MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU EVEDEI April 1, 25

2

CUPRINS III ELEMENTEDECALCULVARIAŢIONAL 9 11 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 11 11.1 Probleme clasice de calcul variaţional... 11 11.2 Funcţionale... 17 11.3 Spaţii de funcţii... 19 11.4 Clasificareaextremelor... 21 11.5 Exerciţii... 23 11.6 Extremele funcţiilorrealedemaimultevariabile... 24 11.7 Variaţia de ordinul întâi a funcţionalelor... 27 11.8 Variaţia de ordinul doi a funcţionalelor... 36 11.9 Condiţiinecesaredeextremum... 4 11.1Lemele fundamentale ale calculului variaţional... 43 11.11EcuaţiileluiEuler-Lagrange... 45 11.12Exerciţii... 5 11.13Condiţii naturale, condiţiidetransversalitate... 51 11.14Exerciţii... 56 11.15Variabilecanonice,sistemcanonic... 57 11.16Exerciţii... 58 11.17EcuaţialuiHamilton-Iacobi... 59 11.18Teorema lui Iacobi... 63 11.19Exerciţii... 65 11.2Extreme pentru funcţii netede pe porţiuni... 66 11.21Exerciţii... 67

4 CUPRINS 11.22Condiţiile necesare ale lui Legendre şiiacobi... 69 11.23CondiţialuiWeirstrassdeextremumtare... 72 11.24Condiţii suficientedeextremum... 75 11.25Exerciţii... 78 11.26Extreme cu legături... 8 11.27Exerciţii... 82 11.28Metode variaţionale pentruvaloriproprii... 83 11.29Exerciţii... 86 11.3Principiul lui Hamilton, principii variaţionale... 87 11.31Alte principii variaţionaleînelasticitate...12 11.32Metode directe în calcul variaţional...16 11.33Exerciţii...111 IV ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE 113 12 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DEORDINUL INTAI 115 12.1 Problema Cauchy, suprafeţecaracteristice... 115 12.2 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasilineare.... 118 12.3 Ecuaţiilineareomogene...124 12.4 Ecuaţii cu derivate parţialedeordinul întâinelineare...131 12.5 Condiţii de compatibilitate..... 137 12.6 Integralăcompletă...14 13 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DEORDINUL 2 147 13.1 Definiţiigenerale...147 13.2 Ecuaţia transferului de căldură...149 13.3 Ecuaţiaundelorsonore...153 13.4 Ecuaţia oscilaţiilor transversale ale unei corzi..... 16 13.5 Ecuaţia oscilaţiilor transversale ale membranei.... 164 13.6 Ecuaţia oscilaţiilor longitudinale ale unei bare.... 166 13.7 Ecuaţiile demişcare ale unui fluidperfect...168 13.8 Problema lui Cauchy, clasificarea ecuaţiilor... 177

CUPRINS 5 13.9 Exerciţii...189 13.1Ecdpo2 cvasilineare în două variabile...189 13.11Exerciţii...197 14 FUNCŢII ARMONICE 199 14.1Scurtistoric...199 14.2 Funcţii armonice, definiţii... 22 14.3 Funcţiiarmonice deovariabilă...22 14.4 Funcţiiarmonice dedouăvariabile...25 14.5ProblemaluiDirichlet...28 14.6 Analiticitatea funcţiilor armonice de două variabile...29 14.7 Invarianţa funcţiilor armonice prin reprezentare conformă...21 14.8 Soluţiaproblemeilui Dirichletpentrucerculunitate...211 14.9 Teorema cercului şi aplicaţiilesale...215 14.1SoluţiaproblemeiluiDirichletpentrusemiplan...216 14.11ProblemaluiNeumann...219 14.12O idee simplă foarte productivă...223 14.13FormuleleluiGreenpentrulaplacean...224 14.14Proprietăţile funcţiilor armonice...226 14.15TransformarealuiKelvin...233 14.16Formula de reprezentare prin potenţiali...235 14.17Integrala lui Gauss...236 14.18Funcţiile Green...237 14.19Proprietăţi ale potenţialului devolum...24 14.2Proprietăţile potenţialilor de simplu şidublustrat...245 14.21Rezolvarea problemelor la limită prin ecuaţiiintegrale...25 15 ECUAŢII DE TIP HIPERBOLIC 255 15.1 Unde, caracteristici, fronturi de undă... 255 15.2 SoluţialuiD Alembert...264 15.3 Exerciţii...267 15.4 Problema lui Cauchy pentru ecuaţia neomogenăacorzii...269

6 CUPRINS 15.5 Exerciţii...274 15.6 Soluţia fundamentală aecuaţieicorzii...274 15.7 Obţinerea soluţiei ecuaţieicorzii pebazaformuleiluigreen...276 15.8 Soluţia problemei lui Cauchy pentru ecuaţiamembranei...278 15.9 Soluţia problemei lui Cauchy pentru ecuaţiaundelor...281 15.1Problemele mixte pentru ecuaţiacorzii...284 15.11Rezolvarea unor probleme mixte pentru ecuaţiacorzii...289 15.12Oscilaţii staţionare şi problema fără condiţii iniţiale...31 15.13Metoda lui Fourier...35 15.14Exerciţii...31 16 ECUAŢII DE TIP PARABOLIC 317 16.1 Probleme pentru ecuaţiiparabolice...317 16.2 Principiul de minim-maxim pentru ecuaţia parabolică...319 16.3 Soluţia problemei lui Cauchy pentru ecuaţia căldurii...322 16.4 Rezolvarea unor probleme la limită pentru ecuaţia căldurii...326 16.5AplicareatransformateiFourier...328 16.6AplicareatransformateiLaplace...33 16.7 Metoda lui Fourier pentru ecuaţia căldurii...333 16.8 Exerciţii...342 V TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEM- ATICĂ 347 17 PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 349 17.1 Spaţiu probabilistic,definiţii, proprietăţi... 349 17.1.1 Exerciţii şiprobleme...353 17.2 Variabile aleatoare...355 17.3 Schema lui Bernoulli...359 17.3.1 DefinireaschemeiluiBernoulli...359 17.3.2 Aliura repartiţieischemei luibernoulli...361 17.3.3LegeanumerelormarisubformaluiBernoulli...362

CUPRINS 7 17.3.4 Teorema limităaluipoisson aevenimentelorrare...363 17.3.5 Teorema limită localăaluimoivre-laplace...365 17.3.6 Teorema limită integralăaluilaplace...367 17.3.7 Exerciţii şiprobleme...369 17.4Valorimediialevariabileloraleatoarediscrete...37 17.4.1LegeanumerelormarisubformaluiMarkov...37 17.4.2 Valoarea medie, proprietăţi... 372 17.4.3 Momente, inegalităţile lui Markov şi Cebîşev... 373 17.4.4 Funcţiigeneratoare...376 17.4.5 Exerciţii şiprobleme...379 17.5Variabilealeatoareoarecare...381 17.5.1Valorimediialevariabileloraleatoareoarecare...381 17.5.2 Funcţia caracteristică....387 17.5.3 Teoreme-limită centrale....389 17.5.4 Exerciţii şiprobleme...391 17.6 Convergenţa şirurilordevariabilealeatoare...392 17.7Variabilealeatoarevectoriale...393 17.7.1 Exerciţii şiprobleme...398 17.8 Operaţiicuvariabile aleatoare....41 17.9 Estimaţiipunctuale...46 17.1Intervaledeîncredere...414 17.1.1 Exerciţii şi probleme...418 17.11Verificareaipotezelorstatistice...419 17.12Teste de concordanţă...427 17.12.1 1. Criteriul de concordanţă hi pătrat... 428 17.12.2 2. Testul de concordanţă al lui Kolmogorov... 43 17.12.3 Exerciţii şi probleme...43

8 CUPRINS

PARTEA III ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

CAPITOLUL 11 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 11.1 Probleme clasice de calcul variaţional Dinpunctdevedereistoric,primaproblemă de calcul variaţional este aşa numita problemă a lui Dido. Legenda mitologică spune că Dido, sau Didona, prinţesă aunuia din cetăţile vechii Grecii şi soră aluipygmalion,eramăritată cu pontiful Siharbas. Pygmalion îl asasinează pepontifşi Dido fuge cu fratele său şi cu averea soţului într-o flotilă improvizată. Debarcând pe ţărmulafrican,localniciiîioferăcalocdeadăpost atâta pământcâtpoatecuprindecuopieledetaur.didotaiepielea înfâşii înguste pe care le leagă caplacapşi înconjoară cueleobucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, a cărei regină devinedido. Incă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alcătuit din fâşiile înguste pentru ca el să înconjoare o porţiune de arie maximă? Problema are mai multe variante. Una dintre acestea ar fi următoarea: să presupunem că axax Ox reprezintăţărmul mării şi că punctele A(a, ), B(b, ) reprezintă capetele firului, graficul funcţiei y = y(x), definită şi derivabilă pe[a, b], este firul. Aria limitată defirşi de ţărm este S = b a y(x)dx,

12 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL în timp ce lungimea firului este L = b a p 1+y (x) 2 dx. Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcţiei y = y(x), definite şi derivabile pe [a, b], care satisface condiţiile y (a) =,y(b) =,L= b a p 1+y (x) 2 dx astfel încât integrala S = b y(x)dx a să aibă valoarea maximă. Din motive evidente, o asemenea problemă senumeşte problemă izoperimetrică. Incă din antichitate se cunoştea că formacăutată afirului este cea a unui arc de cerc, aşa cum vom arăta şi noi mai încolo. Putem raţiona şi altfel. Fie dab arcul graficului. In relaţia S = y(x)dx considerăm pe x,y ca funcţii de abscisa curbilinie s şi integrăm prin părţi dab S = yx B A dab L xdy = x(s) p 1 x (s) 2 ds. Problema revine la a determina funcţia x = x(s) definită pe intervalul[,l] cu proprietatea că x() = a, x(l) =b şi că integrala are valoare minimă. S = L x(s) p 1 x (s) 2 ds Oaltăvariantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cuecuaţiile parametrice x = x(t) t [t 1,t 2 ], y = y(t)

11.1. PROBLEME CLASICE DE CALCUL VARIAŢIONAL 13 funcţiile x(t),y(t) fiind deci derivabile pe porţiuni pe [t 1,t 2 ]. Atunci lungimea firului este L = iar aria limitată defir este t 2 t 1 t 2 p x (t) 2 + y (t) 2 dt, S = 1 [y(t)x (t) x(t)y (t)] dt. 2 t 1 Problema revine deci la determinarea celor două funcţii x(t),y(t) definite şi derivabile pe porţiuni pe intervalul [t 1,t 2 ] astfel încât să aibălocrelaţia L = t 2 t 1 p x (t) 2 + y (t) 2 dt şi ca integrala S = 1 2 t 2 [y(t)x (t) x(t)y (t)] dt t 1 să fie maximă. Şi aceasta este tot o problemă izoperimetrică şi curba care dă soluţia este un cerc. Oaltă problemă importantă care a dus la apariţia calculului variaţional este problema brahistocronei. Ea a fost propusă în 1696 de către Jean Bernoulli şi a fost rezolvată în diferite moduri de Jacob Bernoulli, Leibniz, l Hospital, Euler. Ea constă în determinarea uneicurbecareuneşte punctele A(,h) şi B(b, ) pe care se mişcă un punct material de masă m plecând din A cu viteză iniţială nulăşi ajunge în B sub influienţa greutăţii după un timp T minim. Dacă presupunem că y = y(x) este ecuaţia curbei căutate şi v(x) este mărimea vitezei punctului în poziţia (x, y(x)), atunci conform legii conservării energiei avem de unde gm(h y) = mv(x)2, 2 v(x) = p 2g(h y). Pe de altă parte v = ds dt = p 1+y (x) 2 dx

14 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL şi deci timpul în care mobilul se deplasează din punctul (x, y(x)) în punctul (x+dx, y(x+ dx)) este s 1+y dt = (x) 2 2g(h y) dx. Rezultă că timpul în care mobilul ajunge din A în B este T = b s 1+y (x) 2 2g(h y) dx. Deci problema brahistocronei revine la determinarea funcţiei y = y(x), definite şi derivabile pe [,b] astfel încât y() = h, y(b) =şi astfel încât integrala T = b s 1+y(x) 2 2g(h y(x)) dx să fie minimă. Este evident că şi în acest caz curba poate fi căutată caînproblema precedentă sub formă parametrică. O problemă asemănătoare este problema opticii geometrice. Intr-un mediu izotrop neomogen lumina se propagă înfiecare punct M(x, y, z) cu o viteză v(x, y, z) independentă dedirecţie. Timpul necesar ca lumina să ajungă din punctul M 1 (x 1,y 1,z 1 ) în punctul M 2 (x 2,y 2,z 2 ) de-a lungul curbei de ecuaţii y = y(x),z = z(x) este T = x 2 x 1 p 1+y (x) 2 + z (x) 2 dx. v(x, y(x),z(x) Principiul lui Fermat afirmă că lumina se propagă de-a lungul acelei curbe pentru care T este minim. Problema opticii geometrice este deci determinarea funcţiilor y = y(x),z = z(x) definite pe [x 1,x 2 ] astfel încât y(x 1 ) = y 1,y(x 2 ) = y 2,z(x 1 ) = z 1, z(x 2 )=z 2 şi pentru care integrala de mai sus are valoare minimă. Oaltă problemă clasică a calculului variaţional este aşa numita problemăaluiplateau (Plateau, Antoine Ferdinand Joseph, 181-1883, belgian, profesor de fizică şi anatomie la Universitatea din Gand). Ea constă în determinarea formei de echilbru a unei pelicule de săpun susţinute de două inele (pentru simplitate de aceeaşi rază R) perpendiculare pe axa comună Ox în punctele de abscise b, b. Neglijând greutatea peliculei, din proprietăţile tensiunii superficiale rezultă că pelicula se dispune astfel încât ea să aibă o suprafaţă minimă.din motive de simetrie evidente,pelicula are forma unei suprafeţe

11.1. PROBLEME CLASICE DE CALCUL VARIAŢIONAL 15 de rotaţie de arie minimă. De aceea problema lui Plateau se mai numeşte şi problema suprafeţei de rotaţie de arie minimă. Dacănotăm cu y = y(x), b x b ecuaţia curbei de secţiune cu planul xoy, atunci aria suprafeţei de rotaţie este b S =2π b y(x) p 1+y (x) 2 dx. Deci, problema lui Plateau revine la determinarea funcţiei y = y(x) definite şi derivabile pe [ b, b] astfel încât y( b) =R, y(b) =R şi astfel încât integrala să fie minimă. b S =2π b y(x) p 1+y (x) 2 dx Tot problemăclasică de calcul variaţional este problema formei de echilibru a unui fir greu omogen flexibil şi inextensibil de lungime dată l fixat la capete. Se vede uşor că la echilibru firul se află într-un plan vertical. Considerând acest plan vertical drept planul xoy, unde axa Oy este dirijată după verticala locului, curba de echilibru corespunde la acea curbă pentru care energia potenţială a firului este minimă, adică la acea curbă pentru care ordonata y G a centrului de greutate al firului este minimă. Dacă punctele A(a, y a ),B(b, y b ) sunt capetele firului, dacă y = y(x), x [a, b] este ecuaţia explicită a curbei de echilibru, cu y(x) funcţie derivabilă pe[a, b], dacă ρ este densitatea lineară a firului, atunci ordonata centrului de greutate al firului este y G = R b a R b ρy(x) p 1+y (x) 2 dx a ρ p 1+y (x) 2 dx = 1 l b a y(x) p 1+y (x) 2 dx lungimea firului fiind l = b p 1+y (x) 2 dx. a Deci, problema revine la determinarea funcţiei y(x) definite şi derivabile pe [a, b], astfel încât b p y(a) =y a,y(b) =y b, 1+y (x) 2 dx = l a

16 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL şi astfel încât integrala b y(x) p 1+y (x) 2 dx a să fie minimă. Şi aici curba de echilibru poate fi căutată subformăparametrică luând ca parametru o abscisă curbilinie. Aşa cum vom vedea, curba de echilibru a firului este oporţiune din aşa-numitul lănţişor, un arc de curbă apropiatdeunarcdeparabolă. Altă problemăclasică de calcul variaţional este problema geodezicelor pe o suprafaţă S, adicăproblemadeterminării pe o suprafaţă S a unei curbe care uneşte două puncte de pe acea suprafaţă şi are lungimea minimă. Dacăsuprafaţa S este datăparametric prin ecuaţia vectorial parametrică ~r = ~r(u, v), (u, v) D u,v, dacă ds 2 = d~r 2 = E(u, v)du 2 +2F (u, v)dudv + G(u, v)dv 2, este prima sa formă fundamentală cu coeficienţii E(u, v) = ~r u (u, v) ~r u (u, v), F (u, v) = ~r u (u, v) ~r v (u, v), G(u, v) = ~r v (u, v) ~r v (u, v) şi dacă u = u(t),v = v(t), t [t 1,t 2 ],u(t 1 )=u 1,v(t 1 )=v 1,u(t 2 )=u 2,v(t 2 )=v 2 sunt ecuaţiile parametrice ale unei curbe care uneşte punctele M 1 (u 1,v 1 ), M 2 (u 2,v 2 ), atunci lungimea acestei curbe este l = t 2 t 1 p E(u(t),v(t))u(t)2 +2F (u(t),v(t))u(t)v(t)+g(u(t),v(t))v(t) 2 dt. Deci, problema determinării geodezicelor pe S revine la determinarea funcţiilor derivabile u = u(t),v = v(t), t [t 1,t 2 ],u(t 1 )=u 1,v(t 1 )=v 1,u(t 2 )=u 2,v(t 2 )=v 2

11.2. FUNCŢIONALE 17 astfel încât integrala l = t 2 t 1 p E(u(t),v(t))u (t) 2 +2F (u(t),v(t))u (t)v (t)+g(u(t),v(t))v (t) 2 dt să fie minimă. In cazul în care suprafaţa S este planul xoy cu ecuaţia parametrică ~r = x~i + y~j, (x, y) R 2 cu prima formă fundamentală ds 2 = dx 2 + dy 2,problema geodezicei care uneşte punctele M 1 (x 1,y 1 ),M 2 (x 2,y 2 ) revine la determinarea funcţiilor derivabile x = x(t),y = y(t), t [t 1,t 2 ] cu x(t 1 )=x 1,y(t 1 )=y 1,x(t 2 )=x 2,y(t 2 )=y 2 astfel încât integrala t 2 p x (t) 2 + y (t) 2 dt t 1 să fie minimă. Dacă alegem ca parametru coordonata x, problema revine la determinarea funcţiei derivabile y = y(x), x [x 1,x 2 ] cu y(x 1 )=y 1,y(x 2 )=y 2 astfel încât integrala x 2 p 1+y (x) 2 dx să fie minimă. x 1 11.2 Funcţionale Toate problemele enunţate mai sus erau probleme de extremum - determinarea maximului sau minimului - pentru o anumită integrală, care depinde de o anumită curbă, deci de una sau mai multe funcţii definite pe un anumit interval. Spre deosebire de problemele de extremum pentru funcţiiledeovariabilă sau mai multe variable, rezolvate cu mijloacele calculului diferenţial, unde aveam de-a face cu probleme cu unul sau mai multe grade de libertate (dar în număr finit), aici avem de-a face cu probleme cu un număr infinit de grade de libertate. In cazul extremelor funcţiilor de n variabile, cele n variabile x 1,x 2,..., x n erau coordonatele unui element, unui punct x =(x 1,x 2,..., x n ) din R n.inr n avem operaţiile de adunare a douăasemeneaelementeşi operaţia de înmulţire a unui element cu un număr real, R n fiindastfelunspaţiu vectorial n-dimensional, de aceea spuneam că avemunnumăr finit de grade de libertate. In plus, în R n puteam introduce o normă, deci o distanţă, astfel încât să putem vorbi de puncte vecine. In

18 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL problemele calculului variaţional este vorba de găsirea extremului unei integrale care depinde de una sau mai multe funcţii şi de derivatele acestora. O asemenea integrală este o funcţie definită peomulţime de funcţii şi are valori reale. Ea se numeşte funcţională exprimată printr-o integrală. Deci calculul variaţional studiază extremelefuncţionalelor exprimate prin integrale. In continuare, vom conveni ca funcţionalele să fie notate prin litere mari latine, marcând argumentele lor, deci funcţiile de care depind, între paranteze drepte. Vom conveni să marcăm în paranteze rotunde argumentul sau argumentele funcţiilor, deşi acestea sunt variabile mute, deci pot fi notate oricum. Astfel, funcţionala din problema lui Dido este b I[y(x)] = y(x)dx sau sau a L I[x(s)] = x(s) p 1 x (s) 2 ds t 2 I[x(t),y(t)] = 1 [x(t)y (t) y(t)x (t)]dt 2 t 1 după cum folosim reprezentarea explicită sau parametrică a curbei. In celelalte probleme enunţate funcţionalele sunt: - în problema brahistocronei I[y(x)] = b s 1+y (x) 2 2g(h y(x)) dx; - în problema suprafeţei de rotaţie minime b I[y(x)] = 2π y(x) p 1+y (x) 2 dx; b - în problema echilibrului firului greu I[y(x)] = - în problema geodezicelor în plan b a I[y(x)] = y(x) p 1+y (x) 2 dx; x 2 x 1 p 1+y (x) 2 dx.

11.3. SPAŢII DE FUNCŢII 19 11.3 Spaţii de funcţii Domeniul de definiţie al unei funcţionale este o mulţime de funcţii reale definite pe un interval în cazul funcţiilor de o variabilă, sau pe un domeniu în cazul funcţiilor de mai multe variabile, care satisfac anumite condiţii de netezime - derivata continuă sau continuă pe porţiuni - în interval sau domeniu şi anumite condiţii la capetele intervalului sau pe frontiera domeniului. Mulţimile de funcţii reale definite pe un interval sau domeniu cu anumite condiţii de netezime înzestrate cu operaţia de adunare a funcţiilor şi cu operaţia de înmulţire a funcţiilor cu numere reale formează spaţii vectoriale cu dimensiune infinită. Se spune că avem de-a face cu probleme cu un număr infinit de grade de libertate. Mai mult, aceste spaţii vectoriale pot fi înzestrate cu anumite norme, deci cu anumite distanţe, şi putem astfel vorbi despre funcţii vecine şi despre vecinătatea unei funcţii. Ca peste tot în acest curs, vom nota prin C[a, b] spaţiul vectorial normat al funcţiilor continue pe [a, b] cu norma uniformă ky(x)k =max x [a,b] y(x) ; prin C 1 [a, b] vom nota spaţiul vectorial normat al funcţiilor cu derivata continuăpe[a, b] cu norma ky(x)k 1 =max y(x) +max x [a,b] x [a,b] y (x) ; mai general prin C m [a, b] vom nota spaţiul vectorial normat al funcţiilor cu derivata de ordinul m continuă pe[a, b] cu norma ky(x)k m = mx max y (k) (x). x [a,b] k= Prin C m [a, b] vom nota spaţiul vectorial normat al funcţiilor cu derivata de ordinul m continuă pe porţiuni pe [a, b] cu aceeaşi normă ky(x)k m = mx max y (k) (x). x [a,b] k= Dacă y (x) C[a, b] vom numi vecinătatedeordinzerosauvecinătate tare de lărgime 2ε aluiy (x) mulţimea tuturor funcţiilor y(x) C[a, b] cu proprietatea că ky(x) y (x)k < ε şi o vom nota prin V ε (y (x)). Analog, vom numi vecinătate de

2 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL ordinul întâi sau slabă delărgime 2ε aluiy (x) C 1 [a, b] mulţimea tuturor funcţiilor y(x) C 1 [a, b] cu proprietatea că ky(x) y (x)k 1 < ε şi o vom nota prin V 1ε (y (x)). La fel, vom numi vecinătate slabă de funcţii cu derivată discontinuă de lărgime 2ε a lui y (x) C 1 [a, b] mulţimea tuturor funcţiilor y(x) C 1 [a, b] cu proprietatea că ky(x) y (x)k 1 < ε şi o vom nota prin V 1 ε (y (x)). Este clar că ovecinătate slabă delărgime 2ε aluiy (x) este conţinută în vecinătatea tare de lărgime 2ε aluiy (x). Fie I[y(x)] o funcţională definită pe o mulţime de funcţii M. Mulţimea M se numeşte şi mulţimea funcţiilor admisibile. Cum orice funcţie admisibilă are un grafic, mulţimea M se mai numeşte şi mulţimea liniilor sau curbelor admisibile. In cazul funcţionalelor care depind de funcţii de mai multe variabile vom vorbi de mulţimea suprafeţelor admisibile. Fie I[y(x)] ofuncţionalădefinităpeomulţime de funcţii M şi y (x) M. Funcţionala I[y(x)] este continuă îny (x) în sensul unei anumite norme dacă pentruoriceε > există unδ(ε) > astfel încât pentru orice funcţie y(x) M din vecinătatea de ordin δ(ε) aluiy (x), y(x) y (x) < δ(ε), are loc inegalitatea I[y(x)] I[y (x)] < ε. Este evident definiţia obişnuită a continuităţii în spaţii normate. Această definiţie este echivalentă cu faptul că oricare ar fi funcţia η(x) din vecinătatea lui (funcţia nulă) are loc relaţia lim I[y (x)+tη(x)] = I[y (x)]. t Dacă funcţionala I[y(x)] definită pemulţimea de funcţii M nu este continuă îny (x) M, se spune că ea este discontinuă îny (x). Exemplul 1. Funcţionala I[y(x)] = 1 [y(x)+2y (x)]dx definităpec 1 [, 1] este continuăînfuncţia y (x) =x în sensul normei din C 1 [, 1] pentru că oricarearfi funcţia y(x) C 1 [, 1] cu y(x) x < δ, y (x) 1 < δ avem I[y(x)] I[x] = 1 1 [y(x)+2y (x) x 2]dx y(x) x dx +2 1 Oricare ar fi ε > alegând δ = ε avem I[y(x)] I[x] < ε. 3 y (x) 1 dx.

11.4. CLASIFICAREA EXTREMELOR 21 Exemplul 2.Fie funcţionala I[y(x)] = y (x ) definită pec 1 [a, b], x fiindunpunct fixat din [a, b]. Această funcţională este discontinuă în orice funcţie y (x) C 1 [a, b] în norma uniformă dinc[a, b]. Intr-adevăr, fie ϕ(x) C 1 [a, b] astfel încât ϕ (x )=1şi ϕ(x) < δ, x [a, b]. Funcţia y(x) =y (x) +ϕ(x) C 1 [a, b] şi are derivata y (x )= y(x)+1. Deci I[y(x)] I[y (x)] =1. Se vede uşor că aceeaşi funcţională este continuă înoricefuncţie y (x) C 1 [a, b] în norma lui C 1 [a, b]. 11.4 Clasificarea extremelor Fie I[y(x)] ofuncţională definită peomulţime de funcţii M. Vom spune că funcţionala I[y(x)] are minim (maxim) pe mulţimea M M în y (x) M dacă pentru orice y(x) M are loc relaţia I[y(x)] I[y (x)] ( ). Dacă funcţionala I[y(x)] are minim (maxim) pe mulţimea M M în y (x) M atunci ea are minim (maxim) în y (x) pe orice mulţime mai mică M 1 M, y (x) M 1. Fie I[y(x)] ofuncţională definită peomulţime de funcţii M. Vomspunecă funcţionala I[y(x)] are un minim (maxim) tare în y (x) C[a, b] M dacă există o vecinătate tare V ε (y (x)) astfel încât funcţionala are un minim (maxim) pe V ε (y (x)) M în y (x). Analog, vom spune că funcţionala I[y(x)] are un minim (maxim) slab în y (x) C 1 [a, b] M dacă există o vecinătate slabă V 1ε (y (x)) astfel încât funcţionala are un minim (maxim) pe V 1ε (y (x)) M în y (x).lafelvomdefini minimul (maximul) slab cu derivată discontinuă. Dacă funcţionala I[y(x)] definită pemulţimea de funcţii M areunminim(maxim) pe M în y (x) M vom spune că eaareunminim (maxim) absolut pe M în y (x). Minimele (maximele) tari sau slabe se numesc şi minime (maxime) relative. Este evident că un extremum tare este deasemenea şi un extremum slab. De asemenea, un extremum absolut este şi un extremum relativ. Exemplul 3. Fie funcţionala I[y(x)] = πy(x) 2 (1 y (x) 2 )dx

22 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL definită pe mulţimea M a funcţiilor cu derivata integrabilă pe[, π] astfel încât y() = y(π) =. Funcţia nulă pe[, π] realizează minimul slab al acestei funcţionale pentru că pentru y(x) + y (x) < ε < 1 integrandul este pozitiv şi se anulează numaipentru y(x). Funcţionala nu îşi atinge minimul tare pe y(x) pentru că luând funcţiile avem y n (x) = 1 n sin nx I[y n (x)] = π 2n π 8 şi deci I[y n (x)] < pentru n>4. In acelaşi timp ky n (x)k, adicăfuncţiile y n (x) sunt în vecinătatea tare a funcţiei nule. Exemplul 4. Fie funcţionala I[y(x)] = 1 1 x 2 y (x) 2 dx definită pe mulţimea M a funcţiilor cu derivată integrabilă pe[ 1, 1] astfel încât y( 1) = 1, y(1) = 1. Ea este evident pozitivă pe M. Pentru funcţiile avem I[yα(x)] = 1 1 yα(x) = arctan x α arctan 1, α >, α x 2 y a(x) 2 dx < 1 1 (x 2 + α 2 )y a(x) 2 dx = 2α arctan 1 α şi deci I[yα(x)] pentru α. InC 1 [ 1, 1] nu se poate atinge minimul pentru că ar trebui să avemy (x) =şi deci y(x) =const, contradicţie cu condiţiile la capete. In C 1 [ 1, 1] minimulseatingepentrufuncţia 1 x [ 1, ) y (x) = x = 1 x (, 1] spre care tind funcţiile yα(x) pentru α. Definiţiile date mai sus se extind în mod natural atât în cazul funcţionalelor care depind de o funcţie de mai multe variabile definită pe un domeniu şi de derivatele parţiale ale acesteia cât şi în cazul funcţionalelor care depind de mai multe funcţii de o variabilă

11.5. EXERCIŢII 23 definite pe un interval şi de derivatele acestora. In ultimul caz, în locul funcţiei y(x) putem considera că avemde-afacecuofuncţie vectorială y(x) cu n componente funcţii de o singură variabilă. 11.5 Exerciţii 1. Să se arate că funcţia y(x) x realizează minimul tare (chiar absolut) pentru funcţionala I[y(x)] = 1 y (x)dx definită pe mulţimea funcţiilor M = y(x) y(x) C 1 [, 1],y() =,y(1) = 1. ª. 2. Să searatecăfuncţia y(x) x realizează minimul slab, dar nu tare, pentru funcţionala I[y(x)] = 1 y (x) 3 dx definită pe mulţimea funcţiilor M = y(x) y(x) C 1 [, 1],y() =,y(1) = 1. ª şi că minimul absolut al funcţionalei este egal cu. 3. Să searatecăpentrufuncţionala 1 I[y(x)] = xy (x) 2 dx definită pemulţimea funcţiilor M = y(x) y(x) C 1 [, 1],xy (x) 2 integrabilă pe[, 1], y() =,y(1) = 1. ª nu există o funcţie care să realizeze minimul. Ind. Se va observa că I[y(x)] = şi că I[x 1 n ]= 1 2n.

24 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 4. Să searatecăpentrufuncţionala I[y(x)] = 1 x 2 3 y (x) 2 dx definită pemulţimea funcţiilor n o M = y(x) y(x) C 1 [, 1],x 2 3 y (x) 2 integrabilă pe[, 1], y() =,y(1) = 1. minimul absolut se atinge pentru y(x) x 1 3. 11.6 Extremele funcţiilor reale de mai multe variabile Calculul variaţional clasic rezolvă problema extremelor funcţionalelor prin mijloace asemănătoare celor folosite de analiza clasică în rezolvarea problemei extremelor funcţiilor de una sau mai multe variabile. Şi în analiza clasică şi în calculul variaţional clasic, metoda esenţială este metoda variaţiilor: studiul extremelor este făcut prin atribuirea de mici variaţii argumentului. De aceea vom reaminti pe scurt rezultatele analizei clasice în cazul funcţiilor reale de n variabile. Notând x =(x 1,x 2,..., x n ), o asemenea funcţie se poate scrie sub forma f(x). Funcţia f(x) definită într-ovecinătate a lui a are derivată în a în direcţia vectorului h, notată f,dacăfuncţia de variabilă reală t, f(a + th) are h derivata f h în t =,adică f h = d dt f(a + th) t=, sau altfel scris f(a + th) =f(a)+t f + o(t),t. h Reamintim că amnotatprino(t) un infinit mic neglijabil în raport cu t, adică lim t o(t) =. Derivatele parţiale f t x 1, f x 2,..., f x n sunt derivatele în a în direcţia versorilor bazei canonice e 1 =(1,,..., ), e 2 =(, 1,,..., ),..., e n =(,..., 1). Funcţia f(x) definită într-ovecinătate a lui a are derivată de ordinul doi în a în direcţia vectorului h, notată 2 f,dacăfuncţia de variabilă reală t, f(a + th) are derivata h 2 de ordinul doi 2 f în t =,adică h 2 2 f h 2 = d2 dt 2 f(a + th) t=,

11.6. EXTREMELE FUNCŢIILOR REALE DE MAI MULTE VARIABILE 25 sau altfel scris f(a + th) =f(a)+t f h + 1 2 f 2 t2 h + 2 o(t2 ),t. Funcţia f(x) definită într-ovecinătate a lui a este diferenţiabilă îna dacă creşterea sa în a: f(a + h) f(a) areoparteprincipală lineară încreşterea argumentului h, adică există oaplicaţie lineară delar n la R, deci o formă lineară, derivata de primul ordin f (a)(h), numităşi diferenţiala de primul ordin notată df (a; h), astfelîncât f(a + h) f(a) = f (a)(h)+o(khk), khk sau f(a + h) f(a) = df (a; h)+o( h ), khk. Dacă funcţia f(x) este diferenţiabilă în a, ea are în a derivate parţiale după orice vector şi componentele derivatei f (a) sunt tocmai derivatele parţiale în a f x 1, f x 2,..., f x n ale lui f(x). Relaţia de definiţie se poate scrie matricial sub forma f(a + h) f(a) = ( f, f,..., f )(h 1,h 2,...,h n ) t + o(khk), x 1 x 2 x n sau f(a + h) f(a) = f h 1 + f h 2 +... + f h n + o(khk) x 1 x 2 x n unde prin exponentul t am notat operaţia de transpunere. Cum pentru funcţiile f(x) = x i avem df (a; h) =h i este normal să se noteze dx i în loc de h i şi dx în loc de h şi expresia diferenţialei este df (a; dx) = f x 1 dx 1 + f x 2 dx 2 +... + f x n dx n O funcţie definită şi diferenţiabilă într-o vecinătate a lui a este diferenţiabilă de ordinul doi în a dacă diferenţialasadeprimulordinf (x)(h) este diferenţiabilă îna, în raport cu x, deci există oaplicaţie lineară delaspaţiul formelor lineare pe R n la R, adică oformă bilineară f (a)(h, k) de la R n la R, astfelîncât f (a + k)(h) f (a)(h) =f (a)(h, k)+o(kkk). Se arată că forma bilinearăf (a)(h, k) este simetricăşi că matriceasaînbazacanonică este aşa numita matrice hessiană a lui f, matricea derivatelor parţiale de ordinul doi ale lui f în a, adicăarelocrelaţia f (a)(h, k) = nx i,j=1 2 f x i x j h i k j.

26 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL Mai mult, se arată că definiţia de mai sus este echivalentă cu existenţa formulei lui Taylor de ordinul doi f(a + h) =f(a)+ 1 1! f (a)(h)+ 1 2! f (a)(h, h)+o(khk 2 ), khk. De obicei f (a)(h, h) este numită diferenţiala de ordinul doi şi se notează prin d 2 f(a; h) sau d 2 f(a; dx). Cu notaţiiledemaisus d 2 f(a; dx) = nx i,j=1 2 f x i x j dx i dx j. Peste tot în aceste relaţii, derivatele parţiale sunt calculate în a. De asemenea are loc relaţia f (a)(h, h) = d2 dt 2 f(a + th) t=, adică dacă funcţia este diferenţiabilă de două ori atunci ea are şi derivata de ordinul doi în direcţia oricărui vector Pe baza celor de mai sus, se demonstrează următoarele teoreme: T1. (Condiţiinecesaredeminim) Pentru ca punctul a să fie punct de minim local al funcţiei f(x) diferenţiabilă de ordinul doi în a sunt necesare condiţiile: f (a) =, f (a), ultima condiţie însemnând că formapătratică f (a)(h, h) pentru orice h. T2. (Condiţii suficiente de minim) Pentru ca punctul a să fie punct de minim local pentru funcţia f(x) diferenţiabilă de ordinul doi în a sunt suficiente condiţiile: f (a) =, f (a) >, ultima condiţie însemnând că f (a)(h, h) > pentru orice h nenul.

11.7. VARIAŢIA DE ORDINUL ÎNTÂI A FUNCŢIONALELOR 27 11.7 Variaţia de ordinul întâi a funcţionalelor Având în vedere cele de mai sus, suntem conduşi să introducem următoarele definiţii: Definiţia 1. Fie I[y(x)] ofuncţională definită pemulţimea M afuncţiilor admisibile y(x). Vom numi derivată de ordinul întâi a funcţionalei I[y(x)] în punctul y (x) M corespunzătoare funcţiei η(x), derivata de ordinul întâi în t =afuncţiei I[y (x)+tη(x)], adică aplicaţia η(x) δi[y (x); η(x)] definită prinrelaţia δi[y (x); η(x)] = t I[y (x)+tη(x)] t=, dacă aceasta există pentruy (x)+tη(x) M, pentru t într-o vecinătate V alui. Din aceastădefiniţie, rezultăcă derivata de ordinul întâi δi[y (x); η(x)] este o funcţională definită peosubmulţime M = {η(x) y (x)+tη(x) M,t V } amulţimii funcţiilor admisibile M. Ea depinde atât de funcţia dată y (x) cât şi de funcţia η(x). Dacă adoptăm un limbaj geometric, putem spune că mulţimea funcţiilor {y (x)+tη(x) t V } alcătuiesc direcţia η(x) şi putem vorbi de derivata întâia a funcţionalei în direcţia η(x). Definiţia 2. O funcţională L[y(x)] definită peunspaţiu vectorial real normat de funcţii M se numeşte omogenă dacă oricare ar fi constanta reală λ şi oricare ar fi funcţia y(x) M are loc relaţia L[λy(x)] = λl[y(x)]. Ofuncţională L[y(x)] definită peunspaţiu vectorial real normat de funcţii M se numeşte aditivă dacă oricarearfi funcţiile y 1 (x),y 2 (x) M are loc relaţia L[y 1 (x)+y 2 (x)] = L[y 1 (x)] + L[y 2 (x)]. Ofuncţională L[y(x)] definită peunspaţiu vectorial real normat de funcţii M se numeşte lineară dacă este omogenă şi aditivă. Se verifică uşor că ofuncţională definită peunspaţiu vectorial real normat de funcţii M este lineară dacă este continuă şi aditivă.

28 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL Vom observa că derivata de ordinul întâi δi[y (x); η(x)] este o funcţională omogenă în raport cu η(x) cum rezultă din relaţiile δi[y (x); λη(x)] = t I[y (x)+λtη(x)] t= = = (λt) I[y (λt) (x)+λtη(x)] λt= = t = λ (λt) I[y (x)+λtη(x)] λt= = λδi[y (x); η(x)]. Derivata de ordinul întâi fiind funcţionalăomogenă în raport cu direcţia δi[y (x); tη(x)] = tδi[y (x); η(x)], cum tη(x) reprezintă variaţia efectivă afuncţiei y (x) este natural să o numim pe aceasta variaţia funcţiei y (x), să onotăm cu δy(x), iarcavariaţiedeordinul întâi a funcţionalei să considerăm pe tδi[y (x); η(x)] = δi[y (x); δy(x)]. Observaţie. Dacă y (x) :[a, b] R este o funcţie reală, uneori funcţia y(x, t) :[a, b] ( ε, ε) R cu proprietatea că y(x, ) = y (x) se numeşte variata lui y (x). Funcţia δy(x) = y(x,t) t se numeşte variaţia lui y t (x). Se verificăuşor că (δy(x)) t= = δy (x). Se defineşte variaţia de ordinul întâi a funcţionalei I[y(x)] în y (x) ca fiind δi[y (x), δy(x)] = t. Toate relaţiile de mai sus sau care vor urma rămân valabile cu aceste t= I[y(x,t)] t definiţii. Exemplul 5. Să considerăm funcţionala I[y(x)] = definită pe mulţimea funcţiilor admisibile 1 1 y(x) 2 y (x)dx M = y(x) y(x) C 1 [ 1, 1],y( 1) = 1,y(1) = 1 ª. Cum funcţia y (x) =x 2 M, funcţia y (x) +tη(x) M dacă şi numai dacă η(x) C 1 [ 1, 1] şi η( 1) = η(1) =. In aceste condiţii avem 1 I[y (x)+tη(x)] = [x 2 + tη(x)] 2 [2x + tη (x)]dx. 1 Sub integrală având un polinom în t, putem deriva sub integrală şi avem δi[y (x); η(x)] = t I[y (x)+tη(x)] t= =

11.7. VARIAŢIA DE ORDINUL ÎNTÂI A FUNCŢIONALELOR 29 = lim 1 t 1 [2x + tη (x)][2x 2 η(x)+2tη(x) 2 ]+η (x)[x 2 + tη(x)] 2 dx = 1 = [4x 3 η(x)+x 4 η (x)]dx. 1 Din expresia obţinută sevedecă derivata de ordinul întâi este în acest caz chiar o funcţională linearăpemulţimea M = η(x) η(x) C 1 [ 1, 1], η( 1) =, η(1) = ª. Exemplul 6. Fie acum funcţionala I[y(x)] = 1 1 definită pe mulţimea funcţiilor admisibile p 3 y(x)3 + y (x) 3 dx M = {y(x) y(x) C 1 [ 1, 1],y( 1) =,y(1) = }. Cum funcţia y (x) = M pentru ca y (x)+tη(x) =tη(x) M este necesar şi suficient ca η(x) M = η(x) η(x) C 1 [ 1, 1], η( 1) =, η(1) = ª. Cum I[y (x)+tη(x)] = I[tη(x)] = 1 t 3p η(x) 3 + η (x) 3 dx rezultă că derivata de ordinul întâi a acestei funcţionale este δi[y (x); η(x)] = 1 1 1 p 3 η(x)3 + η (x) 3 dx. Observăm că în acest caz derivata de ordinul întâi este o funcţională nelineară în raport cu η(x), dar ea este o funcţională omogenă în raport cu η(x). Nelinearitatea variaţiei de ordinul întâi se explică prinfaptulcăfuncţia de sub integrala funcţionalei, f(y, y )= y 3 +y 3, nu admite derivate parţiale de ordinul întâi în punctul (, ), unde y =,y =. Exemplul 7. Fie acum cazul mai general al funcţionalei I[y(x)] = b a F (x, y(x),y (x))dx

3 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL definită pe mulţimea funcţiilor admisibile M = {y(x) y(x) C 1 [a, b],y(a) =y 1,y(b) =y 2 }. In ce priveşte lagrangeianul funcţionalei, funcţia de trei variabile F (x, y, y ),vomadmite că eaestedefinită într-un domeniu D 3 R 3 şi că în acest domeniu ea este o funcţie cu derivate parţialedeordinulîntâif x,f y,f y continue în raport cu cele trei variabile. Fie y (x) M ofuncţie admisibilă. Pentru ca y (x)+tη(x) M, t V, este necesar şi suficient ca η(x) M = {η(x) η(x) C 1 [a, b], η(a) =, η(b) =}. Pentru o asemenea funcţie avem I[y (x)+tη(x)] = b a F (x, y (x)+tη(x),y (x)+tη (x))dx. Cum funcţia F este de clasă C, putem deriva în raport cu t sub integrală conformcu regulile de derivare în lanţ (derivarea funcţiilor compuse): b t I[y + tη] = a [F y (x, y + tη,y + tη )η + F y (x, y + tη,y + tη )η ] dx şi deci obţinem derivata de ordinul întâi a funcţionalei δi[y (x); η(x)] = b a [F y (x, y (x),y (x))η(x)+f y (x, y (x),y (x))η (x)] dx. Se vede că în acest caz, derivata de ordinul întâi este o funcţională linearăşi continuă în raport cu funcţia η(x). Dacă presupunem că funcţia F (x, y, y ) arederivatedeordinuldoicontinueşi că funcţiile admisibile sunt cu derivate de ordinul doi continue, ultimului termen al derivatei de ordinul întâi i se poate aplica integrarea prin părţi şi putem scrie derivata de ordinul întâi sub forma δi[y (x); η(x)] = b a F y (x, y (x),y(x)) d dx F y (x, y (x),y(x)) η(x)dx.

11.7. VARIAŢIA DE ORDINUL ÎNTÂI A FUNCŢIONALELOR 31 Dacă derivatadeordinulîntâiδi[y (x); η(x)] afuncţionalei I[y(x)] este o funcţională linearăşi continuă în raport cu funcţia η(x), se mai spune că aceasta reprezintă derivata sau diferenţiala în sensul lui Gateaux în y (x) a funcţionalei I[y(x)] în direcţia lui η(x). Dacă folosimvariaţiile δy(x), δy (x) atunci putem scrie δi[y (x); δy(x)] = b a F y (x, y (x),y(x))δy(x)+ F y (x, y (x),y(x))δy (x) dx, adică, formal variaţia de ordinul întâi se obţine prin diferenţiere sub semnul integrală şi înlocuirea simbolului de diferenţiere d prin δ. Definiţia 3. Dacă pentru funcţionala I[y(x)] definită pe mulţimea funcţiilor admisibile M dintr-un spaţiu vectorial normat există ofuncţională L[y (x); η(x)] lineară şi continuă în raport cu funcţia η(x) definită pe mulţimea funcţiilor astfel încât M = {η(x) y (x)+η(x) M} I[y (x)+η(x)] I[y (x)] = L[y (x); η(x)] + o(kη(x)k), kη(x)k, pentru orice funcţie η(x) M, atunci spunem că funcţionala I[y(x)] este diferenţiabilă Frechet în y (x) şi funcţionala lineară L[y (x); η(x)] se numeşte derivata sau diferenţiala în sensul lui Frechet a funcţionalei I[y(x)] în y (x) şi o vom nota tot prin δi[y (x); η(x)]. Exemplul 8. Fie acum cazul funcţionalei I[y(x)] = b a F (x, y(x),y (x))dx din Exemplul 7. definită pe mulţimea funcţiilor admisibile M = {y(x) y(x) C 1 [a, b],y(a) =y 1,y(b) =y 2 }. In ce priveşte lagrangeianul funcţionalei, funcţia de trei variabile F (x, y, y), vomadmite, ca şi acolo, că eaestedefinită într-un domeniu mărginit D 3 R 3 şi că în acest domeniu ea este o funcţiecuderivateparţiale de ordinul doi în raport cu cele trei variabile continue. Fie y (x) M ofuncţie admisibilă. Pentru ca y (x)+η(x) M, este necesar şi suficient ca η(x) M = {η(x) η(x) C 1 [a, b], η(a) =, η(b) =}

32 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL şi ca norma lui η(x) să fie suficient de mică. Pentru o asemenea funcţie avem b I[y (x)+η(x)] = F (x, y (x)+η(x),y(x)+η (x))dx a şi ţinând cont de formula lui Taylor F (x, y + η,y + η )=F(x, y,y)+f y (x, y,y)η + F y (x, y,y)η + o(kηk 1 ) putem scrie b I[y (x)+η(x)] = I[y (x)] + [F y (x, y,y)η + F y (x, y,y)η ]dx + o(kηk 1 ), a adică funcţionala este diferenţiabilă în sensul lui Frechet şi diferenţiala sa în sensul lui Frechet coincide cu derivata sa în sensul lui Gateaux, adică cuderivatasadeordinul întâi. De altfel, acest lucru este general: dacă funcţionala este diferenţiabilă în sensul lui Frechet atunci ea este şi diferenţiabilă însensulluigateaux şi cele două diferenţiale coincid. In cele ce urmează, vom avea de-a face numai cu funcţionale care vor fi diferenţiabile Frechet şi datorită tradiţiei vom vorbi despre variaţia de ordinul întâi în loc de diferenţiala în sensul lui Frechet.. Mai mult, să observăm că dacăţinem cont că funcţia creştere η(x) este variaţia funcţiei y (x) şi deci o notăm cu δy(x), η (x) este variaţia derivatei y(x) şi deci o notăm cu δy (x), variaţia de ordinul întâi a funcţionalei, şi deci diferenţiala sa Frechet, se scrie sub forma b δi[y (x); δy(x)] = [F y (x, y (x),y(x))δy(x)+f y (x, y (x),y(x))δy (x)]dx, a adică, şi acum formal variaţia de ordinul întâi se obţine prin diferenţiere sub semnul integrală şi înlocuirea simbolului de diferenţiere d prin δ. Exemplul 9. Să considerăm acum funcţionala b I[y(x),b]= F (x, y(x),y (x))dx pe mulţimea funcţiilor M = {y(x) y(x) C 1 [a, B],y(a) =y 1,b B} a

11.7. VARIAŢIA DE ORDINUL ÎNTÂI A FUNCŢIONALELOR 33 adică pemulţimea funcţiilor al căror grafic arecapătul din stânga fixat, iar capătul din dreapta se poate deplasa liber în semiplanul x B. In calculul primei variaţii trebuie să ţinemcontdefaptulcă extremitatea dreaptă semişcă liber. Vom considera că abscisa capătului din dreapta devine b + tβ, iar ordonata devine y(b + tβ) + tη(b + tβ). Vom avea deci b+tβ Φ(t) = I[y(x)+tη(x),b+ tβ] = F (x, y(x)+tη(x),y (x)+tη (x))dx şi deci a Φ (t) = b+tβ {F y (x, y + tη,y + tη )η + F y (x, y + tη,y + tη )η } dx + a +F (b + tβ,y (b + tβ)+tη(b + tβ),y (b + tβ)+tη (b + tβ))β integrândprinpărţi Φ () = δi[y ; η] = Φ () = δi[y ; η] = sau în scrierea cu δy(x) b +F (b, y (b),y (b))β a b a ½ F y (x, y,y)η + F ¾ y (x, y,y)η dx + ½ F y (x, y,y) d ¾ dx F y (x, y,y) η(x)dx + +F y (b, y (b),y (b))η(b)+f (b, y (b),y (b))β δi[y ; δy] = b a ½ F y (x, y,y) d ¾ dx F y (x, y,y) δy(x)dx + +F y (b, y (b),y (b))δy(b)+ +(F (b, y (b),y (b)) y (b)f y (b, y (b),y (b))) δb. Am notat prin δy(b) variaţia efectivă a ordonatei capătului din b : δy(b) =η(b)t + y (b)δb.

34 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL Dacă şi capătul din stânga ar fi variabil ar apărea cu semnul minus expresiile corespunzătoare lui. Este de reţinut această formă generală a variaţiei de ordinul întâi pe care o putem scrie sub forma δi[y ; δy] = b a ½ F y (x, y,y) d ¾ dx F y (x, y,y) δy(x)dx+ +[F y (x, y (x),y(x))δy(x) H(x, y (x),y(x))δx] b a unde am notat H(x, y, y )=y F y (x, y, y ) F (x, y, y ) aşa numita funcţie a lui Hamilton. Exemplul 1. Fie funcţionala definită pe mulţimea funcţiilor admisibile b I[y(x)] = F (x, y(x),y (x),..., y (m) (x))dx a M = {y(x) y(x) C m [a, b],y (i) (a) =y ia,y (i) (b) =y ib,i=, 1,..., m 1} şi unde presupunem că funcţia F arederivateparţiale de ordinul doi în raport cu toate argumentele continue într-un domeniu din R m+2.dacă y (x) M, y (x)+η(x) M dacă şi numai dacă η(x) M = {η(x) η(x) C m [a, b], η (i) (a) =, η (i) (b) =,i=, 1,..., m 1} şinormasaestesuficient de mică. In aceste condiţii, funcţionala are derivata Frechet în y (x) dată derelaţia b δi[y (x); η(x)] = [F y η(x)+f y η (x)+... + F y (m)η (m) (x)]dx a toate derivatele parţiale fiind calculate în punctul corespunzător lui y (x). Dacăpresupunem că funcţia F arederivate deordin2m în raport cu toate argumentele continue şi că funcţiile admisibile au derivate de ordinul 2m continue pe [a, b], atunci integrând

11.7. VARIAŢIA DE ORDINUL ÎNTÂI A FUNCŢIONALELOR 35 prin părţi şi ţinând cont de relaţiile verificate în capete de variaţia tη(x) =δy(x) se poate scrie variaţia de ordinul întâi sub forma δi[y (x); δy(x)] = b Exemplul 11. Fie cazul unei funcţionale I[y 1 (x),y 2 (x),..., y n (x)] = a b a [F y d dx F dm y +... +( 1)m dx F m y (m)]δy(x)dx. F (x, y 1 (x),y 2 (x),..., y n (x),y 1(x),y 2(x),..., y n(x))dx, definite pe o mulţime de n funcţii de o variabilă derivabile pe intervalul [a, b] : M = y i (x),i=1, 2,...,n y i (x) C 1 [a, b],y i (a) =y ia,y i (b) =y ib ª, funcţia F fiind definită într-un domeniu şi cu derivatele parţiale de ordinul întâi continue în acel domeniu. In aceste condiţii funcţionala are derivată Frechetîn(y 1 (x),y 2 (x),..., y n (x)) δi(y i (x), η i (x)) = b a ( nx i=1 Fyi (y i (x),yi(x))η i (x)+f y (y i i(x),yi(x))η i(x) ) dx. Dacă funcţia F are derivate de ordinul doi continue şi dacă funcţiile admisibile au derivate de ordin doi atunci se poate scrie b ( nx µ δi(y i (x), η i (x)) = F yi (y i (x),yi(x)) d ) dx F yi (y i(x),yi(x)) η i (x) dx. sau δi(y i (x), δy i (x)) = Exemplul 12. a b a i=1 ( nx i=1 µ F yi (y i (x),yi(x)) d ) dx F yi (y i(x),yi(x)) δy i (x) dx. Considerăm acum cazul unei funcţionale al cărui argument este o funcţie dedouăvariabiledefinită peundomeniud din planul xoy I[z(x, y)] = F (x, y, z(x, y),z x (x, y),z y (x, y))dxdy, D z x (x, y),z y (x, y) fiind derivatele parţiale ale funcţiei z(x, y), funcţionalădefinităpemulţimea funcţiilor admisibile M = {z(x, y) z(x, y) C 1 (D),z(x, y) D = dat}.

36 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL Presupunând că funcţia F arederivate parţiale de ordinul doi continue în raport cu toate argumentele sale într-un domeniu mărginit rezultă imediatcăfuncţionala are diferenţială Frechet şi că aceasta este δi[z(x, y); η(x, y)] = [F z η(x, y)+f zx η x (x, y)+f zy η y (x, y)]dxdy definită pe mulţimea funcţiilor D M = {η(x, y) η(x, y) C 1 (D), η(x, y) D =}. Aici dacă admitem că funcţia F are derivate parţiale continue în raport cu toate argumentele şi că funcţiile admisibile au derivate parţiale de ordinul doi continue pe D, integrând prin părţi găsim expresia variaţiei de ordinul întâi sub forma δi[z(x, y); η(x, y)] = [F z x F z x y F z y ]η(x, y)dxdy D 11.8 Variaţia de ordinul doi a funcţionalelor Definiţia 4. Fie I[y(x)] o funcţională definită pe mulţimea M a funcţiilor admisibile y(x). Vom numi derivată de ordinul doi a funcţionalei I[y(x)] în punctul y (x) M corespunzătoare funcţiei η(x), derivata de ordinul doi în t =a funcţiei I[y (x)+tη(x)], adică aplicaţia η(x) δ 2 I[y (x); η(x)] definită prinrelaţia δ 2 I[y (x); η(x)] = 2 t 2 I[y (x)+tη(x)] t=, dacă aceasta există pentruy (x)+tη(x) M, pentru t într-o vecinătate V alui. Şi aici, rezultă căderivatadeordinuldoiδ 2 I[y (x); η(x)] este o funcţională omogenă de ordinul doi δ 2 I[y (x); tη(x)] = t 2 δ 2 I[y (x); η(x)] definită pe o submulţime M = {η(x) y (x)+tη(x) M,t V } a mulţimii funcţiilor admisibile M. Introducând variaţia δy(x) =tη(x) vom considera variaţia de ordinul doi ca fiind δ 2 I[y (x); δy(x)] = t 2 δ 2 I[y (x); η(x)]. Exemplul 13. Fie acum cazul funcţionalei I[y(x)] = b a F (x, y(x),y (x))dx

11.8. VARIAŢIA DE ORDINUL DOI A FUNCŢIONALELOR 37 definită pe mulţimea funcţiilor admisibile M = {y(x) y(x) C 1 [a, b],y(a) =y 1,y(b) =y 2 }. In ce priveşte lagrangeianul funcţionalei, funcţia de trei variabile F (x, y, y ), vom admite că ea este definită într-un domeniu D 3 R 3 şi că în acest domeniu ea este o funcţie cu derivate parţialedeordinuldoicontinueînraportcuceletreivariabile. Fiey (x) M o funcţie admisibilă.cum avem rezultă b t I[y + tη] = a [F y (x, y + tη,y + tη )η + F y (x, y + tη,y + tη )η ] dx 2 b t I[y 2 + tη] = a Fyy (x, y + tη,y + tη )η 2 + +2F yy (x, y + tη,y + tη )ηη + F y y (x, y + tη,y + tη )η 2 dx şi deci derivata de ordinul doi este δ 2 I[y ; η] = b a Fyy (x, y,y )η 2 +2F yy (x, y,y )ηη + F y y (x, y,y )η 2ª dx sau înlocuind tη(x) cu δy(x) şi tη (x) cu δy (x) δ 2 I[y ; δy(x)] = b a Fyy (x, y,y )δy 2 +2F yy (x, y,y )δyδy + F y y (x, y,y )δy 2ª dx Şi aici observăm că formal variaţia de ordinul doi se obţine diferenţiind formal cu operatorul δ variaţia de ordinul întâi. Definiţia 5. O funcţională B[y(x),z(x)] definită pe M M, M fiind un spaţiu vectorial real normat, se numeşte bilineară pem dacă ea este lineară în fiecare din cele două argumente ale sale. Dacă B[y(x),z(x)] este o funcţională bilineară pe M, funcţionala B[y(x),y(x)] se numeşte funcţională pătratică pe M. Ofuncţionalăpatratică B[y(x),y(x)] de numeşte pozitiv definită dacă B[y(x),y(x)] > oricare ar fi funcţia nenulă y(x). Vom observa căvariaţia de ordinul doi a funcţionalei din exemplul ultim este o formă pătratică.

38 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL Definiţia 6. O funcţională I[y(x)] are o derivată de ordinul doi în sensul lui Frechet dacă creşterea sa se poate scrie sub forma I = I[y(x)+δy(x)] I[y(x)] I = L 1 [δy(x)] + 1 2 L 2[δy(x)] + β kδy(x)k 2, unde L 1 [δy(x)] este o funcţională lineară, L 2 [δy(x)] este o funcţională pătratică şi β când kδy(x)k. Vom spune atunci că L 2 [δy(x)] este derivata de ordinul doi a funcţionalei I[y(x)] şi o vom nota prin d 2 I[δy(x)]. Exemplul 14. Fie cazul funcţionalei I[y(x)] = b a F (x, y(x),y (x))dx în cazul în care funcţia F are derivate parţiale de ordinul trei continue într-un domeniu mărginit. Folosind de această dată formula lui Taylor de ordinul doi se vede imediat că această funcţională admite diferenţială de ordinul doi în sensul lui Frechet şi aceasta coincide cu variaţia de ordinul doi calculată mai sus. Exemplul 15. Fie funcţionala I[y(x)] = definită pe mulţimea funcţiilor admisibile b a F (x, y(x),y (x),..., y (m) (x))dx M = {y(x) y(x) C m [a, b],y (i) (a) =y ia,y (i) (b) =y ib,i=, 1,..., m 1} şi unde presupunem că funcţia F arederivateparţiale de ordinul doi în raport cu toate argumentele continue într-un domeniu din R m+2.dacă y (x) M, y (x)+η(x) M dacă şi numai dacă η(x) M = {η(x) η(x) C m [a, b], η (i) (a) =, η (i) (b) =,i=, 1,..., m 1} şi norma sa este suficient de mică. In aceste condiţii, funcţionala are variaţia de ordinul doi în y (x) dată derelaţia δ 2 I[y (x); η(x)] = b a mx k,l= 2 F y (k) y (l) η(x)(k) η(x) (l) dx

11.8. VARIAŢIA DE ORDINUL DOI A FUNCŢIONALELOR 39 sau altfel scris δ 2 I[y (x); δy(x)] = b a mx k,l= 2 F y (k) y (l) δy(x)(k) δy(x) (l) dx. Dacă funcţia F are are derivate parţiale de ordinul trei continue, atunci funcţionala are diferenţială de ordinul doi în sensul lui Frechet a cărei expresie coincide cu cea de sus. Exemplul 16. Fie cazul unei funcţionale I[y 1 (x),y 2 (x),..., y n (x)] = b a F (x, y 1 (x),y 2 (x),..., y n (x),y 1(x),y 2(x),..., y n(x))dx, definite pe o mulţime de n funcţii de o variabilă derivabile pe intervalul [a, b] : M = ª y i (x),i=1, 2,...,n y i (x) C 1 [a, b],y i (a) =y ia,y i (b) =y ib, funcţia F fiind definită într-un domeniu şi cu derivatele parţialedeordinuldoicon- tinue în acel domeniu. In aceste condiţii funcţionala are variaţia de ordinul doi în (y 1 (x),y 2 (x),..., y n (x)) dată de = b a " nx i,j=1 δ 2 I[y 1,..., y n ; δy 1,..., δy n ]= F y i y j δy i δy j + nx i,j=1 F y i y j δy iδy j + # nx Fy i y δy j iδyj dx unde derivatele parţiale ale funcţiei F sunt calculate în (y 1 (x),y 2 (x),..., y n (x)). Dacă funcţia F are derivate parţiale de ordinul trei continue, atunci funcţionala are diferenţială i,j=1 de ordinul doi în sensul lui Frechet a cărei expresie coincide cu cea de sus. Exemplul 17. Considerăm acum cazul unei funcţionale al cărui argument este o funcţie dedouăvariabiledefinită peundomeniud din planul xoy I[z(x, y)] = F (x, y, z(x, y),z x (x, y),z y (x, y))dxdy definită pe mulţimea funcţiilor admisibile D M = {z(x, y) z(x, y) C 1 (D),z(x, y) D = dat}. Presupunând că funcţia F are derivate parţiale de ordinul doi continue în raport cu toate argumentele sale într-un domeniu mărginit rezultă imediat că funcţionala are variaţia

4 CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL de ordinul doi dată derelaţia δ 2 I[z(x, y); δz(x, y)] = Fzz (δz) 2 + F zzx δzδz x +... + F zy z y (δz y ) 2 dxdy. D Dacă funcţia F are derivate parţiale de ordinul trei continue, atunci funcţionala are diferenţială de ordinul doi în sensul lui Frechet a cărei expresie coincide cu cea de sus. 11.9 Condiţiinecesaredeextremum Cum orice extremum absolut este şi un extremum tare şi deci şi un extremum slab, rezultă că orice condiţie necesară deextremumslabva fi şi o condiţie necesară pentru extremum tare şi totodată condiţie necesară pentru extremum absolut. Exact ca în cazul extremelor funcţiilor de mai multe variabile avem următoarele teoreme: Teorema 3. Dacăfuncţia y (x) realizeazăextremulfuncţionalei I[y(x)] atunci derivata sa de ordinul întâi δi[y (x); η(x)] este nulă. Teorema 4. Dacă funcţia y (x) realizează minimul (maximul) funcţionalei I[y(x)] atunci derivata sa de ordinul doi este pozitivă (negativă). Avem şi o teoremă caredă condiţii suficiente de extremum. Teorema 5. Dacă funcţia y (x) este o extremală afuncţionalei I[y(x)] şi dacă există constanta C astfel încât δ 2 I[y (x); η(x)] >C η(x) 2 1 pentru orice η(x) M = {η(x) η(x) C 1 [a, b], η(a) =, η(b) =}, atunci funcţia y (x) realizează minimul funcţionalei. In adevăr, cum I[y(x)+η(x)] I[y(x)] = 1 2 δ2 I[y (x); η(x)] + o( η(x) 2 1) rezultă că fiind dat ε > există δ(ε) astfel încât pentru η(x) 1 < δ(ε) avem I[y(x)+η(x)] I[y(x)] = 1 2 δ2 I[y (x); η(x)] + θε η(x) 2 1 cu θ [ 1, 1].