko ojačanje. Druga enačba nihala (6.13) se nekoliko spremeni, saj sedaj polje E x ni več konstantno. Da bo sistem enačb popoln, moramo dodati še enačbo za spremembo energije zaradi polja E z, ki ga pri majhnem ojačanju zanemarimo. Sprememba energije je potem podana z ( dη dz ) EMP = ek 2mc 2 γr 2 Re(E x e iψ ) in ( ) dη = e dz delci mc 2 Re(E z e iψ ). (7.8) γ r Celotno spremembo energije doimo, ko združimo zgornji enačbi dη dt = e { (KEx } mc 2 Re + E z )e iψ. (7.9) γ r 2γ r Naša naloga je poiskati gibanje elektronov v faznem prostoru, tako da upoštevano spreminjanje polja E x ter interakcijo med delci (polje E z ). Obe sta povezani z gostoto toka j 1. Začetna porazdelitev delcev je takšna, da je njihova gostota po osi z konstantna. Če privzamemo da je undulator veliko večji od λ L, je očitno, da je porazdelitev po času periodična s periodo λ L. Za N delcev je tako potrebno rešiti 4N sklopljenih enačb dη n = e { (KEx dz mc 2 Re iµ 0c 2 } j 1 )e iψn (7.10) γ r 2γ r ω L dψ n = 2k u η n dt de x = i µ 0cK dz 4γ j 1 j 1 = n e ec 2 N exp ( iψ n ) N n=1 Sistem je rešljiv numerično, a ga lahko z nekaj poenostavitvami prevedemo na eno enačbo tretjega reda, ki je analitično rešljiva. Privzeti moramo, da je periodični del gostote majhen, tako da eliminiramo spremenljivki ψ in η, ki opisujeta gibanje delcev. Dobimo diferencialno enačbo za amplitudo elektromagnetnega polja E x (z) d 3 E x dz 3 + 4ik d 2 E x uη 0 dz 2 + (k2 p 4kuη 2 0) 2 de x dz iγ2 E = 0, (7.11) kjer so Γ = 3 µ0 K 2 e 2 k un e 4γr 2 m, k p = ωp 2λL c γ rλ u, ω p = nee 2 ɛ 0 m. Zgornja enačba je analitično rešljiva. Posledica rešitve enačbe je eksponentna rast moči elektromagnetnega valovanja kjer je P 0 začetna moč valovanja. P (z) = P 0 9 e 3Γz za z L g = 2/ 3Γ, (7.12) 7.3 Vrste laserjev na proste elektrone FEL oscilator Zgradbo prikazuje slika (7.2). Valovanje ujamemo med dve zrcali v tako imenovan resonator. To valovanje nato ojači sevanje. Pomembno je, da je ojačanje večje od izgube na zrcalih zaradi relativno majhne odbojnosti. V resonatorju je možnih več harmonikov. Težava pri tej izvedbi je predvsem pomanjkanje dobrih ogledal za X-žarke. Da bi dosegli zadostno ojačanje, bi bili potrebni undulatorji daljši od 10 m.

7 VELIKO OJAČANJE 16 Slika 7.2: a): Shematski prikaz običajnega laserja s pomočjo resonatorja (dveh zrcal). b): SASE izvedba laserja na proste elektrone Slika 7.3: Odbojnost za različne materiale.

7 VELIKO OJAČANJE 17 SASE: Self-Amplified-Spontaneous-Emission Za izvedbo takšnega laserja sta potrebna dolg undulator in velika gostota elektronov v žarku. Spontana emisija na začetku undulatorja povzroči razporeditev elektronov v gruči in stimulirano emisijo v kasnejših delih undulatorja. Posledica tega je eksponentna rast ojačanja vse do nasičenja. Princip delovanja prikazuje slika (7.4). V primerjavi z navadnim sinhrotronskim sevanjem ima laser na proste elektrone več prednosti: veliko ojačanje (moč je 9 redov velikosti večja, najvišja svetlost je 10 redov veliksti včja) popolna transverzalna in delna longitudinalna koherenca skrajšanje trajanja sunka elektromagnetnega polja. Vendar je mogoče te lastnosti še izboljšati. Pri tem je veliko možnosti predvsem glede longitudinalne koherence. Slika 7.4: Shematski prikaz samoojačanja. (1) Spontana emisija povzroči energijsko energijsko razliko med elektroni. (2) Zaradi nje se elektroni znotraj gruče pregrupirajo. (3) Modulacija omogoči koherentno sevanje, ki se kaže v eksponentni rasti moči sevanja. (4) Nasičenje nastopi, ko rast polja in posledično izguba energije elektronov povzročita izgubo modulacije gruče. Seed laser Občutno povečanje longitudinalne koherence dosežemo z zunanjim laserjem, ali pa s kominacijo dveh undulatorjev in monokromatorja. Prvi undulator deluje v linearnem režimu. Ob izhodu so gruče krajevno modulirane, vendar se ta modulacija v vmesnem delu izgubi. Iz dobljene svetlobe izluščimo s pomočjo monokromatorja ozek del okoli resonančne frekvence. Ta del potem služi kot seme namesto navadnega laserja, katerega polje povzroči dolgoročno fazno stabilnost sevane svetlobe. Shematski prikaz delovanja je prikazan na sliki (7.5). Posebna izvedba takšnega laserja ima oznako HGHG (High Gain Hamonic Generator FEL). Deluje v več fazah. Izhodno valovanje prejšnje faze se uporabi kot seme za naslednje. V vsaki izmed faz se frekvenca valovanja nekajkrat poveča, tako da lahko doseže tudi območje X-žarkov. Shema delovanja je prikazana na sliki (7.6).

8 PRIMERJAVA TEORIJ IN EKSPERIMENTI 18 Slika 7.5: Shema dvostopenjskega laserja. Slika 7.6: Shematski prikaz izvedbe HGHG laserja na proste elektrone. 8 Primerjava teorij in eksperimenti V limiti kratkega undulatorja bi se morali rezultati za veliko ojačanje ujemati z rezultati teorije majhnega ojačanja. Slika 8.1 prikazujeje, da je temu res tako. To pomeni, da je teorija majhnega ojačanja le limitni primer bolj splošne teorije velikega ojačanja.v limiti dolgega undulatorja bi se morali napovedi zelo razlikovati. Slika 8.1: Limita kratkega undulatorja. 8.1 Numerična integracija sklopljenih enačb Sistem sklopljenih diferencialnih enačb (7.10) lahko rešimo numerično. Opazimo lahko da se do določene meje teorija velikega ojačanja zelo dobro ujemo z numerično integracijo, vendar le ta po določenem času predvideva nasičenje ojačanja. Tega zaradi poenostavitev pri enačbi tretjega reda ne moremo napovedati.

8 PRIMERJAVA TEORIJ IN EKSPERIMENTI 19 Slika 8.2: Limita dolgega undulatorja. Z večanjem dolžine undulatorja se veča tudi razlika med napovedima teorij. V limiti zelo dolgega undulatorja je največje ojačanje pri resonančni energiji. Slika 8.3: Nasičenje elektromagnetnega valovanja, ki ga predvidi enodimenzionalna teorija velikega ojačanja (numerična integracija). 8.2 Obstoječe naprave in načrti za prihodnost Prvi in edini laser, ki deluje na območju ultravijolične svetlobe in X-žarkov je FLASH v Hamburgu. Svoje delovanje je začel poleti 2005. V bližnji prihodnosti bodo začele delovati tudi naprave v mnogih drugih laboratorijih, kot so Elettra, BESSY, SOLEIL in PAL. Ravno tako bo predvidoma leta 2012 začel delovati tudi Evropski X-FEL. Te naprave bodo omogočile vrsto novih eksperimentov. Posebne lastnosti laserjev na proste elektrone bodo pomembne za nov način raziskovanja molekul, magnetnih in bioloških sistemov, radikalov, kristalov, plazme. Prva takšna lastnost je dolžina pulza, ki je le nekaj sto femtosekund (fs), vendar jo bo možno skrajšati na nekaj fs. To omogoča opazovanje strukture molekul in oblikovanja molekulskih vezi, saj je naravna skala nihanja jeder v območju od 20 do 100 fs. Zato se efekti povezani s položa-

9 ZAKLJUČEK 20 jem jedra pri opazovanju s takšno svetlobo ne povprečijo. Velika moč pulzov sevane svetlobe omogoča raziskovanje nelinearnih lastnosti snovi, pa tudi močno razredčenih snovi. Našteti laserji na proste elektrone bodo proizvajali precej koherentno svetlobo. Tako se bodo pojavile nove možnosti za slikanje, holografijo in raziskovanje sistemov z dimenzijami od 1 do 100 nm. Velika moč in svetlost izvorov bosta omogočili do sedaj nedosegljivo spektralno, krajevno in časovno resolucijo za spektroskopijo. Več o možnostih uporabe laserja na proste elektrone lahko preberete v literaturi [3]. 9 Zaključek Laserji na proste elektrone se raziskujejo že več kot trideset let. Prvi laserji so bili FEL oscilatorji, ki za območje X-žarkov niso primerni zaradi odsotnosti dobrih zrcal za to visokoenergijsko območe. Z boljšimi rešitvami (SASE, HGHG) je danes mogoče zgraditi tudi laserje v območju X- žarkov. Osnovni princip delovanja ostaja enak. Ojačanje žarka povzroči interakcija z elektroni, ki potujejo skozi undulator. V enodimenzionalnem primeru se ta interakcija opiše s sistemom sklopljenih enačb. V splošnem pa je opis veliko bolj zapleten, zato se modlira z numeričnimi simulacijami. Zaradi sklopitve s poljem laserja sevajo elektroni v fazi, tako da je končna intenziteta sevanja več velikostnih redov večja kot pri nekoherentnih izvorih svetlobe. Sevanje je popolnoma transverzalno koherentno, delno pa tudi longitudinalno. Dolžina pulza laserja se v primerjavi s prejšnjimi sinhrotronskimi izvori zmanjša za dva do tri velikostne rede. Vse te lastnosti kažejo na velik potencial tega inštrumenta za reziskovanje na različnih področjih fizike, pa tudi drugih naravoslovnih znanostih. Literatura [1] Rudi Podgornik: Elektromagnetno polje (skripta), November 2005 [2] Jackson J D, Classical Electrodynamics, Wiley, 1962 [3] Več avtorjev, Visions of science: The BESSY SASE FEL in Berlin-Adlershof, BESSY, 2001 [4] E. E. Koch, Handbook on synchrotron radiation, Nord-Holland Publishing Company, 1983 [5] H. Motz, P. Lucini, Undulators and free-electron lasers, Oxford : Clarendon Press, 1990 [6] Wille K., Synchrotron radiation sources, Reports on Progress in Physics, Volume 54, Number 8, 1991, pp. 1005-1067(63) [7] Cyrille A. Thomas, Dynamics of the storage ring free electron laser: theoretical and experimental study of two SRFELs in Europe, Eindhoven : Technische Universiteit Eindhoven, 2003 [8] http://www.physics.nps.navy.mil/fel.html 5 [9] http://en.wikipedia.org/wiki/free_electron_laser [10] http://www.bessy.de [11] http://cas.web.cern.ch/cas/zeuthen/zeuthen-talks/250903/schmueser-fel.pdf 5 Vse internetne reference se nanašajo na datum 7.5.2007.