Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε [, ] και η συνάρτηση είναι συνεχής Απάντηση : Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα [, ] και για κάθε [, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα είναι E d O α = Ω β 6 69 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g τις ευθείες,, όταν g για κάθε [, ] και οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς Απάντηση : Έστω δυο συνεχείς συναρτήσεις και g, στο διάστημα [, ] με g για κάθε [, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και Σχ 8α = = 8 Ω =g O α Ω O β =g Ω O γ Παρατηρούμε ότι d g d g d Επομένως, E g d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Να αποδείξετε ότι αν για τις συναρτήσεις,g είναι g για κάθε [, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g και τις ευθείες, δίνεται από τον τύπο:e gd Απόδειξη : Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς στο [, ], θα υπάρχει αριθμός c R τέτοιος, ώστε c g c, για κάθε [, ] Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω Σχ α έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο =+c = Ω Ω α O β α O =g α =g+c β Επομένως, θα έχουμε: [ c g c]d gd Άρα E gd β 7 Να αποδείξετε ότι όταν η διαφορά g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g και τις ευθείες και είναι ίσο με E g d Απόδειξη : Όταν η διαφορά g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [,, ] όπως στο Σχήμα, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων, και Δηλαδή, O α Ω γ =g Ω δ = Ω β g d g d g d g d g d g d Επομένως, Σχόλιο E g d g d Σύμφωνα με τα παραπάνω το d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα Σχ 5 Ο a 5 + + β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα, τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, με g για κάθε [, ] και τις ευθείες και είναι ίσο με: E gd Απόδειξη : Πράγματι, επειδή ο άξονας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, έχουμε E gd [ g]d gd Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g για κάθε [, ], τότε: E gd O α Ω β =g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα,,, Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν που περικλείεται από τη, τον άξονα, και τις κατακόρυφες ευθείες,, εργαζόμαστε ως εξής : ον Αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο [α,β] ον Βρίσκουμε το πρόσημο της στο [α,β], λύνοντας την εξίσωση στο [α,β] και σχηματίζοντας πίνακα με το πρόσημο της στο [α,β], με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζουμε το αντίστοιχο εμβαδόν Για άκρα ολοκλήρωσης παίρνουμε τα α,β Σε άλλες περιπτώσεις μπορούμε να υπολογίσουμε το πρόσημο της με τη βοήθεια της μονοτονίας της συνάρτησης Αν για κάθε a, Αν για κάθε, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω ισούται με: d a,, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω ισούται με: d Αν η δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α,β], τότε βρίσκουμε τις ρίζες,,, της εξίσωσης στο [α,β], και από τον πίνακα προσήμων το ζητούμενο εμβαδόν είναι : d d d d d d d Αν δεν δίνονται οι κατακόρυφες ευθείες,, τότε υπολογίζω το αντίστοιχο εμβαδόν ανάμεσα στις ρίζες της δηλ για άκρα ολοκλήρωσης παίρνω τις ρίζες Αν δίνεται μόνο μια κατακόρυφη ευθεία, τότε : Αν η μεγαλύτερη ρίζα Αν η μικρότερη ρίζα d d
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση 8 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη, τον άξονα, και τις ευθείες, 5 Λύση : 8 6 8 ή 5 8 + - + Το ζητούμενο εμβαδόν είναι 5 d d d d 8 d 8 d 8 d 5 9 9 9 6 6 6 Δίνεται η συνάρτηση και F μια παράγουσα της στο με F i Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη F, την ευθεία και τους άξονες και Εμβαδόν Παράγουσας Λύση : i F παραγωγίσιμη για κάθε με F για κάθε, άρα F FF ii F F F F Για F F F F Για F F F Έτσι : Το ζητούμενο εμβαδόν είναι 5 F d F d F d F F d F d d d d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : F - + Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη, τον άξονα, και τις ευθείες, Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη, τον άξονα, και τις ευθείες, 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη και τον άξονα 6 Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη, τον άξονα και τον άξονα 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη, τον άξονα τις ευθείες, 5 ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 8 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, και, και 9 Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο που τέμνει τον άξονα ii Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της iii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη, τον άξονα, και τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένα σημείο της στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη, τον άξονα, και την ευθεία, όπου είναι θέση τοπικού ακρότατου της ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, Δίνεται η συνάρτηση : ln, i Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ a, Δίνεται η συνάρτηση :, i Αν η είναι συνεχής να αποδείξετε ότι a 9 ii Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο Μ, iii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, και ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ, g, g d, Έστω,g δυο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α,β] Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν που περικλείεται από τις, και τις κατακόρυφες ευθείες,, g εργαζόμαστε ως εξής : ον θεωρούμε τη συνάρτηση h g ον λύνουμε την εξίσωση h στο [α,β] ον σχηματίζουμε πίνακα με το πρόσημο της h στο [α,β], με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζουμε το αντίστοιχο εμβαδόν Για άκρα ολοκλήρωσης παίρνουμε τα α,β Αν δεν δίνονται οι κατακόρυφες ευθείες,, τότε υπολογίζω το αντίστοιχο εμβαδόν ανάμεσα στις ρίζες της h δηλ για άκρα ολοκλήρωσης παίρνω τις ρίζες ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνονται οι συναρτήσεις χωρίου περικλείεται από τις και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του, g και τις ευθείες, Λύση : Έστω h g h, με h άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι το h d Έχω h, παρατηρώ ότι η είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης h, και για κάθε, h, άρα η h ά, οπότε και η είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης h h - Τα πρόσημα του παραπάνω πίνακα προκύπτουν ως εξής : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h o h h h h o h h h Άρα τελικά : h d h d h d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : d d Δίνονται οι συναρτήσεις 5 και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις, g και τις ευθείες, 5 Δίνονται οι συναρτήσεις ln και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις, g και τις ευθείες, 6 Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις, g 7 Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει : Στη συνέχεια αν δίνονται τμ και g, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείετε από τη, τη, τον άξονα και την ευθεία g 8 Δίνεται η συνάρτηση όπου μια σταθερά με, Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη και την ευθεία με εξίσωση ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της στο σημείο της, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, την ε και τον άξονα Λύση : i [,, και, άρα Άρα η εφαπτομένη ε της, θα έχει εξίσωση : ii στο σημείο της : : :, : και δηλ η ευθεία Έστω h h, χρειαζόμαστε άλλη μια κατακόρυφη ευθεία η οποία θα προκύψει από τη λύση της εξίσωσης : h, καθώς η και η ε έχουν μοναδικό κοινό σημείο το, Έτσι το ζητούμενο εμβαδόν είναι h d Για το πρόσημο της h, θα χρησιμοποιήσουμε την κυρτότητα της Για κάθε 5 είναι και το «=» ισχύει μόνο για, άρα η είναι 9 κοίλη στο [, και άρα η εφαπτομένη της βρίσκεται πάνω από τη, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε [, ισχύει ότι : h Τελικά : ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ η Αν η συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε εφαπτομένη : της στο, βρίσκεται κάτω από τη, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε ισχύει ότι : Αν η συνάρτηση είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε h d h d d d η εφαπτομένη : της στο, βρίσκεται πάνω από τη, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε ισχύει ότι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 5
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : τμ Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της στο σημείο της, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, την ε και τον άξονα Δίνεται η συνάρτηση 6 5 i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της που είναι κάθετη στην ευθεία : ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, την ε και τον άξονα Δίνεται η συνάρτηση με i Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη και τις ευθείες = και = Δίνεται η συνάρτηση, με Αν η εφαπτομένη ε της στο σημείο τομής της με την ευθεία =, τέμνει τον άξονα στο, τότε : i Να βρείτε το α και την εξίσωση της εφαπτομένης ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, την ε, τον άξονα και την ευθεία 5 Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της στο Μ, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, την ε, τους άξονες και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΚΛΕΙΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΕΙΣ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Για να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που σχηματίζεται από τις γραφικές παραστάσεις τριών ή περισσοτέρων συναρτήσεων, εργαζόμαστε ως εξής : ον βρίσκουμε τα σημεία που τέμνονται ανά δυο οι γραφικές παραστάσεις ον σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων ον χωρίζουμε το χωρίο Ω με κατακόρυφες ευθείες σε επιμέρους χωρία τα οποία σχηματίζονται από δυο μόνο γραφικές παραστάσεις ον υπολογίζουμε το εμβαδόν καθενός από τα παραπάνω χωρία και το άθροισμα τους είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5 Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, ln τον άξονα των και την εφαπτομένη της στο σημείο, Λύση : Η εξίσωση της εφαπτομένης της Επειδή ln, έχουμε Έχω εμβαδόν ανάμεσα στη ln, g, h Για σημεία τομής και Για σημεία τομής και Για σημεία τομής g και στο σημείο, είναι : Επομένως, : :, την g : h : και τον δηλ τρεις συναρτήσεις, g δηλ,, : h ln δηλ,, h : g h δηλ, g, Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ d ln d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ln d d d ln d ln d 6 Δίνονται οι συναρτήσεις, g και h Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων 7 Δίνονται οι συναρτήσεις, με, g και h Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων 8 Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος = = = Ο 9 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος A = + Ο = Δίνεται η συνάρτηση ημ i Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της στα σημεία, και, ii Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική O, παράσταση της και τις εφαπτόμενες στα σημεία Ο και Α Aπ, Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ln, g ln και την ευθεία ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η είναι -, οπότε ορίζεται η Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη ευθείες, είναι : d προκύπτει ότι : Επειδή οι d d, τον άξονα, και τις Αν θέσουμε, d και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία =, το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται μεταξύ των του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της d d και είναι διπλάσιο από το εμβαδόν και της ευθείας = Ισχύει λοιπόν ότι : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, τις ευθείες, και τον άξονα Λύση : i Για κάθε, είναι, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε είναι - άρα και αντιστρέψιμη ii Το ζητούμενο εμβαδόν είναι : d Θέτω άρα d d Για είναι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα Για είναι : Άρα τελικά : ] [, d d d d d d τμ Δίνεται η συνάρτηση, : με τύπο i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις και Λύση : i Η είναι συνεχής στο,, και για κάθε, είναι : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,, άρα είναι και - και άρα αντιστρέψιμη ii Επειδή οι και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία =, για να βρω τα κοινά σημεία της των και, αρκεί να βρω τα κοινά σημεία των και = Έτσι έχουμε : πρέπει Έτσι : ή δεκτές Επειδή οι και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία =, το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται μεταξύ των και είναι διπλάσιο από το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της και της ευθείας = Ισχύει λοιπόν ότι : d, έστω h, είναι h ή h d d h d h d d τμ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, την ευθεία 6 και τους άξονες και 5 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη και τους άξονες και 6 Δίνεται η συνάρτηση 6 6 i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις και 7 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, τις ευθείες, και τον άξονα 8 Έστω η συνάρτηση = 5 + + i Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η έχει αντίστροφη συνάρτηση ii Να αποδείξετε ότι + για κάθε IR iii Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της και της iv Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα των και την ευθεία με εξίσωση = ο 9 Θεωρούμε τη συνάρτηση =+- με i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση - της και να βρείτε τον τύπο της iii Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και - με την ευθεία = iv Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και - Θέμα ο Πανελλήνιες 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση, με, και έστω Ω το χωρίο που περικλείεται από τη, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και Να βρείτε ευθεία η οποία να χωρίζει το Ω σε δυο ισεμβαδικά χωρία Δίνεται η συνάρτηση 6 και έστω Ω το χωρίο που περικλείεται από τη και τον άξονα Να βρείτε ευθεία a, με, η οποία χωρίζει το Ω σε δυο ισεμβαδικά χωρία Το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και την ευθεία 5 χωρίζεται από την ευθεία,, σε δύο ισεμβαδικά χωρία Να βρείτε την τιμή του α Έστω η συνάρτηση i Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της στα σημεία, που η τέμνει τον άξονα των ii Αν Γ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων, να αποδείξετε ότι η χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο χωρία που ο λόγος των εμβαδών ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7: ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση, με Να βρείτε : i Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, τον άξονα και τις ευθείες και, με και ii Το όρια lim και lim 5 Δίνονται οι συναρτήσεις :, g ln i Να υπολογίσετε το εμβαδόν,, του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g, τον άξονα των και την ευθεία, ii Να βρείτε το όριο lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο = λχ, λ > i Να δείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η = λ Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ iii Να δείξτε ότι το εμβαδόν Ελ του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της, της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα, είναι λ λ Ελ iv Να υπολογίστε το lim Θέμα ο Πανελλήνιες 5 λ ημλ 6 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η έχει στο και στο ασύμπτωτη την ίδια ευθεία ε, την οποία και να βρείτε ii Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, την ευθεία ε και τις ευθείες και, με α> iii Να βρείτε το lim Θέμα εξετάσεων 8 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : : για την οποία ισχύει και : για κάθε i Να βρείτε τον τύπο της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα iii Να βρείτε τις ασύμπτωτες της iv Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, τους άξονες και και την ευθεία, με α> v Να βρείτε το lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα