Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Transcript

1 Funkcije

2 Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5. Deinicija Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu svakomelementu Xpridruženjedanisamojedanelementy Y kažemo da je na skupu X zadana unkcija sa vrijednostima u Y. Funkciju označavamo slovima:, g, h, Simbolički zapisujemo: : y y ( ) ( )

3 X područje deinicije ili domena unkcije Y područje vrijednosti ili kodomenaunkcije argument ili nezavisna varijabla, X y - vrijednost unkcije ili zavisna varijabla, y Y Funkcija je određena s: domenom, oznaka D kodomenom, oznaka K zakonom pridruživanja Primjer: ( ) : R R,

4 Funkcija je određena s: domenom, oznaka D kodomenom, oznaka K zakonom pridruživanja Tri slučaja kada domena nije skup R: A B razlomak ( ) B 0, D R \ { B 0 } razlomak korijen ( ) A A 0, D A 0 logaritam ( ) log A A > 0, D A > 0

5 Primjer: Odredite domenu unkcije: + ( ) + Primjer: Odredite domenu unkcije: ( )( 3 ) ( ) + Primjer3: Odredite domenu unkcije: ( ) ln 3 4 +

6 . Odredite domene unkcija: a) ( ) 9 D( ) (, 3] [ 3 + ), b) c) d) ( ) ( ) D( ) D( ) ( ) + D( ) + +, (, 3] [ 3 + ), e) ( ) 5 D( ) (, 5] [ 3,4] [ 5 + ), ) 5 4 ( ) log 3 + D, { 4}

7 Načini zadavanja unkcija: analitički tablično graički

8 Analitički prikaz unkcije Ukoliko je unkcija zadana pomoću jedne ili nekoliko ormula, kažemo da je unkcija zadana analitički. Postoje tri osnovna oblika analitičkog prikaza: eksplicitni oblik y ( ) implicitni oblik F parametarski oblik (, y) 0 ( t) y ψ ( t) ϕ, Primjer: Mobilni operater Gulikoža obračunava prepaid tariu XYZ tako da uz pretplatu od 45,00kn obračunava svaku minutu po 0,99kn.

9 Tablični prikaz unkcije Ukoliko je unkcija zadana pomoću tablice, kažemo da je unkcija zadana tablično. Primjer: y 46,98 48,96 50,94 5,9 Za argumente koji nisu dani u tablici vrijednost unkcije određuje se interpolacijom ili ekstrapolacijom.

10 Graički prikaz unkcije Gra unkcije : X Y je skup točaka ravnine: Primjer: G {(, ( ) ) X } :

11 Injekcija, surjekcija, bijekcija Funkcija : X Y je injekcija ako vrijedi: X, ( ) ( ), ( ) Y ( ) Funkcija : X Y je surjekcijaako je X, tj. ako vrijedi: y Y X : y Funkcija : X Y je bijekcija ako je i injekcija i surjekcija. Primjer: Ispitajte bijektivnost unkcije ( ) : R R,

12 Jednakost unkcija Neka su i dvije unkcije. Ako vrijedi: a)x W, imaju iste domene b)y Z, imaju iste kodomene c) : X Y g : W Z ( ) g ( ), X kažemo da su unkcije i g jednake. Primjer: ( ),, 0 < 0 g ( )

13 Monotonost i ograničenost unkcija Funkcija je rastuća ako vrijedi: : X R ( ) ( ), X <, Funkcija : X R je strogo rastuća ako vrijedi: <, ( ) ( ) X <, Funkcija : X R je padajuća ako vrijedi:, ( ) ( ) X <, Funkcija : X Rje strogo padajuća ako vrijedi: >, ( ) ( ) X <, Funkciju nazivamo monotonomako je rastuća ili padajuća, odnosno strogomonotonomako je strogo rastuća ili strogo padajuća.

14 Primjer: ( ) : R R +, Napomena: Svaka monotona unkcija je injektivna. Funkcija : X Rje ograničenaako postoje brojevi m i M za koje vrijedi: m M, X Primjer: ( ) : R R +, [,, ] ( ) sin( ) : R

15 Parne i neparne unkcije Funkcija je parna akko vrijedi: : X R ( ) ( ), X Gra parne unkcije simetričan je s obzirom na ordinatu. Primjer: ( ) : R R +, ( ) : R R +, +

16 Parne i neparne unkcije : X R ( ) ( ), X Funkcija je neparna akko vrijedi: Gra neparne unkcije simetričan je s obzirom na ishodište. Primjer: 3 ( ) : R R, +

17 . Odredite parnost unkcija: a) ( ) P b) ( ) NP c) ( ) NPNN d) ( ) NP e) ( ) sin NP

18 Periodičnost Za unkcija : X Rkažemo da je periodičnaako postoji broj T > 0 takav da vrijedi: ( ) ( + T ), X Broj T naziva se periodunkcije. Najmanji pozitivni broj Tnaziva se temeljni period. Primjer: ( ) sin

19 Inverzna unkcija Deinicija: Neka je : X Y injektivnaunkcija. Svakom elementu y X pridružimo jednoznačno element X koji se s preslikava u yi označavamo ga. Ovako deiniranu unkciju : X ( y) nazivamo inverznom unkcijom unkcije. Napomena: Svaka bijektivna unkcija je inverzna. ( ) ( ) X Gra inverzneunkcije G - simetričan je grau unkcije G s obzirom na pravac y.

20 Primjer: ( ) ln ( ) e

21 Primjer: ( ) log +. Odredite inverznu unkciju: a) ( ) + ( ) b) ( 3) ( ) log ( ) c) ( ) 0 ( ) ( ) ln ln 00 +

22 : X Y Slaganje unkcija Neka su i g : Y Zuz uvjet Y Y. Funkcija koja svakome elementu Xpridružuje element g( ( ) ) Z zove se kompozicija unkcija i g i označava se ( g o )( ) g( ( ) ). Primjer: Neka su ( ) i g( ) + 3. Odredite: o g, go

23 3. Odredite kompoziciju g te dobivenoj kompoziciji odredite domenu, parnost i inverz: ) (, ) ( + g ( ) + ( ) ) ( :. + g Rj o ] [ +,, : g ( ) D o NPNN ( ) 4 ) ( + g o

24 4. Odredite kompoziciju g te dobivenoj kompoziciji odredite domenu, parnost i inverz: ( ) ln , g ( ) o g ( ) ln D o g ( ) NPNN : 8, 3 8e + e ( o g ) ( ) 3

25 Osnovne elementarne unkcije su: a) polinomi, b) racionalne unkcije, c) eksponencijalne unkcije, d) logaritamske unkcije, e) opća potencija, ) trigonometrijske unkcije, g) ciklometrijske unkcije.

26 Polinomi P n n n ( ) a + n an + L + a + a0 n i 0 a i i

27 Najjednostavnije i najvažnije unkcije. Ostale unkcije mogu se aproksimirati polinomima. Primjer: e +! +! + 3 3! +... sin 3 3! + 5 5! 7 7! +... Kriterij jednakosti: Dva polinoma po varijabli identično su jednaka akko su koeicijenti jednako visokih potencija međusobno jednaki. Primjer: P() ++ Q()(+)

28 Polinomi. stupnja (linearna unkcija) Linearna unkcija je unkcija oblika: ()a+ b, a 0. Svojstva: a) D R b) gra je pravac c) a koeicijent smjera: a > 0 unkcija raste a < 0 unkcija pada d) b odsječak na ordinati b e) nultočka: 0 a Primjer: () +

29 Kvadratna unkcija je unkcija oblika: ()a + b+ c, a 0. Svojstva: a) D R Polinomi. stupnja (kvadratna unkcija) b) a vodeći koe., b linearni koe., c slobodni koe. c) gra je parabola d) nultočke: e) tjeme b ± b 4ac a 4ac b, 4a ) diskriminanta: D b 4ac Primjer: () T, b a

30 Racionalne unkcije Pn Funkcije oblika: ( ) ( ), Qm ( ) 0 Q ( ), pri čemu su P n i Q m polinomi m n-tog, odnosno m-tog stupnja koji nemaju zajedničkih nultočaka. Ukoliko je stupanj polinoma: m > n prava racionalna unkcija m n možemo podijeliti polinom P n s polinomom Q m i dobijemo unkciju: Tl ( ) ( ) Sk +, Qn ( ) 0 Q Svojstva: Domena: skup Rosim nultočakapolinoma nazivnika Kodomena: skup R, m ( ) ( ) 0 Nultočke polinoma u brojniku su ujedno i nultočke racionalne unkcije Q m P n ( ) 0 Primjer: Odredite domenu i nultočke: ( )

31 Primjer: Odredite domenu i nultočke: ( )

32 Primjer: Odredite domenu i nultočke: ( )

33 Eksponencijalna unkcija Neka je a > 0, a, realan broj. Funkcija () a, R, naziva se eksponencijalna unkcija. Za eksponencijalnu unkciju vrijedi: a) D R b) K R + c) neomeđena, ni parna ni neparna, strogo monotona d) svojstva: a ( ) a a a 0 ako ako a je je a a 0 a > < a a + unkcija < raste unkcija pada

34 gra eksponencijalne unkcije

35 Logaritamska unkcija Funkcija () log a, R +, a>0,a ;naziva se logaritamska unkcija i to je inverzna unkcija eksponencijalne unkcije. Za logaritamsku unkciju vrijedi: a) D R + b) K R c) strogo monotone, ni parne ni neparne i neomeđene, d) svojstva: log( log log log log ako ako a a a y y r ( ) je je ) a 0 > < log log log log r a log a a < b + a log unkcija log log b y y unkcija raste pada

36 Dekadski logaritam je logaritam s bazom 0, () log 0 log Prirodni logaritam je logaritam s bazom e: () log e ln gra logaritamske unkcije:

37 Opća potencija Funkcija oblika c ln c cln e e, > 0, c naziva se opća potencija. Svojstva : Domena i kodomenar + ( ) ( ) R n ( ) Z ( ), > 0, n Z n Gra unkcija:, > 0, n i njezinog inverzna

38 Trigonometrijske unkcije sinus kosinus tangens kotangens

39 Trigonometrijska kružnica Trigonometrijska kružnica je kružnica sa središtem u ishodištu i radijusom. Početna točka odgovara točki (, 0). Puni krug ima π radijana.

40 Graički prikaz sinusa i kosinusa sinusoida kosinusoida

41 tangensoida

42 kotangensoida