4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f() ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F() για την οποία ισχύει F ()=f(). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F()= = df () ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού τότε υπάρχει η παράγουσα. ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν F() και G() είναι διαφορετικές παράγουσες μιας συνάρτησης f() τότε διαφέρουν κατά μια σταθερά c δηλαδή: F()-G()=c. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η ολοκλήρωση είναι η αντίθετη διαδικασία της παραγώγισης. 33 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ λ i fi = λ i 34 fi, λ i σταθερές ποσότητες. 2 [ ] = f() 3 f '( ) = f()+c, c σταθερή ποσότητα. 4.3 ΒΑΣΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ f()=0 F()=c 2 f()= F()=+c 3 f()= F()= + /(+)+c, - 4 f()= e F()= e +c 5 f()= / F()=ln +c 6 f()= cos() F()=sin()+c 7 f()= sin() F()=-cos() +c 8 f()= /cos 2 () F()=tn()+c 9 f()= /sin 2 () F()=-ctn()+c 0 f()= /(+ 2 ) F()=rctn()+c f()= / 2 F()=rcsin()+c 2 f()= F()= /ln()+c
4.4 ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 4.4. ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ:Έστω f συνεχής στο D(f) και u=g() με πεδίο τιμών R(g)=D(f) τότε f ( g( )) g' = f ( u) du =F(u)+c. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω θεώρημα μας βοηθάει να απλοποιήσουμε τα ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας τις παραγώγους των σύνθετων συναρτήσεων. ΜΕΘΟΔΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ G : ΒΗΜΑ : Γράφουμε την G() = f( g() )g (). ΒΗΜΑ 2: Θέτουμε u=g(). ΒΗΜΑ 3: Υπολογίζουμε G = f ( u) du. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: f(u) πρέπει να είναι εύκολα ολοκληρώσιμη. 35 4.4.2 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΝΟΝΑΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ: Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα όπου η f μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο δύο συναρτήσεων h και h 2 (δηλαδή f()=h ()h 2 () ) και η παραγουσα Η της συνάρτησης h είναι εύκολα παραγωγίσιμη τότε = Η () h 2 () - H ) h '( ) ( 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι): Αν h h2 ' είναι εύκολα υπολογίσιμη τότε έχουμε υπολογίσει και το. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ): Ο κανόνας παραγοντικής ολοκλήρωσης συνεπάγεται από την ιδιότητα [f()g()] =f ()g()+ f ()g () θέτοντας Η =f και h 2 =g. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (IIΙ): H h 2 () πρέπει να είναι πιο απλή συνάρτηση από την h 2 (). H h () επιλέγεται ώστε να έχει εύκολα υπολογίσιμες παράγουσες. 36
4.4.3 ΕΙΔΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ e + p = α - e α+ p()-α - e + p' όπου p() είναι πολυωνυμική συνάρτηση 2 sin( + ) p( ) = =-α - cos(α+)p()+α - cos( + ) p' 3 cos( + ) p( ) = =α - sin(α+)p()-α - sin( + ) p' 4 ln( g( )) = = F()ln() - g' g( ) όπου f,g είναι ρητές συναρτήσεις. α + 5 e β α + sin( γ + δ), e β cos( γ + δ) θεωρούμε σαν h ()=e α+β και εφαρμόζουμε δύο φορές τον κανόνα παραγοντικής ολοκλήρωσης. 37 4.4.4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Οι ρητές συναρτήσεις αναφέρονται σε συναρτήσεις που γράφονται σαν λόγος δύο πολυωνύμων δηλαδή f()=p()/q(). ΜΕΡΙΚΑ ΒΑΣΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ α + β = α - ln(α+β) + c 2 ( α + β ) = α - (α+β) -+ /(-+) + c 2 + ( + ) 3 2 ( + ) = 2 + 4 + 2 = ln(+ 2 )/2 + c 5 + 2 = rctn() + c + c, - 38
ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΒΗΜΑ : Ελέγχουμε αν ο βαθμός του p() είναι μικρότερου βαθμού από το q(). Αν όχι διαιρούμε και προχωρούμε με το υπόλοιπο r() δηλαδή γράφουμε p()/q() = () + r()/q(). ΒΗΜΑ 2: Παραγοντοποιούμε την q(). ΒΗΜΑ 3: Για κάθε παράγοντα (-α) γράφουμε Α /(-α) +Α 2 /(-α) 2 + + Α /(-α). Για κάθε παράγοντα ( 2 ++c) m γράφουμε (Β +Γ )/( 2 ++c) + + (Β +Γ )/( 2 ++c) ΒΗΜΑ 4: γράφουμε το p()/q() σαν άθροισμα των παραπάνω συντελεστών και βρίσκουμε τα Α, Β, Γ Α κ, Β κ, Γ κ. ΒΗΜΑ 5: Υπολογίζουμε τα ολοκληρώματα με βάση τα βασικά ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων. 39 4.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ (κατά Riemnn): Έστω f() είναι συνεχής στο [,] και για οποιοδήποτε διαμερισμό του [,]= [, ] [, 2 ] [,] με 0 = και + = και για οποιαδήποτε ξ i [ i-, i ] για,, + τότε το όριο lim f ( ξi ) δi 0, δ i = i - i- n δ i ονομάζεται ολοκλήρωμα κατά Riemnn και είναι ίσο με F()-F(). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ή [, ] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι): Το ολοκλήρωμα από το α έως το β είναι ίσο με το εμβαδόν που περικλείεται ανάμεσα στην f() και στην ευθεία y=0 (δηλαδή τον άξονα των Χ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ): Το ολοκλήρωμα είναι στην ουσία επέκταση των αθροισμάτων σε συνεχή διαστήματα. 40
4.5. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ λi fi ποσότητες. β α β α 2 =0 = λi 3 = 4 Αν < 2 < < τότε i + = i 4 fi, λ i σταθερές 5 Αν α<β<γ και f() 0 για κάθε τότε f ) γ ( α. 6 Αν f()<g() για κάθε α<<β τότε β α g. 4.6 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.6. ΠΡΩΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω f() είναι συνεχής στο [,] τότε το ολοκλήρωμα lim = lim F( ) -F(). Ανάλογα έχουμε: = lim 42 ορίζεται σαν το όριο = lim lim = lim F( ) - lim F( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν τα παραπάνω όρια είναι ίσα με ένα πραγματικό αριθμό τότε το αντίστοιχο ολοκλήρωμα συγκλίνει διαφορετικά αποκλίνει.
4.6.2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΤΥΠΟΥ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω f() είναι συνεχής στο (,) και [] lim = ± + ή/και [2] lim = ± τότε το ολοκλήρωμα ορίζεται σαν το όριο lim + t =F() - lim F( ) + αν ισχύει η [] lim t t t t lim lim + = lim F( ) - F(α) αν ισχύει η [2] t 2 t 2 t και η [] και η [2]. 43 = lim F( ) - lim F( ) + αν ισχύουν ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι): Ανάλογα μπορούμε να ορίσουμε και συνδυασμούς Α και Β τύπου γενικευμένα ολοκληρώματα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ): Αν η συνάρτηση f είναι ασυνεχής σε ένα σημείο 0 (,) τότε 4.6.3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f() και g() είναι συνεχής στο [,) και 0 f() g() για κάθε τότε () αν g συγκλίνει τότε και το (2) αν g συγκλίνει. αποκλίνει. αποκλίνει τότε και το ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να γενικευτεί για όλα τα γενικευμένα ολοκληρώματα. 44 = 0 + 0