ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost in simetrije
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Deinicijsko območje in zaloga vrednosti ( ) Z [0, ) D [,) Deinicijsko območje D je senca (tj. slika projekcije) graa na osi, zaloga vrednosti Z pa je senca na osi y.
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Naraščanje in padanje unkcije naraščajoča padajoča Pri stalni temperaturi je tlak padajoča unkcija prostornine. 3
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Lokalno naraščanje in padanje unkcije pri a je unkcija padajoča a b pri b je unkcija naraščajoča 4
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Globalni ekstremi (globalni) maksimum (globalni) minimum 5
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Lokalni ekstremi lokalni maksimum ravnovesne lege so tipični primeri lokalnih ekstremov lokalni minimum 6
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Konveksnost in konkavnost Funkcija je konveksna, če se njen gra krivi navzgor in konkavna, če se gra krivi navzdol. konveksna konkavna konveksnost graa ponazarja pospeševanje procesa konkavnost graa ponazarja pojemanje procesa 7
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Prevoji Prevoji so točke, pri katerih unkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno. Prevoj je točka, pri kateri proces preide iz pospeševanja v zaviranje ali obratno. Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi. 8
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Asimptote Vodoravna asimptota npr. temperatura posode, ki se segreje le do temperature vira npr. dušeno nihanje 9
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Linearna asimptota Vsiljeno nihanje, asimptota je sinusoida 0
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Periodičnost in simetrija liha soda
ELEMENTARNE FUNKCIJE Polinomi 3 p( ) 7 Racionalne unkcije Q ( ) 3 3 5 Algebrajske unkcije A ( ) 3 5 Eksponentne in logaritmske unkcije ( ) e e g( ) ln( ) Kotne in ločne unkcije u( ) sin( ) 3cos( ) v ( ) arcsin w ( ) arctg( )
Elementarne unkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih unkcij. Osnovne unkcije: n potence, n eksponentna e n koreni, n logaritemska ln sinus arkus sinus arkus tangens sin arcsin arctg 3
Funkcije podane z graom Funkcija :A B je predpis, ki vsakemu argumentu priredi eno unkcijsko vrednost. Krivulja v ravnini je gra neke unkcije če jo vsaka navpična premica seka največ enkrat. 4
OBRATNE FUNKCIJE :A B Praslika - (b)={a A (a)=b} (množica rešitev enačbe (a)=b) Predpis b - (b) določa unkcijo, če imajo množice - (b) natanko en element za vse b B. Tedaj je bijektivna, predpis - :B A, b - (b) pa je obratna (inverzna) unkcija za. je surjektivna, če imajo - (b) vsaj en element. je injektivna, če imajo - (b) največ en element. Kadar unkcija ni bijektivna, lahko včasih zožimo njeno domeno ali kodomeno in tako dobimo sorodno unkcijo, ki je bijektivna. 5
EKSPONENTNA FUNKCIJA injektivna surjektivna Zožimo kodomeno na (0,+ ). ep: (0,+ ) je bijektivna. Obratna unkcija je ep - =ln: (0,+ ) 6
TANGENS injektivna surjektivna Zožitev je bijektivna. tg :, Obratna unkcija arc tg tg :, je strogo naraščajoča, ima vodoravni asimptoti y= π/ 7
SINUS injektivna surjektivna Zožitev je bijektivna. sin :, [,] Obratna unkcija je arcsin sin :[,], 8
( ) e y e : je bijekcija y y e Obratna unkcija : ni elementarna unkcija. 9
FUNKCIJSKE ENAČBE, IMPLICITNE FUNKCIJE F(,y)=0 : A B je rešitev unkcijske enačbe, če je F(,y) deinirana za A, y B in je F(,())=0 za vse A. Za unkcijo pravimo, da je podana implicitno. y y 3 ( ) 3 ( ) 3, :[,] 0
4 4 3 y 3y Implicitna enačba določa unkcijo na odseku med dvema navpičnima tangentama ( ) 3 3 6 4 a b 3 ( ) ( ) 3 3 6 4 3 3 6 4 3a 4 3b 4 ( ) 3 3 6 4
) arctg( ) ( ) ( 3 ) ( 3 5 3 ) ( 5 3 3 7 5 3 ) ( 7 5 3 4 ZAPOREDJA FUNKCIJ Taylorjevi približki za unkcijo arctg() FUNKCIJE
( ).9 sin( ) ( ).9 sin 0.38 sin 0.9 sin3 3( ).9 sin 0.38 0.0 sin sin 4 0.9 0.6 sin3 sin5 4( ).9 sin 0.38 0.0 sin sin 4 0.9 0.6 sin3 sin5 0.3 sin 6 0. sin 7 ( ) arctg( ) Fourierjevi približki za unkcijo arctg() 3