ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα) Δίνονται: E = 2 0 kn 8 2 4 I = 00000cm k = 6000kN m m ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α E = 2 0 kn m 8 2, I 4 3 4 = 00000cm = 0 m, k = 6000kN m, f = k = ( 6000) m kn EI = 2 0 kn m 0 m = 2 0 knm 8 2 3 4 5 2 Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι εξισώσεις ισορροπίας ικανοποιούνται Απαίτηση ικανοποίησης και της εξισώσεως συμβιβαστού ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
Α ΤΡΟΠΟΣ: Επιλέγω ως άγνωστο υπερστατικό μέγεθος την αντίδραση του γραμμικού ελατηρίου. (Στατική Αοριστία = ) Φορέας Α + Φορέας Β X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 2
Στατική Επίλυση Φορέα Α N = 0 30 8 4+ 20 3 V3 8= 0 V3 = 27.50k F y = 0 V + V 3 20 30 8 = 0 V = 260 V 3 V = 32.50kN Στατική Επίλυση Φορέα Β = 0 3+ V3 8= 0 V3 38 = kn F y = 0 V + V 3 + = 0 V = ( 3 8) V = 58 kn Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Θεμελιώδης Φορέας) [Μ L ] [ ] Εξίσωση Συμβιβαστού: ( s) 0 =Δ =Δ + F X, όπου L L 3 L Δ + = dx S f S 00 8 + 23 EI ομόρροπα L ( ) Για ml = 3 m = 3 8 και nl = 3 n =5 8 από το αντίστοιχο διάγραμμα λαμβάνουμε: 5 3 5 dx ( ) EI EI 6 8 8 8 5 5 3 = 540 540 6.75 0 6EI + = 64 L = 0 + 2 270 + 0 0 2 270 + 0 8 = =0 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 3
Επομένως, L 3 3 Δ + = 3.75 0 6.75 0 L Δ = 0.50 0 3 Επίσης, F = dx+ S ( f EI S ) 2, όπου 5 dx 5 = 8 = 4.6875 0 EI EI 3 8 4 S ( f S ) = ( ) ( ) =.6667 0 6000 5 4 Επομένως, F = 4.6875 0 +.6667 0 F = 2.354 0 4 Τελικά, ( s) L 3 4 0 =Δ =Δ + F X 0 = 0.50 0 + 2.354 0 X X = 49.7kN = 0 49.7 3 20 3 30 8 4 + V3 8 = 0 V3 = 09.06 F = 0 49.7 + V 20 30 8 + V = 0 V = 20.83 V V = 0.77kN y 3 3 kn ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 4
Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Υπερστατικός Φορέας) [] [Q] Παρατήρηση : Στον κόμβο #2 έχουμε πήδημα στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων λόγω της ύπαρξης συγκεντρωμένης φόρτισης ίσο με 49.7 20 = 29.7kN Παρατήρηση 2: Το διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων [N] είναι μηδενικό. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 5
Β ΤΡΟΠΟΣ: Επιλέγω ως άγνωστο υπερστατικό μέγεθος την αντίδραση στη στήριξη #3. (Στατική Αοριστία =) Φορέας Α + Φορέας Β X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 6
Στατική Επίλυση Φορέα Α N = 0 V2 3 20 3 30 8 4= 0 V2 = 340k F y = 0 V + V 3 20 30 8 = 0 V = 260 V 3 V = 80kN Στατική Επίλυση Φορέα Β = 0 8+ V2 3= 0 V3 83 = kn F y = 0 V + V 2 + = 0 V = ( 8 3) V = 53 kn Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Θεμελιώδης Φορέας) [Μ L ] Εξίσωση Συμβιβαστού [ ] ( s) L L L L 0.0 =Δ =Δ + F X, όπου Δ = dx + S ( f S ) EI L dx = 3 5 ( 2 ( 53.75) 375) 5 5 ( 2 ( 93.75) 375) EI EI + 6 6 = = [ 706.25 2343.75] = 0.02025 EI 8 S ( f S ) = ( 340) = 0.5 3 6000 L L Επομένως, Δ = 0.02025 0.5 Δ = 0.736 Επίσης, F = dx+ S ( f S ), όπου EI dx 2 4 8 8 = 8 5 = 3.333 0 και S f S = =.85 0 EI EI 3 3 6000 3 4 3 3 Επομένως, F = 3.333 0 +.85 0 F =.585 0 3 ( ) ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 7
Τελικά, ( s) L 3 0.0 =Δ =Δ + F X 0.0 = 0.736 +.585 0 X X = 06.26kN = 0 06.26 8 20 3 30 8 4 V2 3 = 0 V2 = 56.64 F y = 0 V + V 2 + 06.26 20 30 8 = 0 V = 53.74 V 2 V = 97.0 kn kn Παρατήρηση: Τα αποτελέσματα της μεθόδου β παρουσιάζουν μικρές διαφορές με εκείνα της μεθόδου α λόγω δεκαδικών ψηφίων. Δεν υπάρχουν σημαντικά αξιόλογες διαφορές. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 8
Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Υπερστατικός Φορέας) [Μ] [Q] Παρατήρηση : Στον κόμβο #2 έχουμε πήδημα στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων λόγω της ύπαρξης συγκεντρωμένης φόρτισης ίσο με 56.64 20 = 36.64kN Παρατήρηση 2: Το διάγραμμα αξονικών δυνάμεων είναι μηδενικό. Ερώτημα β Προκειμένου να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23), τοποθετούμε μία συγκεντρωμένη μοναδιαία φόρτιση στο σημείο αυτό, αναφερόμενοι σε οποιοδήποτε θεμελιώδη ισοστατικό φορέα.. Εδώ θα χρησιμοποιηθεί ο θεμελιώδης φορέας του πρώτου τρόπου επίλυσης, που είδαμε παραπάνω. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 9
Εξισώσεις ισορροπίας = 0 V3 8 5.50= 0 V3 = 0.6875 F y = 0 V + V 3 = 0 V = V 3 V = 0.325 kn kn Διάγραμμα Ροπών Κάμψεως [ ] Θεώρημα Μοναδιαίου Φορτίου (Εξίσωση Ελαστικότητας): δ + 0.6875 = dx 00 EI 5.5 2.5 dx = 8.7875 0 2 96.24 0 ( 0 2 96.24 0) EI EI 6 + + + 8 8 = 3.75 3 [ 392.48 84.32875 ] 5.463 0 = + = 6EI Άρα, δ 6.875 0 5.463 0 δ = 3 3 =.23cm ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 0
ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ 2 Στο φορέα του σχήματος ζητείται: (2.5 μονάδες) α) η ποιοτική χάραξη των διαγραμμάτων, Q, N χωρίς κανένα υπολογισμό β) να καθοριστεί η φορά της οριζόντιας μετατόπισης του κόμβου 2 ΕΠΙΛΥΣΗ: Κινηματική Αοριστία Φορέα = 2, {δ, φ} Χάραξη ελαστικής γραμμής για φ και δ ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
Δίνουμε μία επιπλέον παραμόρφωση στην ελαστική γραμμή στο τμήμα που περιέχει το φορτίο. Από τις ελαστικές γραμμές των φ και δ προκύπτει συνολικά: = 0, < 0 < 0, > 0 23 32 < 0, = 0 24 42 Q > 0, Q < 0, Q > Q 2 2 Q > 0, Q < 0, Q > Q 24 42 44 Q < 0, Q < 0, Q = Q 23 33 32 Διάγραμμα Ροπών Κάμψης [Μ] Πρέπει: 24 = 2 + 23 Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων [Q] ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 2
Διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων [N] Αξονικές Δυνάμεις: N = N = Q > 0 23 N = N = Q Q < 0 N 23 3 24 = N = 0 (κύλιση στον #4) 24 42 Η φορά της οριζόντιας μετατόπισης του κόμβου #2 είναι προς τα δεξιά, δεδομένου ότι παντού EI = σταθ. και το μήκος του τμήματος (24) είναι μεγαλύτερο από εκείνο του τμήματος (2). ΘΕΜΑ 3 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα, Q, Ν (3 μονάδες) 8 2 4 Δίνονται: E = 2 0 kn m, I = 00000cm, k = 6000kN m ΕΠΙΛΥΣΗ: E = 2 0 kn m 8 2 l23 = l24 = m, I = 00000cm = 0 4 3 m 4, EI = 2 0 kn m 0 m = 2 0 knm 8 2 3 4 5 2 Κινηματική Αοριστία: 2, ( δ, φ ) 2 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 3
Μέθοδος των Μετατοπίσεων: Οι εξισώσεις συμβιβαστού ικανοποιούνται Απαίτησης ικανοποίησης και των εξισώσεων ισορροπίας + δ + ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 4
φ 2 Ροπές Κάμψεως 3EI 3EI 2 = 0 2 = 240 δ 2 φ2 8 8 3EI 23 = φ2 32 = 0 4EI 2EI 24 = φ2 42 = φ2 Τέμνουσες Δυνάμεις + 2 Q 2 = 90 + Q 2 8 2 = 50 + 8 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 5
23 32 Q 23 = 32 24 + 42 Q = Q24 + 24 42 = Q42 = Εξισώσεις Ισορροπίας = + 2 23 24 3EI 3EI 3EI 4EI 240 δ φ = φ + φ 2 8 8 240 9375δ 75000φ = 494974.7468φ 2 2 2 569974.7468φ + 9375δ = 240 (Α) 2 Kδ = Q2 = 90 30 7.875δ 9375φ2 6000δ = 60 7.875δ 9375φ 2 77.875δ+ 9375φ 2 = 60 (Β) Η λύση του συστήματος εξισώσεων (Α) και (Β) είναι: φ = 5.7095 0 2 δ =+ 9.24 0 4 3 rad m ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 6
Επομένως, 3EI 3EI 2 = 0 2 = 240 δ 2 φ2 = 240 85.42875 + 42.8225 = 282.6kNm 8 8 3EI 23 = φ2 = 2.2kNm 32 = 0 4EI 2EI 24 = φ2 = 6.49kNm 42 = φ2 = 80.74kNm Q 2 2 = 90 + = 90 35.32625 = 54.67kN 8 Q 2 2 = 50 + = 50 35.32625 = 85.33kN 8 23 Q 23 = = 42.82kN Q32 = Q23 = 42.82 kn 24 + 42 6.49 + 80.74 Q24 = = = 85.64kN Q42 = Q24 = 85.64kN Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών [Μ] Έλεγχος: 2.2kNm + 6.49kNm = 282.6 knm ισχύει ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 7
[Q] o F = 0 42.82cos 45 + N cos 45 + N cos 45 = 85.64cos 45 x N23 + N24 = 42.82 (Γ) F y o o o 23 24 o = 0 85.33 + 42.82sin 45 + 85.64sin 45 + N cos 45 = N sin 45 N23 N24 = 390.56 (Δ) o o o 24 23 Η λύση του συστήματος εξισώσεων (Γ) και (Δ) είναι: N N 23 24 = 26.69kN = 73.87kN ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 8
[N] Έλεγχος: o o o o F x = 0 26.69cos45 + 42.82sin 45 = 85.64cos45 + 73.87sin 45 259.5 = 259.5 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ 4 Στο φορέα του σχήματος και για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου από έως 4 ζητείται η χάραξη των γραμμών επιρροής ( μονάδα): α) της τέμνουσας δύναμης στη θέση α β) της ροπής κάμψεως στο μέσο m του τμήματος (23) ΕΠΙΛΥΣΗ: Μέθοδος üller Breslau: Κατά την κίνηση φορτίου P=, τα εντατικά μεγέθη, Q, N και τα παραμορφωσιακά μεγέθη δ, φ μεταβάλλονται. Σε κάθε σημείο θα υπάρχει διαφορετική μεταβολή στα διαγράμματα εντατικών μεγεθών. Η μεταβολή αυτή απεικονίζεται μέσω των γραμμών επιρροής. Για την εύρεση της Γ.Ε. κάποιου εντατικού μεγέθους, κατασκευάζουμε έναν βοηθητικό φορέα καταργώντας το αντίστοιχο εντατικό μέγεθος.στο φορέα αυτό, ο οποίος είναι ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 9
μία φορά λιγότερο υπερστατικός, επιβάλλουμε το εντατικό μέγεθος που βγάλαμε με τέτοιο τρόπο, ώστε: (α) να είναι αρνητικό (β) να προκαλεί αντίστοιχο παραμορφωσιακό μέγεθος ίσο με μονάδα Γραμμή Επιρροής Τέμνουσας Δύναμης στη θέση α Γ.Ε. V α Γραμμή Επιρροής Ροπής Κάμψεως στο μέσο m του τμήματος (23) Γ.Ε. Μ m ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 20