MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58 8 Näited integraalide tabeli ja omaduste kohta 58 85 Näited muutuja vahetusest määramata integraalis 59 86 Ositi integreerimine 60 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 8 Algfunktsioon ja määramata integraal Definitsioon Funktsiooni F( ) nimetatakse funktsiooni f ( ) algfunktsiooniks lõigul [ a, b ], kui selle lõigu kõikides punktides kehtib võrdus F = f Näide Funktsioon on funktsiooni algfunktsioon, sest = = Kui F( ) ja F( ) on funktsiooni f ( ) algfunktsioonid lõigul [, ] Tingimusest järeldub aga, et ( F F ) F F f f = = = 0 ( ) F F = 0 F F = C, a b, siis 56
st funktsiooni f ( ) algfunktsioonid erinevad üksteisest lõigul [, ] liidetava C võrra Seega, teades funktsiooni f ( ) üht algfunktsiooni funktsiooni f ( ) iga algfunktsiooni avaldada kujul F + a b ülimalt konstantse F, võime Definitsioon Avaldist kujul F + C, kus F( ) on funktsiooni f ( ) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse st f d, f d= F + Kui funktsioonil f ( ) leidub lõigul [, ] funktsioonil f ( ) eksisteerib määramata integraal (lõigul [, ] a b algfunktsioon, siis öeldakse, et a b ) 8 Integraalide tabel Tabelis toodud võrduste õigsust saab kontrollida diferentseerimise teel, veendudes, et võrduste paremate poolte tuletised on võrdsed integraalialuste funktsioonidega Järgnevates valemites mõistetakse C all suvalist konstanti α+ α d= + C ( α ) α+ d ln C = + sin d= cos + cos d= sin + 5 d tan C cos = + 6 d cot C sin = + 7 e d= e + 8 a a d= + ln a 9 d arctan C + = + 0 d arcsin C = + 57
8 Määramata integraali omadusi f f d f d f d + = + Kui a on konstant, siis a f d= a f d Määramata integraali arvutamisel on kasulikud järgmised reeglid f d= F + C, siis Kui f a d= F a + C ; a f + b d= F + b + C ; f a+ b d= F a+ b + a ) ) ) 8 Näited integraalide tabeli ja omaduste kohta Näide d sin + d= d sin d+ d= + + 5 ( cos ) C cos + + 5 = + + = + + + Näide cos6d= sin 6+ 6 Näide d = ln + Näide e d= e + 58
85 Näited muutuja vahetusest määramata integraalis Näide arcsin d = arcsin d = I g f f d Integraal I on kujul Võtame uueks muutujaks t= arcsin, sel juhul + t t arcsin I = t dt= + C= + C= + + dt= d ja saame Näide ln d = ln d = I g f f d Integraal I on kujul Võtame uueks muutujaks t= ln, sel juhul + 5 5 t t ln I = t dt= + C= + C= + + 5 5 dt= d ja saame Näide sin ( ) d = I Leiame siinuse argumendi = tuletise: ( ) Tõstame integreeritavas funktsioonis teguri tahapoole ja korrutame ning jagame - ga, et integreeritavas funktsioonis oleks tuletis I = sin( ) d= sin( ) d g f f d Seega integraal I on kujul Võtame uueks muutujaks t=, sel juhul dt= d ja saame I = sin( ) d= sin sin d= t dt= = cost+ C= cos ( ) + 59
86 Ositi integreerimine Olgu u= u ja v v = diferentseeruvad funktsioonid mingis piirkonnas X Sel juhul ka korrutis uv on diferentseeruv piirkonnas X, kusjuures d uv = vdu+ udv Seda integreerides saame: millest uv= udv+ vdu, udv= uv vdu Viimast valemit nimetatakse ositi integreerimise valemiks See valem võimaldab komplitseeritud integraali leidmist taandada lihtsama integraali leidmisele Näide sin d = I Rakendame selle integraali võtmisel kaks korda ositi integreerimise valemit udv= uv vdu Esimene kord Saame u=, dv= sin d, du= d, v= cos I = sin d= cos cos d= cos + cos d Saadud tulemuses oleva integraali võtame jälle ositi, kusjuures u=, Seega dv= cos d, du= d, v= sin = + = + = I cos cos d cos sin sin d = cos + sin cos + C= cos + sin + cos + 60
Näide e cos d Rakendame selle integraali võtmisel kaks korda ositi integreerimise valemit udv= uv vdu ja lõpuks avaldame otsitava integraali u= e, u= e, dv= cos d, dv= sin d, e cos d= = e sin e sin d= = du e d, = du= e d, v= sin v= cos ( ) = e sin e cos e cos d = e sin e cos + e cos d = = e sin + e cos e cos d Viime integraali e cos d võrduse paremalt poolelt võrduse vasakule poolele ja saame e cos d+ e cos d= e cos d= e sin + e cos + C ning sellest e cos d = ( sin cos ) e + e + 6