ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0. La fel ca şi î cazul şirurilor umerice, dorim să studiem proprietăţile de covergeţă ale şirurilor de fucţii, ivestigâd posibilele moduri î care se poate defii oţiuea de covergeţă, şi să cercetăm dacă tipurile de covergeţă astfel defiite realizează sau u trasmiterea uor proprietăţi uzuale ale fucţiilor de la termeii uui şir de fucţii la fucţia limită. 8.. Puct de covergeţă. Mulţime de de covergeţă. Limita uui şir de fucţii Mărgiire uiformă Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D. Vom spue că ( f ) 0 este uiform mărgiit dacă există M > 0 astfel îcât f (x) M petru orice N şi x D. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = si x. Atuci f (x) petru orice N şi x R, deci ( f ) 0 este uiform mărgiit. 265

266 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Puct de covergeţă. Mulţime de de covergeţă Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D. Vom spue că a D este u puct de covergeţă al şirului de fucţii ( f ) 0 dacă şirul umeric ( f (a)) 0 al valorilor fucţiilor î a este coverget. Mulţimea tuturor puctelor de covergeţă ale şirului de fucţii ( f ) 0 se va umi atuci mulţimea de covergeţă a acestui şir. Fucţia limită a uui şir de fucţii Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie E D mulţimea de covergeţă a şirului de fucţii ( f ) 0. Fucţia f : E R defiită pri f : E R, f (x) = lim f (x), se umeşte fucţia limită a şirului de fucţii ( f ) 0. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = iar lim f (x) = lim + x x x+. Atuci =, petru x (0, ], lim f (x) = lim 0 = 0, petru x = 0. Urmează că mulţimea de covergeţă a şirului de fucţii ( f ) 0 este [0, ], iar fucţia limită este f : [0, ] R, f (x) =, x (0, ]. 0, x = 0 8..2 Covergeţa puctuală a uui şir de fucţii Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie de asemeea f : D R. s Vom spue că ( f ) 0 coverge puctual sau simplu la f şi vom ota f f petru dacă petru orice x D şirul umeric ( f (x)) 0 este coverget la f (x). Î aceste codiţii, petru orice x D şi orice ε > 0 există u rag ε,x N astfel ca f (x) f (x) < ε, petru orice ε,x. (8.)

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 267 Di exemplul aterior se observă îsă că acest tip de covergeţă u asigură trasferul uor proprietăţi cum ar fi cotiuitatea şi derivabilitatea de la termeii şirului de fucţii către fucţia limită. Î acest ses, deşi toţi termeii şirului ( f ) 0 sut fucţii derivabile pe [0, ], fucţia limită f u este ici măcar cotiuă pe acest iterval, fiid discotiuă î x 0 = 0. Este aturală atuci itroducerea uui cocept mai puteric de covergeţă. 8..3 Covergeţa uiformă a uui şir de fucţii Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie de asemeea f : D R. Vom spue că ( f ) 0 coverge uiform la f şi vom ota f u f petru dacă petru orice ε > 0 există u rag ε N astfel ca f (x) f (x) < ε, petru orice ε şi orice x D, adică ragul ε,x itrodus î (8.) u mai depide de x, iar difereţa f (x) f (x) poate fi făcută suficiet de mică de la u rag ε îcolo idiferet de valoarea lui x D. Coform defiiţiei, se observă atuci că dacă f u f petru, atuci s şi f f petru. Implicaţia iversă u este îsă adevărată, î acest ses putâdu-se cosidera următorul exemplu. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = x ( x ). Atuci, deoarece 0 x ( x ) x, iar lim x = 0 petru x [0, ), urmează că lim f (x) = 0 petru x [0, ). s Deoarece f () = 0 petru 0, urmează că lim f () = 0, deci f f petru, ude f : [0, ] R, f (x) = 0. Fie ε = 4 şi să presupuem că f u f petru. Atuci există u rag ε N astfel ca Îsă f Å f (x) < 4, petru orice ε şi orice x [0, ]. ã 2 = 4 petru orice, ceea ce cotrazice iegalitatea de mai sus. Î cocluzie, f u f petru.

268 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) 8..4 Criterii de covergeţă uiformă Se poate obţie î mod imediat următorul criteriu de covergeţă uiformă, util atuci câd limita şirului este cuoscută de la bu îceput, sau poate fi uşor determiată. Teorema 8.. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie de asemeea f : D R. Atuci f u f petru dacă şi umai dacă Å lim sup x D ã f (x) f (x) = 0, Exemplu. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = x. Să arătăm că f u +x 2 f petru, ude f : R R, f (x) = 0. Î acest ses, coform celor de mai sus, este suficiet să demostrăm că Å lim sup x R ã f (x) = 0. Deoarece f este impară petru orice 0, iar f (x) 0 petru x 0, urmează că Îtrucât sup x R f (x) = sup f (x) = sup f (x). x 0 x 0 f (x) = + x2 2x 2 ( + x 2 ) 2 = x2 ( + x 2 ) 2, urmează că x = este uicul puct de maxim local al lui f pe [0, ), iar cum f (x ) = 2, urmează că iar sup x 0 deci f u f petru. f (x) 2, petru orice x 0, f (x) = 2 0, petru, Vom preciza î cele ce urmează u criteriu care costituie o adaptare a criteriului de covergeţă Cauchy petru şiruri, meţioâd î eseţă faptul că dacă

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 269 şirurile umerice ( f (x)) 0 sut fudametale î mod uiform, î sesul că ragul idicat î codiţia Cauchy depide doar de ε, u şi de x, atuci ( f ) 0 este uiform coverget. La fel ca şi î cazul şirurilor umerice, u este ecesar să fie cuoscută limita şirului de fucţii, aşa cum s-a îtâmplat î cazul criteriului aterior. Teorema 8.2. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D. Atuci ( f ) 0 este uiform coverget către o fucţie f : D R dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 există u rag ε N astfel îcât f (x) f m (x) < ε, petru orice m, ε şi orice x D. Rezultatul se poate exprima şi sub următoarea formă echivaletă. Teorema 8.3. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D. Atuci ( f ) 0 este uiform coverget către o fucţie f : D R dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 există ε N astfel îcât f +p (x) f (x) < ε, petru orice ε, orice p 0 şi orice x D. Exemplu. Fie ( f ), f : R R, f (x) = ( f ) este uiform coverget. Fie ε > 0. Atuci f +p (x) f (x) = Deoarece +p k=+ +p k=+ +p k(k + ) = k=+ si kx k(k + ) Å k k + petru ε = î ε ó, urmează că ã +p k=+ k= si kx k(k + ). si kx k(k + ) +p k=+ Să arătăm că k(k + ). = + + p + < + < ε f +p (x) f (x) < ε, petru orice ε, orice p 0 şi orice x D. Coform teoremei de mai sus, urmează că ( f ) 0 este uiform coverget. Următorul rezultat poartă umele de criteriul majorării şi idică faptul că o codiţie suficietă petru covergeţa uiformă a uui şir de fucţii către o fuc-

270 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) ţie dată este ca modulul difereţei ditre termeii şirului şi acea fucţie să poată fi majorat, idiferet de valoarea argumetului, de termeii uui şir cu limita 0. Teorema 8.4. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie de asemeea f : D R. Dacă există (α ) 0 u şir de umere reale pozitive astfel îcât lim α = 0 şi f (x) f (x) α, petru orice N şi x D, atuci f u f petru. Demostraţie. Deoarece sup f (x) f (x) α, petru orice N, x D cocluzia urmează î mod imediat cu ajutorul Teoremei 8.. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = cos x 2 +. Atuci iar f (x) 0 = cos x 2 + 2, petru orice N şi x [0, ], + lim 2 + = 0, deci ( f ) 0 coverge uiform către fucţia f : [0, ] R, f (x) = 0 petru x [0, ]. Petru studierea covergeţei uiforme a uui şir de fucţii a cărei limită u este cuoscută de la îceput, este utilă mai îtâi determiarea fucţiei limită puct cu puct", ţiâd seama de faptul că orice şir de fucţii uiform coverget este î mod ecesar şi coverget puctual, după care difereţa ditre termeii şirului şi fucţia limită astfel obţiută se estimează î mod uiform. Exerciţiu. Studiaţi covergeţa şirului de fucţii ( f ) 0, f : [, 2] R, f (x) = x2 +2 x. Soluţie. Mai îtâi, se observă că x 2 + 2 lim x = lim (x + 2 ) = x, petru orice x [, 2], x

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 27 deci ( f ) 0 coverge, deocamdată puctual, către fucţia f : [, 2] R, f (x) = x. Să arătăm că această covergeţă este uiformă. Observăm că f (x) f (x) = 2 x 2, petru orice x [, 2], 2 iar deoarece lim = 0, urmează coform criteriului majorării că f. u f petru Î fie, î prezeţa proprietăţii de mootoie, covergeţa puctuală se poate trasforma î covergeţă uiformă, aşa cum va fi observat di rezultatul următor, umit teorema lui Dii. Teorema 8.5. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii cotiue defiit pe mulţimea compactă D şie de asemeea o fucţie costată f : D R. Dacă sut îdepliite următoarele codiţii:. f s f petru, 2. ( f (x)) 0 este mooto petru orice x D, atuci f u f petru. 8..5 Trasmiterea uor proprietăţi pri covergeţă uiformă S-a observat aterior că pri covergeţă puctuală proprietăţile de cotiuitate şi derivabilitate u se trasmit eapărat de la termeii şirului către fucţia limită. Vom observa î cele ce urmează că vehiculul potrivit de trasmitere a proprietăţilor uzuale este covergeţa uiformă. Mărgiire Teorema 8.6. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi mărgiite pe D, astfel îcât f u f petru, ude f : D R. Atuci f este de asemeea mărgiită pe D.

272 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Cotiuitate Teorema 8.7. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi cotiue î a D, astfel îcât f u f petru, ude f : D R. Atuci f este de asemeea cotiuă î a. Coform defiiţiei cotiuităţii pe o mulţime, teorema de mai sus coduce la următorul corolar. Corolar 8.7.. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi cotiue pe D, f u f petru. Atuci f este de asemeea cotiuă pe D. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = x. Atuci f s f petru, ude f : [0, ] R, f (x) = 0, x [0, )., x = Totuşi, f u coverge şi uiform la această fucţie, deoarece î caz cotrar ar trebui ca f să fie cotiuă, fiid limita uiformă a uui şir de fucţii cotiue, iar f este discotiuă î x 0 =. Derivabilitate Pri aalogie cu trasmiterea proprietăţilor de mărgiire şi cotiuitate de la termeii uui şir uiform coverget către fucţia limită, s-ar putea crede că şi proprietatea de derivabilitate se trasmite pri covergeţă uiformă. Acest lucru u este îsă adevărat, aşa cum se poate observa di următorul exemplu. Exemplu. Fie ( f ), f : R R, f (x) = x 2, x 2 x 2, x (, ). x + 2, x

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 273 Atuci f (x) =, x < x, x (, )., x > Î plus, Ä f ä Ä f ä d s Å ã = lim x x< Å ã = lim x x> f (x) f Å x Å ã f (x) f Å x Å ã ã ã = lim x x< = lim x x> x x + 2 x 2 2 x + = =, deci f este derivabilă î x =, iar f ( ) =. Similar, f este derivabilă î x 2 =, iar f ( ) =. Î cocluzie, f este derivabilă pe R petru orice. Fie acum f : R R, f (x) = x. Vom estima f (x) f (x), petru x R, cu scopul de a demostra că f u f petru. Avem că f (x) f (x) = 2 = 2, petru x f (x) f (x) = 2 x2 x 2 x 2 + x 3 2, petru x (, ) f (x) f (x) = 2 = 2, petru x. Î cocluzie, f (x) f (x) 3, petru orice x R, 2 iar coform criteriului majorării urmează că f u f petru. Totuşi, fucţia limită f u este derivabilă î x = 0, deci proprietatea de derivabilitate u se trasmite eapărat pri covergeţă uiformă. Exemplul, totuşi, u este surprizător. Covergeţa uiformă a uui şir de fucţii este o proprietate globală, măsurâd, îtr-u aumit ses, cât de aproape"

274 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) sut termeii acestui şir de fucţia limită, î vreme ce derivabilitatea uei fucţii este o proprietate locală, măsurâd viteza de variaţie a acelei fucţii. Î acest ses, două fucţii pot avea valori apropiate", dar valorile ueia ditre ele pot varia cu mult mai repede decât valorile celeilalte, fie şi doar local, caz î care derivatele celor două fucţii u vor fi apropiate" ua de alta. O altă îtrebare aturală este dacă uiforma covergeţă a uui şir ( f ) 0 atrage uiforma covergeţă a şirului derivatelor sale ( f ) 0. Răspusul la această îtrebare este de asemeea egativ, di aceleaşi motive euţate mai sus, aşa cum se poate observa di următorul exemplu. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = si x. Deoarece f (x), petru orice x R, urmează coform criteriului majorării că f u f, ude f : R R, f (x) = 0. Totuşi, deoarece f (x) = cos x, iar f ( π 2 ) = ( ), urmează că ( f ( π 2 )) 0 u este coverget, iar ( f ) 0 u poate fi uiform coverget pe R, îtrucât mulţimea sa de covergeţă u este îtreg R. Se va observa îsă că trasferul de derivabilitate se produce î codiţiile î care sut asigurate atât covergeţa uiformă a şirului fucţiilor, cât şi covergeţa uiformă a şirului derivatelor. Teorema 8.8. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii derivabile defiite pe u iterval I şi fie f, g : I R astfel îcât. ( f ) 0 este uiform coverget, f u f petru. 2. ( f ) 0 este uiform coverget, f Atuci f este derivabilă, iar f = g. u g petru. Egalitatea f = g de mai sus se poate pue şi sub forma ( lim f ) = lim ( f ), spuâdu-se că, î codiţiile teoremei, limita derivatelor este derivata limitei.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 275 Dacă itervalul I este mărgiit, atuci este suficiet ca ( f ) 0 să fie coverget îtr-u sigur puct, restul ipotezelor implicâd covergeţa uiformă a acestui şir. Teorema 8.9. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii derivabile defiite pe u iterval mărgiit I şi fie f, g : I R astfel îcât. ( f ) 0 este coverget îtr-u puct a I. 2. ( f ) 0 este uiform coverget, f u g petru. Atuci ( f ) 0 este uiform coverget către o fucţie f : I R, f este derivabilă, iar f = g. Itegrabilitate Petru coformitate, meţioăm aici că şi proprietatea uei fucţii de a fi itegrabilă Riema, care va fi studiată ulterior, se trasmite la râdul ei de la termeii uui şir uiform coverget către fucţia limită. Teorema 8.0. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii itegrabile Riema defiite pe u iterval [a, b] astfel îcât f u f petru, ude f : [a, b] R. Atuci f este de asemeea itegrabilă Riema pe [a, b], iar b b b lim f (x)dx = lim f a a (x)dx = f (x)dx. a Observăm atuci că, î codiţiile teoremei, limita itegralelor este itegrala limitei. 8.2 Serii de fucţii Fiid dat u şir de fucţii ( f ) 0, vom umi serie de fucţii de terme geeral f cuplul (( f ) 0, (S ) 0 ) format di şirul ( f ) 0 al termeilor seriei şi şirul de fucţii (S ) 0 al sumelor parţiale, defiit după regula S = f 0 + f + f 2 +... + f. Î această situaţie, f se va umi şi termeul de rag sau idice al seriei. Vom ota o serie de fucţii de terme geeral f pri f 0 + f + f 2 +... + f +...,

276 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) sau, sub formă prescurtată, pri f. Dacă primii k termei f 0, f,..., f k u sut defiiţi, vom ota seria de fucţii de terme geeral f pri f k + f k+ + f k+2 +... + f +..., respectiv pri =k f. 8.2. Puct de covergeţă. Mulţime de covergeţă. Suma uei serii de fucţii Petru a studia covergeţa seriilor de fucţii, vom utiliza oţiuile şi rezultatele meţioate aterior petru şiruri de fucţii şi serii umerice. Puct de covergeţă. Mulţimea de covergeţă Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Vom spue că a D este u puct de covergeţă al seriei de fucţii f dacă şirul umeric f (a) este coverget, adică a este puct de covergeţă petru şirul de fucţii (S ) 0 al sumelor parţiale. Mulţimea tuturor puctelor de covergeţă ale seriei de fucţii f se va umi atuci mulţimea de covergeţă a acestei serii. x Exemplu. Fie seria de fucţii şi fie x R fixat. Studiem absoluta + x2 covergeţă a seriei umerice obţiute. Urmează că Ã L = lim x + x 2 = x lim 2 + x 2. Petru x (, ), L = x <, deci seria obţiută petru acest x este absolut covergetă, coform criteriului radicalului. Petru x (, )

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 277 (, + ), L = x lim x 2 + = x <, x 2 deci seria obţiută petru acest x este absolut covergetă, coform criteriului radicalului. Petru x =, seria iiţială devie, care este diver- 2 getă, deoarece termeul geeral u tide la 0. Petru x =, seria iiţială ( ) devie, care este divergetă, deoarece termeul geeral u tide 2 la 0. Î cocluzie, mulţimea de covergeţă a seriei date este R\ {, }. Suma uei serii de fucţii Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie E D mulţimea sa de covergeţă. Fucţia S : E R defiită pri S : E R, S(x) = se va umi suma seriei de fucţii f. f (x) = lim S (x), 8.2.2 Covergeţa puctuală a uei serii de fucţii Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Seria f se va umi covergetă puctual sau simplu către f : D R dacă şirul sumelor parţiale (S ) 0 este coverget puctual către f, adică petru orice a D seria umerică f (a) este covergetă către f (a). Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Seria f se va umi covergetă absolut dacă seria f este covergetă puctual, adică petru orice a D seria umerică f (a) este covergetă. Să remarcăm că, la fel ca şi î cazul seriilor umerice, dacă o serie de fucţii f este absolut covergetă, atuci ea este şi covergetă. Î plus, deoa-

278 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) rece petru seriile umerice cu termei pozitivi covergeţa este echivaletă cu mărgiirea, f este absolut covergetă dacă şi umai dacă f (a) este mărgiită petru orice a D. 8.2.3 Covergeţa uiformă a uei serii de fucţii Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Seria f se va umi covergetă uiform către f : D R dacă şirul sumelor parţiale (S ) 0 este coverget uiform către f. Exemplu. Fie seria de fucţii. Să demostrăm că seria (x + )(x + + ) este covergetă uiform pe (0, ). Îtr-adevăr, S (x) = Atuci deci k=0 (x + k)(x + k + ) = lim S (x) = lim (x + )(x + + ) (0, ) R, f (x) = x. Deoarece k=0 Ç å x + k = x + k + x x + + Ç å x =, petru orice x (0, ), x + + x S (x) f (x) = este covergetă, deocamdată puctual, la f : x + + +, urmează coform criteriului majorării că (S ) 0 este coverget uiform la f, deci seria este covergetă uiform pe (0, ). (x + )(x + + ) 8.2.4 Criterii de covergeţă uiformă Coform Teoremei 8.3 şi defiiţiei covergeţei uiforme, se obţie următorul criteriu de covergeţă uiformă.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 279 Teorema 8.. Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Atuci f este uiform covergetă dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 există ε N astfel îcât f (x) + f + (x) +... + f +p (x) < ε, petru orice ε, orice p 0 şi orice x D. De asemeea, pri aalogie cu Teorema 8.4, se poate euţa şi demostra următorul criteriu de covergeţă uiformă şi absolută petru serii de fucţii, umit criteriul lui Weierstrass. Teorema 8.2. Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Dacă există (α ) 0 u şir de umere reale pozitive astfel îcât α este covergetă şi f (x) α, petru orice N şi x D, atuci f este absolut şi uiform covergetă. Exemplu. Fie seria si x 2 + x 2 +. Deoarece si x 2 + x 2 + 2, petru orice N şi orice x R, + iar seria 2 este covergetă, fapt care poate fi demostrat, de exemplu, cu ajutorul criteriului Raabe-Duhamel sau comparâd seria dată cu seria + covergetă cu ajutorul criteriului de comparaţie cu limită, urmează 2 = si x că seria 2 + x 2 este absolut şi uiform covergetă pe R. +

280 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Criteriul lui Dirichlet La fel ca şi î cazul seriilor umerice, îmulţirea termeului geeral al uei serii de fucţii u eapărat covergete, dar cu şirul sumelor parţiale uiform mărgiit cu termeul geeral al uui şir de fucţii cu valori mici" (mooto descrescător petru orice valoare fixată a argumetului şi uiform coverget la 0) îmbuătăţeşte" covergeţa seriei, î sesul că seria de fucţii ce are ca terme geeral rezultatul acestui produs este uiform covergetă. Teorema 8.3. Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D care are şirul sumelor parţiale uiform mărgiit. Fie (g ) 0 u şir de fucţii defiite pe D cu proprietăţile următoare.. g u 0 petru. 2. Şirul umeric (g (x)) 0 este mooto descrescător petru orice x D. Atuci f g este uiform covergetă. Criteriul lui Abel Similar, îmulţirea termeului geeral al uei serii de fucţii uiform covergete cu termeul geeral al uui şir de fucţii cu proprietăţi suficiet de bue (uiform mărgiit şi mooto petru valoare fixată a argumetului) păstrează uiforma covergeţă a seriei. Teorema 8.4. Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D care este uiform covergetă. Fie (g ) 0 u şir de fucţii defiite pe D cu proprietăţile următoare:. (g ) 0 este uiform mărgiit. 2. Şirul umeric (g (x)) 0 este mooto petru orice x D. Atuci f g este uiform covergetă pe D.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 28 Criteriul lui Leibiz ( ) f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D cu propri- Teorema 8.5. Fie etăţile următoare:. f u 0 petru. 2. Şirul umeric ( f (x)) 0 este mooto descrescător petru orice x D. Atuci ( ) f este uiform covergetă pe D. 8.2.5 Trasmiterea uor proprietăţi pri covergeţă uiformă Pri aalogie cu rezultatele corespuzătoare petru şiruri de fucţii, se pot discuta cotiuitatea, derivabilitatea şi itegrabilitatea sumelor seriilor uiform covergete. Cotiuitatea seriilor uiform covergete Teorema 8.6. Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D care este uiform covergetă către o fucţie f : D R. Dacă toate fucţiile f sut cotiue î a D (respectiv pe D), atuci f este de asemeea cotiuă î a (respectiv pe D). Derivabilitatea seriilor uiform covergete Teorema 8.7. Fie f o serie de fucţii derivabile defiite pe u iterval I şi fie f, g : I R astfel îcât. 2. f este uiform covergetă, f este uiform covergetă, f f u f. u g.

282 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Atuci f este derivabilă, iar f = g. Egalitatea f = g de mai sus se poate pue şi sub forma f ) = ( f ), ( spuâdu-se că, î codiţiile teoremei, seriile de fucţii covergete uiform se pot deriva terme cu terme. Dacă itervalul I este mărgiit, atuci este suficiet ca f să fie covergetă îtr-u sigur puct, restul ipotezelor implicâd covergeţa uiformă a acestei serii. Teorema 8.8. Fie f o serie de fucţii derivabile defiite pe u iterval mărgiit I şi fie f, g : I R astfel îcât. 2. f este covergetă îtr-u puct a I. f este uiform covergetă, f u g. Atuci f este uiform covergetă către o fucţie f : I R, f este derivabilă, iar f = g. Petru coformitate, meţioăm aici şi u rezultat privitor la itegrarea seriilor uiform covergete. Itegrabilitatea seriilor uiform covergete Teorema 8.9. Fie f o serie de fucţii itegrabile Riema defiite pe u iterval mărgiit [a, b], uiform covergetă către o fucţie f : [a, b] R. Atuci b f este de asemeea itegrabilă Riema pe [a, b], seria itegralelor f (x)dx a

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 283 este covergetă, iar b a b f (x)dx = a b f (x)dx = a f (x)dx. 8.3 Serii de puteri Vom umi serie de puteri cetrată î x 0 o serie de fucţii f petru care fucţiile f, 0, au forma particulară f = a (x x 0 ), ude a, 0, şi x 0 sut umere reale. O serie de puteri cetrată î x 0 are deci forma a (x x 0 ) = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 +... + a (x x 0 ) +..., (8.2) fiid uic determiată de umărul x 0 R şi de şirul (a ) 0. Dacă x 0 = 0, se obţie cazul particular al seriei de puteri cetrată î origie a x = a 0 + a x + a 2 x 2 +... + a x +.... (8.3) Îtrucât după schimbarea de variabilă x x 0 = y seria (8.2) de mai sus se scrie sub forma a y, similară cu (8.3), se va cosidera î cele ce urmează doar cazul î care x 0 = 0, iar seria de puteri se scrie sub forma (8.3), adaptarea rezultatelor petru cazul x 0 = 0 putâdu-se face cu uşuriţă. 8.3. Mulţimea de covergeţă a uei serii de puteri Petru o serie de fucţii oarecare, mulţimea de covergeţă poate avea o structură complexă. Totuşi, petru serii de puteri situaţia este cu mult mai simplă. Se poate observa că seria (8.3) este covergetă petru x = 0, avâd suma a 0. Mai departe, se va demostra că (8.3) poate coverge doar î x = 0, poate coverge pe îtreaga axă reală sau poate coverge pe u iterval deschis simetric faţă de origie, o îtrebare adiţioală fiid dacă seria (8.3) coverge şi î capetele acestui iterval. Mai îtâi, vom exemplifica aceste situaţii.

284 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Covergeţă doar î 0 Fie seria!x şi fie x = 0 fixat. Atuci otâd b =!x, urmează că b lim + b = lim ( + ) x =, ceea îseamă că lim b = +, iar, petru acest x fixat, seria dată u poate fi covergetă, îtrucât termeul ei geeral u tide la 0. Î cocluzie, seria dată coverge doar petru x = 0. Covergeţă petru orice x R Fie seria = x! şi fie x = 0 fixat. Atuci otâd b = x!, urmează că b lim + b x = lim + = 0, iar, coform criteriului raportului petru serii umerice, seria dată este absolut covergetă petru acest x fixat, deci şi covergetă. Î cocluzie, seria dată coverge petru orice x R. Covergeţă pe u iterval deschis cetrat î 0 Fie seria x. S-a observat deja că petru x (, ) fixat, seria dată este covergetă, cu suma, iar petru x ( ] [, ) fixat, seria dată este x divergetă, îtrucât termeul său geeral u tide la 0. Î cocluzie, mulţimea de covergeţă a seriei date este (, ). Covergeţă pe u iterval deschis cetrat î 0 Fie seria = x şi fie x = 0 fixat. Atuci, otâd b = x, urmează că b lim + b x = lim + = x. Petru x (, ), urmează, coform criteriului raportului petru serii umerice, că seria dată este absolut covergetă, deci şi covergetă. Petru x >,

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 285 urmează că lim b =, iar seria dată este divergetă, îtrucât termeul geeral u tide la 0. Rămâe deci să studiem covergeţa seriei î capetele itervalului meţioat aterior, aume î x = şi x =. Petru x =, seria dată devie seria armoică, care este divergetă. Petru x =, seria dată devie seria = ( ), care este covergetă, coform criteriului lui Leibiz petru serii u- = merice. Î cocluzie, mulţimea de covergeţă a seriei date este [, ). Cu u raţioamet similar celui de mai sus, se poate observa că mulţimea ( ) de covergeţă a seriei x este (, ], î vreme ce mulţimea de covergeţă a seriei este [, ], icio afirmaţie geerală eputâd fi făcută = x 2 = a priori relativ la covergeţa sau divergeţa seriei la extremităţile mulţimii de covergeţă. Rezultatul următor, cuoscut sub umele de teorema lui Abel, furizează iformaţii adiţioale despre coţiutul mulţimii de covergeţă. Teorema 8.20. Fie seria de puteri a x. Fie de asemeea x, x 2 R astfel îcât seria umerică a x este covergetă, respectiv seria umerică a x2 este divergetă. Au loc atuci următoarele proprietăţi.. Seria de puteri a x coverge î orice puct x cu x < x, respectiv diverge î orice puct x cu x > x 2. 2. Petru orice r (0, x ), seria de puteri a x este uiform covergetă pe itervalul [ r, r]. Determiarea razei de covergeţă a uei serii de puteri S-a observat deja că seria de puteri a x este covergetă petru x = 0, iar teorema lui Abel e asigură de următoarele lucruri.

286 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat). Dacă seria de puteri a x este covergetă petru x = x, atuci este covergetă şi petru x < x. 2. Dacă seria de puteri a x este divergetă petru x = x 2, atuci este divergetă şi petru x > x 2. Fie E mulţimea de covergeţă a seriei de puteri a x şi fie R = sup E, umit şi raza de covergeţă a seriei de puteri a x. Coform celor de mai sus, 0 E, deci R 0. Sut posibile următoarele situaţii.. R = 0 Dacă x = 0 E, atuci ( x, x ) E, deci R x, cotradicţie. Atuci E = {0}. 2. 0 < R < Coform caracterizării aalitice a margiii superioare a uei mulţimi şi teoremei lui Abel, seria de puteri a x este absolut covergetă pe ( R, R), divergetă pe (, R) (R, + ) şi absolut covergetă pe orice iterval [ r, r], cu r < R. Relativ la comportarea seriei de puteri a x î cele două capete ale itervalului ( R, R), aceasta poate fi covergetă î ambele, îtr-uul sigur, sau î iciuul, î acest ses putâd fi studiate exemplele meţioate aterior. 3. R = + Atuci seria de puteri a x este absolut covergetă pe R şi uiform covergetă pe orice iterval [ r, r], cu r R. Î toate aceste cazuri, dacă E este mulţimea de covergeţă a seriei de puteri a x, iar R este raza sa de covergeţă, atuci ( R, R) E [ R, R].

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 287 Itervalul ( R, R) poartă umele de itervalul de covergeţă al seriei de puteri a x (a u se cofuda cu mulţimea de covergeţă a acestei serii, care mai poate coţie evetual şi capetele R şi R ale acestui iterval). Figura 8.: Covergeţa uei serii de puteri Formulele Cauchy-Hadamard Avâd î vedere faptul că pe itervalul de covergeţă ( R, R) seria de puteri a x este absolut covergetă, petru determiarea razei de covergeţă vom folosi criterii de covergeţă petru serii cu termei pozitivi, aplicate seriei modulelor a x. Mai îtâi, vom preciza o modalitate de determiare a razei de covergeţă a seriei de puteri cu ajutorul limitei uui raport. Teorema 8.2. Fie a x o serie de puteri cu coeficieţi euli. Dacă a lim + a = λ, atuci λ, dacă λ (0, ), R =, dacă λ = 0, 0, dacă λ = +. Demostraţie. Fie x R. Aplicâd criteriul raportului seriei umerice cu termei strict pozitivi a x, observăm că lim a + x + a x a = lim + x = λ x, a

288 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) iar seria a x este covergetă petru x < λ şi divergetă petru x > λ. De aici rezultă î mod imediat teorema de mai sus. Exemplu. Fie seria de puteri a λ = lim + a = = lim ( + ) x. Atuci (+)(+2) (+) = lim + 2 =, iar raza de covergeţă a seriei de puteri date este R =. Petru x =, seria dată devie, care este covergetă, coform criteriului ( + ) = Raabe-Duhamel, sau coform criteriului de comparaţie cu limită, folosid ca terme de comparaţie seria = 2. Petru x =, seria dată devie ( ), care este covergetă, coform criteriului lui Leibiz. Urmează că mulţimea de covergeţă a seriei de puteri date este [, ( + ) = ]. Vom preciza acum o modalitate de determiare a razei de covergeţă a seriei de puteri cu ajutorul limitei uui radical. Teorema 8.22. Fie a x o serie de puteri. Dacă lim sup» a = λ, atuci λ, dacă λ R, R =, dacă λ = 0, 0, dacă λ = +. Demostraţie. Fie x R. Aplicâd criteriul radicalului cu limite extreme seriei cu termei pozitivi a x, observăm că» lim sup a x» = lim sup a x = λ x,

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 289 iar seria a x este covergetă petru x < λ şi divergetă petru x > λ. De aici rezultă î mod imediat teorema de mai sus. Teorema de mai sus se poate particulariza sub următoarea formă. Teorema 8.23. Fie a x o serie de puteri. Dacă» lim a = λ, atuci λ, dacă λ (0, ), R =, dacă λ = 0, 0, dacă λ = +. Formulele cuprise î Teoremele 8.2 şi 8.22 poartă umele de formulele Cauchy- Hadamard. Exemple.. Fie seria de puteri 2 + 5 x. Atuci λ = lim» a = lim 2 + 5 = lim Ä ä 5 25 = + 5, iar raza de covergeţă a seriei de puteri date este R = 5. Petru 5 x = 5, seria dată devie 2, care este divergetă, deoarece + 5 5 lim 2 +5 = lim ( 2 5) =, iar limita termeului său geeral u este + ( 5) 0. Petru x = 5, seria dată devie 2, care este divergetă, + 5 ( 5) deoarece lim ( ) 2 +5 = lim ( 5) 2 u există, îtrucât umărătorul u + are limită petru, iar limita umitorului este. Urmează că mulţimea de covergeţă a seriei de puteri date este ( 5, 5). 2. Fie seria de puteri = 3 + ( 2) (x + ). Cu otaţia x + = y, obţi-

290 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) em seria de puteri = λ = lim» a = lim 3 + ( 2) y. Atuci 3 + ( 2) = 3 lim + Ä 2 3 ä = 3, 3 + ( 2) iar raza de covergeţă a seriei y este R = 3. Petru y = 3, această serie devie 3 + ( 2) = 3 =, fiid serie cu termei pozitivi, iar cum seria = lim 3 +( 2) 3 =, 3 + ( 2) 3 are aceeaşi atură cu seria armoică =, deci este divergetă. Petru y = 3, seria de puteri î y devie ( ) + Ä 2 ä 3, = care este covergetă, coform criteriului lui Leibiz. Urmează că mulţimea de covergeţă a seriei î y este î 3, 3ä, iar ţiâd seama că y = x +, deci x = y, mulţimea de covergeţă seriei de puteri î x este î 4 3, 2 3ä. Suma uei serii de puteri Fie a x o serie de puteri cu raza de covergeţă R > 0 şi fie E mulţimea sa de covergeţă. S-a observat deja că ( R, R) E [ R, R]. Ca şi î cazul geeral al seriilor de fucţii, se poate defii fucţia S : E R, S : E R, S(x) = umită suma seriei de puteri, ude S (x) = a k x k k=0 a x = lim S, reprezită suma parţială de ordiul a seriei de puteri.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 29 Teorema 8.24. Suma seriei de puteri a x este fucţie cotiuă pe ( R, R). Demostraţie. Fie r (0, R). Coform teoremei lui Abel, seria de puteri a x este uiform covergetă pe [ r, r], iar cum sumele parţiale S ale seriei sut fuţii cotiue pe [ r, r], urmează că S este fucţie cotiuă pe [ r, r], îtrucât proprietatea de cotiuitate a sumelor parţiale se trasmite pri covergeţă uiformă. Cum r (0, R) era arbitrar, urmează că S este fucţie cotiuă pe ( R, R). Comportarea fucţiei sumă î capetele itervalului de covergeţă Dacă seria de puteri a x este covergetă şi î R sau R, atuci fucţia sumă S este bie defiită şi î aceste pucte, cotiuitatea sa eputâdu-se îsă decide cu ajutorul teoremei de mai sus. Teorema de mai jos, umită şi teorema a doua a lui Abel, furizează u răspus î această direcţie. Teorema 8.25. Fie seria de puteri a x, cu raza de covergeţă R > 0. Dacă seria de puteri este covergetă î x = R (respectiv î x = R), atuci suma sa S este fucţie cotiuă î x = R (respectiv î x = R). Combiâd teorema a doua a lui Abel cu proprietatea de cotiuitate pe ( R, R) obţiută aterior, observăm că suma uei serii de puteri este cotiuă î toate puctele î care este bie defiită, lucru afirmat î următorul rezultat. Corolar 8.25.. Fie seria de puteri a x. Atuci suma sa este o fucţie cotiuă pe mulţimea de covergeţă a seriei de puteri. Derivarea uei serii de puteri Fie a x = a 0 + a x + a 2 x 2 +... + a x +... o serie de puteri şi fie a x = a + 2a 2 x + 3a 2 x 2 +... + ax +... =

292 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) seria de puteri obţiută pri derivarea terme cu terme a seriei iiţiale, umită seria derivatelor. Vom preciza î cele ce urmează legăturile ditre razele de covergeţă ale celor două serii şi ditre sumele acestora. Teorema 8.26. Fie a x o serie de puteri şi fie R raza sa de covergeţă, iar S a x are aceeaşi rază de cover- = fucţia sa sumă. Atuci seria derivatelor geţă R, S este derivabilă pe ( R, R), iar S (x) = a x, = petru x ( R, R). forma Să otăm că relaţia de derivare di teorema de mai sus se poate scrie sub Ñ a x é = a x, = iar derivarea uei serii de puteri se poate face terme cu terme pe itervalul de covergeţua. Repetâd raţioametul î mod iductiv, se poate deduce următorul rezultat. Teorema 8.27. Fie a x o serie de puteri şi fie R raza sa de covergeţă, iar S fucţia sa sumă. Atuci seria derivatelor de ordiul k, ( ) ( k + )x k, k, =k are aceeaşi rază de covergeţă, S este idefiit derivabilă pe ( R, R), iar S (k) (x) = ( ) ( k + )x k, =k petru x ( R, R). Exerciţiu. Fie seria de puteri = + x ( ). Determiaţi raza de covergeţă a acestei serii de puteri, studiaţi-i co-.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 293 vergeţa şi precizaţi suma sa. 2. Calculaţi = Soluţie.. Deoarece ( ) +. λ = lim» a = lim = lim =, urmează că raza de covergeţă a seriei de puteri date este R =. Petru x =, ( ) + ( ) seria dată devie =, care este covergetă, coform = = criteriului lui Leibiz. Petru x = seria dată devie = = =, care este divergetă, fiid seria armoică îmulţită cu costata. Î cocluzie, mulţimea de covergeţă a seriei date este (, ]. Petru x (, ), să otăm S(x) = S (x) = = Ñ é + x ( ) = = = ( ) +2 x = = + x ( ) ( ) + Ç x ( ) x =. Atuci å = = ( x) = + x. ( ) + x Cum S (x) = +x, urmează că S(x) = l( + x) + C, coform uui corolar al teoremei lui Lagrage. Deoarece S(0) = 0, se obţie că C = 0, iar S(x) = l( + x) + x petru orice x (, ). Deoarece seria de puteri ( ) este covergetă şi î x =, urmează coform celei de-a doua teoreme a lui Abel că suma = sa S este fucţie cotiuă î x =, şi deci S() = lim S(x) = lim l( + x) = l 2, x x< x x< deci S(x) = l( + x) petru orice x (, ]. 2. Î particular, di cele de mai sus se obţie că S() = = ( ) + = 2 + 3 +... + ( )+ +... = l 2.

294 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) 8.3.2 Seria biomială Fie seria de puteri + k! k(k ) x + x 2 +... + 2! k(k ) (k + ) x +..., k R, (8.4)! umită î cele ce urmează seria biomială. Observăm că petru k =, N, seria se trasformă îtr-o sumă fiită, avâd ca rezultat o fucţie poliomială de gradul. Vom presupue acum că k R\N. Deoarece a lim + a = lim k(k ) (k +)(k ) (+)! k(k ) (k +)! = lim k + =, urmează că seria biomială (8.4) are raza de covergeţă R =. Fie S : (, ) R suma sa. Atuci, coform teoremei de derivare a seriilor de puteri, S (x) = k + de ude xs (x) = kx + iar k(k ) x +... +! k(k ) x 2 +... +! k(k ) (k + ) x +..., x (, ) ( )! k(k ) (k + ) x +..., x (, ) ( )! ( + x)s (x) = ks(x), x (, ). De aici, îmulţid ambii membri cu ( + x) k, obţiem că ( + x) k S (x) k( + x) k S(x) = 0, x (, ), deci Ç å S(x) ( + x) k = 0, x (, ), iar S(x) = C( + x) k, C R. Deoarece S(0) =, urmează că C =, de ude S(x) = ( + x) k. Obţiem deci că, petru orice x (, ), ( + x) k = + k! k(k ) x + x 2 +... + 2! k(k ) (k + ) x +...,!

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 295 formulă care geeralizează formula biomială a lui Newto, valabilă petru k N. Petru diverse valori particulare ale lui k se obţi sumele uor serii uzuale de puteri. Astfel, petru k = obţiem + x = x + x2 +... + ( ) x +..., x (, ), de ude, substituid x cu x obţiem x = + x + x2 +... + x +..., x (, ), iar substituid x cu x 2 obţiem + x 2 = x2 + x 4 +... + ( ) x 2 +..., x (, ). Petru k = 2 obţiem + x = + 2 x 2 4 x2 +... + ( ) (2 3)!! x +..., x (, ), (2)!! iar petru k = 2 obţiem = + x 2 x + 3 2 4 x2 +... + ( ) (2 )!! x +..., x (, ). (2)!! Reamitim aici că (2 )!! = 3 5... (2 ), (2)!! = 2 4... 2. Substituid x cu x 2 obţiem că = + x 2 2! x2 + 3 2 2 2! x4 +... + Itegrarea uei serii de puteri (2 )!! 2 x 2 +..., x (, ).! Teorema 8.28. Fie a x o serie de puteri şi fie R raza sa de covergeţă, iar S fucţia sa sumă. Atuci seria obţiută pri itegrare terme cu terme a + x+ are aceeaşi rază de covergeţă R, S este itegrabilă pe orice iterval [a, b] ( R, R),

296 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) iar x 0 S(t)dt = a + x+, x ( R, R). Exerciţiu. Fie seria de puteri = + x.. Determiaţi raza de covergeţă şi mulţimea de covergeţă a seriei de puteri. 2. Determiaţi suma seriei de puteri. Soluţie.. Deoarece a λ = lim + a = lim + +2 + = lim ( + ) 2 ( + 2) =, urmează că raza de covergeţă a seriei de puteri date este R =. Petru x =, seria dată devie, care este divergetă, deoarece termeul geeral u + = ( ) tide la 0. Petru x =, seria dată devie, care este divergetă, + deoarece termeul geeral u tide la 0. Î cocluzie, mulţimea de covergeţă a seriei date este (, ). 2. Observăm mai îtâi că = + x = = = Ç + x = å x = x = = x + = x Rămâe deci să calculăm suma seriei de puteri x = x, x + = x x, x (, ). + x + = S(x). Cum obţiem pri itegrare terme cu terme î codiţiile Teoremei 8.28 că x + + = l( x), x (, ), = x +

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 297 deci = + x = x Alterativ, puteam observa că S (x) = l( x) +, x (, ). x x =, x (, ), x deci S(x) = l( x) + C. Deoarece S(0) = 0, urmează că C = 0, iar S(x) = l( x). 8.3.3 Dezvoltarea uei fucţii î serie Taylor Î situaţia î care o fucţie se poate reprezeta ca suma uei serii de puteri cetrate î x 0, x 0 R, ea se poate deriva uşor terme cu terme pe itervalul de covergeţă al seriei, derivatele sale exprimâdu-se tot ca serii de puteri cu aceeaşi rază de covergeţă. Astfel, dacă f (x) = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + + a (x x 0 ) +, x (x 0 R, x 0 + R), atuci f (x) = a + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) 2 + + ( + )a + (x x 0 ) +, x (x 0 R, x 0 + R) şi, î geeral, f (k) (x) = k!a k + (k + )k 2a k+ (x x 0 ) + + ( + k)( + k ) ( + )(x x 0 ) +, x (x 0 R, x 0 + R), k. Să otăm faptul că, îlocuid x = x 0 î formulele de mai sus, obţiem că f (k) (x 0 ) = k!a k petru orice k 0. Cuoscâdu-se deci faptul că o fucţie f se poate exprima ca o serie de puteri cetrată îtr-u puct oarecare şi cu raza de covergeţă eulă (fiid deci idefiit derivabilă pe itervalul de covergeţă), se poate determia o formulă de calcul petru derivatele sale de orice ordi î acel puct.

298 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Teorema 8.29. Fie a (x x 0 ) o serie de puteri cetrată î x 0 cu raza de covergeţă R > 0, mulţimea de covergeţă E şi suma f : E R. Atuci f este idefiit derivabilă pe itervalul (x 0 R, x 0 + R), iar f (k) (x 0 ) = k!a k petru orice k 0. (8.5) O îtrebare aturală este dacă se poate reface drumul şi î ses ivers, adică dată fiid o fucţie idefiit derivabilă, aceasta se poate scrie ca suma uei serii de puteri cetrate îtr-u puct dat, coeficieţii seriei de puteri fiid calculaţi cu ajutorul formulei (8.5). Î abseţa uor codiţii suplimetare asupra fucţiei f, răspusul este egativ, aşa cum se poate observa di următorul exemplu. Exemplu. Fie f : R R, f (x) = orice poliom P R[X], e x 2, x = 0. Să observăm că petru 0, x = 0 P(u) P(u) lim = lim = 0, u e u2 u e u2 egalităţi demostrabile uşor cu ajutorul regulii lui l Hôpital, şi deci lim P( x 0 x )e x 2 = 0. Se poate observa că Åe x 2 ã () = P ( x )e x 2, ude (P ) 0 R[X] este u şir de polioame care verifică relaţia de recureţă P + (X) = 2P (X)X 3 X 2 P (X), de ude, coform celor de mai sus, f admite derivate de orice ordi î x = 0, iar f (k) (0) = 0 petru k 0. Atuci, coform formulei (8.5), ar trebui ca a k = 0 petru k 0. Cum f (x) = 0 petru x = 0, f u poate fi suma seriei a k x k, cu a k, k 0, precizaţi de (8.5) pe iciu subiterval al lui R. k=0

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 299 Vom preciza î cotiuare codiţii suplimetare cu ajutorul cărora se poate asocia uei fucţii f o serie de puteri cetrată î x 0 şi covergetă la f pri itermediul formulelor (8.5). Seria Taylor asociată uei fucţii îtr-u puct. Seria MacLauri Fie f : I R, I iterval, şi fie x 0 I astfel îcât f este idefiit derivabilă î x 0. Vom umi serie Taylor cetrată î x 0 asociată lui f seria de puteri T f defiită pri T f (x) = f () (x 0 ) (x x 0 ). (8.6)! Petru x 0 = 0, vom umi seria MacLauri asociată lui f seria de puteri f () (0) x.! Să otăm că T f este o serie de fucţii defiite pe îtreg R, u doar pe I, iar sumele parţiale de ordiul k, S k, ale seriei Taylor cetrate î x 0 asociate lui f sut polioamele Taylor defiite î Capitolul 7, aume T k = f (x 0 ) + f (x 0 )! k = f () (x 0 ) (x x 0 ).! (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 +... + f () (x 0 ) (x x 0 ) k k! Totuşi, î acest momet, această asociere este pur formală, îtrucât chiar dacă seria Taylor T f defiită mai sus coverge î mod obligatoriu petru x = x 0, ea poate să u mai coveargă î iciu alt puct, avâd raza de covergeţă 0. Mai mult, chiar dacă seria Taylor T f este covergetă, ea poate coverge la o altă fucţie decât fucţia f iiţială, î acest ses putâdu-se observa exemplul de mai sus, î care T f este fucţia idetic ulă, fără ca f să aibă aceeaşi proprietate. Vom spue atuci că f : I R, f idefiit derivabilă î x 0 I, este dezvoltabilă î serie Taylor î jurul lui x 0 dacă seria Taylor cetrată î x 0 asociată lui f are raza de covergeţă R > 0 şi coverge la f pe (x 0 R, x 0 + R) I, adică f (x) = f () (x 0 ) (x x 0 ), petru x (x 0 R, x 0 + R) I.!

300 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Covergeţa seriei Taylor Să e reamitim că f (x) = T (x) + R (x), ude R este restul formulei lui Taylor de ordiul, iar T reprezită poliomul Taylor de ordiul, egal cu suma parţială de ordiul a seriei de fucţii T f. Itrucât dorim ca T f să coicidă cu f cel puţi petru fucţii f cu regularitate ridicată, ituim că difereţa R (x) ître fucţia ţită" f (x) şi suma parţială T (x) trebuie să tidă la 0. Se poate obţie atuci următorul rezultat. Teorema 8.30. Fie f : I R, I iterval, şi fie x 0 I astfel îcât f este idefiit derivabilă î x 0. Fie de asemeea a I. Atuci seria Taylor T f este covergetă î a la f (a) dacă şi umai dacă şirul (R (a)) 0 al resturilor formulei lui Taylor calculate petru x = a este coverget la 0. Demostraţie. Fie a I. Atuci f (a) = T (a) + R (a) = S (a) + R (a), ude S reprezită sumele parţiale ale lui T f, egale cu polioamele Taylor de ordiul, T. Atuci lim R (a) = 0 (S (a)) 0 este coverget, cu limita f (a) T f este covergetă î x = a, iar T f (a) = f (a). Estimâd restul de ordiul sub forma lui Lagrage, obţiem cu ajutorul teoremei de mai sus următoarele codiţii suficiete de covergeţă. Teorema 8.3. Fie f : I R, I iterval, f C (I), astfel îcât există M > 0 şi δ > 0 cu proprietatea că f () (x) M! petru orice 0 şi x I. δ Atuci f este dezvoltabilă î serie Taylor î jurul lui x 0, iar f (x) = f () (x 0 ) (x x 0 ), petru x (x 0 δ, x 0 + δ) I.!

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 30 Teorema 8.32. Fie f : I R, I iterval, f C (I), astfel îcât există M > 0 cu proprietatea că f () (x) M petru orice 0 şi x I. Atuci f este dezvoltabilă î serie Taylor î jurul lui x 0, iar f (x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, petru x I. k! Demostraţie. Ca mai sus, Notâd a = x x 0 +, observăm că (+)! R (x) M x x 0 +. ( + )! a lim + a = lim x x 0 + 2 = 0. De aici, lim a = 0, deci lim R (x) = 0, de ude cocluzia. Vom spue atuci că fucţia f : I R, f idefiit derivabilă pe I, I iterval, este aalitică pe I dacă petru orice x 0 I f este dezvoltabilă î serie Taylor î jurul lui x 0. 8.3.4 Exemple de dezvoltări î serie Taylor Exemplu.. Fie f : R R, f (x) = e x. S-a observat deja că ude Atuci x iar cum lim + (+)! e x = + x! + x2 2! +... + x! + R (x), R (x) = eθ xx ( + )! x+, θ x (0, ). R (x) e x ( + )! x +, = 0, urmează că lim R (x) = 0 petru orice x R.

302 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Î cocluzie, e x = + x! + x2 2! +... + x! +..., x R. Substituid x cu x, obţiem şi că e x = x! + x2 2! +... + ( ) x! +..., x R. Exemple.. Fie f : R R, f (x) = si x. S-a observat deja că si x = x! x3 3! + x5 5! +... + ( ) x 2 + R (x), (2 )! ude R (x) = ( )+ si ( θ x x + (+)π ) 2 x 2+, θ x (0, ). (2 + )! Atuci R (x) x 2+ (2 + )!, x iar cum lim 2+ = 0, urmează că lim R (2+)! (x) = 0 petru orice x R. Î cocluzie, si x = x! x3 3! + x5 5! +... + ( ) x 2 +..., x R. (2 )! 2. Fie f : R R, f (x) = cos x. S-a observat deja că cos x = x2 2! + x4 4! +... + ( )+ x 2 + R (x), (2)! ude R (x) = ( )+ cos ( θ x x + (+)π ) 2 x 2+2, θ x (0, ). (2 + 2)!

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 303 Atuci R (x) x 2+2 (2 + 2)!, x iar cum lim 2+2 = 0, urmează că lim R (2+2)! (x) = 0 petru orice x R. Î cocluzie, cos x = x2 2! + x4 4! +... + ( )+ x 2 +..., x R. (2)! Alte dezvoltări remarcabile î serie MacLauri sut arctg x = x x3 3 + x5 5 +... + ( ) x 2+ 2 + arcsi x = + 2 sh x = ex e x 2 ch x = ex + e x 2 x 3 3 + 3 2 4 Operaţii cu serii de puteri x 5 5 +... + (2 )!! (2)!! +..., x (, ), x 2+ +..., x (, ), 2 + = x! + x3 3! + x5 5! +... + x2+ (2 + )! +..., x R, = + x2 2! + x4 4! +... + x2 (2)! +..., x R. Fie seriile de puteri a x şi b x, cu razele de covergeţă R, respectiv R 2, şi fie c R. Suma a două serii de puteri Suma celor două serii de puteri este seria de puteri (a + b )x, cu raza de covergeţă R mi(r, R 2 ). Î plus, (a + b )x = a x + b x, x ( R, R). Seria produs cu o costată Seria (ca )x are raza de covergeţă R. Î plus, (ca )x = c a x, x ( R, R ).

304 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Seria produs după Cauchy Seria produs după Cauchy a celor două serii de puteri este seria de puteri c x c = a 0 b + a b +... + a b 0 = a k b k, k=0 cu raza de covergeţă R mi(r, R 2 ). Î plus, Ñ é c x = a x Ñ b x é, x ( R, R). Exerciţiu. Să se dezvolte î serie MacLauri fucţile ) f : R\ {, 3} R, f (x) = 3x 7 x 2 4x+3 ; 2) g : R R, g(x) = x3 e 2x. Soluţie. ) Se observă că f se poate descompue î fracţii simple sub forma fiid de asemeea cuoscut că Atuci De aici f (x) = 2 x +, x R\ {, 3}, x 3 y = + y + y2 +... = 2 x = 2 x = 2 x 3 = 3 x = 3 f (x) = 2) Este cuoscut că x 3 Ç 2 3 å 3 x = y, y (, ). x, x (, ) = 3 Å x ã, x ( 3, 3). 3 e y = + y! + y2 2! +... = Ç 2 + å 3 + x, x (, ). y!, y R.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 305 Atuci de ude e 2x = x 3 e 2x = ( 2x)! = ( 2) x +3 =! ( 2) x, x R,! =3 ( 2) 3 ( 3)! x, x R. Aplicaţii 8.. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = x x +.. Demostraţi că x = + este puct de maxim petru f, iar 0 f (x) Ä ä +, petru orice 0 şi orice x [0, ]. + 2. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget uiform către fucţia ulă pe [0, ]. 8.2. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = x 2 + 2.. Demostraţi că f (x) x, petru orice 0 şi orice x R. 2. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget uiform către fucţia f : R R, f (x) = x. 8.3. Fie ( f ) 0, f : [, ) R, f (x) = +x +.. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia costată pe [, ). 2. Calculaţi f ( + 2). Este ( f ) 0 coverget şi uiform către fucţia costată pe [, )? 8.4. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = x( x).. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia ulă pe [0, ]. Å ã 2. Calculaţi f. Este ( f ) 0 coverget şi uiform către fucţia ulă pe [0, ]?

306 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) 8.5. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = x x 2.. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia ulă pe [0, ]. 2. Calculaţi f Å ã 2. Este ( f ) 0 coverget şi uiform către fucţia ulă pe [0, ]? 8.6. Fie ( f ) 0, f : (0, ) R, f (x) = e (x ).. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia ulă pe (0, ). ã 2. Calculaţi f Å. Este ( f ) 0 coverget şi uiform către fucţia ulă pe (0, )? 8.7. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = x + 3 x 2.. Folosid evetual iegalitatea a 2 + b 2 2ab petru orice a, b 0, demostraţi că f (x) 2, petru orice 0 şi orice x R. 2. Demostraţi că ( f ) 0 este uiform coverget către fucţia ulă pe R. 8.8. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = si(x+2)+. 2 +. Demostraţi că f (x) < 2, petru orice 0 şi orice x R. 2 + 2. Demostraţi că ( f ) 0 coverge uiform către fucţia costată pe R. 8.9. Fie ( f ) 0, f : [0, π] R, f (x) = si x +.. Demostraţi că f (x) si x π, petru orice 0 şi orice x R. + 2. Demostraţi că ( f ) 0 coverge uiform către fucţia f : [0, π] R, f (x) = si x. 8.0. Fie ( f ) 0, f : [0, π] R, f (x) = si x.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 307. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia f : [0, π] R, 0, x [0, π 2 f (x) = ) ( π 2, π]., x = π 2 2. Este ( f ) 0 coverget şi uiform la f?, x (0, 8.. Fie ( f ), f : R R, f (x) = ]., î rest. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia costată pe R. 2. Este ( f ) 0 coverget şi uiform la această fucţie? x +x 8.2. Fie ( f ), f : [0, ] R, f (x) =, x [0, ] Demostraţi că x, x (, ]. ( f ) este uiform coverget. 8.3. Fie f : R R o fucţie uiform cotiuă şi fie f : R R, f (x) = f (x + ),. Demostraţi că f u f petru. 8.4. Fie ( f ), f : R R, f (x) = x +. Demostraţi că f u f petru, dar f 2 u f 2 petru. 8.5. Fie ( f ), f : R R, f (x) = + x 2. Determiaţi fucţia limită a şirului ( f ) şi demostraţi că ( f ) coverge uiform la această fucţie. +cos x 8.6. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = +. Demostraţi că ( f ) 0 este uiform coverget, dar ( f ) 0 u este uiform coverget. 8.7. Determiaţi suma seriei 8.8. Fie seria de fucţii ( x = x ( + x 2 ). x+ +. Determiaţi suma parţială de ordiul, S, a seriei. 2. Demostraţi că seria de fucţii dată este uiform covergetă. 8.9. Fie seria de fucţii ). x, x [, ). ( + x)( + ( + )x)

308 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat). Determiaţi suma parţială de ordiul, S, a seriei. 2. Demostraţi că seria de fucţii dată este uiform covergetă. 8.20. Folosid evetual criteriul lui Weierstrass, demostraţi că următoarele serii de fucţii sut absolut şi uiform covergete pe R. arctg(x) cos x ) 2 ; 2) 4 + x ; 3) x 2 e x. 2 = = 8.2. Folosid evetual iegalitatea si y y petru orice y R, demostraţi că seria de fucţii 2 si x este absolut şi uiform covergetă pe R. 3 8.22. Folosid evetual iegalitatea arctg y y petru orice y R, demostraţi că x seria de fucţii arctg x 2 este absolut covergetă pe R. + 4 = 8.23. Folosid criteriul lui Dirichlet, demostraţi covergeţa uiformă a următoarelor serii de fucţii. ) = si x, x [ π 2, 3π 2 ]; 2) = 8.24. Fie seria de fucţii. Demostraţi că 2. Demostraţi că = = = Ç + 2 +... + f, f : R R, f (x) = 2 +x 2. f este uiform covergetă pe R. f este uiform covergetă pe R. å cos x, x [ π 2, 3π 2 ]. 3. Folosid teorema de derivare terme cu terme, respectiv proprietatea de trasfer de cotiuitate î codiţii de covergeţă uiformă, demostraţi că suma seriei f este o fucţie derivabilă, cu derivata cotiuă. = 8.25. Demostraţi că suma seriei de fucţii 8.26. Demostraţi că suma seriei de fucţii cu derivata cotiuă. x + 5 este o fucţie cotiuă pe R. x2 cos x 4 este o fucţie derivabilă pe R şi