ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ A Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δυο φορές παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο του διαστήµατος α Να αποδείξετε ότι: αν f ()>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστηµα β Αν f ()<0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τί συµπεραίνετε για τη µονοτονία της συνάρτησης f ; γ Αν f ()>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι κυρτή ή κοίλη στο ; Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, δίνοντας συγχρόνως και την αιτιολόγηση α Η συνάρτηση f() =e - είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών β Η συνάρτηση f µε f () = -ηµ+ ηµ + 3, όπου [ π,π) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα αυτό γ Αν f () = g () + 3 για κάθε, τότε η συνάρτηση h()=f()-g() είναι κυρτή στο ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β Στο παρακάτω σχήµα δίδεται η γραφική παράσταση της παραγώγου µιας συνάρτησης f στο διάστηµα [-,6] Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση f y - -/ 3 9/ 6 είναι: ΘΕΜΑ ο i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα iii) κυρτή iv) κοίλη Η τιµή Ρ (σε ευρώ) ενός προϊόντος, t µήνες µετά την εισαγωγή του στην αγορά, δίδεται από τον τύπο P(t) = 4 + t t - 6 5 4 + α Να βρείτε την τιµή του προϊόντος τη στιγµή της εισαγωγής του στην αγορά β Να βρείτε το χρονικό διάστηµα, στο οποίο η τιµή του προϊόντος συνεχώς αυξάνεται γ Να βρείτε τη χρονική στιγµή κατά την οποία η τιµή του προϊόντος γίνεται µέγιστη δ Να αποδείξετε ότι η τιµή του προϊόντος µετά από κάποια χρονική στιγµή συνεχώς µειώνεται, χωρίς όµως να µπορεί να γίνει µικρότερη από την τιµή του προϊόντος τη στιγµή της εισαγωγής του στην αγορά ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3ο ίδεται η συνάρτηση + α, f () = + ( e ) n( ), (, ] α Να υπολογίσετε το όριο: e im + β Να ορίσετε τον α R, έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο διάστηµα [, ] γ Για α =, να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγµατικός αριθµός ξ (, ), τέτοιος ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα ΘΕΜΑ 4 ο ii) υπάρχει 0 0 > τέτοιος ώστε: 0 ( n ) = e 0 0 ίδονται οι συναρτήσεις f και g, δυο φορές παραγωγίσιµες στο R και τέτοιες ώστε: f () g () = για κάθε R και f()=g() Α Έστω ότι η εξίσωση f()=0 έχει δυο λύσεις ρ, ρ µε ρ < < ρ ον ) Να αποδείξετε ότι: α) η εξίσωση g()=0 έχει µια τουλάχιστον λύση στο διάστηµα ρ, ) ( ρ β) υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ( ρ, ρ ) τέτοιος ώστε να ισχύει g (ξ) = ον ) Αν g () 0 για κάθε R και η g C στρέφει τα κοίλα άνω στο R, να αποδείξετε ότι: ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ α) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) η συνάρτηση f έχει ολικό ελάχιστο στο σηµείο 0 = ξ του ερωτήµατος Αβ) Β Έστω ότι η ευθεία µε εξίσωση y = 3-7 είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ον ) Να βρείτε τα όρια: α) lim + g() β) lim g() + 3 + ηµ + + f () 3 ον ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y = -5 είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο + ΘΕΜΑ 5ο α) Αν z, z είναι οι ρίζες της εξίσωσης z +z+=0, να αποδείξετε ότι z - z = 0 0 0 β) Αν z είναι η ρίζα της εξίσωσης του α) ερωτήµατος, µε φανταστικό µέρος θετικό αριθµό, να βρείτε την µικρότερη ν τιµή του θετικού ακεραίου ν για την οποία ο z είναι πραγµατικός αριθµός γ) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει z z = z z, ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ όπου z είναι η ρίζα της εξίσωσης του α) ερωτήµατος, µε φανταστικό µέρος θετικό αριθµό και z η άλλη ρίζα της εξίσωσης του α) ερωτήµατος δ) Να βρείτε, ποιος από τους µιγαδικούς του γ) ερωτήµατος, έχει το ελάχιστο µέτρο ΘΕΜΑ 6 ο α) Να αποδείξετε ότι ένας αριθµός w είναι πραγµατικός, αν και µόνον αν ισχύει: w = w 4 β) ίδονται οι µιγαδικοί αριθµοί z και w µε z R και w = z + z Να αποδείξετε ότι: αν ο αριθµός w είναι πραγµατικός, τότε ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z, είναι ο κύκλος µε εξίσωση z =, εξαιρουµένων δυο σηµείων, τα οποία και να προσδιορίσετε γ) Αν z και z είναι δυο µιγαδικοί του προηγούµενου γεωµετρικού τόπου, τότε να αποδείξετε ότι: z z = και = 4 z 4 z δ) Αν z και z είναι οι µιγαδικοί του προηγούµενου ερωτήµατος, τότε να αποδείξετε ότι: (z + z)( + ) 4 z z ε) Αν z, z, z 3 είναι τρεις µιγαδικοί του γεωµετρικού τόπου του β) ερωτήµατος, τότε να αποδείξετε ότι: z z + zz3 + z3z = z + z + z 3 ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ