Sistemul natural de unităţi Sistemul de unităţi internaţionale (SI) - trei etaloane de măsură [lungime]si = m (metru) [tim]si = s (secundă) [masă sau energie]si = kg (kilogram) sau J (joule) uţin ractice la scară subatomică!!! (rorietăţile relativiste şi cuantice nu ot fi neglijate) constante fundamentale - viteza luminii în vid, c şi cuanta momentului cinetic În sistemul internaţional c = 3 8 m s - =.54-34 J s = 6.58 - MeV s, unde MeV = 6 ev ev (electron-volt) =.6-9 J Pentru sisteme cuantice relativiste - viteza ca fracţiune din viteza luminii c - momentul cinetic (sin ) în termeni de unităţi
sistemul de măsură în care unele constante universale sunt normate la unitate (egale numeric cu ) oartă numele de sistem de unităţi naturale (SUN) [viteza] SUN = c [momentul cinetic] SUN = [energia] = ev cu multilii MeV = 6 ev, GeV = 9 ev c m electron =.5 MeV Pentru metru - se îmarte rin c m m 5. MeV 8 c 3 m s Pentru secundă se îmarte rin 6. 58 (în SI se erimă rin MeV s) MeV s (în SI se erimă rin MeV s) s. 5 MeV s 6. 58 MeV s unităţile de lungime şi de tim ot fi erimate în sistemul natural de unităţi rin inversul unităţilor de energie!!! [lungime]sun = [masă sau energie] - [tim]sun = [masă sau energie] -
3 Regulă generală -o cantitate în sistemul SI care are dimensiunile [ L q T r ] SI cu, L şi T rerezentând energia (în Jouli), lungimea (în metri) şi timul (în secunde), adică J m q s r, în SUN, aceste cantităţi vor fi erimate în energie la uterea -q-r adică -q-r. Conversia din SI în SUN dacă în SI,, L şi T rerezintă unităţi de energie, lungime şi tim, avem coresondenţa: r q r q SI r q q r q r q SI r q SUN r q s MeV. m MeV. J MeV. T L h c T L h T c h L T L 9 5 5 6 4 [A] SUN şi [A] SI sunt mărimile în sistemul natural, resectiv în sistemul internaţional
Concret Din SI la SUN se trece simlu rin înlocuirea Joul, metru şi secundă rin factorii: nergie: J 6.4 MeV Lungime: m 5. MeV - Tim: s.5 MeV - Invers, din SUN în SI, unităţile asociate se fac rin conversia: nergie: Lungime: Tim: MeV.6-3 J MeV -.96-3 m MeV - 6.58 - s Pentru sisteme cuantice relativiste, utilizarea sistemului de unităţi SUN are două mari avantaje: două etaloane sunt definite c ermite rerezentarea tuturor ecuaţiilor eemlu: c m c SI 4 m SUN 4
Mărimea fizică SI masă kg 5.6 6 GeV lungime m 5.7 5 GeV tim s.53 4 GeV sarcina electrică C.89 8 temeratura K 8.6-4 GeV forţa N.37-6 GeV energia J 6.93 9 GeV uterea W 4.56-5 GeV otenţialul V 9.7 GeV câmul electric V/m 5.86-5 GeV curentul A 9.58 7 GeV - inducţia magnetică T.5-8 flu magnetic Wb 3.86 3 GeV - rezistenţa electrică Ohm 3. -7 GeV caacitatea electrică F 4.49 8 GeV - inductanţa H 6.37 3 GeV - 5
Formalismul relativist cuadridimensional Teoria relativităţii -similitudinea tim - saţiu formalism cuadridimensional vectorul de oziţie saţială tim, este rerezentat rin comonentele contravariante μ (indicele suerior) μ = (,,, 3 ) = (, ) = (t, ) într-un saţiu vectorial cu D dimensiuni este osibil de a adăuga D vectori în baza e μ, astfel că un vector A cu comonentele A μ (contravariante) oate fi scris în 4 dimensiuni astfel: A 3 A e A e (formalismul instein în care se reetă indicele covariant contravariant) Produsul scalar a doi vectori A şi B A B = A μ e μ B ν e ν = A μ B ν g μν g μν = e μ e ν - tensor matricial sau metrică 6
7 Se oate alege o bază unde vectorii sunt ortogonali: g μν = dacă μ ν ca urmare e B A A B Pentru cazul cuadridimensional saţiu tim, în saţiul Minkovski, lungimea cuadridimensională a unui vector de oziţie saţiu tim este realizat e un interval z y t e,,3,, e Astfel că, norma vectorilor de bază va fi: iar tensorul metric g
Comonentele covariante (indice inferior) sunt roiecţiile ortogonale ale lui A e vectorii de bază e μ emlu: e μ A A μ Sau (se notează indicele inferior) A e A e A tensorul metric g μν şi inversul său g μν coincid g g g e g A Prin urmare g g De unde rezultă A g A deci g g 4 8
9 comonentele contavariante: comonentele covariante Cuadrivectorul de oziţie 3 3 3,,,,,, g μ = (,,, 3 ) = (, ) μ = (, ) μ = (, -) Prin urmare Obs. În general mărimile de forma a b=a μ b μ sunt invarianţi Lorentz dacă a şi b sunt vectori Lorentz (rodusul scalar a b nu este afectat de transformarea Lorentz şi deci are aceiaşi valoare în toate sistemele de referinţă inerţiale)
μ = (,, y, z ) nergia cinetică Cuadrivectorul energie imuls = γ m - energia totală i (i =, y, z sau,,3 )- comonentele imulsurilor m - masa de reaus K = m = (γ )m Cuadrivectorul μ este un invariant Lorentz: v c factor Lorentz (se lucrează în SUN, adică c = ) g 3 m Aşadar, sau m m
Conservarea energiei şi imulsului entru un sistem de articule Cuadrivectorul energie imuls total n n conservarea energiei şi imulsului - imulsul cuadridimensional al articulei n n (μ =,,, 3) init final Pentru μ =,, 3 = i avem conservarea imulsului total: sau init final i init i final Pentru μ = avem conservarea energiei totale: sau init final tot init tot final
Relaţia în sistemul centrului de masă Premize: Conservarea energiei imuls total ( μ se conservă) Mărimea ( ) este un invariant relativist (are aceeaşi mărime în toate sistemele de referinţă) S final S într-un sistem de referinţă S: init în alt sistem S : init S final S final S' (invariant relativist) Consecinţă: într-un roces de interacţiune cantitatea = μ μ se conservă în orice sistem de referinţă în sistemul centrului de masă (SCM) centrul de masă al sistemului este în reaus, imulsul este nul) init S final S init SCM final SCM Întrucât, în SCM vectorul imuls este nul tot init SCM init SCM init SCM init SCM init SCM n n SCM
Transformări relativiste (Lorentz) Două sisteme de referinţă: S si S Observator din sistemul S care se mişca e direcţia z cu viteza β faţă de sistemul S nergia şi imulsul în S şi S sunt legate rin transformările: Unde: 3
OBS: Relaţii dintre energie, imuls şi masa articulei care se delasează cu viteza β (=v/c): = γm = γβm = β Comonenta 4-a cuadrivectorului imuls nu se schimbă în transformările Lorentz. Se folosesc notatiile: T (imulsul transversal) şi L (imulsul longitudinal). Relaţiile de transformare devin: 4
Variabilele Mandelstam Pentru caracterizarea interactiunilor din fizica energiilor înalte, este convenabil să se definească alte variabile (s, t şi u) care sunt invariante sub transformările Lorentz! Să considerăm rocesul simlu de îmrăştiere : A+B C+D Cuadrivectorul imuls se conservă: init final 5
s ătratul energiei totale în Sistemul Centrului de Masă Ȋn SCM şi ca urmare s - este totdeauna ozitiv t ătratul transferului de cuadrimulsului longitudinal în Sistemul Centrului de Masă u ătratul transferului de cuadrimulsului transversal în Sistemul Centrului de Masă Suma variabilelor Mandelstam în SUN este constantă (în SUN - = m ) 6
Noţiuni de mecanică cuantică relativistă În mecanica clasică, mişcarea unei articule sau a unui gru de articule oate fi erimată în termeni de oziţie a articulei al un anumit moment În mecanica cuantică, o stare ( sau o mişcare) a unei articule este erimată în termeni de funcţii de undă care rerezintă robabilitatea ca o articula sa ocue o anumita oziţie la un moment dat. Cu ajutorul oeratorilor utem obţine în rincial valorile observabilelor, cum ar fi imulsul, energia, etc. În mecanica cuantică relativistă, o stare sau o mişcare este erimată în saţiu şi tim.cuaţiile de mişcare sunt erimate cu ajutorul langrangianului 7
Langrangianul: L=T-V (analiza acestei funcții ermite determinarea ecuaţiilor de mişcare ale sistemului. În mecanica clasică, cantitatea fundamentală este acţiunea, S care deinde de traiectorie. Traiectoria este comlet definită de tim, oziţie, viteză şi unct final: S[ t, q( t), q ( t)] Minimizarea acţiunii înseamnă că derivatele acesteia vor fi zero de-a lungul traiectoriei Derivata acţiunii la tim este numită Lagrangian, şi rin urmare S Ldt În cazul comortamentului unui câm, este util să se ia şi derivata saţială (densitatea Lagrangeanului L ) S= L dt d 3 8
Langrangianul în teoria câmului Langrangianul Dirac Langrangianul în electrodinamica cuantică tensorul câmului electromagnetic Langrangianul în cromodinamica cuantică tensorul câmului gluonic 9
sau Mişcarea nerelativistă entru articule cu sin Relaţia energie-imuls în mecanica clasică H i Transformări în mecanica cuantică t i, i V m y i, i t V m i t i z, i Mişcarea unei articule caracterizată de funcţia de undă Ψ, într-un câm de forţe este dată de ecuaţia Schrödinger ψ rerezintă robabilitatea de a găsi articula de masă m într-un unct saţial caracterizat de coordonatele (,y,z)
Miscarea relativista entru articule cu sin cuaţia Klein Gordon Trecerea de la mecanica cuantică la mecanica cuantică relativistă se face ractic rin generalizarea ecuaţiei lui Schrödinger entru un sistem relativist. Într-un saţiu cuadridimensional (ђ = c = ) se scrie i, i i t Relaţia relativistă energie-imuls m i Substituind mărimile din ecuaţia Schrödinger relativistă cu rerezentările oeratoriale (ђ = c = ) se obţine ecuaţia Klein Gordon i t t i m m
sau m m t m m cuaţia Klein Gordon În care i i i i cuaţia Klein Gordon este versiunea relativistă a ecuaţiei lui Schrödinger, care este folosită în descrierea articulelor fără sin
Mişcarea relativistă entru articule cu sin / cuaţia lui Dirac cuaţia lui Dirac este ecuaţia undelor a lui Schrödinger în varianta de cuantică relativistă entru sisteme de articule cu sinul -/, cum ar fi electronii. Această ecuaţie imune eistenţa ozitronului. clasic : = mv / = /m relativistic: = m + > soluţii: m electron ozitron < 3
Această ecuaţie a fost obţinută de Dirac ca urmarea tentativei de liniarizare a ecuaţiei Klein-Gordon. Pentru aceasta a fost introdus un sistem liniar de atru ecuaţii culate. Forma comactă a aceste ecuaţii: i mi în care funcţia de undă este un bisinor cu 4 comonente: γ μ (μ =,,, 3) sunt matrici 44, iar I este o matrice identitate de dimensiune 44. 3 4. 4
5. cuaţia lui Dirac este de fat un sistem de atru ecuaţii culate 4 3 m y i z t i 3 4 m y i z t i 3 m y i z t i 4 m y i z t i descrie fermioni (S=/) cu masa m şi sini araleli ( ) descrie fermioni (S=/) cu masa m şi sini antiaraleli ( ) 3 descrie antifermioni (S=/) cu masa m şi sini araleli ( ) 4 descrie antifermioni (S=/) cu masa m şi sini araleli ( ) Din cele 4 comonente (grade de libertate) ale bisinorului Ψ, două servesc la rerezentarea unei articule în stările de sin ±/ şi celelalte două la rerezentarea unei antiarticule din stările de sin ±/