CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare 1...5 3.2. Momentul forţei în raport cu originea sistemului de referinţă cartezian...5 3.3. Momentul forţei în raport cu o axă...6 Test de autoevaluare 2...8 3.4. Cuplu de forţe...8 3.5. Teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe concurente...9 Test de autoevaluare 3...10 Bibliografie modul 10 Rezumat modul.11 Rezolvarea testelor de autoevaluare..11 3. Sisteme de forţe (continuare) Introducere modul Pentru definirea poziţiei dreptei suport a forţei în raport cu un reper oarecare este nevoie de o nouă noţiune, introdusă în acest modul. Se vor defini noţiunile de moment al forţei în raport cu un punct şi moment al forţei în raport cu o axă. Se va studia cuplul de forţe şi se va enunţa teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe concurente. Mecanica I 1

După parcurgerea acestui modul cursantul va şti: - să determine momentul unei forţe într-un punct; - să determine momentul unei forţe în raport cu o axă; - să determine sistemul echivalent cel mai simplu pentru un Obiective modul cuplu de forţe; - să enunţe teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe concurente; 2 ore Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în Durata medie de acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare. studiu individual 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct Expresiile forţei găsite până acum nu pun în evidenţă decât trei dintre caracteristicile forţei: mărimea, direcţia şi sensul. Rezultă ca este nevoie de o noţiune care să indice poziţia punctului de aplicaţie al forţei în raport cu un reper oarecare. Cum o forţă care acţionează asupra unui solid rigid are caracter de vector alunecător (nu interesează poziţia punctului de aplicaţie al forţei pe dreapta suport a acesteia) rezultă că în Mecanica teoretică este suficientă cunoaşterea poziţiei dreptei suport a forţei în raport cu un reper oarecare. Poziţia dreptei suport a forţei în raport cu un reper oarecare are o importanţă deosebită, după cum se observă în exemplul următor, în care s-a considerat o bară având un punct fix (O) acţionată de aceeaşi forţă în trei puncte diferite. O O O Sens de rotaţie Sens de rotaţie a) b) c) Fig. 3.1. Influenţa poziţiei dreptei suport a forţei asupra efectului mecanic produs de forţă Mecanica I 2

După cum se observă efectul mecanic produs de forţă este diferit. Astfel, dacă forţa acţionează în dreapta punctului fix O (figura 3.1.a), bara se va roti în sens orar, dacă forţa acţionează în stânga punctului fix O (figura 3.1.b), bara se va roti în sens trigonometric iar dacă forţa acţionează chiar în punctul fix O bara nu se roteşte. Noţiunea care defineşte poziţia punctului de aplicaţie al forţei în raport cu un reper oarecare este momentul forţei în raport cu un punct. Se numeşte moment al unei forţe în raport cu un punct O produsul vectorial dintre vectorul ce uneşte punctul O cu punctul de aplicaţie al forţei şi forţă. S-a notat cu vectorul ce uneşte punctul O cu punctul de aplicaţie al forţei. Acest vector se numeşte vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei în raport cu punctul O. d α A A B O 1 O Fig. 3.2. Momentul forţei cu punctul O în raport O Fig. 3.3. Momentul forţei vector alunecător Caracteristicile momentului forţei în raport cu un punct rezultă din proprietăţile produsului vectorial. Mărimea este: unde d este distanţa de la punctul O la dreapta suport a forţei şi se numeşte braţul forţei. Se observă că momentul forţei în raport cu punctul O este zero atunci când braţul forţei d este zero, adică atunci când dreapta suport a forţei trece prin punctul O. Mecanica I 3

Direcţia vectorului este perpendiculară pe planul format de vectorii şi. Cum are vârful pe dreapta suport a forţei dreapta suport a forţei. este suficient să cosiderăm planul format de punctul O şi Sensul vectorului se determină utilizând regula burghiului drept (se roteşte peste pe drumul cel mai scurt, sensul de înaintare al burghiului drept fiind sensul vectorului ) sau regula mâinii drepte (se aşează palma dreaptă întinsă, cu degetul cel mare făcând un unghi drept cu degetul arătător, astfel încât vectorul să înţepe palma iar vectorul să fie în sensul degetului arătător; degetul cel mare va indica sensul vectorului ). Se observă că vectorii, şi formează un triedru drept. Punctul de aplicaţie este punctul O. Pentru forţa vector alunecător se va arăta că este suficient ca vârful vectorului de poziţie să fie pe dreapta suport a forţei. Pentru aceasta considerăm pe dreapta suport a forţei punctul B (figura 3.3) şi vom arăta că momentul forţei (acţionând în punctul A) în raport cu punctul O (notat ) este acelaşi cu momentul forţei (acţionând în punctul B) în raport cu punctul O (notat ): Vectorul de poziţie se poate scrie: Demostraţie Cunoscând că produsul vectorial este distributiv în raport cu adunarea vectorilor şi că produsul vectorial a doi vectori coliniari este zero, rezultă: Dacă se schimbă punctul în raport cu care se calculează momentul forţei, atunci se va modifica şi momentul forţei. Pentru a determina relaţia de variaţie a momentului forţei la schimbarea punctului în raport cu care se calculează, se consideră punctul O 1 (figura 3.3) şi se determină momentul forţei în raport cu punctul O 1 (notat ) în funcţie de momentul forţei în raport cu punctul O. Mecanica I 4

Vectorul de poziţie se poate scrie: Înlocuind în expresia momentului: S-a obţinut relaţia de variaţie a momentului unei forţe la schimbarea punctului în raport cu care se calculează: 1. Expresia este: a) adevărată b) falsă Test de autoevaluare 1 2. Sensul momentului forţei în raport cu un punct se determină cu: a) regula mâinii drepte; b) regula mâinii stângi; c) regula burghiului drept. 3. Scrieţi relaţia de variaţie a momentului forţei la schimbarea punctului în raport cu care se calculează. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. 3.2. Momentul forţei în raport cu originea sistemului de referinţă cartezian z A(x,y,z) Fie forţa exprimată într-un sistem de referinţă cartezian, iar punctul O originea acestui sistem de referinţă. Se notează vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei în raport cu originea sistemului de referinţă cu (figura 3.4). O y Expresiile analitice ale vectorilor şi sunt: x Fig. 3.4. Momentul forţei în raport cu originea sistemului de referinţă cartezian Mecanica I 5

unde x, y şi z sunt coordonatele punctului de aplicaţie al forţei (punctul A), adică exact proiecţiile pe axele sistemului de referinţă ale vectorului de poziţie în raport cu originea sistemului de referinţă (vectorul ). Cunoscând produsele vectoriale între versori: şi efectuând produsul vectorial se observă că momentul forţei în raport cu originea sistemului de referinţă poate fi exprimat cu ajutorul determinantului: unde M x, M y şi M z sunt proiecţiile pe axele Ox, Oy, respectiv Oz ale momentului forţei raport cu originea sistemului de referinţă. Conform definiţiei momentului forţei în raport cu o în axă (noţiune introdusă în paragraful următor), M x, M y şi M z sunt momentele forţei cu axele sistemului de referinţă Ox, Oy, respectiv Oz. în raport 3.3. Momentul forţei în raport cu o axă Momentul forţei momentului forţei în raport cu o axă (Δ) este, prin definiţie, proiecţia pe axa (Δ) a calculat în raport cu un punct oarecare de pe axa (Δ). (Δ) unde este versorul axei (Δ). O A P Se va arăta că putem alege orice punct pe axa (Δ) pentru calculul momentului forţei în raport cu această axă. În acest sens se va considera un punct A pe axa (Δ), astfel încât: Fig. 3.5. Momentul forţei raport cu axa (Δ) în Mecanica I 6

Vectorul de poziţie se poate scrie: Înlocuind în expresia lui : Observaţie: deorece este un produs mixt cu doi vectori coliniari. Momentul unei forţe în raport cu o axă se exprimă printr-un produs mixt. Acesta se anulează dacă cei trei vectori, şi sunt coplanari. Deoarece vectorul se sprijină pe dreptele suport ale vectorilor şi este suficient ca vectorii şi să fie coplanari, adică forţa şi axa (Δ) să fie în acelaşi plan. Rezultă două caracteristici utile în aplicaţii: - momentul forţei în raport cu o axă este zero dacă dreapta suport a forţei este paralelă cu axa sau intersectează axa respectivă; - mărimea momentului forţei faţă de o axă este egală cu mărimea momentului componentei forţei dintr-un plan normal pe axă, calculat în raport cu punctul în care axa intersectează planul (figura 3.6): (Δ) A (P) O Fig. 3.6. Mecanica I 7

În figura 3.6 se reprezintă planul (P) ce conţine punctul A şi este perpendicular pe axa (Δ). Forţa normală la planul (P), notată se descompune în componenta şi în componenta din planul (P), notată. Demostraţie Pentru determinarea semnului momentului forţei în raport cu o axă vom observa sensul de rotaţie produs de forţă în jurul axei. Dacă observatorul priveşte astfel încât axa să-i înţepe pieptul iar sensul de rotaţie produs de forţă în jurul axei este trigonometric, atunci momentul forţei în raport cu axa respectivă are semnul,,+. M Δ are semnul,,+ M Δ are semnul,,- (Δ) (Δ) Fig. 3.7. Determinarea semnului momentului forţei în raport cu o axă O altă modalitate de determinare a semnului momentului forţei în raport cu o axă este dată de relaţia de calcul a momentului : Vectorii, şi (figura 3.6) formează un triedru drept. Sensul momentului se determină cu regula mâinii drepte. Cum vectorul are punctul de aplicaţie pe axa (Δ) şi vârful pe dreapta suport al forţei, este suficient să aşezăm palma către axă, cu degetele orientate pe direcţia şi în sensul de acţiune al forţei. Sensul degetului mare va indica sensul vectorului moment. Dacă sensul momentului coincide cu sensul axei, atunci semnul momentului M Δ este,,+. Mecanica I 8

1. Scrieţi expresia momentului forţei în raport cu originea sistemului de referinţă. 2. Definiţi momentul unei forţe în raport cu o axă. Test de autoevaluare 2 3. Momentul unei forţe în raport cu o axă este zero dacă: a) dreapta suport a forţei şi axa sunt coplanare; b) dreapta suport a forţei intersectează axa; c) dreapta suport a forţei este paralelă cu axa. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. 3.4. Cuplu de forţe Cuplul de forţe este, prin definiţie, sistemul format din două forţe paralele, egale ca mărime şi de sensuri opuse. Dacă se proiectează cele două forţe pe o axă de direcţie oarecare şi se aplică teorema proiecţiilor, se observă că efectul de forţă este zero pe direcţia acelei axe. Cum axa este de direcţie oarecare, proprietatea este valabilă pentru orice direcţie. Se poate afirma pentru acest sistem de forţe că: O B (P) A Fig. 3.8. Cuplu de forţe Pentru a determina efectul de moment al cuplului de forţe în raport cu un punct trebuie introdusă noţiunea de moment rezultant al unui sistem de forţe în raport cu un punct. Prin Mecanica I 9

moment rezultant al unui sistem de forţe în raport cu un punct se înţelege suma momentelor forţelor din sistem în raport cu acel punct. Dacă se calculează momentul rezultant al sistemului în raport cu un punct oarecare O, se obţine (figura 3.8): Deoarece momentul cuplului nu depinde de poziţia punctului în raport cu care se calculează (în exemplul considerat, punctul O) rezultă că momentul cuplului este un vector liber. Mărimea lui se determină ca moment al unei forţe din cuplu în raport cu un punct de pe dreapta suport a celeilalte forţe şi este egală cu produsul dintre intensitatea unei forţe şi distanţa dintre dreptele suport ale celor două forţe (distanţă denumită braţul cuplului, notată în continuare cu d): Direcţia momentului unui cuplu este perpendiculară pe planul format de forţele cuplului (figura 3.8) iar sensul se determină cu regula mâinii drepte sau cu regula burghiului drept. Un cuplu de forţe poate fi rotit în planul său sau poate fi deplasat paralel cu el însuşi fără ca momentul cuplului să se schimbe. 3.5. Teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe concurente Pentru un sistem de forţe concurente momentul rezultant al sistemului calculat în raport cu un punct oarecare este egal cu momentul rezultantei sistemului în raport cu acelaşi punct: Demostraţie unde este vectorul de poziţie al punctului de concurenţă al forţelor în raport cu punctul faţă de care se calculează momentul. Mecanica I 10

1. Definiţi cuplul de forţe. Test de autoevaluare 3 2. Ce caracter prezintă momentul unui cuplu de forţe: a) vector legat; b) vector liber; c) vector alunecător. 3. Enunţaţi teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe concurente. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. [1]. Hangan, S., Slătineanu, I.,,,Mecanică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 38-43; Bibliografie modul [2]. Szolga, V., Szolga, A. M.,,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi îndrumător de seminar. Partea I, Editura Conspress, Bucureşti, 2003, pag. 21-34; [3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R.,,,Mecanica Teoretică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 44-48,. În acest modul s-a prezentat noţiunea de moment al forţei în raport cu un punct, noţiune cu ajutorul căreia se caracterizează complet o forţă. Rezumat modul S-a introdus noţiunea de moment al forţei în raport cu o axă, s-a studiat cuplul de forţe (sistem de forţe particular) şi s-a enunţat şi demonstrat teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe concurente. Mecanica I 11

1. b produsul vectorial nu este comutativ; 2. a, c; 3. Consultare aspecte teoretice pag. 5 Rezolvare test de autoevaluare 1 1. Consultare aspecte teoretice pag. 6; 2. Consultare aspecte teoretice pag. 6; 3. a, b, c. Rezolvare test de autoevaluare 2 1. Consultare aspecte teoretice pag. 8; 2. b; 3. Consultare aspecte teoretice pag. 9. Rezolvare test de autoevaluare 3 Mecanica I 12