Migadik An lush Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na, 2013

Migdik Anˆlush Tm m Mjhmtik n Pnepist mio Ajhn n Aj n, 203

Perieqìmen Μιγαδικοί αριθμοί. Οι μιγαδικοί αριθμοί................................ Το σώμα των μιγαδικών αριθμών.....................2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών-μιγαδικό επίπεδο- Επίπεδο Guss............................. 3..3 Παράσταση μιγαδικού αριθμού με πολικές συντεταγμένες...... 4..4 Γεωμετρική ερμηνεία του πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών.... 4..5 Οι ν-οστες ρίζες ενός μιγαδικού αριθμού............... 5..6 Ευρεση των ν-οστών ριζών ενός μιγαδικού αριθμού z 0...... 5..7 Η τοπολογική δομή του C....................... 5 2 Συνεκτικότητα 7 2. Συνεκτικά σύνολα................................ 7 2.. Συνεκτική συνιστώσα.......................... 9 2..2 Συμπαγές επίπεδο των μιγαδικών αριθμών............... 3 2..3 Ολόμορφες συναρτήσεις........................ 3 2..4 Οι διαφορικοί τελεστές z, z..................... 7 3 Σύγκλιση σειρών 2 3. Σειρές...................................... 2 3.. Η γεωμετρική σειρά........................... 23 3..2 Σειρές μιγαδικών αριθμών....................... 25 3..3 Δυναμοσειρές.............................. 26 3..4 Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση................. 34 3..5 Παράσταση του log( + z), z < με δυναμοσειρά.......... 4 4 Ολοκληρώματα 43 4. Καμπύλες στο C- Επικαμπύλια ολοκληρώματα................. 43 4.. Καμπύλες................................ 45 4..2 Δείκτης στροφής καμπύλης...................... 50

ii Περιεχομενα 4..3 Τοπικό θεώρημα του Cuchy..................... 52 4.2 Θεμελιώδεις ιδιότητες ολόμορφων συναρτήσεων................ 6 4.2. Αρχή μοναδικότητας ή Αρχή αναλυτικής συνέχειας.......... 6 4.3 Σημεία ανωμαλίας................................ 68 4.3. Πόλοι.................................. 72 5 Αρχή του ορίσματος 75 5. Εισαγωγή.................................... 75 5.. Ανοικτές απεικονίσεις.......................... 77 5..2 Σύγκλιση................................ 79 5..3 Ανάπτυγμα Lurent........................... 80 6 Ολοκληρωτικά υπόλοιπα 83 6. Εισαγωγή.................................... 83 6.. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων..................... 90

Kefˆlio MigdikoÐ rijmoð. Oi migdikoð rijmoð Η εξίσωση x 2 + = 0 δεν έχει πραγματική ρίζα, γιατί το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν. Ας δεχτούμε διαισθητικά ότι υπάρχει ένας μη πραγματικός αριθμός (φανταστικός) i που να είναι λύση αυτής της εξίσωσης. Τότε i 2 =. Με την αποδοχή ενός τέτοιου αριθμού μπορούμε να θεωρούμε παραστάσεις της μορφής + bi,, b R. Επεκτείνοντας το λογισμό των πραγματικών αριθμών σε αυτές τις παραστάσεις μπορούμε να κάνουμε πράξεις όπως : (ι) ( + bi) + (c + di) = ( + c) + (b + d)i (ιι) ( + bi)(c + di) = (c bd) + (d + bc)i... To s m twn migdik n rijm n Αν K σώμα, p(x) ανάγωγο πολυώνυμο υπεράνω του K, τότε υπάρχει μια επέκταση του K, Κ(θ), ώστε στο αλγεβρικό σώμα Κ(θ) το στοιχείο θ θα είναι ρίζα του πολυωνύμου p(x), π(θ)=0. Ορισμός... (Hmilton) Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται με C και είναι R 2, δηλαδή C R 2. Ετσι, μιγαδικός αριθμός z είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών, δηλαδή z = (, b) με, b R Στο C ορίζουμε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό ως εξής : Πρόσθεση : (, b) + (c, d) = ( + c, b + d)

2 Μιγαδικοι αριθμοι Πολλαπλασιασμό : (, b)(c, d) = (c bd, bc + d). Επίσης, θέτουμε 0 = (0, 0) και = (, 0). Θεώρημα..2. Το σύστημα < C, +,, 0, > είναι ένα αλγεβρικό σώμα. Απόδειξη: z = z για κάθε z C. Εστω z = (, b). Τότε z = (, b)(, 0) = ( b 0, 0+b ) = (, b) = z. Υπαρξη πολλαπλασιαστικού αντίστροφου Εστω z( C με z 0, z ) = (, b) (0, 0), 2 ( + b 2 0. Θεωρούμε ) το μιγαδικό αριθμό w = 2 + b 2, b 2 + b 2 και έχουμε wz = 2 + b 2, b ( ) ( 2 + b 2 2 (, b) = 2 + b 2 + b2 b b 2 + b 2 ) 2, + b2 2 + b 2 = 2 + b 2, 0 = (, 0) = Πρόταση..3. Η απεικόνιση ϕ : R C : ϕ() = (, 0) είναι ομομορφισμός και -, άρα είναι αλγεβρική εμφύτευση. Απόδειξη: ϕ( + b) = ϕ() + ϕ(b). Πράγματι, ϕ( + b) = ( + b, 0) = (, 0) + (b, 0) = ϕ() + ϕ(b). ϕ()ϕ(b) = (, 0)(b, 0) = (b 0, 0 + b0) = (b, 0) = ϕ(b). Ετσι μπορούμε να ταυτίσουμε το R με το ϕ(r), δηλαδή R ϕ(r) και κάθε πραγματικό αριθμό με την εικόνα του,δηλαδή ϕ(), (, 0). Με αυτήν την έννοια έχουμε ότι R C και κάθε πραγματικός αριθμός είναι μιγαδικός. Ορισμός..4. Θέτουμε i = (0, ). Πρόταση..5. Ο αριθμός i είναι ρίζα του πολυωνύμου z 2 + = 0. Απόδειξη: Πρέπει να δείξουμε ότι i 2 =.Πράγματι, έχουμε ότι i 2 = i i = (0, )(0, ) = (0, 0 + 0) = (, 0) =. Πρόταση..6. Αν z = (, b) είναι ο μιγαδικός αριθμός,τότε z = + bi. Απόδειξη: z = (, b) = (, 0) + (0, b). Επίσης, (b, 0)(0, ) = (b 0 0, b + 0) = (0, b). Άρα z = (.b) + (b, 0)(0, ) = + bi.

. Οι μιγαδικοι αριθμοι 3..2 Gewmetrik nprˆstsh twn migdik n rijm n-migdikì epðpedo-epðpedo Guss Εφόσον κάθε μιγαδικός αριθμός z είναι διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών z = (, b) μπορεί να παρασταθεί με ένα σημείο του επιπέδου. Ορισμός..7. Εστω z = + bi C Ο πραγματικός αριθμός καλείται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται με Re(z).Re(z) =. Ο πραγματικός αριθμός b καλείται φανταστικό μέρος του z και συμβολίζεται με Im(z), Im(z) = b. Ετσι, ο μιγαδικός αριθμός z είναι z = Re(z) + iim(z). Ο συζυγής του z είναι ο μιγαδικός αριθμός z = bi = Re(z) iim(z). Το μέτρο ή η απόλυτη τιμή του z είναι : z = 2 + b 2 = (Re(z) 2 + Im(z) 2 ). Πρόταση..8. Εστω ένας μιγαδικός αριθμός z = + bi. Τότε: (i) z = z. (ii) Re(z) = z+ z 2. (iii) Im(z) = z z 2i. (iv) z = z. (v) z z = z 2. (vi) z R z = z. Πρόταση..9. Ισχύουν τα ακόλουθα: (i) Re(z + w) = Re(z) + Re(w). (ii) Im(z + w) = Im(z) + Im(w). (iii) z + w = z + w. (iv) zw = z w. ( ) z (v) =, w 0. w z w Πρόταση..0. Αν z, w είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε ισχύουν : (i) Re(z) z. (ii) Im(z) z.

4 Μιγαδικοι αριθμοι (iii) zw = z w. (iv) z + w z + w. Απόδειξη: Ενδεικτικά θα αποδείξουμε το τελευταίο.τα υπόλοιπα αφήνονται ως άσκηση. Αν z + w = 0 η ανισότητα είναι προφανής. Εστω ότι z + w 0. Θέτουμε v = z+w z+w. Τότε v =. Επίσης, z + w = v(z + w) = vz + vw. Επεται ότι vz + vw είναι πραγματικός αριθμός και επομένως vz + vw = Re(vz + vw) = Re(vz) + Re(vw). Άρα v + w = Re(vz) + Re(vw) vz + vw = v z + v w = z + w. Ετσι, z + w z + w...3 Prˆstsh migdikoô rijmoô me polikèc suntetgmènec Αν γνωρίζουμε τη γωνία θ και το r τότε γνωρίζουμε το μιγαδικό αριθμό z = r cos θ+i sin θ. Ο πραγματικός αριθμός r καλείται πολική ακτίνα και είναι το μέτρο του z, r = z. Η γωνία θ είναι ένα όρισμα του z. Εχουμε, λοιπόν, ότι (.) z = r cos θ + i sin θ. Θεώρημα... (ταυτότητα του Euler) Ισχύει ότι e iθ =cos θ + i sin θ, θ R. Ετσι η παράσταση του μιγαδικού αριθμού z με πολικές συντεταγμένες γίνεται z = re iθ...4 Gewmetrik ermhneð tou pollplsismoô migdik n rijm n. Εστω μιγαδικοί αριθμοί z, w με (z, w 0) και z = re iθ και w = ϱ iϕ.τότε zw = rϱ θ+ϕ. Ετσι, το γινόμενο zw προκύπτει από μια ομοιοθεσία και ακόλουθα μια στροφή. Πόρισμα..2. (τύπος de Moivre) (cos θ + i sin θ) n =cos(nθ) + i sin(nθ), n =, 2,.... Απόδειξη: Από την ταυτότητα του Euler, (cos θ + i sin θ) n =(e iθ ) n =e i(nθ) =cos(nθ) + i sin(nθ). Παράδειγμα..3. (i) w 3 = w 3 = (w )(w 2 + w + ). (ii) w 7 = w 7 = (w )(w 6 + w 5 + w 4 + w 3 + w 2 + w + ).

. Οι μιγαδικοι αριθμοι 5 Σημείωση..4. Ισχύει ότι e iθ = θ = 2κπ, κ K. Απόδειξη: Εχουμε e iθ =cos θ + i sin θ. ( ) θ = 2κπ, κ K cos θ = και sin θ = 0, οπότε e iθ =. ( ) e iθ = cos θ = ki sin θ = 0 θ = 2κπ...5 Oi ν-ostec rðzec enìc migdikoô rijmoô Εστω z C, z 0. Για κάθε n =, 2,... οι n-οστές ρίζες του z είναι όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί w που επαληθεύουν την εξίσωση w n = z...6 'Euresh twn ν-ost n riz n enìc migdikoô rijmoô z 0. Εστω z C, z 0. Θέλουμε να βρούμε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς w με την ιδιότητα w n = z, n N σταθερός αριθμός (). Ο z παρίσταται ως εξής : z = re iθ. Εστω w = ϱe iϕ μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση (). Τότε w n = z, ϱ n e i (nϕ) = re iθ. Επεται ϱ n = r οπότε ϱ = r n. Επεται e i (nϕ) = e iθ ή e i(nϕ θ) =, ισοδύναμα nϕ θ=2κπ, κ ακαίρεος, άρα ϕ = θ n + 2κπ n. συνεπώς, οι λύσεις της εξίσωσης () δίνονται από την w κ = r n e i( θ n + 2κπ n ), κ K. θεωρούμε κ=l n + v, 0 v n. Τότε e i( θ n + 2κπ n ) = e i2lnπ =. Επεται ότι όλες ανά δύο διαφορετικές λύσεις της () δίνονται από : w κ = r n e i( θ n + 2κπ n ), κ=0,, 2,...n. Οταν z = έχουμε τις n-οστές ρίζες της μονάδας που δίνονται από την w κ = e 2κπ n i, κ = 0,, 2,..., n. Επιπλέον, έχουμε ότι e iθ = e iθ = e iθ. Παρατήρηση Το σύνολο των n-οστών ριζών της μονάδας με πράξη τον πολλαπλασιασμό είναι μια Αβελιανή ομάδα, μάλιστα κυκλική...7 H topologik dom tou C Εφόσον C R 2 είναι εφοδιασμένο με μια μετρική, την Ευκλείδεια μετρική του R 2. Αυτή η μετρική είναι η εξής : ϱ : C C R : ϱ(z, w) = z w = z w. Η μετρική ϱ

6 Μιγαδικοι αριθμοι παράγει μια τοπολογία στο C που είναι ακριβώς η Ευκλείδεια τοπολογία του R 2 και θα τη θεωρήσουμε γνωστή. Σημειώνουμε, επίσης, ότι z n z z n z 0. Θεώρημα..5. (συμβιβαστότητα της αλγεβρικής δομής με την τοπολογική δομή του C). Εστω z n,w n ακολουθίες στο C με z, w C ώστε z n z και w n w. Τότε ισχύουν τα εξής: (i) z n + w n z + w. (ii) z n w n zw. (iii) Αν w n 0 n και w 0 τότε zn w n z w. Σημείωση..6. Πολυώνυμο μιγαδικής μεταβλητής είναι μια συνάρτηση p(z) = n z n + n z n +... + z + 0, j C, j =,..., n σταθεροί αριθμοί, z C, p : C C με p(z) = n z n +... + z + 0. Πρόταση..7. Κάθε πολυώνυμο είναι συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της. Ορισμός..8. Μια μιγαδική συνάρτηση f είναι ρητή αν είναι της μορφής f(z) = p(z) q(z), z C Z (q) όπου p, q είναι πολυώνυμα και Z (q) είναι το σύνολο των ριζών του q. Πρόταση..9. Η συνάρτηση ϕ : C C : ϕ(z) = z είναι συνεχής. Για z, w C έχουμε ϕ(z) ϕ(w) = z w = (z w) = z w δηλαδή η ϕ είναι ισομετρία και άρα είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Kefˆlio 2 Sunektikìtht 2. Sunektikˆ sônol Ορισμός 2... Εστω (X, ϱ) μετρικός χώρος και E X. Το E καλείται συνεκτικό σύνολο αν δεν υπάρχουν ανοικτά σύνολα A, B X τέτοια ώστε : (i) E A B. (ii) E A, E B. (iii) E A B =. Ο χώρος X είναι συνεκτικός αν το σύνολο X είναι συνεκτικό. Ισοδύναμα, ο χώρος X είναι συνεκτικός αν δεν υπάρχουν ανοικτά σύνολα A, B X ώστε : (i) X = A B. (ii) A και B. (iii) A B =. Πρόταση 2..2. Εστω (X, ϱ) μετρικός χώρος και E X. Τα εξής είναι ισοδύναμα: (i) Το E είναι συνεκτικό. (ii) Ο μετρικός χώρος (E, ϱ E ) είναι συνεκτικός. Απόδειξη: Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι τα ανοιχτά σύνολα στο μετρικό χώρο (E, ϱ E ) είναι ακριβώς τα σύνολα της μορφής E A, όπου A ανοιχτό στον X.

8 Συνεκτικοτητα Θεώρημα 2..3. Εστω X, Y μετρικοί χώροι και f : X Y μια συνάρτηση συνεχής και επί. Τότε αν ο X είναι συνεκτικός και ο Y είναι επίσης συνεκτικός. Θεώρημα 2..4. Ενα υποσύνολο του R είναι συνεκτικό E είναι διάστημα οποιασδήποτε μορφήσ(πεπερασμένο ή άπειρο) όπως παραδείγματος χάριν τα ακόλουθα : (, b), [, b), [, b], (, b]. Πρόταση 2..5. Εστω X μετρικός χώρος. Ο X είναι συνεκτικός αν και μόνο αν τα μόνα ανοιχτα-κλειστα υπόσύνολα του X είανι ακριβώς το X και το. ( ) Υποθέτουμε ότι ο X είναι συνεκτικός. Εστω ότι υπάρχει A X ανοικτό-κλειστό με A. Τότε το B = X A είναι ανοικτό καθώς το A είναι κλειστό και έχουμε X = A B, A B =, A και B γιατί X B = A X. Επομένως, ο X δεν είναι συνεκτικός, άτοπο. ( ) Ας υποθέσουμε ότι ο X δεν είναι συνεκτικός. Τότε υπαρχουν ανοικτά σύνολα A, B X ώστε X = A B, A, B, A B =. Από τις () και (3) έπεται ότι A = X B είναι κλειστό καθώς το B είναι ανοικτό, δηλαδή το A είναι κλειστό. Εχουμε όμως ότι A X διότι B, A. Ετσι,παίρνουμε το άτοπο. Λήμμα 2..6. Εστω X μετρικός χώρος. Τα εξής είναι ισοδύναμα : (i) Ο X δεν είναι συνεκτικός. (ii) Υπάρχει συνάρτηση ϕ : X {0, } συνεχής επί. Το {0, } έχει τη διακριτή τοπολογία. Απόδειξη: (ι) (ιι) Υποθέτουμε ότι ο X δεν είναι συνεκτικός. Τότε υπάρχουν σύνολα A, B X ανοικτά ώστε X = A B, A,B και A B =. Ορίζουμε τη συνάρτηση ϕ : X {0, } ώστε { 0 αν x A ϕ(x) = αν x B Η ϕ είναι καλά ορισμένη διότι X = A B και A B =. Εφόσον A και B η ϕ είναι επί. Η ϕ είναι συνεχής γιατί ϕ ({0}) = A και ϕ ({}) = B. (ιι) (ι) Εστω ότι υπάρχει ϕ : X {0, } συνεχής και επί. Τότε το σύνολο A = ϕ ({0}) είναι ανοικτό-κλειστό διότι {0} είναι ανοικτό-κλειστό στο {0, }. Επίσης, A καθώς η ϕ είναι επί, A X καθώς η ϕ είναι επί. Ετσι, το A είναι ανοικτό-κλειστό και A, A X που σημαίνει ότι ο X δεν είναι συνεκτικός.

2. Συνεκτικα συνολα 9 Θεώρημα 2..7. Εστω X μετρικός χώρος και (A i ) i οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων του X, ώστε i I A i.τότε η ένωση A = i I A i είναι σύνολο συνεκτικό. Υποθέτουμε ότι το A δεν είναι συνεκτικό. Τότε από το λήμμα 2..6 έπεται ότι υπάρχει συνάρτηση ϕ : A {0, } συνεχής επί. Επιλέγουμε x 0 i I A i A. Εστω ότι ϕ(x 0 ) = 0. Εφόσον η ϕ είναι επί υπάρχει x A ώστε ϕ(x ) =. Υπάρχει i I ώστε x A i Εχουμε,επίσης, ότι x 0 A i. Επομένως, ϕ Ai : A {0, }. Επίσης, ϕ Ai είναι συνεχής. Άρα από το λήμμα 2..6 το A i δεν είναι συνεκτικό, άτοπο. Πρόταση 2..8. Εστω X μετρικός χώρος και ακολουθία (A n ) n N συνεκτικών υποσυνόλων του X, ώστε για κάθε n N, A n A n+. Τότε το σύνολο A = n= A n είναι συνεκτικό. Απόδειξη: Θέτουμε E n = A... A n, n =, 2,... και θα δείξουμε με επαγωγή στο n ότι για κάθε n, το E n είναι συνεκτικό. Για n = έχουμε ότι το E = A είναι συνεκτικό. Επαγωγικό βήμα : Υποθέτουμε για κάποιο n ότι το E n είναι συνεκτικό. Εχουμε E n+ = E n A n+ και E n A n+ A n A n+ και εφόσον E n συνεκτικό (από επαγωγική υπόθεση) και A n+ συνεκτικό από υπόθεση, έπεται ότι η ένωση A n A n+ είναι σύνολο συνεκτικό, δηλαδή E n+ είναι συνεκτικό. Εχουμε A = n= A n = n= E n n= E n A. Άρα η ένωση n= E n είναι σύνολο συνεκτικό, δηλαδή το A είναι συνεκτικό. 2.. Sunektik sunist s Ορισμός 2..9. Εστω X μετρικός χώρος και E X. Το E είναι συνεκτική συνιστώσα του X αν το E είναι mximl συνεκτικό υποσύνολο του Q, δηλαδή (i) Το E είναι συνεκτικό και (ii) Αν E E X και E είναι συνεκτικό τότε E = E Μια συνεκτική συνιστώσα του X είναι κλειστό σύνολο αν E είναι συνεκτική συνιστώσα του X, τότε E Ē και Ē είναι συνεκτικό, άρα E = Ē που σημαίνει ότι το E είναι κλειστό. Σημείωση 2..0. (i) Εστω Z το σύνολο των ακεραίων. Οι συνεκτικές συνιστώσες του Z είναι όλα τα μονοσύνολα.

0 Συνεκτικοτητα (ii) Εστω U C ανοικτό. Τότε οι συνεκτικές συνιστώσες του U είναι ανοικτά σύνολα. (iii) Εστω X συνεκτικός μετρικός χώρος και f : X R συνεχής. Τότε f[x] είναι διάστημα. Αν η f παίρνει μόνο ακέραιες τιμές τότε η f είναι σταθερή. (iv) Αν E, E 2 είναι δύο διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες ενός μετρικού χώρου X τότε E E 2 =. Πρόταση 2... Εστω X μετρικός χώρος. Τότε. Απόδειξη: Εστω x X. Θέτουμε X = {E X E συνεκτική συνιστώσα του X} E x = {E X E συνεκτική συνιστώσα του X} Το E x είναι συνεκτική συνιστώσα του χώρου X (x E x γι αυτό το E x καλείται συνεκτική συνιστώσα του σημείου x). Το E x είναι mximl συνεκτικό υποσύνολο του X. Εστω E x E X και E συνεκτικό. Τότε x E και άρα E X, άρα E E x. Συνεπώς, E x = E. Πόρισμα 2..2. Εστω U R ανοικτό μη κενό. Τότε είτε υπάρχουν N N και ανοικτά διαστήματα I, I 2,...I n μη κενά και ξένα ανά δύο ώστε U = n= I i ή υπάρχει ακολουθία {I n } n= από ανοικτά μη κενά και ξένα ανά δύο ανοικτά διαστήματα ώστε U = n= I n Από την πρόταση 2.. έχουμε ότι U = {I U I συνεκτική συνιστώσα του U}. Κάθε I U είναι ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο του R και άρα το I είναι ανοικτό διάστημα. Επίσης, τα στοιχεία του U είναι μη κενά και ξένα ανά δύο. Επειδή ο R είναι διαχωρίσιμος η οικογένεια U είναι αριθμήσιμη. Ετσι, είτε υπάρχει N N ώστε U = {I,...I N } ή U = {I n n =, 2,...}. Στην πρώτη περίπτωση, U = N i= I i και στη δεύτερη U = n= I n. Πρόταση 2..3. Εστω X συνεκτικός μετρικός χώρος και συνάρτηση f : X R η οποία είναι σταθερή, δηλαδή για κάθε x X υπάρχει ε > 0 ώστε f B(x,ε) είναι σταθερή συνάρτηση. Τότε η f είναι σταθερή.

2. Συνεκτικα συνολα Εστω F [X]. Θέτουμε A = {x X f(x) = }. Το A είναι ανοικτό. Εστω x A. Τότε υπάρχει ε > 0 ώστε F B(x,ε) είναι σταθερή, δηλαδή για κάθε t B(x, ε) το f(t) = f(x) = και άρα B(x, ε) A. Ετσι, το A είναι ανοικτό. Το A είναι κλειστό. Αρκεί να δείξουμε ότι X A είναι ανοικτό. Εστω y X A. Τότε f(y). Υπάρχει ε > 0 ώστε F B(y,ε) σταθερή, οπότε για κάθε z B(y, ε), f(z) = f(y), δηλαδή z B(y, ε) f(z) z / A z X A και επομένως B(y, ε) X A. Άρα το X A είναι ανοικτό. Ωστε το A είναι ανοικτό κιαι κλειστό και καθώς ο X είναι συνεκτικός, A = Q ή A = γιατί από τον ορισμό του υπάρχει xa (υπάρχει x X ωστε f(x) = διότι f[x]. Συνεπώς A = X. Επομένως η f είναι σταθερή. Ορισμός 2..4. (i) Εστω z, w C. Το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα z, w συμβολίζεται με [z, w] και είναι το σύνολο [z, w, ] = {( t)z + tw t [0, ]}. Αν z = w τότε έχουμε ότι [z, w] = {z}. (ii) Εστω z, z 2,..., z n σημεία του C. Η πολυγωνική γραμμή που ορίζει μια n-άδα (z,..., z n συμβολίζεται με P (z,...z n ) και είναι το σύνολο P (z,..., z n ) = [z, z 2 ] [z 2, z 3 ]... [z n, z n ] Πρόταση 2..5. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα του μιγαδικού επιπέδου είναι συνεκτικό σύνολο. Εστω z, w C. Η συνάρτηση ϕ : [0, ] [z, w]; ϕ(t) = ( t)z +tw είναι συνεχής και επί. Επομένως, εφόσον το διάστημα [0, ] είναι συνεκτικό, ϕ([0, ]) = [z, w] είναι συνεκτικό. Πόρισμα 2..6. Κάθε πολυγωνική γραμμή στο μιγαδικό επίπεδο είναι σύνολο συνεκτικό. Εστω z,..., z n σημεία του C. Εχουμε ότι p(z,..., z n ) = [z, z 2 ] [z n, z n ]. Επίσης έχουμε [z i, z i+ ] = {z i } για i =, 2,..., n. Άρα από το πόρισμα 2..2, η ένωση p(z n,..., n) = n i= [z i, z i+ ] είναι σύνολο συνεκτικό. Ορισμός 2..7. Εστω E C. Το E είναι πολυγωνικά συνεκτικό αν για κάθε z, w E υπάρχει πολυγωνικλή γραμμή p(z, w) με άκρα z, w ώστε P (z, w) E. Ορισμός 2..8. Ενα υποσύνολο E του C λέγεται κυρτό αν για κάθε z, w E το ευθύγραμμο τμήμα [z, w] περιέχεται στο E.

2 Συνεκτικοτητα Ορισμός 2..9. Εστω C και r > 0. Ο ανοικτός δίσκος με κέντο το και ακτίνα r είναι ο (, r) = {z C : z < r}. Ο αντίστοιχος κλειστός δίσκος με κέντρο το και ακτίνα r είναι ο (, r) = {z C : z r}. Ο αντίστοιχος κύκλος με κέντρο το και ακτίνα r είναι ο C(, r) = {z C : z = r}. Σημείωση 2..20. Κάθε κλειστός καθώς και κάθε ανοικτός δίσκος του C είναι κυρτό σύνολο. Πρόταση 2..2. Εστω E C πολυγωνικά συνεκτικό σύνολο. Τότε το E είναι συνεκτικό. Απόδειξη: Εστω z 0 E Για κάθε z E επιλέγουμε πολυγωνική γραμμή με άκρα z 0 και z ώστε p(z 0, z) E. Τότε, z E p(z 0, z) = E. Για κάθε z E το σύνολο p(z 0, z) είναι συνεκτικό σύνολο και επίσης z 0 z E p(z 0, z). Άρα, το σύνολο z E p(z 0, z) = E είναι συνεκτικό σύνολο. Πόρισμα 2..22. Κάθε κυρτό υποσύνολο του C είναι συνεκτικό σύνολο και ειδικά το C είναι συνεκτικό. Κάθε ανοικτός καθώς και κάθε κλειστός δίσκος είναι σύνολα συνεκτικά. Σημείωση 2..23. Κάθε κύκλος είναι συνεκτικό σύνολο. Εστω C και r.0. Εχουμε : C(, r) = { + re it t [0, 2π] }. Η συνάρτηση γ : [0, 2π] C(, r) με γ(t) = +re it είναι συνεχής επί, άρα γ([0, 2π]) = C(, r) είναι συνεκτικό σύνολο. Θεώρημα 2..24. Εστω Ω C ανοικτό σύνολο. Τότε τα εξής είναι ισοδύναμα : (i) Το Ω είναι πολυγωνικά συνεκτικό. (ii) Το Ω είναι συνεκτικό. Απόδεοξη : (i) (ii) Εχει αποδειχθεί.

2. Συνεκτικα συνολα 3 (ii) (i) Εστω z 0 Ω σταθερό. Θέτουμε A = {z Ω : πολυγωνική γραμμή p(z 0, z) με άκρα z 0, z έτσι ώστε p(z 0, z) Ω} (i) Το A στο μετρικό χώρο Ω είναι ανοικτό. Εστω z A Omeg. Εφόσον το Ω είναι ανοικτό υπάρχει ε > 0 ώστε (z, ε) Ω. Υπάρχει πολυγωνική γραμμή με άκρα z 0, zώστε z(z 0, z) Ω. Για κάθε w (z, ε) έχουμε ότι [z, w] (z, ε) (γιατί το (z, ε) είναι κυρτό σύνολο) Επομένως η πολυγωνική γραμμή p(z 0, z) [z, w] περιέχεται στον Ω και άρα w A. Συνεπώς (z, ε)a. Ετσι, το A είναι ανοικτό. (ii) Το A στο μετρικό χώρο Ω είναι κλειστό. Αρκεί να δείξουμε ότι το Ω A είναι ανοικτό σύνολο στο μετρικό χώρο Ω. Εστω z Ω A. Εφόσον το Ω είναι ανοικτό υπάρχει ε > 0 ώστε: (z, ε) Ω. Ισχυρισμός : (z, vrepsilon) Ω A. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει w (z, ε) τέτοιο ώστε w / Ω A. Τότε w A. Από τον ορισμό του A υπάρχει πολυγωνική γραμμή με άκρα z 0, z ώστε p(z 0, z) Ω. Εφόσον το (z, ε) είναι κυρτό σύνολο, το ευθύγραμμο τμήμα [z, w] (z, ε) Ω. Επομένως η πολυγωνική γραμμή p(z 0, z) [z, w] Ω και άρα z A, άτοπο. Επομένως, (z, ε) Ω A. Ετσι, Ω A είναι ανοικτό στο μετρικό χώρο Ω. Δηλαδή έχουμε ότι A είναι ανοικτό-κλειστο στο μετρικό χώρο Ω. Εφόσον το Ω είναι συνεκτικό είτε A = Ω είτε A =. Ομως, A διότι z 0 A. Άρα A = Ω. Ορισμός 2..25. Ενα σύνολο Ω C ανοικτό και συνεκτικό καλείται τόπος. 2..2 Sumpgèc epðpedo twn migdik n rijm n Θεωρούμε ένα στοιχείο / C και θέτουμε C = C. Μια ακολουθία {z n } στο C συγκλίνει στο, δηλαδή z n αν και μόνο αν z n. 2..3 Olìmorfec sunrt seic Ορισμός 2..26. Εστω A C και f : A C. (i) Το πραγματικό μέρος της f συμβολίζεται με Ref και είναι η συνάρτηση Ref : A R : (Ref)(z) = Re(f(z)).

4 Συνεκτικοτητα (ii) Το φανταστικό μέρος της f συμβολίζεται με Imf και είναι η συνάρτηση Είναι σαφές ότι f = Ref + iimf Imf : A R : (Imf)(z) = Im(f(z)). (iii) Η συζυγής συνάρτηση της f είναι η f = Ref iimf. Ορισμός 2..27. Εστω Ω C ανοικτό σύνολο, συνάρτηση f : Ω C και Ω. Υπάρχει η μιγαδική παράγωγος της f στο αν υπάρχει το όριο Ισοδύναμα, αν υπάρχει το όριο lim z f(z) f(). z f( + h) f() lim h 0 h. Η μιγαδική παράγωγος της f στο όταν υπάρχει συμβολίζεται με f (). Είναι, λοιπόν, f f(z) f() f( + h) f() () = lim = lim z z h 0 h Θεώρημα 2..28. (Συνθήκες Cuchy) Εστω Ω C ανοικτό, f : Ω C, = x 0 +iy 0 = (x 0, y 0 ) Ω, έστω u = Ref και v = Imf, f = u + iv. Υποθέτουμε ότι υπάρχει η μιγαδική παράγωγος f (). Τότε υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι των συντεταγμένων συναρτήσεων u x (), u y (), v x (), v y () και ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες που καλούνται συνθήκες Cuchy-Riemnn : (i) u v x () = y () (ii) u v y () = x () Εχουμε f () = lim h 0,h R = lim h 0,h R. Επομένως, υπάρχουν τα όρια f(x 0 + h, y) f(x 0, y 0 ) f( + h) f() = lim h h 0 h ( u(x0 + h, y 0 ) u(x 0, y 0 ) h lim h 0,h R u(x 0 + h, y 0 ) u(x 0, y 0 ) h + i v(x 0 + h, y 0 ) v(x 0, y 0 ) h ).

2. Συνεκτικα συνολα 5 και δηλαδή υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι και v(x 0 + h, y 0 ) v(x 0, y 0 ) lim h 0,h R h u v (), x x () (2.) f () = u v () + i x x () Επίσης, έχουμε f () = f( + ih) f() lim = lim h 0,h R ih δηλαδή υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι και h 0,h R = lim h 0,h R u v (), y y () (2.2) f () = v () i u y y () f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) ih ( v(x0, y 0 + h) u(x 0, y 0 ) h iu(x ) 0, y 0 + h) u(x 0, y 0 ) h Άρα u x () = v y v u () και x () = y () Πόρισμα 2..29. Με τις υποθέσεις του θεωρήματος f () = u X f () = v u y () + i x () u () = i y () και Πόρισμα 2..30. Εστω Ω C ανοικτό, f : Ω C και Ω ώστε να υπάρχει η μιγαδική παράγωγος f (). (i) Αν f[ω] R, τότε f () = 0. (ii) Αν f[ω] ir τότε f () = 0. Άμεση συνέπεια των τύπων του Θεωρήματος 2..28

6 Συνεκτικοτητα Ορισμός 2..3. Εστω Ω C ανοικτό σύνολο και μιγαδική συνάρτηση f : Ω C. Η f καλείται ολόμορφη στο Ω αν υπάρχει η μιγαδική παράγωγος f (z) για κάθε z Ω. Θεώρημα 2..32. Εστω Ω C ανοικτό και f : Ω C ολόμορφη συνάρτηση. έστω επίσης u = Ref, v = Imf. Τότε υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι στο Ω u x, u y, v x, v y και ικανοποιούνται οι συνθήκες Cuchy-Riemnn σε κάθε σημείο του Ω, δηλαδή u x (z) = v y z Ω, u y v (z) = (z) z Ω. x Ορισμός 2..33. Εστω Ω C ανοικτό. Συμβολίζουμε με H(Ω) το σύνολο των ολόμορφων συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το Ω. Θεώρημα 2..34. Εστω Ω C τόπος και ολόμορφη συνάρτηση f : Ω C ώστε f (z) = 0 για κάθε z Ω. Τότε η f είναι σταθερή στο Ω. Λήμμα 2..35. Εστω Ω C τόπος και συνάρτηση ϕ : Ω R, ώστε να υπάρχουν ϕ ϕ οι μερικές παράγωγοι x (x, y), y (x, y) για κάθε (x, y) Ω και ϕ ϕ x (x, y) = y (x, y) = 0 x, y Ω. Τότε η συνάρτηση ϕ είναι σταθερή στο Ω. Απόδειξη λήμματος: Εστω ε > 0 ώστε το τετράγωνο V = [x 0 ε, x 0 + ε] [y 0 ε, y 0 + ε] να περιέχεται στο Ω. Για κάθε y [y 0 ε, y 0 + ε] θεωρούμε τη συνάρτηση ϕ y : [x 0 ε, x 0 + ε] R με ϕ y (x) = ϕ(x, y). Τότε έχουμε ϕ y(x) = ϕ x (x, y) = 0 x [x 0 ε, x 0 + ε]. Επομένως ϕ y (x) = ϕ y (x 0 ) x [x 0 ε, x 0 + ε]. Δηλαδή (2.3) ϕ(x, y) = ϕ(x 0, y 0 ) x [x 0 ε, x 0 + ε], y [y 0 ε, y 0 + ε]. Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση ϕ x0 : [y 0 ε, y 0 + ε] R με ϕ x0 (y) = ϕ(x 0, y). Τότε ϕ x 0 (y) = y (x 0, y) = 0 y [y 0 ε, y 0 +ε]. Επομένως ϕ x0 (y) = ϕ x0 (y 0 ) y [y 0 ε, y 0 +ε]. Δηλαδή (2.4) ϕ(x 0, y) = ϕ(x 0, y 0 ) y [y 0 ε, y 0 + ε]. Από τις 5.., 5..2 έπεται ότι για κάθε (x, y) V, ϕ(x, y) = ϕ(x 0, y 0 ) = ϕ(x 0, y 0 ). Ετσι, η ϕ είναι στεθερή στο V. Από την Πρόταση έπεται ότι η συνάρτηση ϕ είναι σταθερή στο Ω.

2. Συνεκτικα συνολα 7 Απόδειξη θεωρήματος : Εχουμε και f (z) = u (z) i u x y (z). f (z) = v v (z) + i y x (z). Για κάθε z Ω f (z) = 0 u u x (z) = y (z) = 0. Από το Λήμμα 2..35 έπεται ότι u(z) = c! z Ω και v(z) = c 2. Άρα f(z) = u(z) + iv(z) = c + ic 2, z Ω. Πρόταση 2..36. Εστω Ω C ανοικτό, f : Ω C, Ω, r > 0 με (, r) Ω και u u v έστω f = u + iv. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι x (z), y (z), x (z), v y (z) για κάθε z (, r) και είναι συνεχής. Τότε αν στο ικανοποιούνται οι συνθήκες Cuchy-Riemnn u v u v () = (), () = x y y x (), υπάρχει η μιγαδική παράγωγος f (). Θεώρημα 2..37. Εστω Ω C ανοικτό και f = u + iv : Ω R ώστε να υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι u y, u x, v x, v Y στο Ω και ικανοποιούνται οι συνθήκες Cuchy-Riemnn σε κάθε σημείο του Ω. Τότε η f είναι ολόμορφη στο Ω. Σημείωση 2..38. Ισχύει και το αντίστροφο. 2..4 Oi diforikoð telestèc z, z Θέτουμε (i) (ii) z = 2 ( x i ) και y ) ( z = 2 x + i y Θεώρημα 2..39. Εστω Ω C ανοικτό και f : Ω C, f = u + iv. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι στο Ω, u x, u y, v x, v y και είναι συνεχείς. Τότε η f έχει μιγαδική παράγωγο ακριβώς στα σημεία z Ω στα οποία ισχύει : f (z) = 0. z Η μιγαδική παράγωγος στα σημεία αυτά δίνεται από τη σχέση f (z) = f z (z).

8 Συνεκτικοτητα Παράδειγμα 2..40. (i) Εστω f : C C, f(z) = z = x iy για z = x + iy. Εχουμε f z (z) =, z C. Επομένως, η f δεν έχει πουθενά μιγαδική παράγωγο. (ii) Εστω f(z) = x 2 + y 2 για z = x + iy. Εχουμε f z (z) = z = 0 z = 0. Πρόταση 2..4. Εστω Ω C ανοικτό σύνολο, συνάρτηση f : Ω C και Ω. Τα εξής είναι ισοδύναμα : (i) Υπάρχει η παράγωγος f (). (ii) Υπάρχει συνάρτηση ϕ : Ω C συνεχής στο ωστε f(z) f() = ϕ(z)(z ), z Ω. Σε αυτήν την περίπτωση, f () = ϕ(). (i) (ii) Ορίζουμε τη συνάρτηση ϕ : Ω C με ϕ(x) = { f(z) f() z f () αν z αν z = Τότε, f(z) f() = ϕ(z)(z ) για κάθε z Ω. Η ϕ είναι συνεχής στο : f(z) f(z) lim ϕ(z) = lim = f () = ϕ(), z z z άρα η ϕ είναι συνεχής στο. (ii) (i) Εχουμε f(z) f() = ϕ(z)(z ), z Ω. Επομένως, f(z) f(z) z = ϕ(z) για z Ω με z. Εφόσον η ϕ είναι συνεχής στο υπάρχει το με δηλαδή υπάρχει το lim ϕ(z) z lim ϕ(z) = ϕ() z f(z) f() lim = ϕ() z z που σημαίνει ότι υπάρχει η f () και f () = ϕ(). Θεώρημα 2..42. (Παραγώγιση αντίστροφης συνάρτησησς) Εστω Ω, G C ανοικτά σύνολα, f : Ω G συνεχής και ολόμορφη συνάρτηση g : G C, ώστε (i) g (w) 0 για κάθε w G (ii) G(f(z)) = z για κάθε z Ω.

2. Συνεκτικα συνολα 9 Τότε η συνάρτηση f είναι ολόμορφη και f (z) = g (f(z)) για κάθε z Ω. Εστω Ω, τότε f(z) G. Από την Πρόταση 2..4 υπάρχει συνάρτηση ϕ : G C συνεχής στο ώστε (2.5) g(w) g(f()) = ϕ(w)(w f()). Από τη σχέση 2.5 έπεται ότι για z Ω, g(f(z)) g(f()) = ϕ(f(z))(f(z) f()), δηλαδή (2.6) z = (ϕ f)(z)(f(z) f()) z Ω. Από τη σχέση 2.6 και την υπόθεση έχουμε ότι (ϕ f)(z) 0 z Ω και άρα f(z) f() = (ϕ f)(z)(z ) z Ω. Η συνάρτηση ϕ είναι συνεχής στο f() και η f στο, άρα η ϕ f είναι συνεχής στο και επομένως η ϕ f είναι συνεχής στο. Άρα από την Πρόταση 2..4 έχουμε ότι υπάρχει η f () και f () = (ϕ f)() = ϕ(f()) = g (f()). Ωστε f () = g (f()). Συνεπώς η f είναι ολόμορφη και f (z) = g (f(z)) για κάθε Ω. Παρατηρήσεις 2..43. (i) Κάθε πολυώνυμο p(z), z C είναι ολόμορφη συνάρτηση. (ii) Κάθε ρητή συνάρτηση Re(z) = p(z) q(z), z C- το σύνολο των ριζών του q(z) είναι ολόμορφη συνάρτηση (p(z), q(z) πολυώνυμα). (iii) Οι συνηθισμένοι κανόνες για την πραγματική παραγώγιση ισχύουν και για τη μιγαδική παραγώγιση, μάλιστα μπορούν να αποδειχθούν εύκολα χρησιμοποιώντας την Πρόταση 2..4. Ορισμός 2..44. Εστω Ω C = R 2 ανοικτό σύνολο. Μια πραγματική συνάρτηση ϕ : Ω R καλείται αρμονική αν έχει συνεχείς πρώτες και δεύτερες μερικές παραγώγους και ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση του Lplce : 2 ϕ x 2 + 2 ϕ y @ = 0. Πρόταση 2..45. Εστω Ω C ανοικτό σύνολο, f : Ω C ολόμορφη συνάρτηση και u = Ref, v = Imf. Τότε οι συναρτήσεις u, v είναι αρμονικές συναρτήσεις στο Ω. Οπως θα δούμε η f έχει μιγαδικές παραγώγους κάθε τάξης. Ετσι, οι συναρτήσεις u, v έχουν συνεχείς πρώτες και δεύτερες μερικές παραγώγους. Από τις συνθήκες των Cuchy- Riemnn έχουμε : (i) u x = v y

20 Συνεκτικοτητα (ii) u y = v x. Από τη σχέση (i) έπεται ότι 2 u x ( ) 2 v δηλαδή u x = 2 y. x Από τη σχέση (ii) έπεται ότι 2 u y = x Από τις τελευταίες σχέσεις έπεται ότι 2 u x 2 ( ) v = y y = y displystyle( v + 2 u y 2 = 0. ( ) prtilv (από θεώρημα Schwrz), x x). Σημείωση 2..46. Στους απλά συνεκτικούς τόπους ισχύει και το αντίστροφο.

Kefˆlio 3 SÔgklish seir n 3. Seirèc Ορισμός 3... Εστω { n } n= ακολουθία μιγαδικών αριθμών. Θέτουμε s n = +...+ n, n =, 2,... Η ακολουθία {s n } n= καλείται σειρά των n και συμβολίζεται με n. n= Επίσης, η ακολουθία (s n ) n= καλείται ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της σειράς. Η σειρά n συγκλίνει αν η ακολουθία (s n ) των μερικών αθροισμάτων συγκλίνει, δηλαδή n= αν υπάρχει s C ώστε s n S. Σε αυτήν την περίπτωση γράφουμε n= n αποκλίνει αν η ακολουθία (s n ) των μερικών αθροισμάτων δε συγκλίνει. n = s. Η σειρά Σημείωση 3..2. Λέμε ότι η σειρά n συγκλίνει απολύτως αν n,. n= n= Πρόταση 3..3. Εστω σειρά μιγαδικών αριθμών n. Η σειρά n συγκλίνει οι σειρές Re( n ) και n= Im( n ) συγκλίνουν στο R. n= n= n= Σε αυτήν την περίπτωση αν n = C τότε Re( n ) = Re και Im( n ) = Im. n= n= n=

22 Συγκλιση σειρων Παράδειγμα 3..4. Η σειρά Εχουμε Re n+i =. Άρα η n= n= n + i δε συγκλίνει. n n 2 +, Im n+i = n 2 +. Εχουμε n + i αποκλίνει. n= n= n n 2 + = + και n= n 2 + < Πρόταση 3..5. Εστω σειρά μιγαδικών αριθμών n. Αν n < τότε η σειρά n συγκλίνει. n= Εχουμε για κάθε n N, Re( n ) n, Im( n ) n. Άρα n= Re( n ) < και Im( n ) <. Επομένως, οι σειρές Re( n ) και Im( n ) συγκλίνουν. Από την n= Πρόταση 3..3 έπεται ότι η σειρά n συγκλίνει. Ορισμός 3..6. Εστω ( n ) n N ακολουθία πραγματικών αριθμών. (i) Ενας πραγματικός αριθμός s καλείται σημείο συσσώρευσης της ( n ) n N αν για κάθε ε > 0 το σύνολο {n N : n s < ε} είναι άπειρο δηλαδή στο διάστημα (s ε, s+ε) ανήκουν άπειροι όποι της ακολουθίας ( n ). Παράδειγμα 3..7. Εστω n = ( ) n, n =, 2,... Τα σημεία συσσώρευσης της n ) είναι τα,. (ii) Το + είναι σημείο συσσώρευσγς της ( n ) αν η ( n ) δεν είναι άνω φραγμένη. Το είναι σημείο συσσώρευσγς της ( n ) αν η ( n ) δεν είναι κάτω φραγμένη. Ορισμός 3..8. Εστω ( n ) n N φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών. Θέτουμε n= A = {s R : s είναι σημείο συσσώρευσης της ( n )}. Τότε το A από Bolzno-Weierstrss. Το limes superior της ( n ) είναι εξορισμού lim sup( n) = mxa n

3. Σειρες 23 ή lim n = mxa n Σημείωση 3..9. Αν μια ακολουθία πραγματικών αριθμών ( n ) n δεν είναι άνω φραγμένη, τότε lim n n = + Παρατηρήσεις 3..0. Εστω ( n ) n N ακολουθία πραγματικών αριθμών και R. Τα εξής είναι ισοδύναμα : (i) = lim n sup n (ii) Για κάθε ε > 0 στο διάστημα ( ε, + ε) ανήκουν άπειροι όροι της ακολουθίας, ενώ στο διάστημα ( + ε, + ) ανήκουν μόνο πεπερασμένοι όροι της ακολουθίας. 3.. H gewmetrik seirˆ Ορισμός 3... Η σειρά Πρόταση 3..2. z n συγκλίνει απολύτως και z. z n, z C καλείται γεωμετρική σειρά με λόγο z. (i) Αν z C και z <, τότε η γεωμετρική σειρά z n = (ii) Αν z τότε η γεωμετρική σειρά z. Επομένως z n συγκλίνει και z n αποκλίνει. z n = (i) Για κάθε n N έστω s n = n z i τότε s n = + z + z 2 +... + z n = z n+ z i=0 καθώς το z <, z n+ 0 και άρα s n z. Ετσι, z n = z. Άρα η σειρά συγκλίνει απολύτως. Επεται ότι η σειρά z n συγκλίνει και z n = z.

24 Συγκλιση σειρων (ii) An z τότε z n = z n n, άρα z n 0, επομένως η σειρά Πρόταση 3..3. Εστω σειρά μιγαδικών αριθμών (i) Αν <, τότε η σειρά (ii) Αν >, τότε η σειρά = lim n n n n και n συγκλίνει απολύτως. n αποκλίνει. (iii) Αν =, τότε και οι δύο περιπτώσεις είναι δυνατές. z n δε συγκλίνει. (i) Επιλέγουμε β R τέτοιο ώστε < β <. Από την Παρατήρηση υπάρχουν μόνο πεπερασμένοι όποι της ακολουθίας n n με την ιδιότητα n n β. Υπάρχει N N ώστε n N n n β. Επεται ότι για κάθε κ N, N β N, N+ κ κ κ β N+,..., N+κ β N+κ. Άρα N+i < βn + i = β N β i < β N β i. Ετσι, N+i <. Συνεπώς i=0 i=0 i=0 N i=0 n = n + N+i <. (ii) Εφόσον > η σχέση n n > ισχύει για άπειρα n, οπότε n > για άπειραn και άρα δεν μπορεί n 0, δηλαδή n 0. Συνεπώς η σειρά n αποκλίνει. Πρόταση 3..4. (Κριτήριο λόγου) Εστω η σειρά μιαδικών αριθμών 0, n N. Υποθέτουμε ότι υπάρχει το lim n+ n n = R Τότε i=0 i=0 n ώστε n n=

3. Σειρες 25 (i) αν <, η σειρά (ii) αν >, η σειρά n συγκλίνει απολύτως. n= n αποκλίνει. n= (iii) αν = και οι δύο περιπτώσεις είναι δυνατές. Παράδειγμα 3..5. (i) Η n αποκλίνει ενώ η n = n, n =, 2,... και n+ n n+. (ii) Η n 2 συγκλινει ενώ n = n 2 n= 3..2 Seirèc migdik n rijm n ( ) 2 n και n+ n =. n + n = Ορισμός 3..6. Εστω σύνολο Γ C, f n : Γ C, n = 0,, 2,... και (f n ) ακολουθία μιγαδικών συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το Γ. Θέτουμε s n (z) = f 0 (z) + f (z) +... + f n (z), z Γ. Η ακολουθία συναρτήσεων (s n (z)), z Γ καλείται σειρά των f n και συμβολίζεται με n = 0 f n (z), z Γ ή f n. Επίσης, η ακολουθία συναρτήσεων (s n (z)), z Γ καλείται ακολουθία μερικών αθροισμάτων των f n (z), z Γ. Ορισμός 3..7. Εστω n = 0 f n (z), z Γ, Γ C μια σειρά μιγαδικών συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το Γ και συνάρτηση f : Γ C. (i) Η σειρά f n (z), z Γ συγκλίνει στη συνάρτηση f(z), z Γ αν s n (z) (z) για κάθε z Γ (όπου (s n (z)) είναι η αντίστοιχη ακολουθία μερικών αθροισμάτων). Σε αυτήν την περίπτωση γράφουμε f n (z) = f(z), z Γ ή f n = f κατά σημείο. (ii) Η σειρά f n (z) συγκλίνει ομοιόμορφα επί του Γ προς τη συνάρτηση f(z), z Γ ν s n (z) (z) ομοιόμορφα για z Γ. ΣΕ αυτήν την περίπτωση γράφουμε f(z) ομοιόμορφα για z Γ ή f n = f ομοιόμορφα επί του Γ. f n (z) =

26 Συγκλιση σειρων Θεώρημα 3..8. Εστω Γ C και f n (z), z Γ μια σειρά μιγαδικών συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το Γ. Τα εξής είναι ισοδύναμα : (i) Η σειρά συναρτήσεων n = 0 f n (z) συγκλίνει ομοιόμορφα για z Γ. m (ii) Για κάθε ε > 0 υπάρχει n 0 = n 0 (ε) N ώστε m n > n 0 f κ (z) < ε, z Γ. Πόρισμα 3..9. (Μ-κριτήριο του Weierstrss). Εστω σύνολο Γ C και σειρά μιγαδικών συναρτήσεων f n (z), z Γ. Εστω επίσης ακολουθία (M n ) θετικών πραγματικών αριθμών. Υποθέτουμε τα εξής : (i) M n < +. (ii) f n (z) M n για κάθε n = 0,, 2,... και για κάθε z Γ. Τότε η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα για z Γ. κ=n f n (z) Εστω ε > 0. Εφόσον M n συγκλίνει από το κριτήριο του Cuchy, έπεται ότι υπάρχει m n 0 N, m n > n 0 M κ < ε. Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη συνθήκη του Πορίσματος 3..9 παίρνουμε m n > n 0 για z Γ f κ (z) m m κ=n m f κ (z) M κ < ε. κ=n κ=n κ=n m Ωστε m n > n 0 f κ (z) < ε για κάθε z Γ. Άρα από το Θεώρημα 3..8 η σειρά κ=n f n (z) συγκλίνει ομοιόμορφα για z Γ. 3..3 Dunmoseirèc Ορισμός 3..20. Εστω, n C, n = 0,, 2,... Για κάθε n = 0,, 2,... ορίζουμε τη συνάρτηση f n : C C : f(z) = n (z ) n, n = 0,, 2,... Η σειρά συναρτήσεων

3. Σειρες 27 f n (z), z C καλείται δυναμοσειρά με κέντρο το και συμβολίζεται με n (z ) n. Λήμμα 3..2. ( Λήμμα του Abel). Εστω η δυναμοσειρά n z n με n C για n = 0,, 2,... Εστω, επίσης, z 0, z 0 0 ώστε η ακολουθία ( n z0 n ) να είναι φραγμένη, δηλαδή να υπάρχει M > 0 ώστε z n z0 n M για κάθε n = 0,,... Τότε ισχύουν τα εξής : (i) Για κάθε z (0, z 0 ), δηλαδή z < z 0 η σειρά n z n συγκλίνει απολύτως. (ii) Για κάθε 0 < r < z 0 η δυναμοσειρά δίσκο (0, r). n z n συγκλίνει ομοιόμορφα στον κλειστό n (i) Εστω z C με z < z 0. Για κάθε n = 0,,... έχουμε n z n = n z0 n z z 0 n M z z 0. Είναι : z z 0 = z z 0 <. Επομένως, η γεωμετρική σειρά n M z z 0 < +. Από το κριτήριο σύγκρισης έπεται ότι η σειρά n z n συγκλίνει απολύτως. (ii) Εστω 0 < r < z 0. Τότε για κάθε z (0, r) και n = 0,, 2,... έχουμε n z n = n ( ) n z0 n z n ( ) n z 0 = n z n0 z n r r n M n z n M. Εφόσον r z 0 z 0 z 0 z < 0 ( ) n r, η γεωμετρική σειρά M < +. Από το Μ-κριτήριο του Weierstrss z 0 έπεται ότι η συναμοσειρά n z n συγκλίνει ομοιόμορφα. Ορισμός 3..22. Εστω δυναμοσειρά αυτής είναι : n z n. Η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς R = sup {r 0 : ( n r n ) είναι φραγμένη}.

28 Συγκλιση σειρων Είναι προφανές ότι 0 R +. Πρόταση 3..23. Εστω δυναμοσειρά τα εξής : (i) Για κάθε z (0, R) η σειρά n z n με ακτίνα σύγκλισης R. Τότε ισχύουν n z n συγκλίνει απολύτως. (ii) Για κάθε 0 < r < R η δυναμοσειρά δίσκο (0, r). (iii) Για κάθε z C με z < R η σειρά n z n συγκλίνει ομοιόμορφα στον κλειστό n z n αποκλίνει. Σημείωση 3..24. Οι συνθήκες (i), (iii) χαρακτηρίζουν την ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς. (i) Εστω z (0, r), δηλαδή z < R. Επομένως, υπάρχει r R ώστε z < r και η ακολουθία ( n z n ) είναι φραγμένη. Το συμπέρασμα έπεται αμέσως από το λήμμα του Abel. (ii) Εστω 0 < r < R. Τότε υπάρχει r ώστε r < r και η ακολουθία ( n r ) είναι φραγμένη. Από το λήμμα του Abel έπεται ότι η δυναμοσειρά n z n συγκλίνει ομοιόμορφα για z (0, r). (iii) Αν z > R τότε η ακολουθία ( n z n ) n z n αποκλίνει. συγκλίνει στο 0 και επομένως η σειρά Θεώρημα 3..25. (Cuchy-Hdmrd). Εστω δυναμοσειρά 0,,... Θέτουμε s = lim( n ) n. n z n όπου n C, n = Τότε η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι: R = s (όπου 0 = + και + = 0).

3. Σειρες 29 Απόδεοξη : (i) Εστω z (0, R), δηλαδή z < R, οπότε z < s και άρα z s <. Εχουμε lim n z n n = lim ( n n z ) = z lim n n = z s <. Συνεπώς από το κριτήριο ρίζας έπεται ότι η σειρά (ii) Εστω z / (0, R). Τότε έχουμε Εφόσον z > R = s, z s < δηλαδή lim n z n = z s. lim n z n n >. n z n συγκλίνει απολύτως. Άρα, πάλι από το κριτήριο της ρίζας έπεται ότι η σειρά Παρατηρήσεις 3..26. (i) Εστω δυναμοσειρά n z n αποκλίνει. c n (z ) n όπου, c n C, n = 0,,... Τότε η ακτίνα σύγκλισης R της δυναμοσειράς αυτής είναι ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς c n z n και άρα R n. lim c n (ii) Για κάθε 0 < r < R στον κλειστό δίσκο (, r) η δυναμοσεορά ομοιόμορφα. (iii) Για z / (, r) η σειρά c n (z ) n αποκλίνει. c n z n συγκλίνει ( Παραδείγματα 3..27. (i) Εστω η δυναμοσειρά + ) n 2. Εχουμε c n = n n= ( + ) n 2 (, n =, 2,... οπότε c n n = + ) n ( και άρα lim c n n = lim n + n = n n n) e. Άρα η ακτίνα σύγκλισης είναι R e.

30 Συγκλιση σειρων ( (ii) Εστω η δυναμοσειρά + n n=( 0 αλλιώς. Επεται ότι lim + ) n της δυναμοσειράς είναι R =. ) n 2 z n2. Εχουμε c m = ( + ) m 2 αν m = n 2 και n ( = lim + ) =. Άρα η ακτίνα σύγκλισης n n Πόρισμα 3..28. Εστω δυναμοσειρά Υποθέτουμε ότι υπάρχει το lim n n z n ώστε n 0 για κάθε n = 0,,... n n+ Τότε η ακτίνα σύγκλισης Rτης δυναμοσειράς είναι R = lim n R. n n+ Επεται από το Θεώρημα 3..25 και από το γεγονός ότι αν n 0 για κάθε n και υπάρχει το ( ) n lim n R, n+. τότε υπάρχει και το και είναι ίσο με lim n n n lim n n+. n Παράδειγμα 3..29. Η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς z n n! είναι R = +. Εχουμε n = n! για κάθε n οπότε n n+ = n + +.

3. Σειρες 3 Θεώρημα 3..30. (παραγώγιση δυναμοσειρών). Εστω δυναμοσειρά f(z) = c n z n, n (0, R) όπου 0 < R + είναι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς. Τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, R) και μάλιστα f (z) = nc n z n, z (0, R). (i) Η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς nc n z n είανι επίσης R. Για z C, z 0 η δυναμοσειρά nc n z n συγκλίνει η δυναμοσειρά nc n z n συγκλίνει. Άρα οι δύο τελευταόες δυναμοσείρές έχουν την ( ίδια ακτίνα ) σύγκλισης R. Από το Θεώρημα 3..25 έχουμε R = lim(nc n ) n = lim n n cn n = Άρα R = R. lim n (n n lim cn n = R. (ii) Εστω z 0 (0, R) σταθερό. Επιλέγουμε z 0 < r < R. Για κάθε n =, 2,... θέτουμε ϕ n (z) = { z n z n 0 z z 0 αν z z nz0 n αν z = z 0. Από τον ορισμό έπεται ότι z n z0 n = (z z 0 )ϕ n (z) για κάθε z, n. () Επίσης, για κάθε z z 0, έχουμε ϕ n (z) = z n + z n 2 z 0 +... + zz0 n 2 + z0 n για κάθε z, n. (2) Από τη σχέση (2) έπεται ότι ϕ n (z) είναι πολυώνυμο για κάθε n. Για κάθε z (0, r) και για κάθε n έχουμε : ϕ n (z) z n + z n 2 z 0 +... + z 0 n nr n. Επομένως, c n ϕ n (z) = c n ϕ n (z) n c n r n, n, z (0, r) δηλαδή c n ϕ n (z) n c n r n, n, z (0, r) και επίσης n c n r n < +. Από το Μ-κριτήριο του Weierstrss έχουμε ότι η σειρά συναρτήσεων n= c n ϕ n (z) συγκλίνει ομοιόμορφα για z (0, r). Κάθε c n ϕ n (z) είναι πολυώνυμο, άρα είναι συνεχής συνάρτηση. Άρα η συνάρτησηση g(z) = c n ϕ n (z), z (0, r) είναι n= n=

32 Συγκλιση σειρων συνεχής. Ειδικά είναι συνεχής στο z 0. Επομένως lim g(z) = g(z 0 ) = z z 0 Ομως, για z (0, r) με z z 0 έχουμε : Ωστε n= nc n z n n= 0. f(z) f(z 0 ) = c n (z n z0 n ) = c n (z z 0 )ϕ n (z), z (0, r), z z 0. Άρα υπάρχει το f(z) f(z 0 ) z z 0 = n= c n ϕ n (z) = g(z), z (0, r), z z 0. n= f(z) f(z 0 ) lim = g(z 0 ) = z z 0 z z 0 δηλαδή υπάρχει η f (z 0 ) και είναι ίση με nc n z n n= nc n z n n= 0. 0 Πόρισμα 3..3. Εστω δυναμοσειρά f(z) = c n (z ) n, z (, R), όπου 0 < R + είναι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς. Τότε ισχύουν τα εξής : (i) Η f είναι απεριόριστα παραγωγίσιμη. (ii) f (κ) (z) = n(n )...(n κ + )c n (z ) n κ z (, R) και κ = 0,,... n=κ (iii) c κ = f (κ) () κ!, κ = 0,,... (i), (ii) Προκύπτουν με επαναληπτική εφαρμογή του Θεωρήματος 3..30. (iii) Για z = και για κ = 0,,... παίρνουμε από τον τύπο (ii) ότι f (κ) () = κ(κ )...(κ κ + )c κ = κ!c κ και άρα c κ = f (κ) () κ!.

3. Σειρες 33 Πόρισμα 3..32. Εστω 0 < r < R +, C και f : delt(, R) C ώστε f(z) = n (z ) n, z (, r). Τότε n = c n για κάθε n = 0,,... Από το Πόρισμα 3..3 έχουμε ότι c n = f (n) () n!, n = 0,,... και n = f (n) () n!, n = 0,,... Άρα n = c n για κάθε n = 0,,... Ορισμός 3..33. Εστω Ω C ανοικτό και συνάρτηση f : Ω C. Η συνάρτηση f καλείται αναλυτική στο Ω ή τοπικά παραστάσιμη με δυναμοσειρά στο Ω αν για κάθε Ω και r > 0 με (, r) C ισχύει: f(z) = c n (z ) n, z (, r). Σημείωση 3..34. Εστω Ω C ανοικτό και συνάρτηση f : Ω C. Η f είναι αναλυτική στο Ω η f είναι απεριόριστα παραγωγίσιμη στο Ω η f είναι ολόμορφη στο Ω. Πρόταση 3..35. Εστω Ω C ανοικτό και συνάρτηση f : Ω C. Τα εξής είναι ισοδύναμα : (i) Η f είναι τοπικά παραστάσιμη με δυναμοσειρά στο Ω. (ii) Για κάθε Ω και r > 0 με (, r) Ω ισχύει: f(z) = c n (z ) n, z (, r) (i) (ii) Είναι προφανές. (ii) (i) Εστω Ω και ε > 0 με (, ε) C. Για κάθε 0 < r < ε έχουμε (, r) (, ε) Ω. Άρα για κάθε 0 < r < ε, f(z) c r,n (z ) n για κάθε z (, r). Από το Πόρισμα 3..3 έχουμε ότι c r,n = c n = f (n) () n!, για κάθε 0 < r < ε, για κάθε n = 0,,... Επομένως, έχουμε :f(z) = c n (z ) n για κάθε z (0, r) για κάθε r με 0 < r < ε. z (, ε) z < ε υπάρχει r > 0 με ( z < r < ε υπάρχει r > 0 με r < ε και z (, r) ώστε f(z) = c n (z ) n για κάθε r (, ε).

34 Συγκλιση σειρων 3..4 Ekjetik ki Logrijmik sunˆrthsh z n Η έχει ακτίνα σύγκλισης την R = +. Ετσι, αυτή η δυναμοσειρά ορίζει μια n! αναλυτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το C. Καλούμε αυτή τη συνάρτηση εκθετική (exponntionl) συνάρτηση, δηλαδή η εκθετική συνάρτηση είναι η : exp : C C : exp(z) = z n n! = = z! + z2 2! +... Πρόταση 3..36. (i) Η συνάρτηση exp(z) είναι ολόμορφη. (ii) exp(0) =. (iii) exp (z) = exp(z). (iii) exp (z) = n= n zn n! = z n (n )! = z m n= m=0 m! = exp(z). Θέτουμε, επίσης, e z = exp(z), z C. Η e z είναι η μοναδική ολόμορφη επέκταση στο C της γνωστής συνάρτησης e x, x R. Πρόταση 3..37. e z+w = e z e w, για z, w C. Εστω C σταθερό. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(z) = e z e z, z C. Η f είναι ολόμορφη και f (z) = e z e z e z e z = 0 για κάθε z C. Άρα η συνάρτηση f είναι σταθερή, δηλαδή f(z) = f(z) ή e z e z = f() = e για κάθε z, C. Παίρνουμε = z + w και τότε e z e w = e z+w για κάθε z, w C. Πόρισμα 3..38. Ισχύει ότι e z 0 για κάθε z C. Για κάθε z C, e z e z = e z+( z) = e 0 = και άρα e z 0.

3. Σειρες 35 Πρόταση 3..39. (e z ) = e z, z C. Για κάθε z C Επομένως, e z = lim n κ=0 z κ κ! (e z ) = lim n κ=0 z κ κ! = lim n κ=0 Πρόταση 3..40. e z = e Re(z), z C. z κ κ! = lim Για κάθε z C, e z 2 = e z e z = e z+ z = e 2Re(z) = άρα e z = e Re(z), z C. Πόρισμα 3..4. e it = για κάθε t R. e it = e Re(it) = e 0 = για κάθε t R. Παρατηρήσεις 3..42. Η δυναμοσειρά n κ=0 (z) κ (z) n = κ! n! = e z ( e Re(z)) 2 (. Ωστε e z 2 = e Re(z)) 2 και ( ) n z2n έχει ακτίνα σύγκλισης το +. (2n)! Εχουμε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς αυτής είναι :R = s όπου ( ) 2n s = lim h (2n)! και άρα Γνωρίζουμε ότι Άρα R = lim((2n)!) 2n. lim (n!) n = +. n lim ((2n)!) 2n = + n

36 Συγκλιση σειρων Επομένως, R = lim((2n)!) 2n = lim ((2n)!) 2n = + n Ορισμός 3..43. Η συνάρτηση συνημίτονο ορίζεται ως εξής : cos z = Σημείωση 3..44. Η δυναμοσειρά ( ) n z2n (2n)!, z C. ( ) n z2n+ έχει ακτίνα σύγκλισης R = +. (2n + )! Ορισμός 3..45. Η συνάρτηση ημίτονο ορίζεται ως εξής : sin z = z 2n+ (2n + )!, z C. Σημείωση 3..46. Οι συναρτήσεις cos z, sin z είναι οι μοναδικές ολόμορφες επεκτάσεις των γνωστών συναρτήσεων cos x, sin x, x R αντίστοιχα. Πρόταση 3..47. (i) (sin z) = cos z. (ii) (cos z) = sin z. (iii) sin( z) = sin z. (iv) cos( z) = cos z. Πρόταση 3..48. (i) sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w, z, w C. (ii) sin(z w) = sin z cos w cos z sin w, z, w C (iii) cos(z + w) = cos z cos w sin z sin w, z, w C. (iv) cos(z w) = cos z cos w + sin z sin w, z, w C Εστω C σταθερό. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(z) = sin z cos( z)+cos z sin( z), z C. Εχουμε f (z) = cos z cos( z)+sin z sin( z) sin z sin( z) cos z cos( z) = 0 για κάθε z C. Άρα η f είναι σταθερή, επομένως f(z) = f(). Είναι f() = sin, άρα sin = f(z), z C δηλαδή sin = sin z cos( z) + cos z sin( z) για κάθε z C, για κάθε C. Θέτουμε = z + w και παίρνουμε sin(z + w) = sin z cos w + cos w sin w, για κάθε z, w C.

3. Σειρες 37 Θεώρημα 3..49. (Euler) e iz = cos z + i sin z, για κάθε z C Για κάθε z C, e iz (iz) n =. Επειδή για κάθε z C η αντίστοιχη σειρά συγκλίνει απολύτως και άρα μπορούμε να γράψουμε :e iz (iz) 2n n! = (2n)! + (iz) 2n+, για κάθε z C. Επεται, e iz i 2n z 2n (2n + )! i 2n z 2n+ (2n + )! = ( ) n z2n = (2n)! +i (2n)! + i ( ) n i2n+ (2n + )! cos z+ = i sin z. Ωστε e iz = cos z + i sin z για κάθε z C. Πόρισμα 3..50. (ii) sin z = eiz e iz 2i για κάθε z C. (i) cos z = eiz +e iz 2 για κάθε z C. Από την ταθτότητα του Euler έχουμε για κάθε z C :e iz = cos z + i sin z, (), e iz = cos( z) + i sin( z) = cos z i sin( z) δηλαδή e iz = cos z i sin z, (2). Προσθέτοντας τις (), (2) κατά μέλη παίρνουμε e iz + e iz = 2 cos z, δηλαδή cos z = eiz +e iz 2. Αφαιρώντας τη (2) από την () παίρνουμε e iz = e iz = 2i sin z και άρα sin z = eiz e iz 2i. Σημείωση 3..5. Οι συναρτήσεις cos z, sin z δεν είναι φραγμένες στο C Πρόταση 3..52. Ισχύει ότι e z = z = 2κπ, κ ακέραιος. ( ) Για κάθε z C, e iz = cos z + i sin z. Εστω ότι z = 2κπ, κ ακέραιος. Τότε από την ταυτότητα του Euler, e 2κπ = cos(2κπ) + i sin(2κπ) =. ( ) Εστω e z =, z = x + yi, x, y R. Τότε e z =. Οπως γνωρίζουμε, e z = e Re(z) = e x, οπότε e x = και άρα x = 0. Συνεπώς, e iy =, οπότε από την ταυτότητα του Euler E iy = cos y + i sin y =, y R και άρα 2κπ, κ ακέραιος. Ωστε z = x + iy = 2κπ, κ ακέραιος. Πόρισμα 3..53. Η εκθετική συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2πi. e z+2πi = e z e 2πi = e z, αφού e 2πi =.

38 Συγκλιση σειρων Πρόταση 3..54. (i) cos z = 0 z = κπ + π 2, κ ακέραιος. (ii) sin z = 0 z = κπ, κ ακέραιος. Ορισμός 3..55. (ii) cot z = cos z sin z, z = κπ, κ ακέραιος. (i) tn z = sin z cos z, z κπ + π 2, κ ακέραιος. Σημείωση 3..56. Οι συναρτήσεις tn z, cot z είναι μερόμορφες στο C. Ορισμός 3..57. (i) Το υπερβολικό συνημίτονο εξορισμού είναι το : cos hz = ez + e z, z C. 2 (ii) Το υπερβολικό ημίτονο εξορισμού είναι το : Πρόταση 3..58. (i) cos hz = (ii) sin hz = z 2n+ (2n + )!, z C. sin hz = ez e z, z C. 2 z 2n (2n)!, z C. Παρατηρήσεις 3..59. Η συνάρτηση ϕ : R (0, ) : ϕ(t) = e it είναι συνεχής και επί. Απόδειξη: Οτι η ϕ παίρνει τιμές στο C(0, ) είναι γνωστό αφού e it = για κάθε t R. Επίσης, είναι προφανές ότι η ϕ είναι συνεχής. Από την ταυτότητα ϕ(t) = e it = cos t + i sin t, t R έπεται ότι η ϕ είναι επί. Πρόταση 3..60. Η συνάρτηση e z, z C είναι επί του C {0}. Εστω w C, w 0. Τότε w w C(0, ) άρα υπάρχει t R ώστε w w = e it, δηλαδή w = w e it, (). Είναι w > 0 και άρα υπάρχει x R ώστε w = e x, (2). Από τις (), (2), έπεται ότι : w = e x e it = e x+it, δηλαδή w = e z όπου z = x + it.

3. Σειρες 39 Ορισμός 3..6. Εστω z C, z 0. Ενας πραγματικός αριθμός t είναι ένα όρισμα του z αν z = z e it. Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός έχει τουλάχιστον ένα όρισμα. Πρόταση 3..62. Εστω z C, z 0 και t 0 R είναι όρισμα του z. Ενας πραγματικός αριθμός t t = t 0 + 2κπ, κ ακέραιος. ( ) t = t 0 + 2κπ, κ ακέραιος. Τότε z e it = z e i(t0+2κπ) = z e it0 e 2κπi = z e it0 = z. ( ) Εστω t R ώστε z = z e it. Εχουμε επίσης z = z e it0. Επεται ότι e it = e it0 e i(t t0) =, οπότε t = t 0 + 2κπ, κ ακέραιος. και άρα Ορισμός 3..63. Εστω w C, w 0. Ενας μιγαδικός αριθμός z είναι εξορισμού ένας λογάριθμος του w αν w = e z. Από προηγούμενη πρόταση έπεται ότι κάθε w C, w 0 έχει τουλάχιστον ένα λογάριθμο. Πρόταση 3..64. Εστω w C, w 0 και t R είναι όρισμα του w. Τότε ένας μιγαδικός αριθμός z είναι λογάριθμος του w z = log w + it + 2κπi, κ ακέραιος. Είναι e z = e log w +it+2κπi = e log w e it e 2κπi = w e it = w w w = w. Αντίστροφα, έστω z C με e z = w. Εφόσον t είναι ένα όρισμα του w, w = w e it. Άρα e z = w e it = e log w e it = e log w +it. Ωστε e z = e log w +it και άρα e z (log w +it) =, οπότε z = log w + it + 2κπi για κ ακέραιο. Ορισμός 3..65. Εστω G C τόπος. Μια συνεχής συνάρτηση h : G C καλείται κλάδος του λογαρίθμου στο G αν δηλαδή e h(z) = z για κάθε z G. exp(h(z)) = z, z G Πρόταση 3..66. Εστω G C τόπος και h : G C κλάδος του λογαρίθμου. Τότε ισχύουν τα εξής : (i) Η H είναι ολόμορφη συνάρτηση. (ii) h (z) = z για κάθε z G. (iii) Μια συνάρτηση g : G C είναι κλάδος λογαρίθμου στο G g(z) = h(z) + 2κπi, κ σταθερός ακέραιος.

40 Συγκλιση σειρων Υποθέτουμε τα εξής : h : G C C, h συνεχής και exp(h(z)) = z για κάθε z G. Επίσης exp (w) = exp(w) 0 για κάθε w C. Από το θεώρημα παραγώγισης έχουμε ότι για κάθε z G. (iii)( ) Αν g : G C : g(z) = h(z) + 2κπi, τότε η g είναι συνεχής και για κάθε z G, έχουμε ότι e g(z) = e h(z)+2κπi = e h(z) e 2κπi = e h(z) = z και άρα η g είναι κλάδος του λογαρίθμου στο G. ( ) Εστω g : G C κλάδος λογαρίθμου στο G. Τότε η g είναι συνεχής και e g(z) = z για κάθε z G. Εχουμε, επίσης, e h(z) = z για κάθε z G. Επομένως e g(z) h(z) = για κάθε z G. Άρα για κάθε z G υπάρχει κ z Z ώστε g(z) h(z) = 2κπi για η h είναι ολόμορφη και h (z) = exp (h(z)) = exp(h(z)) = z κάθε z G, οπότε g(z) = h(z) + 2κπi για κάθε z G. Θεωρούμε τη συνάρτηση ϕ : G Z : ϕ(z) = g(z) h(z) 2πi. Η ϕ είναι συνεχής και καθώς G είναι τόπος και παίρνει μόνο ακέραιες τιμές. Η ϕ είναι σταθερή, δηλαδή υπάρχει κ Z ώστε ϕ(z) = κ για κάθε z G. Επεται ότι g(z) = h(z) + 2κπi για κάθε z G. Σε όλα τα επόμενα περιοριζόμαστε στον εξής τόπο : D = C {t R : t 0} Λήμμα 3..67. Για κάθε z C(0, ) {} υπάρχει ακριβώς μία γωνία θ(z) ( π, π) τέτοια ώστε z = e iθ(z). Σημείωση 3..68. Η συνάρτηση C(0, ) {} z θ(z) ( π, π) είναι συνεχής. Ορισμός 3..69. Για κάθε z D έχουμε προφανώς z z C(0, ) {} και επομένως ( ) ( ) z z υπάρχει ακριβώς μια γωνία θ ( π, π) ώστε z iθ z z = e z. ( ) z Η συνάρτηση Θ : D ( π, π) : θ (z) = θ είναι συνεχής και z = z e iθ(z). Η Θ z καλείται κύριος κλάδος του ορίσματος. Πρόταση 3..70. Η συνάρτηση l : D C, l(z) = log z + θ (z) είναι ένας κλάδος του λογαρίθμου στο D. Προφανώς η l είναι συνεχής. Εχουμε για κάθε z D ότι e l(z) = e log z +iθ(z) = e log z e iθ(z) = z e iθ(z) = z. Άρα η l είναι κλάδος του λογαρίθμου στο D. Ορισμός 3..7. Θέτουμε rg(z) = θ (z), z D. Η συνάρτηση rg : D ( π, π) καλείται κύριος κλάδος του ορίσματος. Επίσης, θέτουμε log(z) = l(z), z D. Η συνάρτηση log : D C καλείται κύριος κλάδος του λογαρίθμου. Είναι φαφές ότι log = log z + irg(z) για κάθε z D.