Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne
|
|
- Τερψιχόρη Σπανός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne funkcije Logaritamske funkcije Trigonometrijske funkcije Arcus (ciklometrijske) funkcije Hiperboličke funkcije Area funkcije
2 Preslikavanja Jedan od najvažnijih pojmova u matematici je pojam preslikavanja. Definicija: Neka su S 1 i S dva neprazna skupa. Kažemo da je f preslikavanje skupa S 1 u skup S, oznakom f : S 1 S, ako je svakom S 1 pridružen nekim propisom f po jedan element y S, oznakom f : y. Element y pridružen elementu označavamo kraće s f() i zovemo slikom
3 elementa, dok zovemo originalom od f(). Ponekad se kaže da je nezavisna varijabla, a f() zavisna varijabla. Skup S 1 zovemo područjem definicije, preslikavanja f, oznakom D(f). domenom ili originalom Skup S zovemo protupodručjem ili kodomenom preslikavanja f. Skup f(s 1 ) = {f() : S 1 } S zovemo područjem vrijednosti (engl. range) ili slikom (engl. image) preslikavanja f. Koriste se i oznake f(s 1 ) = f(d ) = R (f) = Im(f). Preslikavanja kod kojih je S 1 R, S = R zove se realna funkcija realne varijable. f : R R, D(f) R, f(d ) = {f() : D(f)} R. Ako je funkcija zadana nekim matematičkim izrazom, onda podrazumijevamo da je domena skup svih realnih brojeva na kojem je taj izraz definiran (tj. za koje je slika takoñer realan broj). Takvu domenu zovemo prirodna domena ili prirodno područje definicije inicije. Mi ćemo u daljnjem promatrati upravo takve
4 funkcije. Primjer: Naći prirodne domene i područja vrijednosti sljedećih funkcija: a) f() = ; D (f) = [0, + ), a takoñer je f(d ) = [0, + ) (razlikujemo funkciju i ), b) f() = + 1; D (f) = R, f(d ) = [1, + ), c) f() = sin ; D (f) = R, f(d ) = [-1,1], Definicija: Neka je f : S 1 S, t.j. D (f) = S 1, f(d ) S. a) Preslikavanje f je surjektivno (surjekcija) ili preslikavanje sa S 1 na S, ako je f(d ) =S, t.j. ako je svako y S slika nekoga S 1, dakle: ( y S ) ( S 1 ) f() = y. b) Preslikavanje f je injektivno (in injekcija) jekcija), ako različiti originali imaju različite slike, t.j. ako ( 1, S 1 ) 1 f( 1 ) f( ),
5 što je ekvivalentno s ( 1, S 1 ) f( 1 ) = f( ) 1 =. c) Kažemo da je preslikavanje f bijektivno (bi bijekcija) ako je injektivno i surjektivno, t.j. ako vrijedi 1. ( y S ) ( S 1 ) f() = y,. ( 1, S 1 ) f( 1 ) = f( ) 1 =. Primjer: a) y=, ln su injektivne funkcije na prirodnom području definicije. b) y=, sin nisu injektivne funkcije. Restrikcija preslikavanja. Neka je f : S 1 S, X S 1. Onda je skup f(x) = {f() : X} f slika podskupa X. Očigledno je f(x) S. Ograničimo li se u djelovanju f na podskup X, dobivamo novo preslikavanje koje zovemo restrikcijom ili suženjem preslikavanja f na X, oznakom f X. Dakle za g = f X vrijedi D(g) = X, g(d) = f(x) i g() = f() za svaki X.
6 Graf funkcije. Funkcijom f je svakom realnom broju iz domene pridružen jedan realan broj f(). Prema tome funkcijom je odreden skup svih uredenih parova (,f()) kad prima sve moguće vrijednosti iz domene, tj. funkcijom je odreñen skup G(f) = {(,y) R R : D{f), y= f()} Kao što točka u ravnini u kojoj je zadan koordinatni sustav predstavlja sliku uredenog para realnih brojeva u kojem je prvi element njezina apscisa, a drugi ordinata, tako i skup G(f) predstavlja sliku funkcije f, i zove se graf funkcije f. Prema tome graf funkcije može se crtati kao skup točaka u ravnini. Elemente iz domene crtamo na osi, a pripadne vrijednosti funkcije f() crtamo na osi y. Projekcija grafa na os je domena funkcije a projekcija grafa na os y je slika funkcije.
7 Svojstva realnih funkcija realne varijable Promotrimo kvalitativna svojstva realnih funkcija realne varijable y = f(), kao što su parnost i neparnost, monotonost i periodičnost. Sva ova svojstva će biti lako geometrijski prepoznatljiva na grafu G(f). Funkcije y = f() je parna ako vrijedi: f(-) = f(), za sve D (f). Funkcije y = f() je neparna ako vrijedi: f(-) = - f(), za sve D (f). Primjetimo da za ispitivanje parnosti ili neparnosti neke funkcije njena domena D (f) treba biti simetrična oko = 0. Graf D (f) parne funkcije y = f() je osno simetrična krivulja s obzirom na os 0y (vidjeti sliku lijevo dolje).
8 Primjeri parnih funkcija 10 Primjeri neparnih funkcija Graf D (f) neparne funkcije y = f() je centralno simetrična krivulja s obzirom na ishodište (0,0). (vidjeti sliku desno gore). Primjeri funkcija koje nisu ni parne ni neparne
9 Tvrdnja: a) Ako je y = f() neparna funkcija i 0 D (f), onda graf mora prolaziti ishodištem (0,0) koordinatnog sustava 0 y. (Dokazati!) b) Ako je y = f() parna funkcija, a y = g() bilo kakva realna funkcija, onda je i kompozicija g o f parna funkcija. (Dokazati!) c) Ako je y = f() neparna funkcija, a y = g() parna funkcija, onda je i kompozicija g o f parna funkcija. Ako je y = f() neparna funkcija i y = g() neparna funkcija, onda je i kompozicija g o f neparna funkcija. (Dokazati!)
10 Funkcije y = f() je monotono rastuća na intervalu [a,b] ako: za sve 1, [a,b] takve da je 1 vrijedi f( 1 ) f( ). Funkcije y = f() je monotono padajuća na intervalu [a,b] ako: za sve 1, [a,b] takve da je 1 vrijedi f( 1 ) f( ). Funkcije y = f() je monotona na intervalu [a,b] ako je ili rastuća ili padajuća na tom intervalu. Pri tome, ako vrijede stroge nejednakosti, tada kažemo da je y = f() je strogo monotona. Primjeri monotonih funkcija
11 Tvrdnja: a) Ako je y = f() rastuća funkcija na intervalu [a,b], a y = g() rastuća funkcija na R, onda je i kompozicija g o f rastuća funkcija na intervalu [a,b]. (Dokazati!) b) Ako je y = f() rastuća funkcija na intervalu [a,b], a y = g() padajuća funkcija na R, onda je i kompozicija g o f padajuća funkcija na intervalu [a,b]. (Dokazati!) c) Ako je y = f() padajuća funkcija na intervalu [a,b], a y = g() rastuća funkcija na R, onda je i kompozicija g o f padajuća funkcija na intervalu [a,b]. (Dokazati!) d) Ako je y = f() padajuća funkcija na intervalu [a,b], a y = g() padajuća funkcija na R, onda je i kompozicija g o f rastuća funkcija na intervalu [a,b]. (Dokazati!)
12 Funkcije y = f() je periodička ako postoji realan broj T > 0, takav da je: f( + T) = f() za sve R. Najmanji takav broj T, ako postoji, zovemo temeljnim periodom za funkciju y = f(). Primjer periodič nih funkcija Tvrdnja: Ako je y = f() periodička funkcija s temeljnim periodom T, te neka je y = g() injektivna funkcija, tada je kompozicija g o f takoñer periodička funkcija sa istim periodom T.
13 Operacije s funkcijama Funkcije se zbrajaju tako da se zbroje njihove vrijednosti. Zbroj funkcija f i g je funkcija h takva da je h() = f() + g(). Funkcije se množe tako da se pomnože njihove vrijednosti. Tako je produkt funkcija f i g funkcija h takva da je h() = f() g(). Neka su S 1, S i S 3 skupovi, te f : S 1 S i g : S S 3. Kompozicija ili sastavak g o f funkcija f i g je funkcija: g o f definirana ovako: ( S 1 ) ( g o f )() = g[f()]. Vidi se da je ova kompozicija moguća samo ako ima u domeni od f takvih da je f() u domeni od g.
14 Primjedba: a) Kompozicija bijekcija je opet bijekcija. (Pokazati!) b) Kompozicija funkcija je asocijativna, t.j. za f : S 1 S, g : S S 3 i h : S 3 S 4 vrijedi: ho ( g o f ) = ( ho g) o f. (Pokazati!)
15 - LINEARNE TRANSFORMACIJE GRAFA: Posebno su interesantne kopozicije funkcije f s funkcijom g() = - a i to obzirom na graf. Tako je graf funkcije f o g() = f(g()) = f(-a) ustvari translatirani graf funkcije f u desno za pozitivno a. Ako je a negativan, onda je translacija u lijevo. S druge strane graf funkcije g o f () = g(f()) = f() - a je graf funkcije f translatiran za pozitivno a prema dolje, a za negativno a prema gore. - -
16 Nadalje, točke grafa funkcije y = f(β), dobivaju se zamjenom točke 0 ( 0, y0) Γf točkom (, y0 ) β. Mogućnosti su sljedeće: a) β = -1 simetrija s obzirom na os y; b) β > 1 skupljanje (suženje) grafa Gf β puta u smjeru osi. U slučaju da je β negativan transformacija je praćena i simetrijom s obzirom na os y; c) β < 1, β 0 rastezanje (proširenje) grafa Gf β puta u smjeru osi. U slučaju da je β negativan transformacija je praćena i simetrijom prema osi y. - Slično prethodnom, za dobivanje grafa funkcije y = αf(), mogućnosti su sljedeće: a) α = -1 simetrija s obzirom na os ; b) α > 1 rastezanje (proširenje) grafa Gf α puta u smjeru osi y. U slučaju da je α negativan transformacija je praćena i simetrijom s obzirom na os ; c) α < 1, α 0 skupljanje (suženje) grafa Gf α puta u smjeru osi y. U slučaju da je α negativan transformacija je praćena i simetrijom prema osi.
17 - Do grafa funkcije y = αf(β+a)+b dolazimo kombinacijom gornjih postupaka. - INVERZNA FUNKCIJA Funkcija koja broju f() pridružuje broj zove se inverzna funkcija funkcije f, i označava f -1. Domena od f -1 je slika funkcije f, a slika od f -1 je domena od f. Za funkciju f : S 1 S postoji inverzna funkcija ako i samo ako je funkcija f bijekcija. (Dokaži!) Stoga je inverzna funkcija jedinstvena.
18 Zbog toga što je f -1 [f()] = graf od f -1 je G(f -1 ) = { (f(),) : D( f ) }, pa je prema tome graf inverzne funkcije f -1 sime-trična slika grafa originalne funkcije f u odnosu na simetralu prvog i trećeg kvadranta, t.j. u odnosu na pravac y =. Tvrdnja: Ako su f : S 1 S i g : S S 3 bijekcije, onda vrijedi: ( g o f ) f o g. (Dokazati!) Primjer: Promatrajmo funkciju f : R [0,+ ), f() = i g = f [0,+ ). Funkcija f nije injektivna, jer je f(-)=f() =, pa nema inverzne funkcije. Funkcija g = f [0,+ ) je 1 surjektivna i injektivna (dakle, bijektivna), pa ima inverznu funkciju g ( ) =, g -1 : [0,+ ) [0, + ).
19 Zadavanje funkcije 1. Tablicom (tabelarno) - tablica sadrži vrijednosti i vrijednosti funkcije f();. Grafom (grafički) - graf prati promjenu neke veličine npr. o vremenu; 3. Formulom: a) Eksplicitno; b) Implicitno; c) Parametarski. a) Eksplicitno zadavanje funkcije: Ako je pravilo po kojem se vrijednosti npr. od y dobivaju direktno za odbrani, kažemo da je y zadan kao eksplicitna funkcija od. Zapis: y=f(). b) Implicitno zadavanje funkcije: Funkcija je zadana implicitno ako je dana jednadžba koja sadržava varijable i y, pa se iz nje y odreñuje rješavanjem jednadžbe, za zadani ili obratno. Prebace li se svi članovi na lijevu stranu jednadžbe, ona prima oblik F(,y)=0, gdje je lijeva strana neki izraz koji sadržava i y.
20 Primjer: Jednañba kružnice + y = 1 + y 1 = 0 y = 1 y = + y = 1 1 Skup K={ (,y) + y = 1} nije funkcijski, ali se mogu izdvojiti skupovi koji to jesu: K 1 = { (, 1 ) + y = 1} i K = { (, -,. 1 ) + y = 1}. c) Funkcije zadane parametarski: Funkcija zadana je u parametarskom obliku, ako su i y zadani u eksplicitnom obliku kao funkcije neke pomoćne varijable t, koju zovemo parametrom, tj. = ϕ( t), y = ψ( t) t I R Svakoj vrijednosti t I odgovara par vrijednosti (, y), odnosno jedna točka ravnine. Primjer: Parametarska Jednañba kružnice: = r cos t, y = r sin t t R.
21 Osnovne elementarne funkcije i njihova svojstva Elementarne funkcije su funkcije koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih funkcija pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija (+,-,,:) i konačnog broja kompozicija elementarnih funkcija. Algebarske funkcije su one elementarne funkcije koje su dane pomoću kompozicije racionalnih funkcija, potenciranja s racionalnim eksponentom i sa četri osnovne računske operacije. Transcedentne funkcije su one elementarne funkcije koje nisu algebarske. Tu spadaju eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske, ciklometrijske, hiperbolične i area funkcije.
22 Slijedi pregled osnovnih elementarnih funkcija i njihova svojstva Polinomi. Konstanta f() = c domena D(f) = R; slika funkcije f(d) = {c}; ako je c = 0 svaki realni broj je nultočka, ako c 0 nema nultočaka; graf G(f) je pravac u ravnini prikazan na slici desno. y 6 f() = c
23 Afina funkcija f() = a + b domena D(f) = R; slika funkcije f(d) = R; 30 y f() = a + b, a > 0 nultočka je a 0; b =, uz uvjet da je a graf G(f) je pravac u ravnini prikazan na slici desno f() = a + b, a < 0
24 Kvadratna funkcija f() = a + b + c, gdje je a 0 domena D(f) = R; slika funkcije 4 ac b f(d) =, + za a > 0, f(d) 4a = 4 ac b, za a < 0; 4a nultočke su 1, b ± b 4ac =, a uz uvjet da je b 4ac 0, inače nema nultočaka; graf G(f) je parabola u ravnini prikazan na slici desno. f() = a + b + c, a > 0 y f() = a + b + c, a < 0
25 Kubna funkcija f() = a 3 + b + c + d, gdje je a 0 domena D(f) = R; slika funkcije f(d) = R; ako je b=c=d = 0 nultočka je = 0, općenito može imati najviše 3 realna korijena što ovisi o predznaku njene diskriminante D=p +q 3, gdje 3ac b je 3p =, 3a 3 b bc d q = + ; 3 7a 3a a primjer grafa G(f) za funkcije f()=a 3 je krivulja u ravnini prikazan na slici desno (kubna parabola). y f() = a 3, a > f() = b 3, b < 0
26 Polinom n-tog stupnja f() = a n n + a n-1 n a 1 + a 0, gdje je a n 0 domena D(f) = R, odnosno polinomi nemaju uvjeta za svoju domenu; slika funkcije f(d) = R, ako je stupanj n neparan broj; ne postoji općenita formula za pronalaženje nultočaka polinoma stupnja većeg od 4; graf G(f) je krivulja u ravnini čiji oblik ovisi o stupnju polinoma (broju n) i koeficijentima a n, a n-1,, a 1, a 0. Primjer grafa za funkcije f()= n (potencije) je krivulja u ravnini parabolnog tipa (parabola reda n). 4 y f() = 3 f() = 6 f() = 5 f() =
27 Grafovi nekih polinoma y= fhl =
28 fhl = fhl =
29 P( ) Racionalne funkcije f ( ) =, gdje su P() i Q() polinomi Q( ) domena D(f) = { R : Q() 0}; slika funkcije f(d) ovisi o polinomima P() i Q(); nultočake polinoma u brojniku su ujedno nultočke funkcije. Nultočke nazivnika su točke u kojima funkcija nije definirana i zovu se polovi funkcije; graf G(f) je krivulja u ravnini čiji oblik ovisi o polinomima P() i Q(). Pn ( ) f ( ) = Opišimo kako se crta graf racionalne funkcije Q ( ), gdje je P n () polinom stupnja n i Q m () polinom stupnja m. Pretpostavit ćemo da je racionalna funkcija skraćena tako da P n () i Q m () nemaju zajedničkih nultočaka. Vertikalne asimptote. Racionalna funkcija ima vertikalne asimptote u nultočkama nazivnika (koje zbog naše pretpostavke nisu nultočke m
30 brojnika). Kratnost nultočke odreñuje ponašanje funkcije s obiju strana asimptote. Ako je nultočka neparne kratnosti, funkcija će biti različitih predznaka. Kažemo da graf funkcije dolazi s različitih strana asimptote. Ako je nultočka parne kratnosti, funkcija će biti istog predznaka i njen graf dolazi s iste strana asimptote. Horizontalne asimptote. Racionalna funkcija ima horizontalne asimptote (istovremeno lijevu i desnu) onda i samo onda ako je stupanj brojnika manji ili jednak stupnju nazivnika. Ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, onda je pravac y=0 horizontalna asimptota. Ako je stupanj brojnika jednak stupnju nazivnika, onda je pravac y=a n /b n horizontalna asimptota, gdje su a n i b n vodeći koeficijenti polinoma u brojniku i nazivniku. Kose asimptote. Ako je stupanj brojnika za jedan veći od stupnja nazivnika, racionalna funkcija ima kosu asimptotu (istovremeno lijevu i desnu). Ako je stupanj brojnika barem za dva veći od stupnja nazivnika, racionalna funkcija nema horizonatlnih i kosih asimptota. Slijede primjeri grafova za neke racionalne funkcije:
31 obrnuta proporcionalnost: fhl = y = a fhl =
32 razlomljena linearna funkcija: y = a c + + b d fhl = fhl =
33 funkcija: y = a + 1 b + c fhl = fhl=
34 funkcija: y = a + b c a + b + = fhl= fhl = c
35 potencija: fhl = y = 1 a n , gdje je n prirodan broj fhl =
36 fhl = fhl = fhl= 3, kosa 4 asimptota y=
37 Iracionalne funkcije definiramo kao inverzne funkcije polinoma Funkcija kvadratni korijen f ( ) = je inverzna funkcija funkcije g() =, [0,+ ) (t.j. g() je restrikcija kvadratne funkcije na interval [0,+ ) ). Prema tome vrijedi: =, za sve [ 0, + ) ( ) =, za sve [ 0, + ); y, fhl = è!!! domena D(f) = [0,+ ); slika funkcije f(d) = [0,+ ); nultočake je = 0; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno:
38 3 Funkcija kubni korijen f ( ) = je inverzna funkcija funkcije g() = 3, R. Prema tome vrijedi: 3 3 =, za sve (, + ) ( 3 ) 3 =, za sve (, + );, fhl = è!!! 3 domena D(f) = R; slika funkcije f(d) = R; nultočake je = 0; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno:
39 fhl = è!!!!! Grafovi nekih iracionalnih funkcija fhl = è!!! fhl = 1 è!!!!!!
40 Opća potencija je funkcija oblika f() = c, >0, c R. c = (e ln ) c = e c ln ; domena D(f) =(0,+ ); slika funkcije f(d) = (0,+ );
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραPojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija
Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE
Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu
Διαβάστε περισσότερα3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραSeminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste
Διαβάστε περισσότεραPolinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler
Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Netko je na taj graf primijenio
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.
Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότερα3.1 Elementarne funkcije
3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα