ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σχετικά έγγραφα
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i.

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών. Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

Πράξεις διανυσμάτων. Πρόσθεση. Αφαίρεση. Συντεταγμένες στο επίπεδο. Συντεταγμένες διανύσματος και. Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης 01

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΜΑΘΗΜΑ Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z).

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

δ Ε δ Ε ΦΥΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 ο 1. Δίνεται ην ευθεία (δ) και το σημείο Ε. Να βρείτε σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν από την ευθεία (δ) και το σημείο Ε.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

Θέματα εξετάσεων στους μιγαδικούς

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

Μεθοδολογία Παραβολής

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. iz+α. (z 1)(z + 1) f ( ) = f (z). (1993-2ο- 1) (1994-2ο) (1999-2ο) ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Μεθοδολογία Υπερβολής

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

6 Γεωμετρικές κατασκευές

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1,

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Transcript:

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΙ ΤΠΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ ΣΥΝΤΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΥ Α( 1, y 1 ΑΠ ΤΗΝ ΑΡΧΗ (0, 0 των αξόνων: (A = + y 1 1 Αν έχουμε τον μιγαδικό αριθμό 1 = 1 + i y 1 με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Α. Η απόσταση της εικόνας του μιγαδικού από την αρχή, ονομάζεται μέτρο και συμβολίζεται με 1 = (A = + y 1 1 Α = 1 = + y Α( 1 1 1 ΑΠΣΤΑΣΗ ΔΥ ΣΗΜΕΙΩΝ Α( 1, y 1, B(, y : (ΑΒ = ( + ( y y 1 1 Αν 1 = 1 + i y 1, = + i y μιγαδικοί αριθμοί με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Α, Β. (ΑΒ = 1 1 = ( + ( y y 1 1 ΡΙΣΜΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΥ ΤΠΥ Σε ένα επίπεδο. Μεσοκάθετο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζουμε το επιπέδου, που ισαπέχουν από τα άκρα Α, Β του τμήματος. Δηλαδή, για τα σημεία Μ έχουμε (ΜΑ = (ΜΒ Κύκλος ονομάζεται το επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από σταθερό σημείο Κ. Το σταθερό σημείο Κ ονομάζεται κέντρο του κύκλου και η απόσταση ρ των σημείων Μ από το Κ ονομάζεται ακτίνα του κύκλου Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΤ ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΠΙΠΕΔ 1 = 1 + i y 1, = + i y Α( 1, y 1, B(, y, M(, y (MA = (MB ή = Το Μ τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Αν K( 0, y 0 η εικόνα του σταθερού σημείου του μιγαδικού 0 = 0 + i y 0 και Μ(, y τυχαίο σημείο του κύκλου με = + i y, τότε (ΜΚ = ρ Δηλαδή 0 = ρ ή ( 0 + (y y 0 = ρ Α( 1 ΣΧΗΜΑ MΚ = 0 = ρ Κ( 0 MA = MB M( B( ( 0 + (y y 0 = ρ K( 0, y 0, M(, y M( Παραδείγματα 1. Η εξίσωση i = i, παριστάνει την μεσοκάθετη ευθεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα τα σημεία Α(, 1 και Β(0, 1. Η εξίσωση = + i, παριστάνει την μεσοκάθετη ευθεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα τα σημεία Α(, 0 και Β(0, 3. Η εξίσωση = 3, παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(0, και ακτίνα ρ = 3 4. Η εξίσωση + 3i =, παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(, 3 και ακτίνα ρ = 5. Η εξίσωση + 5 i = 1, παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(0, 5 και ακτίνα ρ = 1

Παρατήρηση Η ανίσωση 1 > ρ (ΜΜ 1 > ρ ( τα σημεία Μ(, y βρίσκονται εκτός του κύκλου Η ανίσωση 1 < ρ (ΜΜ 1 < ρ ( τα σημεία Μ(, y βρίσκονται εντός του κύκλου Η ανίσωση ρ 1 < R ρ (ΜΜ 1 < R ( τα σημεία Μ(, y βρίσκονται εντός του δακτυλίου που ορίζουν οι κύκλοι 1 = ρ και 1 = R 1 > ρ 1 < ρ ρ < 1 < R ρ ρ R ρ ΑΛΛΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΙ ΤΠΙ (ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΡΙΣΜΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΥ ΤΠΥ Έλλειψη ονομάζουμε το επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία είναι σταθερό. Τα δύο σταθερά σημεία ονομάζονται Εστίες τα Έλλειψης. Υπερβολή ονομάζουμε το επιπέδου, των οποίων η διαφορά των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία είναι σταθερό. Τα δύο σταθερά σημεία ονομάζονται Εστίες της Υπερβολής. Παραβολή ονομάζουμε το επιπέδου, τα οποία ισαπέχουν από σταθερή (δ και από σταθερό σημείο Ε. Η σταθερή ευθεία ονομάζεται διευθετούσα και το σταθερό σημείο Εστία της παραβολής. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΤ ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΠΙΠΕΔ Αν Μ(, y είναι η εικόνα του μιγαδικού = + i y, Ε(γ, 0, Ε ( γ, 0 οι εικόνες των μιγαδικών 1 = γ + i 0 και = γ + i 0 αντίστοιχα τότε ισχύει ΜΑ + ΜΒ = α 1 + = α. (εξίσωση της έλλειψης στο Μιγαδικό επίπεδο Αν Μ(, y είναι η εικόνα του μιγαδικού = + i y, Ε(γ, 0, Ε ( γ, 0 οι εικόνες των μιγαδικών 1 = γ + i 0 και = γ + i 0 αντίστοιχα τότε ισχύει ΜΑ ΜΒ = α 1 = α. (εξίσωση της έλλειψης στο Μιγαδικό επίπεδο Αν Μ(, y είναι η εικόνα του μιγαδικού = + i y, και p p Ε(, 0, (δ: = Όπου Ε η εικόνα του μιγαδικού 1 = p + i 0 και τότε ισχύει ΜΑ = d(μ, Ε p 1 = +. (εξίσωση της παραβολής στο Μιγαδικό επίπεδο Έλλειψη α y β + = 1 Α ( α,0 Υπερβολή α y β = 1 Ε ( γ,0 ΣΧΗΜΑ Β(0,β Ε ( γ,0 Ε(γ,0 Β (0,β Α ( α,0 Παραβολή y = p (δ: χ = p Α(α,0 Ε(γ,0 γ = α β Ε( p,0 Α(α,0 γ = α β

Παράδειγμα 1 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού = + i y,, y R, για τους οποίους ισχύει η σχέση ΜΑ + ΜΒ = 10, όπου Α και Β οι εικόνες των μιγαδικών 1 = 3 και = 3 ΜΑ + ΜΒ = 10 1 + = 10 + i y 3 + + i y + 3 = 10 ( 3 + i y + ( + 3 + i y = 10 ( ( ( ( 3 + y = 10 + 3 + y ( ( 3 + y + + 3 + y = 10 ( 3 y ( 10 ( 3 y + = + + 6 + 9 + y = 100 + + 6 + 9 + y 0 + 6 + 9 + y 0 6 9 100 1 + + + y = + ( ( 5 + 6 + 9 + y = 5 + 3 5 6 9 5 3 + + + y = + 16 5y 400 + = y + = 1, έλλειψη με α = 5, β = 4, γ = 3 5 16 Παράδειγμα Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού = + i y,, y R, για τους οποίους ισχύει η σχέση ΜΑ ΜΒ = 8, όπου Α και Β οι εικόνες των μιγαδικών 1 = 5 και = 5 Εργαζόμαστε με ανάλογο τρόπο, όπως το προηγούμενο παράδειγμα και έχουμε : ΜΑ ΜΒ = 8 1 = 8 + i y 5 + i y + 5 = 8 y Και μετά από πράξεις καταλήγουμε = 1, υπερβολή με α = 4, β = 3, γ = 5. 16 9 Σχόλιο Τα δύο παραπάνω παραδείγματα μπορούν να διατυπωθούν και αντίστροφα Να βρεθεί ο Γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών = + i y,, y R που ικανοποιούν τις σχέσεις (α. 3 + + 3 = 10 και (β. 5 + + 5 = 8. Παράδειγμα 3 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ(, y του μιγαδικού = + i y,, y R, αν ισχύει η μιγαδική σχέση = Re( +. = Re( + = + = + ( y ( ( + = + 4 + 4 + y = + 4 + 4 4 + y = 4 y = 8, παραβολή με παράμετρο p =. Παράδειγμα 4 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ(, y του μιγαδικού = + i y,, y R, αν ισχύει 1 Re ( + = Im ( + 1 (1 Με πράξεις εύκολα διαπιστώνουμε ότι + = ( y. πότε η σχέση (1 γράφεται : 1 Re ( + = Im ( + 1 y = y + 1 = y + y + 1 = (y + 1 = ± (y +1 δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού είναι ένα ζεύγος κάθετων ευθειών.

Παράδειγμα 5 Να βρεθεί ο Γεωμετρικός Τόπος των εικόνων Μ(, y του μιγαδικού = + i y,, y R, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων τις εικόνες των μιγαδικών 1 = 6 + i 0 και = 3 + i 0 είναι ίσος με το. (Απολλώνιος Κύκλος ΜΑ = ΜΑ = ΜΒ 1 = 6 = + 3 6 = 4 + 3 ΜΒ ( 6 ( 6 4 ( 3 ( 3 = + + ( + 6 + y = 36. καταλήγουμε σε κύκλο με κέντρο Κ( 6, 0 και ακτίνα ρ = 6. Παράδειγμα 6 Να βρεθεί ο Γεωμετρικός Τόπος των εικόνων Μ(, y του μιγαδικού = + i y,, y R, για τα οποία ισχύει 4 + + 3 = 5. Να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία του συμπεράσματος. ( ( ( 4 + + 3 = 5 ( y y ( y ( y 4 + + + + 3 = 5 y 8 6 y 0 + + = 4 + + + + 3 = 5 y y y 8 + 16 + + + + 6 + 9 = 5 3 5 + 4 + 3 = 0 ( + y =. y y y 4 + + 3 = 5 MA + MB = AB Η σχέση μας θυμίζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα, Επειδή το σημείο Μ είναι μεταβλητό, βλέπει την υποτείνουσα ΑΒ υπό ορθή γωνία. Άρα περιγράφει κύκλο με διάμετρο την ΑΒ και το κέντρο αυτού του κύκλου είναι το μέσον της 3 ΑΒ, δηλαδή το σημείο Κ, και η ακτίνα του κύκλου είναι το μισό του ΑΒ, ρ = 5. B( 3,0 K 5 A(4,0 ΑΣΚΗΣΗ 1 Αν η εικόνα του μιγαδικού = + i y,, y R, κινείται στην περιφέρεια κύκλου με κέντρο το + i (0, 0 και ακτίνα ρ = 1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού w με w =, όπου -i i. + i Ισχύει ότι = 1. ο μιγαδικός w = w ( i = + i w = i + i w -i w + 1 (w 1 = i (1 + w = i w 1 = w + 1 w + 1 i 1 = i w 1 w 1 w + 1 = 1 w + 1 = w 1. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η w 1 μεσοκάθετος ευθεία στο τμήμα ΑΒ, όπου Α(1, 0 και Μ( 1, 0, άρα η ευθεία κατακόρυφη ευθεία = 0. (Δηλαδή ο w πρέπει να είναι φανταστικός

ΑΣΚΗΣΗ Αν η εικόνες του μιγαδικού αριθμός w είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο το + 16 (0, 0 και ακτίνα ρ = 4, και ισχύει w =. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του. + 4 + 16 w = 4 = 4 + 16 = 4 + 4 + 16 = 16 + 4 + 4 ( + 16 ( + 16 = 16 ( 4 ( 4 + + = 4 Άρα οι εικόνες του μιγαδικού βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο (0, 0, ακτίνα ρ = 1. ΑΣΚΗΣΗ 3 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού που περιγράφονται από την εξίσωση + 3 = 1. 3 3 3 1 + 3 = 1 + = 1 + = 1 + = 3 Άρα οι εικόνες του μιγαδικού βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Κ 0, και ακτίνα ρ = 1. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις (α. + 5 = 6 (β. 5 = 1 (α. Αν Μ(, y η εικόνα του μιγαδικού = + i y Και Α(, 0, Β(5, 0 οι εικόνες των μιγαδικών 1 =, = 5 Η απόσταση ΜΑ =, η απόσταση ΜΒ = 5 Η σχέση γράφεται + 5 = 6 ΜΑ + ΜΒ = 6, είναι έλλειψη Με μεγάλο άξονα α = 6 α = 3, εστιακή απόσταση γ = 5 = 3 με κέντρο Κ 5 +,0 = Κ 7,0. άρα η εξίσωσή της έλλειψης είναι 7 y + = 1, διότι β 9 = α γ = 9 = 3 3. 9 7 4 4 (β. Αν Μ(, y η εικόνα του μιγαδικού = + i y,, y R Και Α(, 0, Β(5, 0 οι εικόνες των μιγαδικών 1 =, = 5 Η απόσταση ΜΑ =, η απόσταση ΜΒ = 5 Η σχέση γράφεται + 5 = 6 ΜΑ ΜΒ = 1, ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κλάδος υπερβολής.με απόσταση κορυφών α = 1 α = 1, εστιακή απόσταση γ = 5 = 3, και κέντρο Κ 7,0.

7 y Άρα η εξίσωση της υπερβολής είναι = 1, με β = 9 7 4 Επειδή 5 4. Η υπερβολή έχει μόνον έναν κλάδο. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού = + i y, που ικανοποιούν την εξίσωση + i = +. + i i = + 4 + 4 + i = + + i = ( + ( ( i + i + 4 = + 4 + 4 i ( = 4 = y + y = y + y = y = 0 = 0. ΑΣΚΗΣΗ 6 1 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών αριθμών, αν ο αριθμός w = + είναι πραγματικός. 1 1 w R w= w + = + + = 0 1 = 0. Άρα οι εικόνες του μιγαδικού είναι όλα τα σημεία του άξονα των ( ( πραγματικών αριθμών και τα σημεία του κύκλου με κέντρο το και ακτίνα ρ = 1 ΑΣΚΗΣΗ 7 Έστω = + i y, με, y R και y = 1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w = στο μιγαδικό επίπεδο. Έστω w = α + i β, με α, β R, ισχύει w = α + i β = y + i y α = y α = y = k + i, όπου k = y. β = y β = Άρα οι εικόνες του μιγαδικού w είναι όλα τα σημεία της μορφής Μ(κ, Δηλαδή σημεία της οριζόντιας ευθείας y =. ΑΣΚΗΣΗ 8 Αν μιγαδικός = + i y, με, y R, ώστε = 1, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(, y όταν ισχύει η σχέση : + i y = + i. = 1 = 1 = 1 Ισχύει : + i y ( + i y + i y = + i = = i i ( + i y = 1 ( + y = 1. πότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 0, ακτίνα ρ = 1

ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει ότι των εικόνων του μιγαδικού = + i y, όπου, y R. Έστω = + i y, με, y R. Τότε έχουμε + 4 + 3 = 17 ( y i ( yi i ( ( + 4 i + 3 = 17, τότε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος + + 4 + 3 + = 17 + y+ 4 + 3 y = 17 3 4 y + 5 = 0. ευθεία. ΑΣΚΗΣΗ 10 Ποιοι μιγαδικοί αριθμοί ικανοποιούν την σχέση 4 + 4 + i 6. Να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία. Έστω Μ η εικόνα του ζητούμενου μιγαδικού = + i y, με, y R. Και έστω K( 4, η εικόνα του μιγαδικού 0 = 4 i. Η εξίσωση + 4 + i = 4 MK = 4, παριστάνει γεωμετρικά τα σημεία του κύκλου με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ = 4. Η εξίσωση + 4 + i = 6 MK = 6, 6 4 παριστάνει γεωμετρικά τα σημεία του κύκλου με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ = 6. Η σχέση που μας δίδεται 4 + 4 + i 6 4 MK 6, περιγράφει όλα τα σημεία που ορίζονται μεταξύ των δύο κύκλων. (δηλαδή, του κυκλικού δακτυλίου. ΑΣΚΗΣΗ 11 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών οι οποίοι ικανοποιούν την 1 μετρική σχέση : + =, με 0 1 + 1 + 1 + 1 + = = = = + 1= 1 0 1 = 0 = 1 Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 0 και ακτίνα ρ = 1. + = ( ΑΣΚΗΣΗ 1 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού = + i y, με, y R ώστε να ισχύει 4 = 15. 4 30 = 16 4 4 + = 30 = ( 4 ( 4 30

( + = ( y ( y 17 4 5 17 + 8 = 5 y 9 + 5 y = 5 + = 1. Έλλειψη με α = 10, β = 6, γ = 8 5 3 ΑΣΚΗΣΗ 13 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις (α. ( ( + + = 0 (β. i + + i = 4 ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών = + i y, όπου, y R και ικανοποιούν τις ισότητες (α. i + 1 = (β. + i = + + i = 0 (γ. 3 + 4 Re( 15 = 0 (δ. ( Πολυχρονιάδης Α. Νικόλαος http://1lyk-ptolem.ko.sch.gr